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"moduleName": "方程",
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"title": "等量代换",
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"grade": "三~四年级",
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"summary": "用相等的量互相替换,解决比较与换算问题",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们早就会用\"相等\"来比较两个量。本课学习一种重要的思想方法——等量代换:用一个量去替换和它相等的另一个量。它是以后学习方程、等式性质的基础。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:什么是等量代换\n**等量代换**就是用一种量来代替和它相等的另一种量。它背后有三条关于\"等式\"的基本事实:\n1. **传递性**:如果 a=b,b=c,那么 a=c。\n2. 等式两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍然成立。\n3. 等式两边同时乘或除以相同的数或字母(0 除外),等式仍然成立。\n\n做等量代换题的口诀:**找到相等的关系,统一成一个标准,再比较或计算。**\n\n### 例题 1:链式代换(谁等于谁)\n天平一:1 只猫的重量等于 2 只兔子的重量;天平二:1 只兔子的重量等于 3 只甲虫的重量。问:1 只猫相当于几只甲虫的重量?\n\n【思路】猫不能直接换成甲虫,但可以先换成兔子,再把兔子换成甲虫——像传接力棒一样。\n【解答】1 只猫=2 只兔子;每只兔子=3 只甲虫,所以 2 只兔子=2×3=6 只甲虫。因此 1 只猫相当于 6 只甲虫的重量。\n【验算/提醒】回头检查:6 只甲虫=2 只兔子=1 只猫,链条通顺。注意要\"一环一环\"换,不能跳步。\n\n### 例题 2:比轻重(谁最重)\n观察三台天平:① 2 只小鸡和 1 只兔子一样重;② 1 只猫和 1 只兔子加 1 只小鸡一样重;③ 1 只狗和 1 只猫加 1 只兔子一样重。问:谁最重?\n\n【思路】四种动物互相纠缠,最好把它们全部换成同一种动物(比如小鸡)来比较。\n【解答】设小鸡为 1 份。由①兔子=2 只小鸡=2 份;由②猫=兔子+小鸡=2+1=3 份;由③狗=猫+兔子=3+2=5 份。5>3>2>1,所以狗最重,顺序是:狗>猫>兔子>小鸡。\n【验算/提醒】把结果代回三台天平逐一检查都成立。比轻重时一定要先统一标准,不能凭\"谁出现得多\"乱猜。\n\n### 例题 3:饼干问题(代换后计算)\n一天,小东一下子吃了 4 大包外加 14 小包饼干,一共 70 块。如果 3 大包饼干数量和 7 小包饼干数量相同,那么 1 小包饼干有几块?\n\n【思路】大、小两种包装混在一起没法算,先把\"大包\"全部换成\"小包\"(或反过来),变成只有一种包装。\n【解答】由 3 大包=7 小包,两边同时翻倍得 6 大包=14 小包。于是 4 大包+14 小包=4 大包+6 大包=10 大包=70 块,所以 1 大包=7 块。再由 3 大包=7 小包:3×7=21 块=7 小包,所以 1 小包=21÷7=3 块。\n【验算/提醒】验算:4×7+14×3=28+42=70 块,正确。本题也可以把小包换成大包做,结果一样。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 代换不彻底:换了一半就停,式子里还留着两种量。\n- 不统一标准就比较多少,得出错误结论。\n- 倍数关系搞反:3 大包=7 小包,说明 1 大包比 1 小包多,而不是少。\n- 算完不验算,链条中某一环换错也发现不了。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"如果 ○=△+△,△=□+□,那么 ○ 等于几个 □?\",\"options\":[\"2 个\",\"4 个\",\"6 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"把 △ 换成 □+□:○=△+△=(□+□)+(□+□)=4 个 □。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 △=○+○,且 ○=3,那么 △=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"把 ○ 换成 3:△=3+3=6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 只鹅的重量等于 2 只鸭的重量,1 只鸭的重量等于 3 只小鸡的重量。1 只鹅等于几只小鸡的重量?\",\"options\":[\"5 只\",\"6 只\",\"8 只\"],\"answer\":1,\"explain\":\"鹅=2 鸭=2×3 小鸡=6 只小鸡。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"如果 a=b,b=c,那么 a=c。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等量的传递性,相等的量可以层层传递。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"等量代换就是把一个量随便换成另一个量。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须换成和它相等的量,否则结果就错了。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 大包饼干等于 2 小包饼干。5 大包加 4 小包一共 56 块,那么 1 小包饼干有几块?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"5 大包=10 小包,10+4=14 小包=56 块,所以 1 小包=56÷14=4 块。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个苹果与 6 个橘子一样重,2 根香蕉与 1 个苹果一样重。1 根香蕉与几个橘子一样重?\",\"options\":[\"1 个\",\"2 个\",\"3 个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 苹果=6 橘子,所以 1 苹果=2 橘子;2 香蕉=1 苹果=2 橘子,所以 1 香蕉=1 橘子。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"如果 □+□+□=18,○=□+□,那么 ○=?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"□=18÷3=6,○=6+6=12。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2 头小猪和 1 只羊一样重,那么 1 只羊一定比 1 头小猪重。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。羊=2 头小猪,当然比 1 头小猪重。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小东吃了 4 大包加 14 小包饼干共 70 块,已知 3 大包和 7 小包一样多。1 小包饼干有几块?\",\"options\":[\"3 块\",\"4 块\",\"5 块\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 大包=7 小包,所以 6 大包=14 小包;4 大包+14 小包=4 大包+6 大包=10 大包=70 块,1 大包=7 块;7 小包=3 大包=21 块,1 小包=3 块。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 等量代换:用相等的量互相替换,是代数思想的基础。\n- 三条基本事实:传递性;两边同加同减;两边同乘同除(0 除外)。\n- 链式代换要一环一环换;比轻重先统一标准。\n- 做完记得代回原题验算。\n"
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"id": "eq-02",
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"title": "用字母表示数:乘法简写与化简",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "掌握含字母式子的简写规则,会正确化简",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一二年级起我们就和数字打交道。从本课起,我们学习**用字母表示数**——这是从算术走向代数的第一步。本课先学会含字母乘法式子的简写与化简。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:含字母式子的简写规则\n用含有字母的式子可以表示数量关系。书写时有四条规则:\n1. 当字母的值确定时,含有字母的式子的值也随之确定。\n2. 字母与字母相乘,乘号可以记作\"·\",也可以**省略不写**,如 a×b=ab。\n3. 数字与字母相乘,乘号也可以省略,**一般把数字写在字母前面**,如 3×a=3a。\n4. 几个相同的数相乘,可以简写成这个数的几次方,如 a×a=a²。\n\n### 例题 1:基础简写\n参照下列格式,化简 3×a、a×b、(a+b)×2。\n\n【思路】按规则:省略乘号、数字放前面、数字乘进括号。\n【解答】3×a=3·a=3a;a×b=a·b=ab;(a+b)×2=2·(a+b)=2a+2b(用乘法分配律把 2 乘进括号)。\n【验算/提醒】(a+b)×2 容易写成 a+2b——漏乘了 a。括号前是数字时,每一项都要乘。\n\n### 例题 2:多个字母与数字混乘\n化简:1×b×d×19 和 a×2×a×b。\n\n【思路】乘法有交换律,先把数字归拢、相同字母归拢,再按规则简写。\n【解答】1×b×d×19=19bd(1 乘任何数不变,直接省略);a×2×a×b=2×a×a×b=2a²b。\n【验算/提醒】a×a 是 a²(平方),不是 2a。2a 表示 a+a,a² 表示 a×a,两者完全不同。\n\n### 例题 3:加法与乘法的对比\n化简:a+a+a 和 a×a。\n\n【思路】相同字母相加,个数作系数;相同字母相乘,写成平方。\n【解答】a+a+a=3a(3 个 a 相加);a×a=a²。\n【验算/提醒】取 a=4 检验:3a=12,而 a²=16,确实不同。\n\n### 课堂过关:化简下面各题(先自己做,再对答案)\n1. a×5=5a\n2. a×12=12a\n3. w×1=w\n4. n×m=mn\n5. a×b×x=abx\n6. h×g=gh\n7. 1×b×d×19=19bd\n8. a×2×a×b=2a²b\n9. a+a+a=3a\n10. a×a=a²\n11. 3(a+2b)=3a+6b\n12. a×b+c=ab+c\n13. 28×h+k×9k=28h+9k²\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 数字写在字母后面:a×5 写成 a5,应写 5a。\n- 1×b 写成 1b,系数 1 必须省略,写 b。\n- 把 a+a 当成 a²:相加得 2a,相乘才是 a²。\n- 数字乘括号时漏乘其中一项:3(a+2b)≠3a+2b。\n- k×9k 漏掉一个 k,写成 9k,应是 9k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a×5=?\",\"answers\":[\"5a\"],\"explain\":\"数字与字母相乘省略乘号,数字写在字母前面,得 5a。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a×12=?\",\"answers\":[\"12a\"],\"explain\":\"省略乘号,数字在前,得 12a。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:w×1=?\",\"answers\":[\"w\"],\"explain\":\"任何数乘 1 等于它本身,1 可以省略,得 w。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:n×m=?(按字母顺序写)\",\"answers\":[\"mn\"],\"explain\":\"字母与字母相乘省略乘号,习惯按字母表顺序写成 mn。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 a×b×x 的结果是?\",\"options\":[\"abx\",\"a+b+x\",\"3abx\"],\"answer\":0,\"explain\":\"三个字母相乘,省略乘号写成 abx;a+b+x 是加法,3abx 是相加才有的系数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a+a+a=?\",\"answers\":[\"3a\"],\"explain\":\"3 个 a 相加等于 3a。注意相加与相乘不同。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"a×a 等于?\",\"options\":[\"2a\",\"a²\",\"a+a\"],\"answer\":1,\"explain\":\"两个相同的数相乘写成它的平方:a×a=a²。2a 表示 a+a。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 1×b×d×19 的结果是?\",\"options\":[\"19bd\",\"1bd19\",\"bd19\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 可以省略,数字写在字母前面,得 19bd。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 a×2×a×b 的结果是?\",\"options\":[\"2a²b\",\"4ab\",\"2ab\"],\"answer\":0,\"explain\":\"用交换律把数字和相同字母放一起:2×a×a×b=2a²b。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"3(a+2b)=3a+2b。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。去括号要用 3 乘括号里的每一项:3(a+2b)=3a+6b,第二项漏乘了。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 字母可以表示数;字母确定后,式子的值也确定。\n- 省略乘号:字母×字母直接写;数字×字母数字在前。\n- 系数 1 省略;相同字母相乘写成平方。\n- 数字乘括号,每一项都要乘。\n"
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"id": "eq-03",
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"title": "用字母表示数量关系与等量关系",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "把生活中的数量关系与等量关系写成式子和方程",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学会了含字母式子的简写。本课进一步:把生活里的**数量关系**和**等量关系**用含字母的式子表示出来——这正是列方程解应用题的准备工作。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1:用字母表示数量关系\n读题时抓住\"谁比谁多/少、一共、剩下\"等关键词,把未知量用字母表示,其余量就能用含字母的式子表示。\n\n**例 1(减法关系)** 薇儿要修一条 a 米长的路,还剩 52 米没有修,已经修了多少米?\n【思路】总量-剩下=已修。\n【解答】已修 (a-52) 米。\n【验算/提醒】(a-52)+52=a,与总长相符。注意不要写成 52-a。\n\n**例 2(和与差)** ① 胖机器人数加瘦机器人数和是 b,胖的是 m,瘦的是多少?② 小明共变出 m 名机器人,胖的 230 名,瘦的多少名?③ 搬砖的机器人有 a 人,运沙子的比搬砖的少 b 人,运沙子的有多少人?共有多少人?\n【思路】和-一部分=另一部分;比谁少就用减法。\n【解答】① 瘦机器人 (b-m) 名;② 瘦机器人 (m-230) 名;③ 运沙子 (a-b) 人,共有 a+(a-b)=(2a-b) 人。\n【验算/提醒】③ 的\"共有\"要把两类相加并合并同类项:a+(a-b)=2a-b,不要只写 a+a-b 就不整理。\n\n**例 3(图形与求值)** 一个正方形的周长是 C,它的边长是多少?\n【解答】边长=C÷4。\n**例 4(求值)** 古董店门前栽了梧桐树和雪松各 x 排,梧桐每排 12 棵,雪松每排 14 棵,共多少棵?当 x=20 时,共多少棵?\n【思路】分别表示再合并;求值就是把字母替换成数。\n【解答】梧桐 12x 棵,雪松 14x 棵,共 12x+14x=26x 棵;当 x=20 时,26×20=520 棵。\n【验算/提醒】代入后式子的值就唯一确定了——这正说明\"字母确定,式子的值也确定\"。\n\n### 概念 2:用字母表示等量关系\n题目里如果存在\"相等\"的关系(花掉+剩下=总数、吃掉+剩下=总量……),就可以把它写成一个**等式**,为列方程做准备。\n\n**例 5** 小亮带了 50 元钱去买肉,买了每斤 8 元的羊肉 x 斤后,还剩 2 元钱。\n【思路】花的钱:8x 元;总钱数-花的=剩的。\n【解答】50-8x=2(也可写成 8x+2=50,意思相同)。\n\n**例 6** 小明买来 3 块牛肉,每块 x 千克,吃掉 40 千克后,还剩 38 千克。\n【解答】3x-40=38。\n\n**例 7** 小刚买了 3 筐白菜、2 筐萝卜,共花了 200 元;买了 5 筐白菜、1 筐萝卜,也花了 200 元。\n【思路】有两种蔬菜,就设两个字母;两次购买给出两个相等关系。\n【解答】设白菜每筐 a 元、萝卜每筐 b 元,得:3a+2b=200 和 5a+b=200。两个未知数、两个等式——这正是后面\"二元一次方程组\"的样子。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 减法关系写反:已修 a 米剩 52 米,写成 52-a。\n- 正方形边长写成 C×4(应是 C÷4,周长才是边长×4)。\n- 求\"共有\"时忘记合并同类项。\n- 求值时忘记把字母替换成给定的数,或代入后算错乘法。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"薇儿要修一条 a 米长的路,还剩下 52 米没有修,已经修了多少米?\",\"answers\":[\"a-52\"],\"explain\":\"总长 a 米减去剩下的 52 米,已修 a-52 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"胖机器人数加上瘦机器人数,和是 b,胖机器人数是 m,瘦机器人数是多少?\",\"answers\":[\"b-m\"],\"explain\":\"和减去胖的就是瘦的:b-m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明共变出 m 名机器人,其中胖机器人 230 名,瘦机器人多少名?\",\"answers\":[\"m-230\"],\"explain\":\"总数 m 减去胖的 230,瘦的是 m-230 名。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"搬砖的机器人有 a 人,运沙子的比搬砖的少 b 人,运沙子的有多少人?\",\"answers\":[\"a-b\"],\"explain\":\"比 a 少 b,就是 a-b 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形的周长是 C,它的边长是多少?\",\"answers\":[\"C÷4\",\"C/4\"],\"explain\":\"正方形周长=边长×4,所以边长=周长÷4,即 C÷4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"古董店前栽了梧桐树和雪松各 x 排,梧桐每排 12 棵,雪松每排 14 棵,共有多少棵?(含字母式子)\",\"answers\":[\"26x\"],\"explain\":\"梧桐 12x 棵,雪松 14x 棵,共 12x+14x=26x 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,当 x=20 时,共有多少棵树?\",\"answers\":[\"520\"],\"explain\":\"把 x=20 代入 26x:26×20=520 棵。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小亮带了 50 元去买每斤 8 元的羊肉 x 斤,还剩 2 元。正确的等量关系式是?\",\"options\":[\"50-8x=2\",\"8x=50+2\",\"50+8x=2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"花掉 8x 元,50-8x=2;它和 8x+2=50 是同一个意思,选项中只有第一个正确。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小明买来 3 块牛肉,每块 x 千克,吃掉 40 千克后还剩 38 千克,可列等式 3x-40=38。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。总重 3x 千克,吃掉 40 剩 38,即 3x-40=38。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小刚买 3 筐白菜、2 筐萝卜共花 200 元。设白菜每筐 a 元、萝卜每筐 b 元,正确的式子是?\",\"options\":[\"3a+2b=200\",\"3a×2b=200\",\"2a+3b=200\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 筐白菜 3a 元,2 筐萝卜 2b 元,加起来 200 元:3a+2b=200。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 找关键词(多、少、和、剩),用字母把量表示出来。\n- 总量=部分+部分;比多少用加减;图形公式要记牢。\n- 几个相同字母相加要合并同类项。\n- 找到\"相等关系\"就能写出等式,这是列方程的关键一步。\n"
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"id": "eq-04",
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"title": "认识方程与等式的性质",
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"grade": "五~六年级",
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"difficulty": 1,
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"summary": "理解方程的意义,会用等式性质解简单方程",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们把等量关系写成了等式。本课正式认识**方程**,学习等式的两条性质,并用它们解简单的方程。方程是小学数学的重要工具,也是小学向初中过渡的重点。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1:方程的定义\n**方程:含有未知数的等式。** 判断要过两关:第一,它必须是等式(有等号);第二,它必须含有未知数。\n- x+5=12:是等式又含未知数,是方程。\n- x+5:没有等号不是等式,不是方程。\n- 5+7=12:是等式但没有未知数,不是方程。\n\n再说两个名词:\n- **元**:方程中未知数的个数。一个未知数叫一元,两个叫二元。\n- **次**:未知数的最高次幂。最高是 1 次叫一次,是 2 次叫二次。\n例如 4x+3=3x+8 是一元一次方程;而 3x²+2y=100 含有 x、y 两个未知数、最高次数是 2,是二元二次方程。\n\n### 概念 2:等式的基本性质\n把等式想象成一架平衡的天平:\n1. **性质一**:等式两边同时加上或减去相同的数,等式仍然成立。\n2. **性质二**:等式两边同时乘或除以一个不是 0 的数,等式仍然成立。\n特别提醒:除以的数**不能是 0**,0 不能作除数。\n\n### 例题 1:两边同减\n解方程:x+5=13。\n【思路】左边多了 +5,两边同时减去 5,把 x 单独留在左边。\n【解答】解:x+5-5=13-5,所以 x=8。\n【验算/提醒】把 x=8 代回:8+5=13,左右相等,正确。\n\n### 例题 2:两边同除\n解方程:3x=18。\n【思路】x 的系数是 3,两边同时除以 3。\n【解答】解:3x÷3=18÷3,所以 x=6。\n【验算/提醒】3×6=18,正确。\n\n### 例题 3:两步解方程\n解方程:4x-6=18。\n【思路】先消掉 -6(两边加 6),再消掉系数 4(两边除以 4)。\n【解答】解:两边加 6 得 4x=24;两边除以 4 得 x=6。\n【验算/提醒】4×6-6=24-6=18,正确。\n\n### 例题 4:解上节课的等量关系\n① 买羊肉:50-8x=2;② 吃牛肉:3x-40=38。\n【思路】① 先把 8x 看成一个整体:50 减去它得 2,所以它等于 48。② 先两边加 40。\n【解答】① 8x=50-2=48,x=48÷8=6(买了 6 斤羊肉)。② 3x=38+40=78,x=78÷3=26(每块牛肉 26 千克)。\n【验算/提醒】① 50-8×6=2,正确。② 3×26-40=38,正确。注意 50-8x=2 中要移的是 8x 这一整项。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把\"含有未知数的式子\"都当方程,忘了必须先是等式。\n- 说\"两边同时除以同一个数\"时漏掉\"0 除外\"。\n- 解 50-8x=2 时,用 50-2 后忘记除以 8,或把减号搞丢。\n- 解完不验算。验算只要把答案代回原方程算一遍。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"含有未知数的式子叫方程。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是含有未知数的等式才叫方程,x+5 不是等式,不是方程。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下列各式中,是方程的是?\",\"options\":[\"x+5=12\",\"x+5\",\"5+7=12\"],\"answer\":0,\"explain\":\"方程要满足两个条件:是等式、含未知数。只有 x+5=12 同时满足。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3x²+2y=100 是几元几次方程?\",\"options\":[\"一元一次\",\"二元二次\",\"二元一次\"],\"answer\":1,\"explain\":\"含 x、y 两个未知数(二元),未知数的最高次数是 2(x²),所以是二元二次方程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"等式两边同时除以同一个数,等式仍然成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。除以的数不能是 0,0 不能作除数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"利用等式性质解方程:x+5=13,x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边同时减去 5:x=13-5=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:3x=18,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边同时除以 3:x=18÷3=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:4x-6=18,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边先加 6:4x=24;再除以 4:x=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:50-8x=2,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"8x=50-2=48,所以 x=48÷8=6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"方程 3x-40=38 的解是 x=26。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。3x=38+40=78,x=78÷3=26;验算 3×26-40=38。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"等式 7+9=16 两边同时加上 10,得到的式子?\",\"options\":[\"仍然成立\",\"不成立\",\"无法判断\"],\"answer\":0,\"explain\":\"等式两边同时加上相同的数,等式仍然成立:17+9=26,即 16+10=26。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 方程=含有未知数的等式;元看未知数个数,次看最高次幂。\n- 性质一:两边同加同减,等式不变。\n- 性质二:两边同乘同除(0 除外),等式不变。\n- 解简单方程:先消加减、再消系数,最后验算。\n"
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"id": "eq-05",
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"title": "解一元一次方程:去括号与移项",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "掌握解方程六步法,会解含括号的一元一次方程",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们用等式性质解了简单方程。本课学习解一元一次方程的完整流程,重点攻克两个易错动作:**去括号**和**移项**。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:解方程的六个步骤\n1. 先写\"解\";\n2. 去分母(有分母时,下节课讲);\n3. 有括号先去括号——利用乘法分配律,特别注意变号;\n4. 移项变号——把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边,移动的项要变号(过桥变号);\n5. 合并同类项——等号对齐书写;\n6. 系数化为 1——两边除以未知数的系数,未知数写在左边。\n\n### 例题 1:移项(两边都有 x)\n解方程:4x+3=3x+8。\n【思路】把含 x 的项都移到左边,常数都移到右边,记住移项要变号。\n【解答】解:移项得 4x-3x=8-3,合并得 x=5。\n【验算/提醒】左边=4×5+3=23,右边=3×5+8=23,相等,正确。\n\n### 例题 2:移项巩固\n解方程:7x-2=4x+13。\n【解答】解:移项得 7x-4x=13+2,合并得 3x=15,系数化为 1 得 x=5。\n【验算/提醒】左边=35-2=33,右边=20+13=33,正确。\n\n### 例题 3:去括号——括号前是减号\n解方程:12-(3x-4)=x。\n【思路】括号前是减号,去掉括号时里面的每一项都要变号:+3x 变 -3x,-4 变 +4。\n【解答】解:去括号得 12-3x+4=x,合并得 16-3x=x;移项得 16=4x,所以 x=4。\n【验算/提醒】左边=12-(12-4)=12-8=4=右边,正确。括号前减号是最容易出错的地方!\n\n### 例题 4:去括号——括号前是加号\n解方程:15x+(30-6x)=39。\n【思路】括号前是加号,直接去括号,各项符号不变。\n【解答】解:去括号得 15x+30-6x=39,合并得 9x+30=39;移项得 9x=9,x=1。\n【验算/提醒】左边=15+(30-6)=15+24=39,正确。\n\n### 例题 5:综合(两边都有括号)\n解方程:2+3(x-26)=42-(x-50)。\n【思路】先分别去括号:左边 3 要用分配律乘两项;右边括号前是减号,里面变号。\n【解答】解:去括号得 2+3x-78=42-x+50,合并得 3x-76=92-x;移项得 3x+x=92+76,合并得 4x=168,x=42。\n【验算/提醒】左边=2+3×16=50;右边=42-(-8)=50,正确。数字大更要一步一步写清楚。\n\n### 例题 6:综合巩固\n解方程:10-2(x-3)=3x+4(x-5)。\n【解答】解:去括号得 10-2x+6=3x+4x-20,合并得 16-2x=7x-20;移项得 16+20=7x+2x,合并得 36=9x,x=4。\n【验算/提醒】左边=10-2×1=8;右边=12+4×(-1)=8,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 括号前是减号时忘记变号:12-(3x-4) 写成 12-3x-4。\n- 分配律漏乘:3(x-26) 写成 3x-26,漏乘了 -26。\n- 移项忘记变号:只移动不变号是最常见的错误。\n- 合并同类项时正负号数错;跳步导致抄错数字。\n- 不写\"解\"、不验算。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:4x+3=3x+8,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:4x-3x=8-3,得 x=5。验算:23=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:7x-2=4x+13,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:7x-4x=13+2,3x=15,x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:12-(3x-4)=x,x=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"去括号(前面是减号,里面变号):12-3x+4=x,16=4x,x=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:15x+(30-6x)=39,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"去括号(前面是加号,不变号):9x+30=39,9x=9,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:5x+7=2x+22,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:5x-2x=22-7,3x=15,x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:6(x-1)=4x+8,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"去括号:6x-6=4x+8;移项:2x=14,x=7。验算:36=36。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:20-(2x+6)=8,x=?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"去括号:20-2x-6=8,即 14-2x=8,2x=6,x=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:3(x+4)=2(x+9),x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"去括号:3x+12=2x+18;移项:x=6。验算:30=30。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"12-(3x-4) 去括号后应得 12-3x-4。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。括号前是减号,括号里每一项都要变号:12-(3x-4)=12-3x+4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"由 4x+3=3x+8 移项得 4x-3x=8-3,这一步是正确的。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。移项要变号(过桥变号):+3 移到右边变 -3,3x 移到左边变 -3x。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 六步法:写解→去分母→去括号→移项→合并→系数化为 1。\n- 括号前是减号,去括号时里面每项都变号。\n- 移项必变号;把 x 的项移到一边、常数移到另一边。\n- 一步一写、最后验算,是避免丢分的最好习惯。\n"
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"id": "eq-06",
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"title": "分数系数方程与比例方程",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "会去分母解分数方程,会交叉相乘解比例方程",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课掌握了去括号与移项。本课解决两类常见方程:**分数系数方程**(分母里有数)和**比例方程**(写成比例形式的方程)。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法 1:分数系数方程——去分母\n解法:等号两边同时乘上所有分母的**最小公倍数**,把分数方程变成整数系数方程,再按上节课的步骤解。\n\n**例 1** 解方程:(1/3)(x-5)=3-(2/3)(x-5)。\n【思路】分母都是 3,两边乘 3;也可以把 (x-5) 看成一个整体。\n【解答】解法一(去分母):两边乘 3 得 x-5=9-2(x-5),去括号得 x-5=9-2x+10,即 x-5=19-2x;移项得 3x=24,x=8。解法二(整体):移项得 (1/3)(x-5)+(2/3)(x-5)=3,合并得 x-5=3,x=8。\n【验算/提醒】x=8 时,(1/3)×3=1;3-(2/3)×3=3-2=1,左右相等。整体观察常常更快。\n\n**例 2** 解方程:(2x-14)/10=1+(7x-2)/3。\n【思路】分母是 10 和 3,最小公倍数 30。注意:常数 1 也要乘 30;分数线有括号作用,分子是多项式时要添括号。\n【解答】两边乘 30:3(2x-14)=30+10(7x-2)。去括号:6x-42=30+70x-20,即 6x-42=70x+10。移项:6x-70x=10+42,-64x=52,系数化为 1:x=-13/16。\n【验算/提醒】代入两边都得 -25/16,正确。答案可以是负分数,不要因为\"难看\"就怀疑步骤——只要每步都对,就大胆写。\n\n**例 3** 解方程:(1/3)×[(1/3)(9-x)-x]-x=(1/9)(9-x)。\n【思路】分母有 3 和 9,两边乘 9;中括号里先化简。\n【解答】先算中括号里:(1/3)(9-x)=3-x/3,所以中括号内是 3-x/3-x=3-4x/3。原方程左边=(1/3)(3-4x/3)-x=1-4x/9-x=1-13x/9;右边=(1/9)(9-x)=1-x/9。得 1-13x/9=1-x/9,两边减 1:-13x/9=-x/9,即 -13x=-x,-12x=0,x=0。\n【验算/提醒】x=0 时,左边=(1/3)×[(1/3)×9]-0=1,右边=(1/9)×9=1,正确。x=0 也是合法的答案。\n\n### 方法 2:比例方程——交叉相乘\n比例的基本性质:在 a:b=c:d 中,**内项积=外项积**,即 b×c=a×d。解比例方程就用交叉相乘把它变成普通方程。\n\n**例 4** 解方程:(2x+4):2=(7x-6):3。\n【解答】交叉相乘:3(2x+4)=2(7x-6)。去括号:6x+12=14x-12。移项:12+12=14x-6x,24=8x,x=3。\n【验算/提醒】左边=10:2=5,右边=15:3=5,比值相等,正确。\n\n**例 5** 解方程:((2/5)x+2):3.5=(8/7)x:(1/2)。\n【思路】含小数和分数,先把 3.5 写成 7/2 再交叉相乘。\n【解答】交叉相乘:((2/5)x+2)×(1/2)=(8/7)x×3.5。左边=x/5+1;右边=(8/7)×(7/2)×x=4x。得 x/5+1=4x,移项:1=4x-x/5=19x/5,所以 x=5/19。\n【验算/提醒】代入检验,两边都等于 80/133,正确。小数化分数、分数约分,一步步来。\n\n**例 6** 解方程:5(x-3)/6=2(x+1)/3。\n【思路】它可以看成分数方程(两边乘 6),也可以看成比例(交叉相乘),殊途同归。\n【解答】两边乘 6:5(x-3)=4(x+1)。去括号:5x-15=4x+4。移项:x=19。\n【验算/提醒】左边=5×16/6=40/3,右边=2×20/3=40/3,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 去分母时漏乘不含分母的项(如常数 1)。\n- 分数线当括号用:分子是多项式,去分母后忘记加括号。\n- 交叉相乘时把内项、外项配错对。\n- 小数不化分数直接硬算,容易出错。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:(1/3)(x-5)=3-(2/3)(x-5),x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边乘 3:x-5=9-2(x-5),解得 x=8;也可把 (x-5) 看整体直接合并。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:5(x-3)/6=2(x+1)/3,x=?\",\"answers\":[\"19\"],\"explain\":\"两边乘 6:5(x-3)=4(x+1),5x-15=4x+4,x=19。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解比例方程:(2x+4):2=(7x-6):3,x=?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"交叉相乘:3(2x+4)=2(7x-6),6x+12=14x-12,8x=24,x=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:x/2+3=7,x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边减 3:x/2=4;两边乘 2:x=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:(x-1)/2=(x+2)/3,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"交叉相乘(或乘 6):3(x-1)=2(x+2),3x-3=2x+4,x=7。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解比例:3:5=x:10,x=?\",\"options\":[\"6\",\"15\",\"3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"内项积=外项积:5x=3×10=30,x=6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"去分母时,不含分母的项(比如常数 1)可以不乘最小公倍数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。等式两边的每一项都要乘,漏乘常数项是最常见的错误。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"在比例 2:3=4:6 中,内项积 3×4=12 等于外项积 2×6=12。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比例的基本性质:内项积等于外项积,这正是交叉相乘的依据。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:2x/3=4,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边乘 3:2x=12;除以 2:x=6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"方程 x/4=9/12 的解是?\",\"options\":[\"3\",\"4\",\"9\"],\"answer\":0,\"explain\":\"两边乘 4:x=9×4/12=3。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分数系数方程:两边同乘分母的最小公倍数,每项都要乘。\n- 分数线有括号作用,分子是多项式要添括号。\n- 比例方程:交叉相乘,内项积=外项积。\n- 遇到小数先化分数;解完一定要验算。\n"
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"id": "eq-07",
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"title": "繁分数方程",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 3,
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"summary": "会化简繁分数,会解分子分母中含分数的方程",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了去分母和交叉相乘。本课挑战\"分数里的分数\"——**繁分数**,以及含繁分数的方程。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:繁分数与化简方法\n**繁分数**:分子或分母中还含有分数的分数,形式如 (a/b)/(c/d)。繁分数就像\"俄罗斯套娃\"——分数里面还藏着分数。\n化简口诀:**找准最小公倍数,上下一齐乘,分数变整数。**\n两种化简方法:\n1. **分子分母同乘法**:分子和分母同时乘所有内部分母的最小公倍数,消去内部分数。\n2. **逐步化简法**:先分别化简分子和分母,再做除法(除以一个数等于乘它的倒数)。\n本质:把\"分数中的分数\"变成整数或简单分数。\n\n### 例题 1:同乘法化简\n化简:((1/2)+(1/3))/((1/4)+(1/6))。\n【思路】内部分母是 2、3、4、6,最小公倍数是 12,分子分母同乘 12。\n【解答】分子×12:6+4=10;分母×12:3+2=5。所以原式=10/5=2。\n【验算/提醒】逐步法核对:分子=5/6,分母=5/12,(5/6)÷(5/12)=2,一致。\n\n### 例题 2:含未知数的繁分数方程\n解方程:((x/2)+1)/((x/3)-1)=3。\n【思路】先用同乘法去掉内部分数,再用交叉相乘解方程。\n【解答】分子分母同乘 6:(3x+6)/(2x-6)=3。交叉相乘:3x+6=3(2x-6)=6x-18。移项:6+18=6x-3x,24=3x,x=8。\n【验算/提醒】x=8 时,分子=8/2+1=5,分母=8/3-1=5/3,5÷(5/3)=3,正确。\n\n### 例题 3:多层繁分数\n化简:(1+1/(1+1/2))/(1-1/(1+1/2))。\n【思路】多层繁分数从最内层开始化简。\n【解答】最内层:1+1/2=3/2;于是 1/(3/2)=2/3。代入外层:(1+2/3)/(1-2/3)=(5/3)/(1/3)=(5/3)×3=5。\n【验算/提醒】每化简一层就检查一次,避免抄错。\n\n### 例题 4:先化简再解方程\n解方程:((x+1)/2)/((x-1)/3)=2。\n【思路】繁分数的\"分数线\"就是除法,先把除法写成乘法。\n【解答】((x+1)/2)×(3/(x-1))=2,即 3(x+1)/(2(x-1))=2。交叉相乘:3(x+1)=4(x-1),3x+3=4x-4,x=7。\n【验算/提醒】x=7:分子=(8)/2=4,分母=(6)/3=2,4/2=2,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 同乘法只乘了分子,忘了分母也要同时乘。\n- 最小公倍数找错,内部分数消不干净。\n- 多层繁分数化简顺序搞反,应从最内层开始。\n- 分数除法忘记\"变乘倒数\"。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简繁分数:((2/3)+(1/4))/((5/6)-(1/3))=?\",\"answers\":[\"11/6\"],\"explain\":\"分子=8/12+3/12=11/12,分母=5/6-2/6=1/2,(11/12)÷(1/2)=11/6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:(1-1/3)/(1+1/3)=?\",\"answers\":[\"1/2\",\"0.5\"],\"explain\":\"分子=2/3,分母=4/3,(2/3)÷(4/3)=(2/3)×(3/4)=1/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:((x+1)/2)/((x-1)/3)=2,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"除法变乘法:((x+1)/2)×(3/(x-1))=2,即 3(x+1)=4(x-1),3x+3=4x-4,x=7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:((2x/3)-(1/2))/((x/4)+(1/6))=4,x=?\",\"answers\":[\"-7/2\",\"-3.5\"],\"explain\":\"分子分母同乘 12:(8x-6)/(3x+2)=4,交叉相乘 8x-6=12x+8,-4x=14,x=-7/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简多层繁分数:(2+1/(3+1/2))/(2-1/(3+1/2))=?\",\"answers\":[\"4/3\"],\"explain\":\"最内层 3+1/2=7/2,1÷(7/2)=2/7,于是 (2+2/7)/(2-2/7)=(16/7)/(12/7)=4/3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 (1/2)/(1/4)=?\",\"options\":[\"2\",\"1/8\",\"8\"],\"answer\":0,\"explain\":\"(1/2)÷(1/4)=(1/2)×4=2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"繁分数的分子和分母同时乘同一个非零数,繁分数的值不变。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这正是“分子分母同乘法”化简繁分数的依据。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 ((1/3)+(1/6))/(1/2)=?\",\"options\":[\"1\",\"1/2\",\"2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"分子=1/3+1/6=1/2,(1/2)÷(1/2)=1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"化简多层繁分数时,应从最外层开始算起。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。应从最内层开始,一层一层向外化简。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:(3/4)/(1/8)=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"(3/4)÷(1/8)=(3/4)×8=6。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 繁分数=分数里还有分数;口诀:找准最小公倍数,上下一齐乘。\n- 两种化简法:同乘法、逐步化简法,本质都是把分数变整数。\n- 多层繁分数从最内层向外化。\n- 含未知数时:先化简繁分数,再交叉相乘解方程。\n"
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"id": "eq-08",
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"title": "二元一次方程组:代入消元法",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "认识方程组,会用代入消元法把二元化为一元",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n前面学的方程都只有一个未知数。从本课起学习**二元一次方程组**:两个未知数、两个方程。核心思想只有一个词——**消元**:把\"二元\"变成我们会解的\"一元\"。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:什么是二元一次方程组\n含有两个未知数、每个未知数的次数都是 1 的方程组,叫二元一次方程组。方程组的解,是**同时**满足两个方程的一组值。一个方程往往有无穷多组解,两个方程联立才能唯一确定。\n\n### 方法:代入消元法四步\n1. 选一个系数比较简单的方程,把其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来;\n2. 把这个表达式代入另一个方程,消去一个未知数;\n3. 解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;\n4. 把求得的值代回第 1 步的表达式,求出另一个未知数的值。\n\n### 例题 1:直接代入\n解方程组:y=2x,且 3x+y=5。\n【思路】第一个方程已经把 y 表示成了 2x,直接代入第二个方程。\n【解答】把 y=2x 代入 3x+y=5:3x+2x=5,5x=5,x=1。代回 y=2x 得 y=2。所以 x=1,y=2。\n【验算/提醒】两个方程都要验:3×1+2=5,正确。\n\n### 例题 2:代入含括号的表达式\n解方程组:y=2x-3,且 x+2y=4。\n【思路】把 y=2x-3 整体代入 x+2y=4,注意 2y=2(2x-3),整个表达式要加括号。\n【解答】x+2(2x-3)=4,去括号:x+4x-6=4,5x=10,x=2。代回:y=2×2-3=1。所以 x=2,y=1。\n【验算/提醒】x+2y=2+2=4,正确。代入时忘记加括号是最常见的错误。\n\n### 例题 3:先变形再代入\n解方程组:x-y=2,且 2x+y=7。\n【思路】两个方程都没有现成的\"y=…\"形式,先把简单的变一下:由 x-y=2 得 x=y+2(用 y 表示 x)。\n【解答】把 x=y+2 代入 2x+y=7:2(y+2)+y=7,2y+4+y=7,3y=3,y=1。代回 x=y+2 得 x=3。所以 x=3,y=1。\n【验算/提醒】x-y=3-1=2,2x+y=6+1=7,两个方程都满足。选哪个未知数表示都行,挑系数是 1 或 -1 的那个最省事。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把表达式代回它自己所在的那个方程,得到恒等式,白白绕圈——要代入**另一个**方程。\n- 代入时忘记给整个表达式加括号:x+2(2x-3) 写成 x+2×2x-3。\n- 只求出一个未知数就停,忘了回代求另一个。\n- 检验只验一个方程,要两个都验。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=2x 且 3x+y=5,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"把 y=2x 代入 3x+y=5:3x+2x=5,5x=5,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"把 x=1 代回 y=2x,得 y=2。检验:3×1+2=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=2x-3 且 x+2y=4,x=?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"代入:x+2(2x-3)=4,5x-6=4,x=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"y=2×2-3=1。检验:2+2×1=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:x-y=2 且 2x+y=7,y=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"由第一式 x=y+2,代入第二式:2(y+2)+y=7,3y=3,y=1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"代入消元法的核心思想是?\",\"options\":[\"消元:把二元化为一元\",\"把两个方程相加\",\"给两个方程去分母\"],\"answer\":0,\"explain\":\"通过把一个未知数用另一个表示并代入,消去一个未知数,就回到会解的一元一次方程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把 y=2x 代入 3x+y=5,可以得到 3x+2x=5。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。用 2x 替换 y,方程里就只剩 x 了。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解方程组时求出一个未知数的值,就可以直接作答了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。还要把求得的值代回,求出另一个未知数,两个都求出并检验才能作答。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=x+1 且 x+y=9,x=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"代入:x+(x+1)=9,2x=8,x=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"y=4+1=5。检验:4+5=9。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 二元一次方程组的解,是同时满足两个方程的一组值。\n- 代入消元:表示→代入→解一元方程→回代。\n- 消元是总纲:把二元化为一元。\n- 解完两个方程都要验算。\n"
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},
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"id": "eq-09",
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"title": "二元一次方程组:加减消元法",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "会用加减消元法解方程组,并会整体相加巧解对称方程组",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了代入消元。本课学习另一种消元方式——**加减消元**:把两个方程相加或相减,直接消掉一个未知数。最后再学一招\"整体相加\"巧解对称方程组。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法:加减消元法\n依据是等式性质:两个等式相加或相减,结果仍是等式。\n- 某个未知数系数**相同**:两式相减消它;系数**互为相反数**:两式相加消它。\n- 系数都不同:先给方程两边乘适当的数,把某个未知数的系数\"凑齐\",再加减。\n\n### 例题 1:凑系数后相减\n解方程组:3x+4y=11,且 2x+y=4。\n【思路】y 的系数是 4 和 1,把第二式乘 4,让 y 的系数都变成 4,再相减。\n【解答】第二式×4:8x+4y=16。减去第一式 (8x+4y)-(3x+4y)=16-11,得 5x=5,x=1。把 x=1 代入 2x+y=4:2+y=4,y=2。所以 x=1,y=2。\n【验算/提醒】3×1+4×2=11,正确。x 的系数也不难凑,但挑容易凑的未知数消。\n\n### 例题 2:答案是分数\n解方程组:2x-y=5,且 x+2y=4。\n【思路】y 的系数是 -1 和 2,把第一式乘 2 得 -2y,与第二式的 +2y 相加可消去 y。\n【解答】第一式×2:4x-2y=10。加第二式:5x=14,x=14/5。代入 2x-y=5:y=2x-5=28/5-25/5=3/5。所以 x=14/5,y=3/5。\n【验算/提醒】2×(14/5)-3/5=25/5=5,14/5+2×(3/5)=20/5=4,正确。答案可以是分数,不必怀疑。\n\n### 例题 3:两边都要乘(复杂消元)\n解方程组:2x+5y=31,且 3x+2y=19。\n【思路】消 y:5 和 2 的最小公倍数是 10,第一式乘 2、第二式乘 5,把 y 的系数都凑成 10。\n【解答】第一式×2:4x+10y=62;第二式×5:15x+10y=95。相减:11x=33,x=3。代入 2x+5y=31:6+5y=31,5y=25,y=5。所以 x=3,y=5。\n【验算/提醒】3×3+2×5=19,正确。系数凑齐是加减消元的基本功。\n\n### 延伸:整体相加,巧解对称方程组\n有些方程组里未知数\"轮换出现\"、左右对称,逐元硬消很麻烦,**把所有方程相加**往往一步破题。\n\n**例 4** 解方程组:3a+b+c=69,a+3b+c=75,a+b+3c=81。\n【思路】三式相加,每个未知数都出现 1+1+3=5 次。\n【解答】相加:5(a+b+c)=225,所以 a+b+c=45。把第一式改写成 2a+(a+b+c)=69,得 2a=24,a=12;同理 2b=75-45=30,b=15;2c=81-45=36,c=18。所以 a=12,b=15,c=18。\n【验算/提醒】代入三个原方程都成立。\n\n**例 5** 解方程组:x+y-z=4,x+z-y=6,y+z-x=8。\n【思路】三式相加,正负抵消后正好剩 x+y+z。\n【解答】相加:x+y+z=18。第一式即 (x+y+z)-2z=4,得 18-2z=4,z=7;第二式得 18-2y=6,y=6;第三式得 18-2x=8,x=5。所以 x=5,y=6,z=7。\n【验算/提醒】5+6-7=4,正确。\n\n**例 6** 解方程组:2x+y+z=7,x+2y+z=8,x+y+2z=9。\n【解答】三式相加:4(x+y+z)=24,x+y+z=6。第一式=x+(x+y+z)=7,得 x=1;第二式得 y=2;第三式得 z=3。所以 x=1,y=2,z=3。\n【验算/提醒】每个方程代入检验都成立。方法总结:全部相加求\"和\",再用\"和\"改写每个方程。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 给方程乘数时漏乘常数项。\n- 该加还是该减没想清楚:系数相同用减,互为相反数用加。\n- 求出一个未知数后代入复杂的方程,容易算错,尽量代入简单的原方程。\n- 对称方程组逐个硬消,费时还易错——先观察结构。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:x+y=10 且 x-y=2,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两式相加:2x=12,x=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"x=6 代入 x+y=10 得 y=4;检验 6-4=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:3x+4y=11 且 2x+y=4,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"第二式乘 4 得 8x+4y=16,减第一式:5x=5,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:2x+5y=31 且 3x+2y=19,y=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"第一式乘 2、第二式乘 5 再相减消去 y,先求得 x=3,再代入得 y=5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解方程组:2x-y=5 且 x+2y=4,x=?\",\"options\":[\"14/5\",\"2\",\"1\"],\"answer\":0,\"explain\":\"第一式乘 2:4x-2y=10,与第二式相加:5x=14,x=14/5(此时 y=3/5)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个方程中某个未知数的系数互为相反数时,把两个方程相加就能消去这个未知数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。例如 +2y 与 -2y 相加得 0,正好消去。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"加减消元时给方程两边乘一个数,只需要乘含未知数的项。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。等式两边每一项都要乘,常数项也不能漏。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"方程组 3a+b+c=69、a+3b+c=75、a+b+3c=81,三个方程相加,可得 a+b+c=?\",\"answers\":[\"45\"],\"explain\":\"相加得 5(a+b+c)=225,所以 a+b+c=45。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,a=?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"第一式可写成 2a+(a+b+c)=69,即 2a=69-45=24,a=12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"方程组 x+y-z=4、x+z-y=6、y+z-x=8 中,z=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"三式相加得 x+y+z=18;第一式即 (x+y+z)-2z=4,18-2z=4,z=7。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 加减消元:凑系数,同号相减、异号相加。\n- 消哪个未知数,看谁的系数好凑。\n- 轮换对称的方程组,把所有方程相加,利用整体求和。\n- 解方程组=消元:二元→一元;解完要验算。\n"
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"id": "eq-10",
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"title": "列一元一次方程解应用题",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "按审设列解答五步法,把实际问题转化为方程求解",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们已经会解各种一元一次方程。本课学习方程最重要的用途——**解应用题**,掌握\"审、设、列、解、答\"五步法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法:五步法\n1. **审**:认真读题,弄清已知量和未知量,找出等量关系(和差、倍比、相等)。\n2. **设**:合理选择未知数。可以直接设元(问什么设什么),也可以间接设元(设小不设大、设分不设总)。\n3. **列**:利用等量关系列出方程。\n4. **解**:求出未知数的值。\n5. **答**:对方程的解进行检查验算,针对问题作答。\n\n### 例题 1:文字翻译题\nA 的 5 倍与 20 的和是 9 的 15 倍,求 A。\n【思路】把中文逐词翻译成数学:\"A 的 5 倍\"=5A,\"与 20 的和\"=+20,\"是\"=等号,\"9 的 15 倍\"=9×15。\n【解答】解:设所求数为 A。5A+20=9×15,即 5A+20=135,5A=115,A=23。\n【验算/提醒】5×23+20=135=9×15,正确。翻译时\"和、差、倍、是\"四个词最关键。\n\n### 例题 2:稍复杂的翻译\n从 50 里面减去 x 的 2 倍的差,与 x 的 3 倍加 5 的和相等,求 x。\n【思路】\"……的差\"指 50-2x;\"……的和\"指 3x+5;两者\"相等\"。\n【解答】解:50-2x=3x+5。移项:50-5=3x+2x,45=5x,x=9。\n【验算/提醒】50-18=32,27+5=32,相等,正确。\n\n### 例题 3:完整五步示范(油桶问题)\n甲乙两桶油质量相等,甲桶取走 16 千克油,乙桶加入 14 千克油后,乙桶油的质量是甲桶油的质量的 4 倍。请问甲桶原来有油多少千克?\n【思路】审:原来两桶相等,变化后乙是甲的 4 倍。设:问什么设什么,设原来各 x 千克。等量关系:变化后的乙=4×变化后的甲。\n【解答】解:设甲桶原来有油 x 千克,则乙桶原来也是 x 千克。列方程:x+14=4(x-16)。去括号:x+14=4x-64。移项:14+64=4x-x,78=3x,x=26。验算:变化后甲 26-16=10 千克,乙 26+14=40 千克,40=4×10,符合题意。答:甲桶原来有油 26 千克。\n【验算/提醒】倍数句\"乙是甲的 4 倍\",标准量是甲,等式是乙=甲×4,千万别写反。\n\n### 例题 4:设未知数的技巧\n爸爸今年 40 岁,儿子 12 岁,几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍?\n【思路】问\"几年后\",就设 x 年后;等量关系:x 年后爸爸的岁数=3×x 年后儿子的岁数。\n【解答】解:设 x 年后爸爸年龄是儿子的 3 倍。40+x=3(12+x),去括号:40+x=36+3x,移项:40-36=3x-x,4=2x,x=2。验算:2 年后爸爸 42 岁、儿子 14 岁,42=3×14,正确。答:2 年后。\n【验算/提醒】年龄问题中两人同时长 1 岁,设\"几年后\"时两边都要加 x。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不认真审题就设未知数,等量关系找错。\n- 倍数关系写反:\"乙是甲的 4 倍\"写成甲=4乙。\n- 设了未知数却忘了单位,作答时漏写单位和\"答\"。\n- 解完不验算,尤其不检查是否符合实际意义。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"A 的 5 倍与 20 的和是 9 的 15 倍,求 A。A=?\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"列方程 5A+20=9×15=135,5A=115,A=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 50 里面减去 x 的 2 倍的差,与 x 的 3 倍加 5 的和相等,求 x。x=?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"列方程 50-2x=3x+5,45=5x,x=9。检验:32=32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两桶油质量相等。甲桶取走 16 千克、乙桶加入 14 千克后,乙桶是甲桶的 4 倍。甲桶原来有油多少千克?\",\"answers\":[\"26\"],\"explain\":\"设原来各 x 千克:x+14=4(x-16),解得 x=26。检验:40=4×10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"列方程解应用题的五步法,正确顺序是?\",\"options\":[\"审、设、列、解、答\",\"审、列、设、解、答\",\"设、审、列、解、答\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先审题找等量关系,再设未知数、列方程、解方程、验算作答。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"设未知数只能“问什么设什么”,不能间接设。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。可以直接设元,也可以间接设元,比如设小不设大、设分不设总。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"爸爸今年 40 岁,儿子 12 岁。几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"设 x 年后:40+x=3(12+x),40+x=36+3x,2x=4,x=2。检验:42=3×14。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"油桶问题中,设甲桶原来有油 x 千克,正确的方程是?\",\"options\":[\"x+14=4(x-16)\",\"x-16=4(x+14)\",\"x+14=4x-16\"],\"answer\":0,\"explain\":\"乙桶变为 x+14,甲桶变为 x-16,乙是甲的 4 倍:x+14=4(x-16)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解完方程后,要检验结果是否符合题意,再作答。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。“答”之前必须验算:既验方程,也验实际意义。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数的 3 倍减去 7 等于 20,这个数是多少?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"设这个数为 x:3x-7=20,3x=27,x=9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把“乙的质量是甲的 4 倍”写成等式,正确的是?\",\"options\":[\"乙=甲×4\",\"甲=乙×4\",\"乙=甲+4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"是“谁的 4 倍”,谁就是标准量,乙=甲×4。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 五步法:审、设、列、解、答,一步都不能少。\n- 设元灵活:可以直接设,也可以间接设(设小不设大、设分不设总)。\n- 列方程的关键是把中文\"翻译\"成等量关系。\n- 解完必须验算再作答。\n"
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"id": "eq-11",
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"title": "方程组应用:和差倍分与配套",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 2,
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"summary": "找两个等量关系列方程组,解和差倍分与配套问题",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n会解方程组还不够,要会用它解决实际问题。本课学习两类经典题型:**和差倍分问题**与**配套问题**。记住总原则:两个未知数,就要从题目里找出**两个**等量关系。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:和差倍分问题\n小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了 1 支笔和 2 盒笔芯,用了 18 元;小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯,用了 28 元。每支中性笔和每盒笔芯的价格分别是多少?\n【思路】两个未知数:笔的单价、笔芯的单价;两个等量关系:两人各自的总价。\n【解答】解:设每支中性笔 x 元,每盒笔芯 y 元。列方程组:x+2y=18,2x+3y=28。第一式×2:2x+4y=36;减第二式:y=8。代回:x=18-2×8=2。答:每支中性笔 2 元,每盒笔芯 8 元。\n【验算/提醒】小锦:2+16=18;小丽:4+24=28,都正确。\n\n### 方法:配套问题\n配套问题的关键:找到**配套比例**,写成等式(比例方程可用交叉相乘:内项积=外项积)。例如 1 张桌子配 4 把椅子,就是 椅子数=4×桌子数。\n\n### 例题 2:桌椅配套\n某木工有 22 人,一个工人每天可加工 3 张桌子或 10 只椅子,1 张桌子与 4 只椅子配套,如何安排工作?\n【思路】等量关系一:人数共 22;等量关系二:椅子总数=4×桌子总数。\n【解答】解:设 x 人做桌子,y 人做椅子。x+y=22;桌子共 3x 张,椅子共 10y 只,配套要求 10y=4×3x=12x,即 y=1.2x。代入:x+1.2x=22,2.2x=22,x=10,y=12。答:安排 10 人做桌子、12 人做椅子。\n【验算/提醒】桌子 30 张、椅子 120 只,120=4×30,正好配套。\n\n### 例题 3:植树配套(坑与树配套)\n某小学组织了 170 名学生参加义务植树,每个男生平均每天挖 3 个树坑,每个女生平均每天种 7 棵树,正好每个树坑种上一棵树。男生和女生各有多少人?\n【思路】\"一坑一种\"说明:树坑总数=树的总数。\n【解答】解:设男生 b 人,女生 g 人。b+g=170;3b=7g。由第二式 b=7g/3,代入第一式:7g/3+g=170,10g/3=170,g=51,b=119。答:男生 119 人,女生 51 人。\n【验算/提醒】坑:119×3=357;树:51×7=357,正好一一对应。\n\n### 例题 4:盒身盒底配套\n现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮可做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。问分别用多少张铁皮做盒身和盒底?\n【思路】等量关系一:铁皮共 190 张;等量关系二:盒底数=2×盒身数。\n【解答】解:设 x 张做盒身,y 张做盒底。x+y=190;盒身 8x 个,盒底 22y 个,22y=2×8x=16x,即 8x=11y,y=8x/11。代入:x+8x/11=190,19x/11=190,x=110,y=80。答:110 张做盒身,80 张做盒底。\n【验算/提醒】盒身 880 个,盒底 1760 个,1760=2×880,正好配成 880 个完整盒子。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 只列出一个方程就想解两个未知数。\n- 配套关系写反:椅子是桌子的 4 倍,写成桌子是椅子的 4 倍。\n- 混淆\"每人产量\"与\"总产量\":总产量=人数×每人产量。\n- 求出人数后不检验是否正好配套。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小锦买 1 支中性笔和 2 盒笔芯用了 18 元;小丽买 2 支笔和 3 盒笔芯用了 28 元。每支中性笔多少元?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"设笔 x 元、笔芯 y 元:x+2y=18,2x+3y=28。解得 x=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,每盒笔芯多少元?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两式处理得 y=8。检验:2+2×8=18,2×2+3×8=28。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"木工 22 人,每人每天可做 3 张桌子或 10 只椅子,1 张桌子配 4 只椅子。应安排多少人做桌子?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"设 x 人做桌子:y=22-x,配套 4×3x=10y,解得 x=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,应安排多少人做椅子?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"22-10=12 人。检验:30 张桌子、120 只椅子,正好 1:4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"170 名学生植树,男生每人挖 3 个树坑,女生每人种 7 棵树,正好一坑一种。男生有多少人?\",\"answers\":[\"119\"],\"explain\":\"设男生 b 人、女生 g 人:b+g=170,3b=7g,解得 b=119。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,女生有多少人?\",\"answers\":[\"51\"],\"explain\":\"g=170-119=51。检验:119×3=357 坑,51×7=357 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"190 张铁皮做盒子,每张可做 8 个盒身或 22 个盒底,1 个盒身配 2 个盒底。用多少张做盒身?\",\"answers\":[\"110\"],\"explain\":\"设 x 张做盒身:y=190-x,配套 2×8x=22y,解得 x=110。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,用多少张做盒底?\",\"answers\":[\"80\"],\"explain\":\"190-110=80 张。检验:880 个盒身、1760 个盒底,正好 1:2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"列方程组解应用题,两个未知数一般需要找出两个等量关系。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。一个方程定不了两个未知数,必须有两个独立的等量关系。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 张桌子配 4 把椅子。设做出桌子 x 张、椅子 y 把,配套方程是?\",\"options\":[\"y=4x\",\"x=4y\",\"x+4y=1\"],\"answer\":0,\"explain\":\"椅子数量应是桌子的 4 倍,所以 y=4x。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 两个未知数要找两个等量关系:常常一个管\"总数\",一个管\"比例/相等\"。\n- 配套问题:配套比例写成等式,交叉相乘可解。\n- 总量=人数(或材料数)×单位产量,别忘记乘。\n- 作答前检查是否正好配套、总数是否吻合。\n"
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"id": "eq-12",
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"title": "方程组应用:年龄数字盈不足与几何",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 3,
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"summary": "用方程组解决年龄、数字、盈不足与几何问题",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课继续方程组应用题,挑战四类更有\"巧劲\"的题型:年龄问题、数字问题、盈不足问题和几何问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:年龄问题\n小明与哥哥的年龄和是 24 岁,小明对哥哥说:\"当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是 24 岁。\"小明和哥哥分别是多少岁?\n【思路】年龄问题的钥匙:**年龄差不变**。设小明 x 岁、哥哥 y 岁,差是 y-x。\"当我的年龄是你现在年龄\"要经过 y-x 年,那时哥哥 y+(y-x) 岁。\n【解答】解:设小明 x 岁,哥哥 y 岁。x+y=24;y+(y-x)=24,即 2y-x=24。由第一式 x=24-y,代入第二式:2y-(24-y)=24,3y=48,y=16,x=8。答:小明 8 岁,哥哥 16 岁。\n【验算/提醒】差 8 岁;再过 8 年小明 16 岁(正是哥哥现在的年龄),哥哥 24 岁,符合题意。\n\n### 例题 2:数字问题(注意条件的\"多余\")\n一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 1,若将个位与十位上的数字对调,得到的新数比原数小 9。这个两位数是多少?\n【思路】设个位数字为 a,则十位数字为 a+1。原数=10×(a+1)+a=11a+10;对调后新数=10a+(a+1)=11a+1。\n【解答】原数-新数=(11a+10)-(11a+1)=9。也就是说:只要十位比个位大 1,对调后**一定**小 9,第二个条件并没有给出新的限制!所以答案不唯一:21、32、43、54、65、76、87、98 都符合。\n【验算/提醒】一般规律:两位数对调数字,新旧两数的差=9×两位数字之差。这道题提醒我们:审题后要判断条件是否足够;遇到\"多余条件\",要把所有情况讨论全。\n\n### 例题 3:盈不足问题\n某班所有学生准备分组展开活动,若每小组 7 人,则余 3 人;若每小组 8 人,则差 5 人。这个班有多少个人?\n【思路】两种分法,人数不变。设组数 g、人数 n:\"余 3\"就是 n=7g+3;\"差 5\"就是 n=8g-5。\n【解答】解:7g+3=8g-5,移项:g=8。所以 n=7×8+3=59。答:这个班有 59 人。\n【验算/提醒】59÷7=8 组余 3 人;59 人按 8 人一组需要 64 人,差 5 人,正确。盈不足问题的关键:同一个总量,两种表达。\n\n### 例题 4:几何问题(剪拼中的等量)\n将边长为 x 厘米的大正方形剪去一个边长为 y 厘米的小正方形,剩余部分的面积为 21 平方厘米;并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形,再把这两个长方形拼成一个宽为 3 厘米的长方形。求大正方形和小正方形的边长。\n【思路】剩余部分是\"L\"形,面积=x²-y²。沿虚线剪开,得到 x×(x-y) 和 y×(x-y) 两个长方形,拼在一起正好是长 (x+y)、宽 (x-y) 的长方形——新长方形的宽就是 x-y。\n【解答】由面积:x²-y²=21;由宽:x-y=3。因为 x²-y²=(x+y)(x-y),所以 (x+y)×3=21,x+y=7。联立 x-y=3、x+y=7:x=(7+3)÷2=5,y=(7-3)÷2=2。答:大正方形边长 5 厘米,小正方形边长 2 厘米。\n【验算/提醒】25-4=21,正确。几何问题列方程,关键是\"从图中读出等量关系\"——这里的等量是面积不变和边长的对应。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 年龄问题忘记\"年龄差不变\",用现在的年龄硬凑未来。\n- 数字问题忘记十位数字要乘 10:把 10a+b 写成 a+b。\n- 盈不足问题分不清\"余\"(+)与\"差\"(-)。\n- 几何问题找不到等量关系时,多从\"面积不变、周长不变、边长对应\"入手。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明与哥哥的年龄和是 24 岁。“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是 24 岁。”小明多少岁?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"设小明 x、哥哥 y:x+y=24,2y-x=24,解得 x=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,哥哥多少岁?\",\"answers\":[\"16\"],\"explain\":\"y=16。检验:差 8 岁;小明到 16 岁要过 8 年,那时哥哥 24 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班分组活动:每 7 人一组余 3 人,每 8 人一组差 5 人。全班有多少人?\",\"answers\":[\"59\"],\"explain\":\"设 g 组、n 人:n=7g+3,n=8g-5,解得 g=8,n=59。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,共分成多少个小组?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"7×8+3=59,8×8-5=59。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把一个两位数的十位与个位数字对调,得到的新数与原数的差一定是哪个数的倍数?\",\"options\":[\"9\",\"10\",\"11\"],\"answer\":0,\"explain\":\"设十位 a、个位 b:原数 10a+b,新数 10b+a,差=9(a-b),一定是 9 的倍数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"十位数字比个位数字大 1 的两位数,对调数字后一定比原数小 9。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。数字差为 1,对调后的差=9×1=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"边长为 x 的大正方形剪去边长为 y 的小正方形,剩余面积 21 平方厘米;把剩余部分剪拼成一个宽 3 厘米的长方形。大正方形边长 x 是多少厘米?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"x²-y²=21,拼成的长方形宽为 x-y=3、长为 x+y,所以 x+y=7,解得 x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,小正方形边长 y 是多少厘米?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"y=7-5=2。检验:25-4=21。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"每 7 人一组余 3 人,设分了 g 组,全班人数应表示为?\",\"options\":[\"7g+3\",\"7g-3\",\"g+3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"7 人一组分 g 组用了 7g 人,还余 3 人,共 7g+3 人。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"年龄问题中,两个人的年龄差会随时间变化。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。两人每年同时长 1 岁,年龄差永远不变——这是年龄问题的钥匙。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 年龄问题抓\"年龄差不变\"。\n- 数字问题用\"十位×10+个位\"表示两位数;对调差=9×数字差。\n- 盈不足问题:同一总量,两种表达,联立求解。\n- 几何问题:从剪拼中找不变量列方程。\n"
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},
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{
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"id": "eq-13",
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"title": "方程组应用:方案利润工程行程",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 3,
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"summary": "用方程组解决方案、利润、工程与行程综合问题",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课是方程组应用题的综合课:方案问题、利润问题、工程问题、行程问题,还有带\"隐藏未知数\"的水库问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:方案问题\n某商店决定购进 A、B 两种纪念品。若购进 A 种 10 件、B 种 5 件,需要 215 元;若购进 A 种 5 件、B 种 10 件,需要 205 元。(1) 求 A、B 两种纪念品的购进单价;(2) 若商店购进两种纪念品共花费 750 元,有几种方案?写出具体购买方案。\n【思路】(1) 两次进货给出两个等量关系。(2) 单价确定后,变成求正整数解的问题。\n【解答】(1) 设 A 单价 a 元,B 单价 b 元:10a+5b=215,5a+10b=205。两式相加:15(a+b)=420,a+b=28;两式相减:5(a-b)=10,a-b=2。所以 a=15,b=13。答:A 每件 15 元,B 每件 13 元。(2) 设购 A 种 m 件、B 种 n 件:15m+13n=750。由 15m=750-13n,要使 m 为正整数,750-13n 必须是 15 的正倍数,逐一试验:n=15 时 m=37;n=30 时 m=24;n=45 时 m=11;n=60 时 m 为负,停止。共 3 种方案:A 37 件 B 15 件;A 24 件 B 30 件;A 11 件 B 45 件。\n【验算/提醒】三种方案逐一验算总价都是 750 元。方案问题=方程(组)+正整数筛选。\n\n### 例题 2:利润问题\n某商场欲购进甲、乙两种商品共 50 件,甲种商品每件进价 35 元、利润率 20%,乙种商品每件进价 20 元、利润率 15%,全部卖出可获利 278 元。甲、乙两种商品各购进多少件?\n【思路】单件利润=进价×利润率:甲 35×20%=7 元,乙 20×15%=3 元。等量:件数和为 50;总利润 278。\n【解答】解:设甲 a 件,乙 b 件。a+b=50;7a+3b=278。由第一式 b=50-a,代入:7a+3(50-a)=278,4a+150=278,4a=128,a=32,b=18。答:甲 32 件,乙 18 件。\n【验算/提醒】7×32+3×18=224+54=278,正确。注意利润是按进价算的,不是按售价。\n\n### 例题 3:工程问题\n加工一批零件,甲先单独做 8 小时,然后又与乙一起加工 5 小时完成任务。已知乙每小时比甲少加工 2 个零件,零件共 350 个。问甲、乙两人每小时各加工多少个零件?\n【思路】甲一共做了 8+5=13 小时,乙做了 5 小时。设甲每小时 x 个,乙就是 x-2 个。\n【解答】解:8x+5(x+x-2)=350,即 8x+10x-10=350,18x=360,x=20。乙:20-2=18。答:甲每小时 20 个,乙每小时 18 个。\n【验算/提醒】甲 13 小时做 260 个,乙 5 小时做 90 个,共 350 个,正确。\n\n### 例题 4:行程问题(顺水逆水)\n甲乙两地相距 360 千米,一轮船往返于甲、乙两地之间,顺水行船用 18 小时,逆水行船用 24 小时。求该轮船在静水中的速度与水流的速度。\n【思路】顺水速度=静水速度+水速,逆水速度=静水速度-水速。先算出顺、逆速度:360÷18=20,360÷24=15。\n【解答】解:设静水速度 v 千米/时,水速 u 千米/时。v+u=20,v-u=15。两式相加:2v=35,v=17.5;两式相减:2u=5,u=2.5。答:静水速度 17.5 千米/时,水流速度 2.5 千米/时。\n【验算/提醒】17.5+2.5=20,17.5-2.5=15,正确。\n\n### 例题 5:有\"隐藏未知数\"的问题\n某镇水库的可用水量为 12000 万立方米,假设年降水量不变,能维持该镇 16 万人 20 年的用水量;实施城市化建设、新迁入 4 万人后,水库只够维持居民 15 年的用水量。每人年平均用水量多少立方米?\n【思路】总供水量=初始可用水+年降水量×年数;总用水量=人数×年数×每人每年用水量。年降水量题目没给,但它不变——就把它也设为未知数。\n【解答】解:设每人年平均用水 x 立方米,年降水量 y 万立方米。迁前:12000+20y=16×20×x,即 12000+20y=320x;迁后:12000+15y=20×15×x,即 12000+15y=300x。两式相减:5y=20x,y=4x。代入:12000+80x=320x,240x=12000,x=50。答:每人年平均用水量 50 立方米。\n【验算/提醒】此时 y=200:12000+20×200=16000=320×50,正确。遇到\"不变量\"(降水量、速度差等),大胆设出来。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 利润问题把利润率乘到售价上;利润率对应的是进价。\n- 方案问题忘记\"两种都买\"或忘记筛正整数解。\n- 工程问题漏算甲\"先单独做\"的时间。\n- 顺逆水公式记反;水库问题漏掉年降水量这一项。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"购进 A 纪念品 10 件、B 种 5 件需 215 元;A 种 5 件、B 种 10 件需 205 元。A 种每件多少元?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"设 A 单价 a 元、B 单价 b 元:10a+5b=215,5a+10b=205,相加得 a+b=28,相减得 a-b=2,a=15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,B 种每件多少元?\",\"answers\":[\"13\"],\"explain\":\"b=28-15=13。检验:150+65=215,75+130=205。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"商店用 750 元购进 A、B 两种纪念品(两种都买),共有几种方案?\",\"options\":[\"2 种\",\"3 种\",\"4 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"15m+13n=750,n 必为 15 的倍数:n=15、30、45 对应 m=37、24、11,共 3 种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"购进甲乙两种商品共 50 件,甲每件进价 35 元、利润率 20%,乙每件进价 20 元、利润率 15%,全部卖出获利 278 元。甲购进多少件?\",\"answers\":[\"32\"],\"explain\":\"每件甲利润 35×20%=7 元,乙利润 3 元。a+b=50,7a+3b=278,解得 a=32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,乙购进多少件?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"b=50-32=18。检验:7×32+3×18=278。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"加工 350 个零件,甲先单独做 8 小时,再与乙合做 5 小时完成,乙每小时比甲少做 2 个。甲每小时做多少个?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"设甲 x 个/时、乙 x-2 个/时:8x+5(2x-2)=350,18x=360,x=20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,乙每小时做多少个?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"20-2=18。检验:160+5×38=350。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两地相距 360 千米,轮船顺水用 18 小时、逆水用 24 小时。轮船在静水中的速度是多少千米/时?\",\"answers\":[\"17.5\"],\"explain\":\"顺速 20、逆速 15;v+u=20,v-u=15,得 v=17.5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,水流速度是多少千米/时?\",\"answers\":[\"2.5\"],\"explain\":\"u=(20-15)÷2=2.5。检验:17.5±2.5=20/15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"水库可用水 12000 万立方米,年降水量不变,可供 16 万人用 20 年;新迁入 4 万人后只够用 15 年。每人年平均用水量是多少立方米?\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"设每人每年 x 立方米、年降水 y 万立方米:12000+20y=320x,12000+15y=300x,解得 x=50。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 方案问题:先求单价,再筛正整数方案。\n- 利润=进价×利润率;总利润=单件利润×件数。\n- 工程问题:工作量=效率×时间,分段做要分别算。\n- 行程:顺速=静+水,逆速=静-水。\n- 题目里\"不变的量\"也可以设成未知数。\n"
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},
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{
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"id": "eq-14",
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"title": "不定方程与正整数解",
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"grade": "小升初",
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"difficulty": 3,
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"summary": "会用枚举法和整除法求不定方程的正整数解",
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"md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n前面学的方程组,未知数和方程一样多,解是唯一的。本课认识\"答案不止一个的谜题\"——**不定方程**,学习求它的正整数解。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:不定方程\n**不定方程**:未知数的个数**多于**独立方程个数的方程。例如 2x+3y=20,只有一个方程却有两个未知数。\n特点:在实数范围内通常有**无穷多组解**;小学阶段主要求**正整数解**或**非负整数解**,这时解的个数是有限的。\n口诀:**一个方程两个量,先定范围再枚举。**\n常见方法:\n1. **枚举法**:逐个尝试未知数的整数值,代入验证。\n2. **消元+整除法**:用一个未知数表示另一个,再利用整除条件筛选。\n3. **范围缩定法**:先确定取值范围,再逐一检验。\n常见应用:鸡兔同笼、物品分配、方案选择。\n\n### 例题 1:鸡兔同笼型\n鸡兔同笼,共有 35 个头,94 只脚。鸡和兔各有多少只?\n【思路】只数头,得 x+y=35——一个方程定不了两个量;再数脚,得第二个方程,联立求解。\n【解答】解:设鸡 x 只,兔 y 只。x+y=35;2x+4y=94。由第一式 x=35-y,代入第二式:2(35-y)+4y=94,70+2y=94,2y=24,y=12,x=23。答:鸡 23 只,兔 12 只。\n【验算/提醒】脚:23×2+12×4=46+48=94,正确。鸡兔同笼是最经典的不定方程应用场景。\n\n### 例题 2:求所有正整数解\n求不定方程 3x+5y=47 的所有正整数解。\n【思路】用 y 表示 x:x=(47-5y)/3,要求 47-5y 能被 3 整除;再由 x>0 确定 y 的范围:y≤9。\n【解答】逐一检验:y=1,x=42/3=14,可以;y=2,x=37/3,不行;y=3,x=32/3,不行;y=4,x=27/3=9,可以;y=5,不行;y=6,不行;y=7,x=12/3=4,可以;y=8、9 都不行;y≥10 时 x 为负,停止。正整数解共 3 组:x=14、y=1;x=9、y=4;x=4、y=7。\n【验算/提醒】每组代入都等于 47。注意\"范围\":y 最大到 9,枚举要有终点。\n\n### 例题 3:用整除特征加速\n用若干个大盒和小盒装球。大盒装 12 个,小盒装 5 个,共装了 47 个球,每种盒子至少一个。大盒和小盒各用了几个?\n【思路】设大盒 x 个、小盒 y 个:12x+5y=47,即 y=(47-12x)/5。能被 5 整除,个位必须是 0 或 5——用这个特征筛选更快。\n【解答】x=1:47-12=35,35÷5=7,可以,y=7;x=2:47-24=23,不行;x=3:47-36=11,不行;x=4:47-48<0,停止。答:大盒 1 个,小盒 7 个。\n【验算/提醒】12+5×7=12+35=47,正确。利用\"被 5 整除看个位\"这样的整除特征,能少走很多弯路。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找到一组解就停,漏掉其他解。\n- 忘记\"正整数\"的限制,把 0 或负数也算进去。\n- 枚举没有范围,不知道什么时候停。\n- 求出答案不代回原方程检验。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不定方程是指什么样的方程?\",\"options\":[\"未知数个数多于独立方程个数\",\"没有解的方程\",\"未知数只能是负数的方程\"],\"answer\":0,\"explain\":\"例如 2x+3y=20,一个方程却有两个未知数,条件“不够”,所以解不唯一。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2x+3y=20 在实数范围内有无穷多组解。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。但如果只要求正整数解,解的个数就有限了。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"鸡兔同笼:共有 35 个头、94 只脚。鸡有多少只?\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"设鸡 x 兔 y:x+y=35,2x+4y=94,解得 x=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,兔有多少只?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"y=12。检验:23×2+12×4=94。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不定方程 3x+5y=47 的正整数解共有几组?\",\"options\":[\"2 组\",\"3 组\",\"4 组\"],\"answer\":1,\"explain\":\"x=(47-5y)/3,逐个试:y=1、4、7 时 x=14、9、4,共 3 组。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"不定方程 4x+3y=31 的正整数解中,x 最大是多少?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"y=1 时 x=(31-3)÷4=7 最大;另外两组是 x=4、y=5 和 x=1、y=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"划船:大船坐 6 人、小船坐 4 人,共租 8 条船坐了 38 人。大船租了几条?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"设大船 x 小船 y:x+y=8,6x+4y=38,解得 x=3(小船 5 条)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用 1 元和 5 元的纸币凑出 37 元(两种纸币都用),共有几种凑法?\",\"options\":[\"6 种\",\"7 种\",\"8 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"设 5 元 y 张、1 元 x 张:x+5y=37。y 可取 1~7(再多 x 就不够正数了),共 7 种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明买大、小两种笔记本共 10 本,大本每本 15 元、小本每本 8 元,共花 122 元。大本买了几本?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"设大本 x 本:x+y=10,15x+8y=122,解得 x=6(小本 4 本)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求不定方程的正整数解时,找到一组解就可以停止了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。不定方程可能有多组正整数解,要确定范围后逐一枚举,不能半途而废。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 不定方程:未知数多于方程,解不唯一;小学阶段求正整数解。\n- 三种方法:枚举法、消元+整除法、范围缩定法。\n- 先用范围定枚举的终点,再用整除特征筛选。\n- 鸡兔同笼、分配、凑钱方案都是不定方程的应用。\n"
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