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"module": "geo",
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"moduleName": "几何",
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"points": [
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"id": "geo-01",
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"title": "位置与顺序:上下前后左右",
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"grade": "一年级",
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"summary": "学会用上下前后左右描述物体的位置关系",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n这是几何的第一课。我们要学会用上、下、前、后、左、右描述物体之间的位置关系,这是以后学习方向与位置的基础。\n\n## ② 知识精讲\n### 方法 1:以自己为中心确定上下前后左右\n- 头顶是“上”,脚底是“下”;\n- 脸朝的是“前”,背对的是“后”;\n- 拿笔的手是“右”,另一只是“左”。\n\n可以和爸爸妈妈玩“老师说”游戏:家长说“摸摸右耳朵”,孩子做相应动作;还可以玩“快乐指路”:闭上眼睛,听指令“向前走三步,向左转”。\n\n**例 1** 填空:太阳在我们的( )面;脚踩的是( )面。\n\n【思路】以自己为中心,联系生活实际想一想了。\n\n【解答】太阳在天上,填“上”;脚踩着地面,填“下”。\n\n【提醒】上下以自己为准:头顶是上,脚底是下。\n\n**例 2** 填空:黑板在老师的( )面,老师在黑板的( )面。(老师面对同学们讲课,黑板在老师身后)\n\n【思路】老师面对学生,背对着黑板。\n\n【解答】黑板在老师的后面;老师在黑板的前面。\n\n【验算】位置关系是相互的:黑板在老师背后,反过来老师就在黑板前面,两空正好对应。\n\n### 方法 2:描述物体之间的位置关系\n\n**例 3** △在○的上面,□在○的下面。三个图形从上到下的顺序是什么?\n\n【解答】从上到下依次是:△、○、□。\n\n【验算】逐个检查:△在○上面 ✓,□在○下面 ✓。\n\n**例 4** 三个小朋友站成一排,从左往右依次是小红、小明、小刚。小明的左边是谁?右边是谁?\n\n【解答】小明的左边是小红,右边是小刚。\n\n【提醒】记住“拿笔的手是右”。位置是相互的:如果小明右边是小红,那么小红的左边就是小明。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 左右分不清:牢记“拿笔的手是右”。\n- 位置是相互的:A 在 B 左边,则 B 在 A 右边;A 在 B 上面,则 B 在 A 下面。\n- 身体转向后,左右对着的方向会跟着变,描述位置前先确定自己面朝哪。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填空:太阳在我们的( )面。\",\"answers\":[\"上\"],\"explain\":\"太阳挂在天上,头顶是“上”,所以太阳在上面。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填空:脚踩的是( )面。\",\"answers\":[\"下\"],\"explain\":\"脚底是“下”,脚踩着的自然是下面。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"我们平时写字拿笔的手是哪只?\",\"options\":[\"左手\",\"右手\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一般用右手写字,拿笔的手是右手。确定左右最简单的方法就是记住“拿笔的手是右”。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小明的右边是小红,那么小红的左边就是小明。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。位置关系是相互的:小明在小红右边,反过来小红就在小明左边。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△在○的上面,□在○的下面。三个图形从上到下的顺序是(用“△○□”这样的格式回答)。\",\"answers\":[\"△○□\"],\"explain\":\"△在○上面排最前,□在○下面排最后,所以从上到下是 △○□。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一排小朋友从左往右依次是:小红、小明、小刚。小明的左边是谁?\",\"options\":[\"小红\",\"小刚\",\"小李\"],\"answer\":0,\"explain\":\"从左往右数:小红、小明、小刚。小明左边紧挨着的是小红。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"不管我面朝哪个方向,我的“左边”对着教室的方向都一样。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。左右是以自己为中心的,身体转个方向,左边对着的地方就变了,所以要先弄清自己面朝哪。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"课桌在椅子的前面,那么椅子就在课桌的后面。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。前后也是相互的:A在B前面,B就在A后面。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 头顶是上,脚底是下;脸朝前,背朝后;拿笔的手是右。\n- 位置关系是相互的,描述时要先确定以谁为中心。\n- 转身后左右会变,先弄清面朝的方向再判断。"
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"id": "geo-02",
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"title": "认识立体图形",
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"grade": "一年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识长方体、正方体、圆柱和球,知道它们的特点",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课我们认识了上下前后左右。这一课认识四种常见的立体图形:长方体、正方体、圆柱、球,并记住它们的特点。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:四种立体图形的特点\n- **长方体**:长长方方,6 个面(相对的面一样大),不能滚。生活实例:牙膏盒、字典。\n- **正方体**:四四方方,6 个面一样大,不能滚。生活实例:魔方、骰子。\n- **圆柱**:上下两个圆,可以横着滚。生活实例:水杯、纸巾筒。\n- **球**:圆圆的,到处都能滚。生活实例:篮球、乒乓球。\n\n口诀:长方体长又方,正方体四四方,圆柱上下两个圆,球球滚得最欢畅。\n\n**例 1** 连一连:魔方、篮球、课本、易拉罐,分别属于哪种立体图形?\n\n【解答】魔方→正方体;篮球→球;课本→长方体;易拉罐→圆柱。\n\n【验算】用特征核对:魔方 6 个面一样大 ✓;易拉罐上下两个圆 ✓。\n\n### 概念 2:区分容易混淆的图形\n- 长方体 vs 正方体:正方体 6 个面一样大,长方体只有相对的面一样大。\n- 圆柱 vs 球:圆柱只能朝一个方向滚,球往哪里都能滚。\n\n**例 2** 长方体、正方体、圆柱、球,哪些能滚动?\n\n【解答】圆柱 ✓、球 ✓;长方体和正方体都不能滚。\n\n【提醒】圆柱和球都能滚,但圆柱只能横着朝一个方向滚,球往哪都能滚。\n\n**例 3** 判断对错:(1)正方体的 6 个面都一样大;(2)圆柱不能滚动;(3)球没有平平的面。\n\n【解答】(1) 对;(2) 错,圆柱可以横着滚;(3) 对,球的表面是弯的,没有平平的面。\n\n【提醒】还可以做“摸一摸”游戏:把立体图形放进不透明袋子,伸手摸出“它有 6 个面……”,再猜是什么图形。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把长方体和正方体当成一回事:正方体 6 个面一样大,长方体不是。\n- 认为“圆柱不能滚”:圆柱能横着滚,只是不能像球那样到处滚。\n- 判断图形时,按“面的个数、面是否一样大、能不能滚”三条去想。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"魔方是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"长方体\",\"正方体\",\"圆柱\",\"球\"],\"answer\":1,\"explain\":\"魔方四四方方,6 个面一样大,是正方体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"易拉罐是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"长方体\",\"正方体\",\"圆柱\",\"球\"],\"answer\":2,\"explain\":\"易拉罐上下两个圆,能横着滚,是圆柱。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方体的 6 个面都一样大。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方体四四方方,6 个面完全一样大。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方体可以滚动。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。长方体长长方方,没有能滚动的曲面,不能滚。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"球没有平平的面。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。球圆圆的,表面是弯的,没有平平的面,所以到处都能滚。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"哪种图形能滚动,但只能朝一个方向滚?\",\"options\":[\"球\",\"圆柱\",\"长方体\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱上下两个圆,只能横着滚;球往哪个方向都能滚。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体有( )个面。\",\"answers\":[\"6\",\"六\"],\"explain\":\"长方体有 6 个面,相对的面一样大。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方体的 6 个面都一样大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。长方体只有相对的面一样大;6 个面都一样大的是正方体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"乒乓球是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"圆柱\",\"球\",\"正方体\"],\"answer\":1,\"explain\":\"乒乓球圆圆的,到处都能滚,是球。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上下两个圆、能横着滚的立体图形是( )。\",\"answers\":[\"圆柱\"],\"explain\":\"圆柱的特征就是上下两个圆,可以横着滚。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方体 6 个面相对相等,正方体 6 个面全相等,都不能滚。\n- 圆柱上下两个圆,能横着滚;球没有平平的面,到处能滚。\n- 认图形可以找生活实物:牙膏盒、魔方、易拉罐、篮球。"
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"id": "geo-03",
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"title": "认识平面图形",
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"grade": "一年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课认识了立体图形。这一课我们从立体图形上“找到”平面图形——面在体上,认识长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:五种平面图形\n- **长方形**:对边相等,4 个直角。\n- **正方形**:四条边一样长,4 个直角。\n- **三角形**:3 条边,3 个角。\n- **圆**:没有角,圆圆的。\n- **平行四边形**:对边平行且相等,对角相等。\n\n面在体上:长方体的一个面→长方形;正方体的一个面→正方形;圆柱的一个面→圆;三棱柱的一个面→三角形。把立体图形的一个面蘸上颜料印在纸上,就能“印”出平面图形。\n\n**例 1** 连一连:魔方的面、水杯的盖、书本封面、三角尺,分别是什么图形?\n\n【解答】魔方的面→正方形;水杯的盖→圆;书本封面→长方形;三角尺→三角形。\n\n【验算】正方体每个面都一样大,是正方形;水杯盖圆圆的,是圆 ✓。\n\n**例 2** 分一分:长方形、正方形、三角形、圆、平行四边形,哪些图形对边相等?\n\n【解答】长方形、正方形、平行四边形对边相等。三角形没有“对边”,圆是弯的,也没有对边。\n\n【提醒】正方形四条边都相等,当然也满足“对边相等”。\n\n### 概念 2:正方形是特殊的长方形\n\n**例 3** 判断:正方形是特殊的长方形,对吗?\n\n【解答】对。长方形要求对边相等、有 4 个直角,正方形不仅满足,而且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。\n\n【提醒】用七巧板拼一拼各种图形,能更好地认识三角形、正方形和平行四边形。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 长方形和正方形混淆:记住正方形是特殊的长方形(四条边都相等)。\n- 球和圆分不清:球是立体的,能拿起来;圆是平面的,扁扁的。\n- 圆柱的侧面展开是长方形:圆柱是立体图形,不要把它和长方形混在一起说。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"四条边一样长、有 4 个直角的图形是?\",\"options\":[\"长方形\",\"正方形\",\"平行四边形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"正方形四条边一样长,有 4 个直角;长方形只是对边相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方形是特殊的长方形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方形满足长方形“对边相等、4 个直角”的条件,而且四条边都相等,所以是特殊的长方形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形有几条边?\",\"options\":[\"2 条\",\"3 条\",\"4 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"三角形有 3 条边、3 个角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆没有角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。圆圆的,没有角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"正方体的一个面是什么图形?\",\"options\":[\"长方形\",\"正方形\",\"圆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"正方体 6 个面都一样大,每个面都是正方形——“面在体上”。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆柱的底面是圆。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。圆柱上下两个面都是圆,水杯的盖就是圆形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"对边平行且相等、对角相等的图形是?\",\"options\":[\"长方形\",\"三角形\",\"平行四边形\"],\"answer\":2,\"explain\":\"平行四边形的特点:对边平行且相等,对角相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"球和圆都是平面图形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。球是立体的,能拿起来;圆是平面的,扁扁的。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方形有( )个直角。\",\"answers\":[\"4\",\"四\"],\"explain\":\"长方形对边相等,有 4 个直角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"玩七巧板时,我们能找到下面哪组图形?\",\"options\":[\"只有三角形\",\"三角形、正方形、平行四边形\",\"只有圆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"七巧板里有三角形、正方形和平行四边形,用它们可以拼出各种图案。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方形对边相等 4 个直角;正方形四边相等 4 个直角;三角形 3 边 3 角;圆没有角;平行四边形对边平行且相等。\n- 面在体上:从立体图形的面能“印”出平面图形。\n- 正方形是特殊的长方形。"
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"id": "geo-04",
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"title": "长度单位:厘米和米",
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"grade": "二年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识厘米和米,学会用尺子测量长度",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n认识了图形之后,我们还要会量它们的长短。这一课认识长度单位厘米(cm)和米(m),学会用尺子量长度。想一想:如果每个人用自己的手拃去量课桌,结果一样吗?——不一样,所以需要统一的长度单位。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:厘米和米\n- **厘米(cm)**:用直尺量较短物体的长度。食指的宽度大约 1cm。\n- **米(m)**:量比较长的物体。教室门的宽度大约 1m。\n- 进率:**1m = 100cm**。\n\n常见物体长度参考:铅笔约 15cm,课桌约 60cm,教室门约 2m,数学书约 26cm。\n\n**例 1** 填合适的单位(cm 或 m):教室黑板长 4( );铅笔长 18( );课桌高 70( );楼房高 15( );蚂蚁长约 5( );跳绳长 2( )。\n\n【思路】比较长的物体用米,比较短的物体用厘米,结合生活经验估一估。\n\n【解答】黑板长 4m;铅笔长 18cm;课桌高 70cm;楼房高 15m;蚂蚁长约 5cm;跳绳长 2m。\n\n【验算】想一想:黑板 4cm 只有手指长,太短了,所以必须用米。\n\n### 概念 2:量长度的三个步骤\n1. 把尺子的“0 刻度”对齐物体一端;\n2. 看另一端对着几;\n3. 读出长度。\n\n**例 2** 换算:2m = ( )cm;300cm = ( )m;1m30cm = ( )cm。\n\n【解答】2m = 200cm;300cm = 3m;1m30cm = 130cm。\n\n【提醒】大单位化小单位乘 100,小单位化大单位除以 100。\n\n**例 3** 一根绳子长 1m,用去 30cm,还剩多少 cm?\n\n【思路】先统一单位:1m = 100cm,再做减法。\n\n【解答】100 − 30 = 70cm。答:还剩 70cm。\n\n**例 4** 量物体时,物体左端对着刻度 2,右端对着刻度 9,物体长多少?\n\n【解答】9 − 2 = 7cm。\n\n【提醒】这就是易错点:0 刻度没对齐时,用右端减左端。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 量长度时 0 刻度没对齐,直接读右端刻度 → 应该用右端减左端。\n- 填单位时不联系生活:楼房、黑板用米,铅笔、课桌用厘米。\n- 换算忘记进率:1m = 100cm,不是 10cm。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:2m = ( )cm\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"1m = 100cm,所以 2m = 200cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:300cm = ( )m\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"100cm = 1m,300 里面有 3 个 100,所以是 3m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:1m30cm = ( )cm\",\"answers\":[\"130\"],\"explain\":\"1m = 100cm,再加 30cm,一共 130cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量一支铅笔的长度,用哪个单位合适?\",\"options\":[\"厘米(cm)\",\"米(m)\"],\"answer\":0,\"explain\":\"铅笔比较短,大约 15cm,用厘米作单位;米用来量比较长的物体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一幢楼房高约 15( ),括号里填什么单位?\",\"options\":[\"cm\",\"m\"],\"answer\":1,\"explain\":\"楼房很高,15cm 只有手掌那么长,显然应该填 m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一根绳子长 1m,用去 30cm,还剩( )cm。\",\"answers\":[\"70\"],\"explain\":\"1m = 100cm,100 − 30 = 70cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量物体时,物体左端对着尺子的刻度 2,右端对着刻度 9,物体长多少?\",\"options\":[\"9cm\",\"7cm\",\"11cm\"],\"answer\":1,\"explain\":\"0 刻度没对齐时,用右端刻度减左端刻度:9 − 2 = 7cm。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"量物体长度时,必须把物体的一端对准尺子的 0 刻度,否则就量不出来。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。最好对准 0 刻度;如果没对准,用右端刻度减左端刻度也能得到长度。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"食指的宽度大约是( )cm。\",\"answers\":[\"1\",\"一\"],\"explain\":\"食指的宽度大约 1cm,这是记住 1 厘米有多长的好参照。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1m = ( )cm\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 米 = 100 厘米,这是米和厘米之间的进率。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 食指宽约 1cm,教室门宽约 1m;1m = 100cm。\n- 量长度三步:对齐 0 刻度 → 看另一端 → 读数。\n- 0 刻度没对齐时,用右端刻度减左端刻度。"
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{
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"id": "geo-05",
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"title": "角的初步认识",
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"grade": "二年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识角,会辨认直角、锐角和钝角",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学会了量长度。这一课认识角:角长什么样,什么是直角、锐角、钝角。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:角的组成\n角有 **1 个顶点**和 **2 条边**。还可以用纸折角:随便折一张纸,能折出大大小小的不同角。\n\n### 概念 2:直角、锐角、钝角\n用三角板上的直角来判断:把三角板的直角和要判断的角对齐——\n- 两边都对齐 → 是**直角**;\n- 比直角小 → 是**锐角**;\n- 比直角大 → 是**钝角**。\n\n**例 1** 数一数:一个长方形中有几个直角?\n\n【解答】长方形的 4 个角都是直角,共 4 个。\n\n【验算】用三角板的直角去比一比每个角,都能对齐。\n\n**例 2** 钟面上 3 点整是什么角?2 点整呢?8 点整呢?\n\n【思路】以直角为标准比较两针夹角的大小。\n\n【解答】3 点整,分针指 12、时针指 3,两针成直角;2 点整夹角比直角小,是锐角;8 点整夹角比直角大,是钝角。\n\n【提醒】判断时可以让三角板的直角顶点与钟面中心对齐,一条边对准分针,再看时针在直角的里面还是外面。\n\n**例 3** 用三角板画一个直角和一个锐角。\n\n【解答】沿着三角板直角的两条边画,就得到直角;画一个张口比直角小的角,就是锐角。\n\n【验算】画完再用三角板的直角比一比验证。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为边越长角越大:角的大小和两条边的长短无关,把边拉长,角不变;角的大小看两边张开多大。\n- 判断直角不用工具凭眼睛看:要用三角板的直角去对齐验证。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"角有 1 个顶点和( )条边。\",\"answers\":[\"2\",\"两\"],\"explain\":\"角由 1 个顶点和 2 条边组成。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 3 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 点整,分针指 12、时针指 3,正好组成直角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 2 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":1,\"explain\":\"2 点整两针的夹角比直角小,是锐角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 8 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":2,\"explain\":\"8 点整两针的夹角比直角大,是钝角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"角的两条边画得越长,这个角就越大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。角的大小和两条边的长短无关,把边拉长,角不变。角的大小看两边张开的大小。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形中有( )个直角。\",\"answers\":[\"4\",\"四\"],\"explain\":\"长方形 4 个角都是直角,共 4 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比直角小的角是锐角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。以直角为标准:比直角小的是锐角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比直角大的角是钝角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比直角大的是钝角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"判断一个角是不是直角,可以用什么工具?\",\"options\":[\"直尺\",\"三角板\",\"绳子\"],\"answer\":1,\"explain\":\"用三角板上的直角去比:把三角板的直角和要判断的角对齐,两边都对齐就是直角。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 角有 1 个顶点、2 条边。\n- 用三角板的直角判断:对齐是直角,小的是锐角,大的是钝角。\n- 角的大小与边的长短无关。"
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"id": "geo-06",
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"title": "长度单位换算与周长",
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"grade": "二~四年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "掌握长度单位进率和长方形、正方形的周长计算",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n二年级我们认识了厘米和米。这一课把长度单位补充完整,并学习“周长”——绕图形一圈有多长,掌握长方形和正方形的周长公式。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长度单位家族\n长度单位:mm(毫米)、cm(厘米)、dm(分米)、m(米)、km(千米)。\n- 相邻单位进率是 **10**:1m = 10dm,1dm = 10cm,1cm = 10mm;\n- km 到 m 的进率是 **1000**:1km = 1000m。\n\n### 概念 2:什么是周长\n周长就是“绕一圈的长度”。可以用绳子沿着图形边缘绕一圈,再量绳子的长度。\n要区分“周长”和“边长”:周长是四条边的总长,边长是每一条边的长度。\n\n### 概念 3:周长公式\n- 长方形周长 = 长 + 宽 + 长 + 宽 = **2 × (长 + 宽)**(两组对边);\n- 正方形周长 = **4 × 边长**(四条边一样长)。\n\n**例 1** 一个长方形长 8cm,宽 5cm,周长是多少?用两种方法计算。\n\n【解答】方法一:8 + 5 + 8 + 5 = 26cm。方法二:2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26cm。\n\n【验算】两种方法结果一致,都是 26cm。\n\n**例 2** 一个正方形边长 6cm,周长是多少?\n\n【解答】4 × 6 = 24cm。\n\n**例 3**(逆向)一个正方形周长是 40cm,它的边长是多少?\n\n【思路】正方形周长 = 4×边长,反过来边长 = 周长÷4。\n\n【解答】40 ÷ 4 = 10cm。\n\n【验算】10 × 4 = 40cm ✓。\n\n**例 4**(应用)一个长方形操场长 80m,宽 50m,小明沿操场跑一圈是多少米?\n\n【思路】跑一圈就是求长方形的周长。\n\n【解答】2 × (80 + 50) = 2 × 130 = 260m。答:跑一圈是 260m。\n\n**例 5**(铁丝问题)用一根铁丝围成一个边长 6cm 的正方形,如果改围成长 8cm 的长方形,宽是多少?\n\n【思路】铁丝的总长不变:先求总长,再除以 2 得长+宽,最后减去长。\n\n【解答】铁丝长 6×4 = 24cm;长+宽 = 24÷2 = 12cm;宽 = 12−8 = 4cm。\n\n【验算】(8+4)×2 = 24cm,和铁丝一样长 ✓。\n\n**例 6**(易错)把两个边长 4cm 的正方形拼成一个长方形,拼成的长方形周长是多少?\n\n【思路】拼成的长方形长是 4+4 = 8cm,宽还是 4cm。\n\n【解答】2 × (8 + 4) = 24cm。\n\n【提醒】不是两个周长相加(16+16 = 32):拼的时候中间两条边重合了,不再算在外面。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 拼图题把两个周长直接相加:重合的边不能算。\n- 已知周长求宽时,忘记先除以 2(长+宽 = 周长÷2)。\n- 铁丝变形题抓住“总长不变”。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 12cm,宽 7cm,它的周长是( )cm。\",\"answers\":[\"38\"],\"explain\":\"2×(12+7) = 2×19 = 38cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形边长 6cm,周长是( )cm。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"正方形周长 = 4×边长 = 4×6 = 24cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形周长是 40cm,它的边长是( )cm。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"边长 = 周长÷4 = 40÷4 = 10cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形花坛周长 36m,长 10m,宽是( )m。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"长+宽 = 36÷2 = 18m,宽 = 18−10 = 8m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形操场长 80m,宽 50m,沿操场跑一圈是( )m。\",\"answers\":[\"260\"],\"explain\":\"跑一圈就是求周长:2×(80+50) = 260m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把两个边长 4cm 的正方形拼成一个长方形,拼成的长方形周长是( )cm。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"拼成的长方形长 8cm、宽 4cm,周长 = 2×(8+4) = 24cm。不能把两个周长直接相加:中间两条边重合了,不算在外面的边上。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"mm、cm、dm、m 相邻两个单位之间的进率是?\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":0,\"explain\":\"相邻长度单位的进率是 10,如 1m = 10dm,1dm = 10cm,1cm = 10mm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1km = ( )m\",\"options\":[\"100\",\"1000\",\"10000\"],\"answer\":1,\"explain\":\"千米到米的进率是 1000,1km = 1000m。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"周长是四条边的总长,边长是每一条边的长度,这是两个不同的概念。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。周长是“绕一圈的长度”,边长只是其中一条边的长度。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用一根铁丝围成边长 6cm 的正方形,再改围成长 8cm 的长方形,宽是( )cm。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"铁丝总长不变:6×4 = 24cm。长方形的长+宽 = 24÷2 = 12cm,宽 = 12−8 = 4cm。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 相邻长度单位进率 10,km 到 m 进率 1000。\n- 周长是绕一圈的长度:长方形 2×(长+宽),正方形 4×边长。\n- 逆向题用除法:边长 = 周长÷4,长+宽 = 周长÷2。"
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"id": "geo-07",
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"title": "面积的含义与面积单位",
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"grade": "三年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "理解面积的含义,认识常用面积单位及进率",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们学过周长——绕一圈有多长。这一课认识一个新概念“面积”,并认识面积单位。面积和周长是两回事,千万别混。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:面积的含义\n**面积**是物体表面或封闭图形的大小。\n- 周长是“绕一圈有多长”→ 用手摸图形的边缘;\n- 面积是“面有多大”→ 用手摸整个面。\n\n### 概念 2:面积单位\n- **1 平方厘米(1cm²)** ≈ 大拇指指甲大小;\n- **1 平方分米(1dm²)** ≈ 手掌大小;\n- **1 平方米(1m²)** ≈ 4 张报纸拼起来那么大;\n- 进率:**1m² = 100dm²,1dm² = 100cm²**;\n- 更大的面积(如田地)用**公顷**、**平方千米(km²)**。\n\n**例 1** 换算:2dm² = ( )cm²;300cm² = ( )dm²;5m² = ( )dm²。\n\n【思路】大单位化小单位乘 100,小单位化大单位除以 100。\n\n【解答】2dm² = 200cm²;300cm² = 3dm²;5m² = 500dm²。\n\n【验算】反向验算:200cm² ÷ 100 = 2dm² ✓。\n\n**例 2** 找一找参照:哪个面积单位大约和指甲一样大?和手掌一样大?\n\n【解答】大拇指指甲约 1cm²;手掌约 1dm²;4 张报纸拼起来约 1m²。\n\n**例 3** 分一分:“绕操场跑一圈有多长”和“操场地面有多大”,分别求什么?\n\n【解答】跑一圈求的是周长;地面有多大求的是面积。\n\n【提醒】读题时抓关键词:“一圈”是周长,“大小”是面积。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把面积和周长混淆:周长摸边缘,面积摸整个面;问“大小”是面积,问“一圈”是周长。\n- 面积单位的进率是 100(不是长度单位的 10)。\n- 面积单位带“平方”:cm²、dm²、m²,别写成 cm、m。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:2dm² = ( )cm²\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"1dm² = 100cm²,所以 2dm² = 200cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:300cm² = ( )dm²\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"100cm² = 1dm²,300 里面有 3 个 100,所以是 3dm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:5m² = ( )dm²\",\"answers\":[\"500\"],\"explain\":\"1m² = 100dm²,所以 5m² = 500dm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个面积单位最接近大拇指指甲的大小?\",\"options\":[\"1cm²\",\"1dm²\",\"1m²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 平方厘米大约是大拇指指甲的大小。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个面积单位大约和手掌一样大?\",\"options\":[\"1cm²\",\"1dm²\",\"1m²\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 平方分米大约是手掌的大小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"面积就是绕图形一圈的长度。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。绕一圈的长度是周长;面积是物体表面或封闭图形的大小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1m² = 100dm²。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平方米和平方分米之间的进率是 100。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量黑板、教室地面这样比较大的面,用哪个单位合适?\",\"options\":[\"cm²\",\"dm²\",\"m²\"],\"answer\":2,\"explain\":\"1m² 大约相当于 4 张报纸拼起来,量较大的面用平方米。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"cm²、dm²、m² 相邻两个面积单位之间的进率是 100。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1m² = 100dm²,1dm² = 100cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"题目问“绕操场跑一圈有多长”,求的是什么?\",\"options\":[\"面积\",\"周长\",\"边长\"],\"answer\":1,\"explain\":\"“一圈”说的是周长;问“面有多大”才是面积。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 面积是物体表面或封闭图形的大小,和周长不同。\n- 指甲约 1cm²,手掌约 1dm²,4 张报纸约 1m²。\n- 相邻面积单位进率 100;更大的面积用公顷、平方千米。"
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},
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{
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"id": "geo-08",
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"title": "长方形与正方形的面积",
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"grade": "三年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "掌握长方形、正方形面积公式并解决实际问题",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课理解了面积的含义。这一课学长方形和正方形的面积公式,并会用它们解决实际问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长方形面积 = 长 × 宽\n怎么来的?摆一摆:长 5cm 的长方形,一排能摆 5 个 1cm² 的小正方形;宽 3cm,可以摆 3 排。一共 5×3 = 15 个小正方形,面积就是 15cm²。所以 **长方形面积 = 长 × 宽**。\n\n**例 1**(对比)一个长方形长 8cm,宽 5cm,面积是多少?周长呢?\n\n【解答】面积 = 8×5 = 40cm²;周长 = 2×(8+5) = 26cm。\n\n【提醒】对比练习:面积是 40cm²(面有多大),周长是 26cm(一圈多长),单位都不一样。\n\n### 概念 2:正方形面积 = 边长 × 边长\n\n**例 2** 一个正方形边长 6cm,面积是多少?\n\n【解答】6×6 = 36cm²。\n\n【验算】周长是 6×4 = 24cm,别把面积和周长弄混。\n\n### 概念 3:面积的应用\n\n**例 3** 一块长方形菜地长 12m,宽 8m,面积是多少 m²?如果每平方米收菜 5kg,这块地共收菜多少 kg?\n\n【思路】先求面积,再乘每平方米的产量。\n\n【解答】面积 = 12×8 = 96m²;收菜 96×5 = 480kg。\n\n**例 4** 一个长方形长 15cm,宽比长少 6cm,它的周长和面积各是多少?\n\n【思路】先由“宽比长少 6cm”求出宽。\n\n【解答】宽 = 15−6 = 9cm;周长 = 2×(15+9) = 48cm;面积 = 15×9 = 135cm²。\n\n**例 5** 一个正方形周长是 36cm,它的面积是多少 cm²?\n\n【思路】先由周长求边长,再求面积。\n\n【解答】边长 = 36÷4 = 9cm;面积 = 9×9 = 81cm²。\n\n【验算】9×4 = 36cm,周长对上了 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 周长和面积混淆:问“大小”是面积,问“一圈”是周长;公式、单位都不同。\n- 面积单位要带“平方”:40cm² 不能写成 40cm。\n- “宽比长少几”的题,先求宽;已知周长的题,先求边长。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 8cm,宽 5cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"长方形面积 = 长×宽 = 8×5 = 40cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形边长 6cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"正方形面积 = 边长×边长 = 6×6 = 36cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一块长方形菜地长 12m,宽 8m,面积是( )m²。\",\"answers\":[\"96\"],\"explain\":\"12×8 = 96m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的菜地每平方米收菜 5kg,这块地共收菜( )kg。\",\"answers\":[\"480\"],\"explain\":\"96×5 = 480kg。先求面积,再乘每平方米的产量。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 15cm,宽比长少 6cm,它的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"135\"],\"explain\":\"宽 = 15−6 = 9cm,面积 = 15×9 = 135cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面这个长方形的周长是( )cm。\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"周长 = 2×(15+9) = 2×24 = 48cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形周长是 36cm,它的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"81\"],\"explain\":\"先由周长求边长:36÷4 = 9cm;面积 = 9×9 = 81cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方形面积公式“长×宽”是怎么推导出来的?\",\"options\":[\"摆小正方形:一排摆的个数 × 排数\",\"四条边相加\",\"长加宽再乘 2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"长 5cm 一排摆 5 个 1cm² 小正方形,宽 3cm 摆 3 排,一共 5×3 = 15 个,面积就是 15cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一个长方形长 4cm,宽 3cm,它的面积是 12cm。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。面积算得对(4×3 = 12),但单位错了:面积单位是 cm²,不是 cm。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"题目问“这块地一共收多少菜”,一般要先求出菜地的面积。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。总产量 = 面积 × 每平方米产量,所以先求面积。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方形面积 = 长×宽;正方形面积 = 边长×边长。\n- 面积公式来自“摆小正方形”:一排个数 × 排数。\n- 解决问题三步走:读清问的是面积还是周长 → 求必要的边长 → 代公式。"
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},
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{
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"id": "geo-09",
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"title": "平行四边形与三角形的面积",
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"grade": "四~五年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "掌握平行四边形、三角形面积公式及等积变形",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n长方形、正方形的面积已经会算了。四五年级还要学三角形、平行四边形、梯形和圆的面积,这一课先学平行四边形和三角形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:平行四边形面积 = 底 × 高\n注意:**高是两条底边之间的垂直距离**,不是斜边的长度。\n\n**例 1** 一个平行四边形面积是 72cm²,底是 12cm,高是多少?\n\n【思路】面积 = 底×高,反过来高 = 面积÷底。\n\n【解答】72 ÷ 12 = 6cm。\n\n【验算】12 × 6 = 72cm² ✓。\n\n**例 2** 一个平行四边形底 9cm,高 4cm,面积是多少?\n\n【解答】9 × 4 = 36cm²。\n\n### 概念 2:三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2\n为什么要除以 2?**两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形**,三角形面积 = 拼成的平行四边形面积 ÷ 2。\n\n**例 3** 一块三角形菜地底 12m,高 8m,面积是多少 m²?\n\n【解答】12 × 8 ÷ 2 = 48m²。\n\n【提醒】先乘后除,千万别漏掉“÷2”。\n\n### 概念 3:等积变形(第一次见面)\n**同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。**\n\n**例 4** 两个三角形都以 BC 为底,高的长度也相等,它们的面积相等吗?\n\n【解答】相等。底一样、高一样,按公式 底×高÷2 算出来的面积一定一样。\n\n【提醒】面积相等的三角形,形状不一定相同。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三角形面积忘记除以 2。\n- “高”必须是底边上的垂直距离,不能拿斜边当高。\n- “三角形是平行四边形的一半”只在等底等高时才成立。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一块三角形菜地底 12m,高 8m,面积是( )m²。\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"三角形面积 = 底×高÷2 = 12×8÷2 = 48m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形面积是 72cm²,底是 12cm,高是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"高 = 面积÷底 = 72÷12 = 6cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形底 9cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"平行四边形面积 = 底×高 = 9×4 = 36cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个三角形底 10cm,高 6cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"10×6÷2 = 30cm²,别忘了除以 2。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形面积公式里为什么要除以 2?\",\"options\":[\"两个一样的三角形能拼成一个平行四边形,三角形面积是它的一半\",\"规定,没有原因\",\"因为三角形有三条边\"],\"answer\":0,\"explain\":\"两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形,三角形面积 = 拼成的平行四边形面积÷2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平行四边形面积公式里的“高”,可以是它任何一条边的长度。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。高是两条底边之间的垂直距离,必须垂直于底,不是斜边的长度。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等积变形:底一样、高一样,面积就一定一样。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个三角形底 8cm,高 5cm,面积是多少?\",\"options\":[\"40cm²\",\"20cm²\",\"13cm²\"],\"answer\":1,\"explain\":\"8×5÷2 = 20cm²。选 40cm² 是忘了除以 2,选 13cm² 是把边长相加了。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"任何三角形的面积都是平行四边形面积的一半。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。只有和平行四边形等底等高时,三角形面积才是它的一半。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形面积 48cm²,高 8cm,底是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"底 = 面积÷高 = 48÷8 = 6cm。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 平行四边形面积 = 底×高;三角形面积 = 底×高÷2。\n- 三角形除以 2 的原因:两个一样的三角形拼成一个平行四边形。\n- 同底等高的三角形面积相等(等积变形)。"
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},
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{
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"id": "geo-10",
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"title": "梯形与圆的面积",
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"grade": "四~五年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "掌握梯形和圆的面积公式及逆向计算",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学了平行四边形和三角形的面积。这一课学最后两个面积公式:梯形和圆。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2\n梯形的两条底平行,高是两底之间的垂直距离。\n\n**例 1** 一个梯形上底 4cm,下底 6cm,高 5cm,面积是多少?\n\n【解答】(4 + 6) × 5 ÷ 2 = 10 × 5 ÷ 2 = 25cm²。\n\n【提醒】先算上底+下底的和,再乘高,最后除以 2。\n\n**例 2**(逆向)一个梯形面积是 30cm²,上底 4cm,下底 6cm,高是多少?\n\n【思路】反过来用公式:高 = 面积×2÷(上底+下底)。\n\n【解答】30 × 2 ÷ (4 + 6) = 60 ÷ 10 = 6cm。\n\n【验算】(4+6)×6÷2 = 30cm² ✓。\n\n### 概念 2:圆的面积 = πr²\nr 是半径。\n\n**例 3** 一个圆形花坛半径 3m,面积是多少 m²?\n\n【解答】π × 3² = 9π ≈ 28.26m²(π 取 3.14)。\n\n【提醒】先把半径平方(3×3 = 9),再乘 π;不要把 r² 算成 r×2。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 梯形面积忘记除以 2。\n- 圆面积公式里 r 是半径,题目给直径时要先除以 2。\n- r² 是 r×r,不是 r×2。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形上底 4cm,下底 6cm,高 5cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"(4+6)×5÷2 = 10×5÷2 = 25cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆的半径是 3m,它的面积是( )π m²。\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"圆面积 = πr² = π×3×3 = 9π m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形上底 3cm,下底 7cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"(3+7)×4÷2 = 10×4÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"梯形的面积公式是?\",\"options\":[\"(上底+下底)×高÷2\",\"上底×下底×高\",\"(上底+下底)×高\"],\"answer\":0,\"explain\":\"梯形面积 = (上底+下底)×高÷2,别忘了除以 2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"梯形公式里的“高”,是上底和下底之间的垂直距离。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。梯形的两条底平行,高就是两底之间的垂直距离。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆的面积公式 πr² 中,r 指的是什么?\",\"options\":[\"直径\",\"半径\",\"周长\"],\"answer\":1,\"explain\":\"r 是半径。如果题目给的是直径,要先除以 2 得到半径。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆的半径是 2cm,它的面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"π×2×2 = 4π cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆的面积 = π × 半径 × 半径。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。r² 就是 r×r,半径乘半径再乘 π。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形面积是 30cm²,上底 4cm,下底 6cm,高是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"高 = 面积×2÷(上底+下底) = 30×2÷10 = 6cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个梯形上底 2cm,下底 4cm,高 3cm,面积是多少?\",\"options\":[\"9cm²\",\"18cm²\",\"12cm²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"(2+4)×3÷2 = 9cm²。18cm² 是忘了除以 2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 梯形面积 = (上底+下底)×高÷2;圆面积 = πr²。\n- 逆向题:高 = 面积×2÷(上底+下底)。\n- 至此六种图形面积公式全部学完:长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆。"
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{
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"id": "geo-11",
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"title": "体积与体积单位:长方体与正方体",
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"grade": "五年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "建立体积概念,会算长方体和正方体的体积",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n长度是一维的(一条线),面积是二维的(一个面),体积是三维的——物体占空间的大小。这一课建立体积概念,学长方体和正方体的体积。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:体积单位与容积\n- **1cm³** = 一个骰子大小的方块;\n- **1dm³** = 一个粉笔盒大小;\n- **1m³** = 想象教室里 1m×1m×1m 的空间(能站几个同学?);\n- 相邻体积单位进率 **1000**(cm³、dm³、m³);\n- 容积单位:**1L = 1dm³,1mL = 1cm³**;一瓶矿泉水约 500mL = 500cm³。\n\n### 概念 2:体积公式\n- 长方体体积 = **长 × 宽 × 高**;\n- 正方体体积 = **棱长³**。\n\n口诀:体积就是“数小方块”,表面积就是“数面”。\n\n**例 1** 长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,求体积。\n\n【解答】V = 6 × 4 × 3 = 72cm³。\n\n【验算】交换乘法顺序再算:6×3×4 = 72 ✓。\n\n**例 2** 一个正方体棱长之和是 48cm,求它的体积。\n\n【思路】先由棱长之和求出棱长。正方体有 12 条棱!\n\n【解答】棱长 = 48 ÷ 12 = 4cm;体积 = 4³ = 64cm³。\n\n【提醒】正方体有 12 条棱(不是 6 条),求棱长要用棱长之和÷12。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为正方体有 6 条棱:是 12 条,棱长之和÷12 才是棱长。\n- 相邻体积单位进率是 1000,别和长度(10)、面积(100)搞混。\n- 题目里 mL 和 cm³ 混着出现时,记住 1mL = 1cm³,1L = 1dm³。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"72\"],\"explain\":\"V = 长×宽×高 = 6×4×3 = 72cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长 5cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"125\"],\"explain\":\"V = 棱长³ = 5×5×5 = 125cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长之和是 48cm,它的体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"64\"],\"explain\":\"正方体有 12 条棱,棱长 = 48÷12 = 4cm;体积 = 4³ = 64cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"正方体一共有几条棱?\",\"options\":[\"6 条\",\"8 条\",\"12 条\"],\"answer\":2,\"explain\":\"正方体有 12 条棱(不是 6 条),求棱长要用棱长之和÷12。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"cm³、dm³、m³ 相邻两个体积单位之间的进率是?\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":2,\"explain\":\"相邻体积单位进率是 1000,如 1dm³ = 1000cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1L = ( )dm³\",\"options\":[\"1\",\"10\",\"1000\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 升 = 1 立方分米,这是容积单位和体积单位的对应关系。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1mL = 1cm³。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1 毫升 = 1 立方厘米,所以 500mL 的水就是 500cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一瓶矿泉水约 500mL,也就是约( )cm³。\",\"answers\":[\"500\"],\"explain\":\"1mL = 1cm³,所以 500mL = 500cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1dm³ 的大小最接近下面哪个?\",\"options\":[\"一个骰子\",\"一个粉笔盒\",\"整个教室\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1cm³ 约一个骰子大小,1dm³ 约一个粉笔盒大小,1m³ 才是教室里的一个大空间。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 5cm、宽 3cm、高 2cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"5×3×2 = 30cm³。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 体积是物体占空间的大小,单位 cm³、dm³、m³,相邻进率 1000。\n- 1L = 1dm³,1mL = 1cm³。\n- 长方体体积 = 长×宽×高;正方体体积 = 棱长³;正方体有 12 条棱。"
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},
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{
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"id": "geo-12",
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"title": "圆柱与圆锥的体积",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "掌握圆柱、圆锥体积公式及相关应用",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学了长方体、正方体的体积。这一课学圆柱和圆锥的体积,它们是立体图形的最后一块。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:圆柱体积 = 底面积 × 高 = πr²h\n\n**例 1** 一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,求体积。\n\n【解答】V = π × 2² × 5 = 20π ≈ 62.8cm³(π 取 3.14)。\n\n【提醒】精确值是 20π cm³;计算时 r 一定要先平方。\n\n### 概念 2:圆锥体积 = 底面积 × 高 ÷ 3\n做实验:3 个圆锥的水正好倒满 1 个和它**等底等高**的圆柱 → 圆锥体积是同底同高圆柱的 1/3。\n\n口诀:圆柱体积底面积×高,圆锥体积底面积×高÷3。\n\n**例 2** 一个圆锥与圆柱等底等高,圆柱体积是 12cm³,圆锥体积是多少?\n\n【解答】12 ÷ 3 = 4cm³。\n\n【提醒】“三分之一”的前提是等底等高,缺一个条件都不行。\n\n**例 3**(流水问题)一根自来水管内直径 2cm,水流速度每秒 50cm,1 分钟流出多少 mL 水?\n\n【思路】把流出的水想象成一个圆柱体:底面是水管的横截面(半径 1cm),高就是 1 秒内水流的长度 50cm。\n\n【解答】每秒流出:π × 1² × 50 = 50π ≈ 157cm³;1 分钟 = 60 秒:157 × 60 = 9420cm³ = 9420mL。\n\n【验算】1mL = 1cm³,所以 cm³ 可以直接写成 mL。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 圆柱体积忘记把 r 平方(V = πr²h,不是 πrh)。\n- 圆锥体积忘记除以 3。\n- “圆锥是圆柱的 1/3”只在等底等高时成立。\n- 单位不统一时记住 1mL = 1cm³,1L = 1dm³。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,体积是( )π cm³。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"V = πr²h = π×2²×5 = 20π cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的圆柱,取 π≈3.14,体积约是( )cm³。\",\"answers\":[\"62.8\"],\"explain\":\"20×3.14 = 62.8cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆锥与圆柱等底等高,圆柱体积是 12cm³,圆锥体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"等底等高时,圆锥体积 = 圆柱体积÷3 = 12÷3 = 4cm³。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆锥的体积总是圆柱体积的三分之一。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是等底等高的圆锥和圆柱,圆锥体积才是圆柱的 1/3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆柱的体积公式是哪个?\",\"options\":[\"πrh\",\"πr²h\",\"2πrh\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h。πrh 忘了把半径平方,2πrh 是侧面积。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面积 10cm²,高 6cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"体积 = 底面积×高 = 10×6 = 60cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆锥底面积 9cm²,高 4cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"体积 = 底面积×高÷3 = 9×4÷3 = 12cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一根自来水管内直径 2cm,水流速度每秒 50cm。1 分钟约流出( )mL 水。(π取3.14)\",\"answers\":[\"9420\"],\"explain\":\"半径 1cm。每秒流出的水是一个圆柱:π×1²×50 ≈ 157cm³。1 分钟 = 60 秒:157×60 = 9420cm³ = 9420mL。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个圆锥的水正好倒满 1 个圆柱,这个圆柱和圆锥要满足什么条件?\",\"options\":[\"随便什么圆柱圆锥都行\",\"等底等高\",\"只是等高就行\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3 个圆锥的水倒满 1 个圆柱,前提是它们等底等高,所以圆锥体积 = 底面积×高÷3。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆柱的体积 V = π × r × h。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。半径要平方:V = π × r² × h。忘了平方是常见错误。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h。\n- 圆锥体积 = 底面积×高÷3,前提是等底等高。\n- 流水、倒水问题:把水想象成圆柱,底面是容器横截面,高是水面高度或水流长度。"
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},
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{
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"id": "geo-13",
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"title": "长方体、正方体与圆柱的表面积",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "掌握长方体、正方体、圆柱的表面积计算",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n体积是“数小方块”,表面积是“数面”——把立体图形的所有面加起来。这一课学长方体、正方体和圆柱的表面积。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长方体表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高)\n把纸盒剪开铺平,能看到 6 个面,分成 3 组对面(上下、前后、左右),每组面积相同,所以每种面算一次再乘 2。\n\n**例 1** 长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,求表面积。\n\n【解答】2 × (6×4 + 6×3 + 4×3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108cm²。\n\n【提醒】同一个长方体,体积是 6×4×3 = 72cm³,表面积是 108cm²——单位一个是 cm³,一个是 cm²,别混。\n\n### 概念 2:正方体表面积 = 6 × 棱长²\n\n**例 2** 一个正方体棱长 4cm,表面积是多少?\n\n【解答】6 × 4 × 4 = 96cm²。\n\n【验算】一个面 4×4 = 16cm²,6 个面 16×6 = 96cm² ✓。\n\n### 概念 3:圆柱表面积 = 侧面积 + 2 × 底面积 = 2πrh + 2πr²\n圆柱展开 = 两个圆(底面)+ 一个长方形(侧面)。长方形的长 = 底面周长 2πr,宽 = 圆柱的高 h,所以侧面积 = 2πr × h。\n\n**例 3** 一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,求侧面积和表面积。\n\n【解答】侧面积 = 2π × 2 × 5 = 20π ≈ 62.8cm²;两个底面 = 2 × π × 2² = 8π;表面积 = 20π + 8π = 28π ≈ 87.92cm²。\n\n【验算】侧面积的“长”2πr 正好是底面圆的周长 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 表面积和体积的单位混淆(cm² vs cm³),千万别把面积写成立方。\n- 长方体 3 组对面,每组乘 2 别忘记。\n- 圆柱侧面展开的长方形,长是底面周长 2πr,不是直径。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"108\"],\"explain\":\"2×(6×4 + 6×3 + 4×3) = 2×(24+18+12) = 2×54 = 108cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长 4cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"96\"],\"explain\":\"6×4×4 = 96cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方体展开后,相同的对面一共有几组?\",\"options\":[\"2 组\",\"3 组\",\"6 组\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3 组对面:上下、前后、左右,每组两个面面积相同。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆柱的侧面展开是什么图形?\",\"options\":[\"圆\",\"长方形\",\"三角形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱展开 = 两个圆(底面)+ 一个长方形(侧面)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,侧面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"侧面积 = 2πr×h = 2π×2×5 = 20π cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面这个圆柱的表面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"28\"],\"explain\":\"表面积 = 侧面积 + 2×底面积 = 20π + 2×π×2² = 20π + 8π = 28π cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"表面积用平方单位(如 cm²),体积用立方单位(如 cm³),不能混。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。表面积数的是“面”,体积数的是“小方块”,单位完全不同,千万别把面积写成立方。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方体表面积公式 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) 是什么意思?\",\"options\":[\"3 组对面,每组面积算一次再乘 2\",\"6 个面都一样大\",\"长宽高的和乘 2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"长方体有 3 组对面(上下、前后、左右),每组两个面面积相同,所以把三种面的面积加起来再乘 2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 5cm、宽 3cm、高 2cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"62\"],\"explain\":\"2×(5×3 + 5×2 + 3×2) = 2×(15+10+6) = 2×31 = 62cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方体的表面积 = 6 × 棱长 × 棱长。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方体 6 个面都是边长×边长的正方形,表面积 = 6×棱长²。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方体表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高);正方体 = 6×棱长²。\n- 圆柱表面积 = 2πrh + 2πr²,侧面积展开是长 2πr、宽 h 的长方形。\n- 表面积用平方单位,体积用立方单位。"
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},
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{
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"id": "geo-14",
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"title": "位置与方向:八个方向",
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"grade": "三年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识八个方向,会用方向和距离描述路线",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一年级我们学过上下前后左右。这一课学习八个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北,并会用方向和距离描述路线。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:八个方向与地图\n八个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。\n地图上的方向:**上北下南左西右东**。\n\n### 概念 2:辨认方向的方法\n看太阳:早上太阳升起的方向是东(东升西落)。早上面朝太阳(东),背后是西,左边是北,右边是南。还可以用指南针辨认方向。\n\n**例 1** 面向北站立,你的后面是什么方向?左面呢?右面呢?\n\n【思路】先想北的对面,再想面向北时左右各是什么方向。\n\n【解答】后面是南;左面是西;右面是东。\n\n【验算】画个十字:上北下南左西右东,面朝上(北),左手自然指着西 ✓。\n\n**例 2** 学校东边是公园,南边是超市。超市在学校的哪一面?\n\n【解答】南面。\n\n### 概念 3:用方向和距离描述路线\n\n**例 3** 从学校出发,向东走 100m 到邮局,再向北走 50m 到公园。你能描述公园相对学校的位置吗?\n\n【解答】先向东再向北,公园在学校的东北方向(从学校出发,先向东走 100m,再向北走 50m)。\n\n**例 4** 小明从家出发向东走 200m 到图书馆,再向南走 150m 到学校。请说出路线。\n\n【解答】路线:家 →(向东 200m)→ 图书馆 →(向南 150m)→ 学校。画图时从“家”出发先向右(东)画一段标 200m,再向下(南)画一段标 150m。\n\n【提醒】描述路线要把每一段的“方向 + 距离”都说清楚。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- “左西右东”只在面对北时成立:面对不同方向,左右会变(面对南时,左东右西)。\n- 地图方向记牢:上北下南左西右东。\n- 描述路线漏掉距离或方向。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的后面是( )方。\",\"answers\":[\"南\"],\"explain\":\"北的对面是南,面向北,背后就是南。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的左面是( )方。\",\"answers\":[\"西\"],\"explain\":\"面向北时,左手边是西,右手边是东。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的右面是( )方。\",\"answers\":[\"东\"],\"explain\":\"面向北时,右手边是东。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"太阳从( )方升起。\",\"answers\":[\"东\"],\"explain\":\"早上太阳从东方升起,这是辨认方向的好办法。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"太阳从( )方落下。\",\"answers\":[\"西\"],\"explain\":\"傍晚太阳从西方落下——东升西落。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"看地图时,图的上方是什么方向?\",\"options\":[\"东\",\"南\",\"西\",\"北\"],\"answer\":3,\"explain\":\"地图的方向是上北下南左西右东。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"面朝东站立时,左手边是北。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。早上面朝太阳(东),背后是西,左边是北,右边是南。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“左西右东”这句话不管面朝哪个方向都成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。左西右东只在面对北时成立;面对南时正好相反,左边是东,右边是西。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"东和北之间的方向叫什么?\",\"options\":[\"东南\",\"东北\",\"西北\"],\"answer\":1,\"explain\":\"东和北之间是东北;同理还有东南、西南、西北,一共八个方向。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从学校向东走 100m 到邮局,再向北走 50m 到公园。公园在学校的哪个方向?\",\"options\":[\"东北\",\"东南\",\"西北\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先往东再往北,公园在学校的东北方向。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 八个方向:东西南北 + 东南、东北、西南、西北。\n- 地图:上北下南左西右东;辨认方向可以看太阳(东升西落)或用指南针。\n- 描述路线 = 方向 + 距离;“左西右东”只适用于面朝北。"
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},
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{
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"id": "geo-15",
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"title": "对称、平移与旋转",
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"grade": "二年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "认识轴对称、平移、旋转三种图形运动",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n二年级要学三种图形运动:轴对称、平移、旋转。这一课把它们一次认全,并学会区分。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:轴对称\n对折后两边完全重合的图形,叫**轴对称图形**,折痕就是**对称轴**。常见的轴对称图形:长方形、正方形、圆、蝴蝶、人脸。可以玩对折剪纸:折一折再剪出一个爱心,展开后两边完全一样。\n\n**例 1** 判断哪些是轴对称图形:正方形、三角形、平行四边形、圆、五角星。\n\n【解答】正方形 ✓、圆 ✓、五角星 ✓;一般的三角形 ✗、平行四边形 ✗。\n\n【提醒】判断标准只有一个:能不能对折后两边完全重合。\n\n### 概念 2:平移\n沿直线方向移动(左右、上下),**形状和大小不变,位置变了**。生活中的平移:抽屉推拉、电梯升降、滑滑梯。\n格子纸上的平移:把△向右平移 3 格,就是图形的每个点都向右移 3 格。\n\n**例 2** 判断哪些运动是平移:电梯升降、风扇转动、抽屉推拉、汽车直行。\n\n【解答】电梯升降 ✓、抽屉推拉 ✓、汽车直行 ✓;风扇转动 ✗(是旋转)。\n\n### 概念 3:旋转\n绕一个点或轴转动,**形状和大小不变,方向变了**。生活中的旋转:风车、钟表指针、旋转木马。\n用笔尖按住纸上的一个点转动纸,笔尖的位置就是旋转中心。\n\n**例 3** 判断哪些运动是旋转:风车转动、滑滑梯、开门、火车直行。\n\n【解答】风车转动 ✓、开门 ✓(门绕门轴转);滑滑梯 ✗、火车直行 ✗(都是平移)。\n\n**例 4** 钟面上指针从 3 转到 5,旋转了多少度?\n\n【思路】钟面一圈 360°,共 12 个大格,每个大格 30°。\n\n【解答】从 3 到 5 转过 2 个大格:30 × 2 = 60°。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 平移和旋转分不清:平移是“滑过去”,方向不变;旋转是“转圈”,方向变了。\n- 平移、旋转都不改变图形的形状和大小。\n- 判断轴对称只认“对折后完全重合”这一条标准。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"对折后两边完全重合的图形,是轴对称图形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。折痕就是对称轴。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个图形不是轴对称图形?\",\"options\":[\"正方形\",\"圆\",\"平行四边形\",\"五角星\"],\"answer\":2,\"explain\":\"正方形、圆、五角星对折后两边都能完全重合;平行四边形对折后两边不能重合,不是轴对称图形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方形和正方形都是轴对称图形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。它们对折后两边都能完全重合。常见的轴对称图形还有圆、蝴蝶、人脸等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种运动是平移?\",\"options\":[\"风扇转动\",\"电梯升降\",\"风车转动\"],\"answer\":1,\"explain\":\"电梯沿直线上下移动,是平移;风扇、风车都是绕着中心转,是旋转。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平移后的图形,形状和大小都不变,只是位置变了。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平移是沿直线方向移动,形状大小不变。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种运动是旋转?\",\"options\":[\"滑滑梯\",\"抽屉推拉\",\"钟表指针走动\"],\"answer\":2,\"explain\":\"钟表指针绕着中心点转动,是旋转;滑滑梯、抽屉推拉都是平移。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"钟面上指针从 3 转到 5,旋转了( )度。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"钟面一圈 360° 分成 12 个大格,每格 30°。从 3 到 5 转过 2 个大格:30×2 = 60°。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"旋转后的图形形状会发生改变。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。旋转只是绕一个点或轴转动,形状和大小不变,变的是方向。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"打开房门是平移现象。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。房门绕着门轴转动,是旋转。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"轴对称图形的对称轴是什么?\",\"options\":[\"对折时的折痕\",\"图形的边\",\"任意一条线段\"],\"answer\":0,\"explain\":\"把图形对折,折痕所在的直线就是对称轴。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 轴对称:对折后两边完全重合,折痕是对称轴。\n- 平移:直直地滑过去,形状大小不变,位置变。\n- 旋转:绕点或轴转圈,形状大小不变,方向变。"
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},
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{
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"id": "geo-16",
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"title": "观察物体",
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"grade": "二年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "学会从不同方向观察物体并辨认看到的形状",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n同一个物体,从不同方向看,看到的样子一样吗?这一课学习从正面、侧面、背面、上面观察物体。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:从不同方向观察同一物体\n同一物体从不同方向看,形状可能不同。从一个方向看,不能看到物体的全部;要综合多个方向才能了解全貌。\n可以做个游戏:摆放一个玩偶,从 4 个方向观察并画下来,会发现每个方向看到的不一样。\n\n**例 1** 观察一个水杯:从正面、上面、侧面分别看到什么?\n\n【解答】从正面看,看到杯身和把手;从上面看,看到圆形杯口;从侧面看,看到杯子的侧面形状。\n\n【验算】想一想自己平时喝水:低头看杯口是圆的,平着看是长长的杯身 ✓。\n\n**例 2** 一个圆柱:从上面看是什么形状?从前面看呢?\n\n【解答】从上面看是圆(看到的是顶面);从前面看是长方形。\n\n【提醒】圆柱和长方体一样,从不同方向看到的形状可能不一样。\n\n### 概念 2:观察正方体搭成的立体\n\n**例 3** 把 3 个正方体排成一行放在桌上,再把第 4 个正方体放在中间那个的上面。从前面、左面、上面分别看到什么?\n\n【思路】逐个方向想:这个方向上哪些面能被看到,哪些被挡住了。\n\n【解答】从前面看:下面一行 3 个正方形,中间上面还有 1 个,像“山”字;从左面看:一行 3 个被压成 1 个宽,中间上面的那个叠在它上面,看到竖着的 2 个正方形;从上面看:最上面的正方体在中间正方体的正上方,加左右两个的顶面,还是一行 3 个正方形。\n\n【验算】从上面看时,上层正方体没有多露出新的顶面,所以仍是 3 个 ✓。\n\n### 提醒:长方体的侧视图\n从侧面看长方体,可能看到长方形,也可能看到正方形——取决于对着我们的是哪个面。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为从一个方向看到的形状就是物体的全部。\n- 忘记长方体从侧面看也可能是正方形。\n- 数正方体搭成的图形时,注意被挡住的正方体仍然存在。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从上面看一个水杯,看到的形状是?\",\"options\":[\"长方形\",\"圆形\",\"三角形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从上面看水杯,看到的是圆形的杯口。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从前面看一个圆柱,看到的形状是?\",\"options\":[\"圆\",\"长方形\",\"球\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱从上面看是圆,从前面看是长方形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同一个物体,从不同方向看,看到的形状可能不同。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比如水杯:正面看有杯身和把手,上面看是圆形杯口。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从一个方向观察物体,就能看到物体的全部。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从一个方向只能看到一部分,要综合多个方向才能了解全貌。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个正方体排成一行,第 4 个放在中间那个的上面。从前面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"下面 3 个、上面 1 个的形状\",\"竖着 2 个正方形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从前面看:底层一行 3 个,中间上面还有 1 个,像一座小山。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上面这个立体图形,从左面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"竖着 2 个正方形\",\"1 个正方形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从左面看:一行的 3 个正方体重叠成 1 个的宽度,中间上面的那个在它上面,所以看到竖着叠起来的 2 个正方形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上面这个立体图形,从上面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"竖着 2 个正方形\",\"田字形 4 个正方形\"],\"answer\":0,\"explain\":\"从上面看:最上面的正方体正好在中间那个的正上方,加上左右两个的顶面,看到的还是一行 3 个正方形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从侧面看长方体,一定看到长方形,不可能看到正方形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从侧面看长方体,可能看到长方形,也可能看到正方形(如果对着我们的那个面恰好是正方形)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"想了解一个物体的全貌,需要从多个方向观察,再综合起来。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。每个方向看到的只是一部分,综合多个方向才能了解全貌。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 同一物体从不同方向看,形状可能不同。\n- 圆柱:上面看是圆,前面看是长方形。\n- 观察立体要一个方向一个方向地想:能看到什么、被挡住什么。"
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},
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{
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"id": "geo-17",
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"title": "几何基础回顾:面积与等积变换",
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"grade": "五年级",
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"difficulty": 2,
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"summary": "梳理面积公式,掌握比例与面积、等积变换性质",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n从这一课开始进入奥数几何模型。先把面积公式和几个关键性质整理清楚,后面的“等高模型”“鸟头模型”“风筝模型”都要用它们。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:面积公式速查表\n- 长方形 = 长 × 宽(对边相等);\n- 正方形 = 边长²(四边相等);\n- 三角形 = 底 × 高 ÷ 2(高必须垂直于底);\n- 平行四边形 = 底 × 高(高是两底间的垂直距离);\n- 梯形 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2(两底平行);\n- 圆 = πr²(r 是半径)。\n\n### 概念 2:比例与面积的关系\n- 底变为原来的 a 倍,高不变 → 面积变为原来的 **a 倍**;\n- 底不变,高变为原来的 b 倍 → 面积变为原来的 **b 倍**;\n- 底变为 a 倍,高变为 b 倍 → 面积变为原来的 **a×b 倍**;\n- 相似图形:边长比为 k,面积比为 **k²**。\n\n**例 1** 一个三角形底 6cm,高 4cm,面积是多少?底不变,高扩大到原来的 2 倍,面积变成多少?\n\n【解答】原面积 = 6×4÷2 = 12cm²。高变为 8cm 后,面积 = 6×8÷2 = 24cm²。\n\n【验算】24 ÷ 12 = 2,面积正好变为 2 倍,和“高 2 倍 → 面积 2 倍”一致 ✓。\n\n**例 2** 两个相似三角形边长比是 1:2,面积比是多少?如果小三角形面积是 10cm²,大三角形是多少?\n\n【解答】面积比 = 1²:2² = 1:4。大三角形面积 = 10×4 = 40cm²。\n\n【提醒】边长比是 k,面积比是 k²,不是 k。\n\n### 概念 3:等积变换的三个核心性质\n1. **同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。**\n2. 平行线间的距离处处相等 → 在两条平行线之间,所有等底的三角形面积相等。\n3. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。\n\n**例 3** 两条平行线之间,△ABC 和△DBC 共用底边 BC,顶点 A、D 都在另一条平行线上。这两个三角形面积相等吗?\n\n【解答】相等。它们底都是 BC,高都是两条平行线间的距离,等底等高,面积相等。\n\n**例 4** △ABC 中,D 是 BC 的中点,连接 AD。△ABD 和△ADC 面积相等吗?\n\n【解答】相等。BD = DC,两个小三角形共用顶点 A、底在同一直线 BC 上,高相同,所以 S△ABD = S△ADC。\n\n【提醒】这条性质就是“中线平分面积”,后面的等高模型会反复用到。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三角形、梯形公式忘记除以 2。\n- “高”必须是垂直距离,不是斜边。\n- 倍数关系是相乘(a×b),不是相加。\n- 相似图形面积比是边长比的平方 k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形的面积公式是?\",\"options\":[\"底×高\",\"底×高÷2\",\"(上底+下底)×高÷2\"],\"answer\":1,\"explain\":\"三角形面积 = 底×高÷2,高必须垂直于底。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"平行四边形面积公式里的“高”是指?\",\"options\":[\"一条斜边的长\",\"两底之间的垂直距离\",\"任意一条线段\"],\"answer\":1,\"explain\":\"高是两条底边之间的垂直距离,不是斜边。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个三角形底 6cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"6×4÷2 = 12cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的三角形,底不变,高扩大到原来的 2 倍(8cm),面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"6×8÷2 = 24cm²,正好是原来的 2 倍:高变为 2 倍,面积就变为 2 倍。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形的高不变,底变为原来的 3 倍,面积变为原来的几倍?\",\"options\":[\"不变\",\"3 倍\",\"9 倍\"],\"answer\":1,\"explain\":\"底变为原来的 a 倍、高不变,面积就变为原来的 a 倍,所以是 3 倍。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"底变为原来的 2 倍,高变为原来的 3 倍,面积变为原来的几倍?\",\"options\":[\"5 倍\",\"6 倍\",\"23 倍\"],\"answer\":1,\"explain\":\"底 a 倍、高 b 倍,面积就是 a×b = 2×3 = 6 倍。是相乘,不是相加。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两个相似图形边长比是 1:2,它们的面积比是?\",\"options\":[\"1:2\",\"1:4\",\"1:8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"相似图形:边长比为 k,面积比为 k²。k = 1/2,面积比 = 1:4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同底等高(或等底同高)的两个三角形,面积一定相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等积变形的核心性质。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。中线把底边平分,两个小三角形等高(共用顶点、底在同一直线上),所以面积相等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两条平行线之间,△ABC 和△DBC 共用底边 BC,顶点 A、D 都在另一条平行线上。它们的面积关系是?\",\"options\":[\"相等\",\"△ABC 更大\",\"△DBC 更大\"],\"answer\":0,\"explain\":\"平行线间的距离处处相等,两个三角形等底等高,面积相等。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 六个面积公式要熟,注意“高”必须垂直于底。\n- 底 a 倍、高 b 倍 → 面积 a×b 倍;相似图形边长比 k → 面积比 k²。\n- 等积变换:同底等高面积相等;平行线间等底三角形面积相等;中线平分面积。"
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{
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"id": "geo-18",
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"title": "等高模型",
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"grade": "五年级",
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"difficulty": 3,
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"summary": "掌握等高模型:高相等时面积比等于底边比",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课我们知道了“同底等高的三角形面积相等”。这一课把它升级成等高模型:**高相等时,面积比 = 底边比**。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:等高模型的核心原理\n两个三角形如果高相等,那么 S₁ : S₂ = a₁ : a₂(面积比 = 底边比)。\n道理很简单:面积 = 底×高÷2,高一样,面积就只随底变化。\n\n三种常见的等高情形:\n1. **同顶点三角形**:从同一顶点向底边所在直线上的不同线段作三角形,高相同;\n2. **平行线间的三角形**:底在一条平行线上,顶点在另一条平行线上;\n3. **共边三角形**:两个三角形共用一条边,该边上的高分别对应。\n\n典型图形:△ABC 中,D 在 BC 上,连接 AD → △ABD 和△ADC 共用顶点 A,底都在直线 BC 上,高相同(A 到 BC 的距离),所以 **S△ABD : S△ADC = BD : DC**。\n\n做题步骤:找到(或构造)等高的三角形 → 用虚线标出高 → 在底边上标出长度或比例 → 写出面积比 = 底边比。\n\n**例 1**(基础)△ABC 的面积是 24cm²,D 是 BC 的中点,连接 AD。求△ABD 的面积。\n\n【思路】D 是中点 → BD = DC;两个三角形共顶点 A,底在同一直线上,等高。\n\n【解答】S△ABD : S△ADC = BD : DC = 1:1,所以 S△ABD = 24 ÷ 2 = 12cm²。\n\n【验算】12 + 12 = 24 ✓。\n\n**例 2**(进阶)长方形 ABCD 的面积是 60cm²,E 是 BC 边上的点,且 BE:EC = 2:3。连接 AE 和 DE,求△AED 的面积。\n\n【思路】以 AD 为底看△AED:E 在 BC 上,顶点 E 到 AD 的距离就是长方形的宽 AB。\n\n【解答】S△AED = AD × AB ÷ 2,而 AD × AB 正好是长方形面积 60,所以 S△AED = 60 ÷ 2 = 30cm²。\n\n【提醒】有意思的是:E 在 BC 上任何位置,△AED 的面积都等于长方形面积的一半(因为等底等高)。BE:EC = 2:3 这个条件其实用不上。\n\n**例 3**(综合)梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 4,BC = 6。对角线 AC 和 BD 交于点 O。已知 S△BOC = 12,求梯形 ABCD 的面积。\n\n【思路】AD∥BC → △AOD ∽ △BOC,AO:OC = DO:OB = AD:BC = 4:6 = 2:3。再用等高模型逐个求四个小三角形。\n\n【解答】\n- 在△ABC 中,△AOB 和△BOC 共顶点 B,底都在 AC 上 → 等高,S△AOB : S△BOC = AO : OC = 2:3 → S△AOB = 12 × 2/3 = 8;\n- 因为 AD∥BC,S△ABD = S△ACD(共底 AD、等高),两边同时减去公共部分 S△AOD,得 S△AOB = S△DOC = 8;\n- △AOD 和△DOC 共顶点 D,底在 AC 上 → S△AOD : S△DOC = AO : OC = 2:3 → S△AOD = 8 × 2/3 = 16/3;\n- 梯形面积 = 8 + 12 + 8 + 16/3 = 100/3。\n\n【验算】S△AOD × S△BOC = 16/3 × 12 = 64;S△AOB × S△DOC = 8 × 8 = 64,交叉乘积相等 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 高必须是从顶点到底边(或其延长线)的垂直距离,不是底边上的随便一条线段。\n- 忘记先验证等高条件:必须是共顶点且底在同一直线上(或在平行线之间)。\n- 底边比不等于面积比——只有在等高时才成立。\n- 不会画辅助线时,试试连接顶点和对边上的点,构造等高三角形。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 的面积是 30cm²,D 在 BC 上,BD:DC = 1:2。连接 AD,S△ABD 是( )cm²。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"△ABD 和△ADC 等高,面积比 = 底边比 = 1:2。S△ABD = 30×1/(1+2) = 10cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,S△ADC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"S△ADC = 30×2/3 = 20cm²。验算:10+20 = 30 ✓。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方形 ABCD 面积 48cm²,E、F 分别是 AB、CD 的中点。连接 DE、BF,四边形 DEBF 的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"EB 平行且等于 DF(都是对应边的一半),所以 DEBF 是平行四边形。它以 EB(=AB的一半)为底,高等于长方形的宽,面积 = 长方形面积的一半 = 24cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 面积 40cm²,E 是 BC 中点,连接 AE。S△AEC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"E 是中点,BE = EC,△ABE 和△AEC 等高,面积相等,各占一半:40÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 3,BC = 7,面积 50cm²,对角线交于 O。S△AOB 是( )cm²。\",\"answers\":[\"10.5\"],\"explain\":\"梯形高 H:50 = (3+7)×H÷2,H = 10。△AOD∽△BOC,高的比 = 3:7,所以△AOD 的高 3、△BOC 的高 7。S△ABD = 3×10÷2 = 15,S△AOD = 3×3÷2 = 4.5,S△AOB = 15−4.5 = 10.5cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 BC 上且 BD = 2DC,E 是 AC 中点,F 在 AB 上且 AF = 2FB。若 S△ABC = 90cm²,S△DEF 是( )cm²。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"用鸟头/等高思想算三个角上的三角形:S△BDF = 90×(2/3)×(1/3) = 20;S△CDE = 90×(1/3)×(1/2) = 15;S△AEF = 90×(1/2)×(2/3) = 30。S△DEF = 90−20−15−30 = 25cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个三角形高相等时,面积比等于底边比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等高模型的核心:面积 = 底×高÷2,高相同,面积就随底成比例。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"任意两个三角形,只要底边比是 1:2,面积比就一定是 1:2。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是在高相等的前提下,底边比才等于面积比。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 BC 上,BD:DC = 2:3,S△ABC = 20cm²。S△ABD 是多少?\",\"options\":[\"8cm²\",\"12cm²\",\"10cm²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"S△ABD : S△ADC = BD : DC = 2:3,所以 S△ABD = 20×2/5 = 8cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"连接三角形一边的中点与对角顶点,得到的两个小三角形面积相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。中点把底边平分,两个小三角形等高,面积比 1:1。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 等高模型:高相等 → 面积比 = 底边比。\n- 中点平分面积:S△ABD : S△ADC = BD : DC。\n- 梯形对角线问题:相似 + 等高组合使用。"
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},
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{
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"id": "geo-19",
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"title": "鸟头模型(共角模型)",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 3,
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"summary": "掌握鸟头模型:共角三角形面积比等于夹边乘积之比",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n等高模型处理“高相等”的三角形。这一课学鸟头模型(共角模型),处理“有一个角相等或互补”的两个三角形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:鸟头模型的核心原理\n两个三角形有一个角相等(或两个角互补,即相加 180°),则:\n**面积比 = 夹这个角的两边乘积之比**。\n\n即:若∠A = ∠A'(或∠A + ∠A' = 180°),则 S△ABC : S△A'B'C' = (AB × AC) : (A'B' × A'C')。\n\n为什么叫“鸟头”?两个共角三角形重叠时,尖角处共角,形状像一只鸟的头部。\n\n三种常见图形:\n1. **共角重叠**:一个三角形套在另一个里面,共一个角;\n2. **共角相邻**:共一个顶点,向不同方向延伸;\n3. **补角情形**:两个角互为补角,公式同样适用。\n\n解题步骤:① 识别共角或互补角;② 找出夹该角的两条边,确定比例;③ 代入公式求面积比。\n\n验证方法:取特殊值(如直角三角形),用底×高÷2 验证,明白这不是“魔法公式”,而是可以推导的。\n\n**例 1**(基础)△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:3,AE:AC = 1:2。已知 S△ABC = 36cm²,求 S△ADE。\n\n【思路】△ADE 和△ABC 共角 A(∠A 是公共角)。\n\n【解答】S△ADE : S△ABC = (AD×AE) : (AB×AC) = (1×1) : (3×2) = 1:6。S△ADE = 36 × 1/6 = 6cm²。\n\n【验算】特殊化验证:设∠A 是直角,AB = 3、AC = 2,则 S△ABC = 3×2÷2 = 3;AD = 1、AE = 1,S△ADE = 1×1÷2 = 0.5;0.5:3 = 1:6 ✓。\n\n**例 2**(进阶)△ABC 中,D 在 AB 的延长线上,E 在 AC 上,AB:BD = 2:1,AE:EC = 3:1。已知 S△ABC = 24cm²,求 S△BDE。\n\n【思路】∠DBE 和∠ABC 是邻补角,可以用鸟头模型;分两步走,先求 S△ABE。\n\n【解答】第一步:△ABE 和△ABC 共角 A,夹边 AE:AC = 3:4 → S△ABE = 24 × 3/4 = 18cm²。第二步:△BDE 和△ABE 中,∠DBE 与∠ABE 互补,夹边 BE 相同,BD:AB = 1:2 → S△BDE = 18 × 1/2 = 9cm²。\n\n【提醒】补角情形公式照样用,别忘了这一点。\n\n**例 3**(综合)正方形 ABCD 边长为 6,E 是 BC 中点,F 在 CD 上且 CF:FD = 1:2。连接 AE 和 AF,求△AEF 的面积。\n\n【思路】直接求△AEF 不方便,用正方形减去三个角上的直角三角形。\n\n【解答】S正方形 = 36。CF = 2,FD = 4。S△ABE = 6×3÷2 = 9;S△ADF = 6×4÷2 = 12;S△ECF = 3×2÷2 = 3。S△AEF = 36 − 9 − 12 − 3 = 12cm²。\n\n【验算】用鸟头模型核对 S△ABE:△ABE 和△ABC 共角 B(直角),面积比 = (AB×BE):(AB×BC) = BE:BC = 3:6 = 1:2,S△ABE = 18÷2 = 9 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找错共角:必须是两个三角形真正的公共角(或互补角),不能是看起来像的角。\n- 夹边搞混:夹边是夹住该角的两条边,不是对边。\n- 补角情形忘记公式同样适用。\n- 比例方向搞反:大三角形面积 : 小三角形面积 = 大夹边乘积 : 小夹边乘积。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:3,AE:AC = 1:2。已知 S△ABC = 36cm²,S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"△ADE 和△ABC 共角 A,面积比 = (1×1):(3×2) = 1:6,所以 S△ADE = 36÷6 = 6cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:4,AE:AC = 1:3,S△ABC = 60cm²。S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"面积比 = (1×1):(4×3) = 1:12,S△ADE = 60÷12 = 5cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 BC 上,AD:DB = 1:2,BE:EC = 1:1,S△ABC = 54cm²。S△BDE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"D 在 AB 上且 AD:DB = 1:2 → BD:BA = 2:3;E 是 BC 中点 → BE:BC = 1:2。△BDE 和△ABC 共角 B,面积比 = (2×1):(3×2) = 1:3,所以 S△BDE = 54÷3 = 18cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个三角形共一个角,面积分别是 18cm² 和 48cm²。小三角形夹该角的两边分别是 3cm 和 4cm,大三角形夹该角的一边是 8cm,另一边是( )cm。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"面积比 18:48 = 3:8,夹边乘积之比也应是 3:8。小三角形乘积 3×4 = 12,大三角形乘积 = 12×8÷3 = 32,所以另一边 = 32÷8 = 4cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 面积 40cm²,D 在 AB 延长线上,BD = AB,E 在 AC 上,AE = AC/4。S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"D 在 AB 延长线上,∠DAE 就是∠BAC(同角)。AD = AB+BD = 2AB,AE = AC/4。面积比 = (2×1/4):1 = 1:2,S△ADE = 40÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平行四边形 ABCD 面积 80cm²,E 是 AB 上一点。连接 DE 和 CE,S△DEC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"△DEC 以 DC 为底,高等于平行四边形的高(因为 E 在对边 AB 上),面积 = DC×高÷2 = 80÷2 = 40cm²。E 在 AB 上任何位置都一样。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型中,如果两个三角形的角互补(两个角相加等于 180°),面积比仍然等于夹边乘积之比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。共角或互补角,公式都适用,这是鸟头模型的重要情形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型中,面积比等于夹该角的两条边的比(不用相乘)。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。是夹该角的两边“乘积”之比,不是单边之比。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"△ADE 和△ABC 共角 A,AD:AB = 1:2,AE:AC = 1:2,那么 S△ADE : S△ABC = ?\",\"options\":[\"1:2\",\"1:4\",\"1:8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"面积比 = (1×1):(2×2) = 1:4。两边各缩一半,面积缩为四分之一。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型里的“夹边”,必须是夹住那个角的两条边,不能是对边。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。找错夹边是最常见的错误,一定要认准从角的顶点出发的两条边。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 鸟头模型:共角(或互补角)→ 面积比 = 夹边乘积之比。\n- 三步走:找共角 → 标夹边比例 → 算面积比。\n- “减去角上的三角形”是正方形/长方形里求面积的常用招。"
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"id": "geo-20",
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"title": "风筝模型",
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"grade": "六年级",
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"difficulty": 3,
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"summary": "掌握风筝模型:四边形对角线分出的四个三角形面积关系",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n这一课学风筝模型:任意四边形两条对角线分出的四个三角形之间的比例关系。它是等高模型在四边形上的综合应用。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:风筝模型的核心结论\n在四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O,把四边形分成四个三角形。按顺时针编号:\n① S△AOB,② S△BOC,③ S△COD,④ S△DOA。\n\n核心结论:\n1. **交叉乘积相等:① × ③ = ② × ④**;\n2. 面积比与对角线比的关系:AO:OC = (①+④):(②+③);BO:OD = (①+②):(③+④);\n3. 相邻三角形面积比:**① : ② = AO : OC = ④ : ③**。\n\n为什么?① 和②共用顶点 B,底都在 AC 上 → 等高 → ①:② = AO:OC;同理④:③ = AO:OC。所以 ①:② = ④:③,交叉相乘就得到 ①×③ = ②×④。\n\n为什么叫“风筝”?对角线像风筝的骨架,四个三角形像风筝的四个部分。\n\n做题口诀:**知三求一**(知道三个面积,用交叉乘积求第四个);**知比求面**(知道对角线比例,可以求面积比)。\n\n特殊情形:\n- 平行四边形:四个三角形面积相等;\n- 梯形(AD∥BC):夹着两腰 AB、CD 的两个三角形面积相等,即 S△AOB = S△COD。\n\n**例 1**(基础)四边形 ABCD 中,对角线交于 O。S△AOB = 6,S△BOC = 9,S△COD = 12。求 S△DOA。\n\n【解答】由 ①×③ = ②×④:6 × 12 = 9 × S△DOA,S△DOA = 72 ÷ 9 = 8。\n\n【验算】AO:OC = ①:② = 6:9 = 2:3;④:③ = 8:12 = 2:3 ✓。\n\n**例 2**(进阶)梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 3,BC = 5。对角线交于 O,已知 S△BOC = 15。求梯形面积。\n\n【思路】AD∥BC → △AOD ∽ △COB,再用等高模型求两侧三角形。\n\n【解答】相似比 AO:OC = AD:BC = 3:5,面积比 = 9:25 → S△AOD = 15 × 9/25 = 27/5。由 AO:OC = 3:5,① 和②等高 → S△AOB = 15 × 3/5 = 9;梯形中 S△DOC = S△AOB = 9。梯形面积 = 9 + 9 + 27/5 + 15 = 192/5 = 38.4。\n\n【验算】交叉乘积:S△AOB×S△COD = 9×9 = 81;S△AOD×S△BOC = 27/5×15 = 81 ✓。\n\n**例 3**(综合)四边形 ABCD 中,AO:OC = 2:3,BO:OD = 1:4。已知四边形面积是 100,求四个三角形的面积。\n\n【思路】用对角线比设份数。\n\n【解答】由 AO:OC = 2:3:设 S△AOB = 2a,S△BOC = 3a;S△AOD = 2b,S△DOC = 3b。由 BO:OD = 1:4:①:④ = 1:4,即 2a:2b = 1:4 → b = 4a。四个三角形:2a、3a、2b = 8a、3b = 12a。总面积 2a+3a+8a+12a = 25a = 100 → a = 4。所以 S△AOB = 8,S△BOC = 12,S△AOD = 32,S△DOC = 48。\n\n【验算】8×48 = 384;12×32 = 384,交叉乘积相等 ✓;8+12+32+48 = 100 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 编号搞混:必须按顺时针(或固定顺序)标注四个三角形,“交叉”是指 ①③ 对角、②④ 对角。\n- 忘记前提:必须是凸四边形,对角线在内部相交。\n- 面积比和对角线比的关系搞反:①:② = AO:OC(不是 OC:AO)。\n- 梯形中记得用 S△AOB = S△COD 这个特殊性质。\n- 相似比和面积比混淆:相似比是边长比 k,面积比是 k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,对角线交于 O。S△AOB = 6,S△BOC = 9,S△COD = 12。S△DOA = ( )。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"由 ①×③ = ②×④:6×12 = 9×S△DOA,S△DOA = 72÷9 = 8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,S△AOB = 10,S△BOC = 15,S△COD = 20。S△DOA = ( )(用分数表示)。\",\"answers\":[\"40/3\",\"13.3\",\"13.33\"],\"explain\":\"①×③ = ②×④:10×20 = 15×S△DOA,S△DOA = 200÷15 = 40/3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平行四边形 ABCD 面积是 120cm²,对角线交于 O。S△AOB 是( )cm²。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"平行四边形对角线分出的四个三角形面积相等,各占 120÷4 = 30cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD:BC = 2:5,S△BOC = 25。S△AOD = ( )。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"△AOD∽△COB,相似比 2:5,面积比 4:25,S△AOD = 25×4/25 = 4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的梯形中,S△AOB = ( )。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"AO:OC = AD:BC = 2:5,△AOB 和△BOC 等高,S△AOB = 25×2/5 = 10。(S△DOC 也等于 10。)\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,AO:OC = 1:2,BO:OD = 3:1,S△AOB = 6。四边形总面积是( )。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"AO:OC = 1:2 → S△BOC = 6×2 = 12;BO:OD = 3:1 → S△AOD = 6÷3 = 2;S△AOD:S△DOC = AO:OC = 1:2 → S△DOC = 4。总面积 = 6+12+2+4 = 24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,S△AOB = 4,S△COD = 9,且 S△BOC = S△AOD。S△BOC = ( )。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"由 ①×③ = ②×④:4×9 = S²,S = 6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"风筝模型中,①×③ = ②×④(①③是对顶的两个三角形,②④是另一对对顶的三角形)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是风筝模型的核心结论:交叉乘积相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"风筝模型对任何四边形都适用,包括对角线不在内部相交的凹四边形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是凸四边形,对角线在内部相交,模型才成立。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"风筝模型中,① : ② 等于什么?\",\"options\":[\"AO : OC\",\"BO : OD\",\"③ : ④\"],\"answer\":0,\"explain\":\"① 和② 共顶点 B、底在 AC 上,等高,所以 ①:② = AO:OC。注意方向不要搞反。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 风筝模型:①×③ = ②×④;①:② = AO:OC = ④:③。\n- 知三求一,知比求面。\n- 特殊情形:平行四边形四块相等;梯形两腰上的三角形相等。"
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