diff --git a/docs/math-content-spec.md b/docs/math-content-spec.md new file mode 100644 index 0000000..1a4f26e --- /dev/null +++ b/docs/math-content-spec.md @@ -0,0 +1,71 @@ +# 数学思维课时内容创作规范(供创作代理参考) + +## 输出文件 +`src/content/math/.json`,顶层结构: +```json +{ + "module": "calc", + "moduleName": "计算与计数", + "points": [ { "id": "calc-01", "title": "...", "grade": "一~二年级", "difficulty": 1, "summary": "...", "md": "..." } ] +} +``` +`module` 与 `moduleName` 固定对应: +- calc=计算与计数, apply=应用题, geo=几何, num=数论, travel=行程, eq=方程, combo=组合 + +## 单个 point 字段 +- `id`: `-<两位序号>`,如 calc-01、calc-02;同一文件内连续不重复。 +- `title`: 课时标题,≤30 字。 +- `grade`: 适用学段,如 "一~二年级" / "三~四年级" / "五~六年级" / "小升初"。 +- `difficulty`: 1(基础)/2(提高)/3(竞赛入门)。 +- `summary`: 一句话目标,≤40 字。 +- `md`: 课时正文 markdown,**含一个 quiz 块**。 + +## md 正文结构(保证 ≥40 分钟,内容必须忠实于源材料、不要臆造知识点) +``` +> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15' + +## ① 回顾与目标 +（1-2 句:承接什么、本课要达成什么） + +## ② 知识精讲 +### 概念/方法 1 +（定义、法则、关键点;配 1-2 个例题,例题要写【思路】【解答】【验算/提醒】） +### 概念/方法 2 +... + +## ③ 常见错误与提醒 +- （易错点,逐条列出） + +## ④ 即时练习 +```quiz +{"questions":[ ... 8~10 题 ... ]} +``` + +## ⑤ 本课小结 +- （3-5 条要点回顾） +``` +注意:正文用中文;数学式用纯文本(如 3/4、2×3、a+b),不用 LaTeX;不用图片。 + +## quiz 题目格式(必须是合法 JSON,放在 ```quiz 围栏内) +题型只用 choice / fill / judge 三种(order/match 在数学里判分不稳,避免使用): +```json +{"questions":[ + {"type":"choice","stem":"25×32 等于多少?","options":["700","800","900"],"answer":1,"explain":"把 32 拆成 4×8,25×4×8=800。"}, + {"type":"fill","stem":"计算:56+44=?","answers":["100"],"explain":"凑整:56+44=100。"}, + {"type":"judge","stem":"0 除以任何数都得 0。","answer":1,"explain":"错。0 不能作除数,0 除以任何非 0 数才得 0。"} +]} +``` +字段说明: +- `type`: "choice" | "fill" | "judge" +- `stem`: 题干字符串 +- choice: `options` 为选项数组,`answer` 为正确项下标(0 起) +- fill: `answers` 为可接受答案数组(判分会 trim+小写比对,可给多个等价写法,如 ["100","100.0"]) +- judge: `answer` 为下标,0=对、1=错(界面显示为"对/错") +- `explain`: 每题必填的讲解,讲清思路 +每课 8~10 题,答案必须正确,覆盖本课知识点。 + +## 切分原则 +- 每课聚焦一个可独立学会的知识单元,正文详实(概念+多例题+易错+练习),确保认真学+做题 ≥40 分钟。 +- 源材料里一节内容很多的,按知识单元拆成多课;内容太少的小节合并成一课。 +- 例题与练习题尽量取自源材料的原题;源材料没给答案的,你要算出正确答案并写进 explain。 +- 不要照抄导航/目录类文字,只提炼知识内容。 diff --git a/docs/数学与考试板块设计.md b/docs/数学与考试板块设计.md new file mode 100644 index 0000000..ddcfd57 --- /dev/null +++ b/docs/数学与考试板块设计.md @@ -0,0 +1,87 @@ +# 数学思维自学板块 + 考试板块 设计决策 + +> 2026-08-06 用户授权自动执行,所有决策按推荐方案落地。 + +## 一、数学思维自学板块(对标英语语法板块) + +### 1. 数据来源 +`/Users/jacobxu/Documents/obsidian/数学自学/` 七个模块: +01-计算与计数、02-应用题、03-几何、04-数论、05-行程、06-方程、07-组合。 + +### 2. 级别(level)组织 —— 按七大模块划分 +| level id | 名称 | 说明 | +| --- | --- | --- | +| calc | 计算与计数 | 整数/分数/小数运算、运算律、巧算、计数原理 | +| apply | 应用题 | 和差倍、鸡兔同笼、工程、比例等经典模型 | +| geo | 几何 | 平面图形周长面积、立体图形、割补法 | +| num | 数论 | 整除、质合、位值原理、余数 | +| travel | 行程 | 相遇追及、流水行船、环形跑道 | +| eq | 方程 | 用字母表示数、解方程、列方程解应用题 | +| combo | 组合 | 抽屉原理、最值、逻辑推理、策略游戏 | + +不按年级分层:源材料按知识体系组织,同一模块内跨年级;每课标注适用学段。 + +### 3. 课时设计(每天 1 课 ≥ 40 分钟) +每课 md 统一模板: +``` +> ⏱ 本课约 40 分钟:回顾热身 5' → 知识精讲与例题 20' → 即时练习 15' +## ① 回顾与目标 +## ② 知识精讲(概念 + 例题,例题带思路与验算) +## ③ 常见错误与提醒 +## ④ 即时练习 ← ```quiz 块,8~10 题 +## ⑤ 本课小结 +``` +- 源材料偏薄的章节(A 类低年级小节 ~300-450 字)合并 2-4 节为一课,并补例题; +- 源材料偏厚的章节(B 类 1200-1900 字)按知识单元拆分为多课; +- 源材料缺答案的练习题由转换时补全标准答案; +- 每课 8-10 道即时练习题(choice/judge/fill 为主),每题带 explain 讲解。 + +### 4. 数据表(镜像 grammar_point / grammar_progress) +- `math_point`:同 grammar_point 结构(point_id 全局唯一 slug,如 `calc-01`)。 +- `math_progress`:child + point_id 唯一,记录 score/passed。 +- `math_weekly_test`:child + week_key 唯一,同 weekly_test。 +- 错题复用 wrong_book 表;sourceType 扩展:`mlesson`(数学课)/ `mweekly`(数学周测)/ `exam`(考试)。 + +### 5. 判定与联动 +- 即时练习 ≥80 分通过,点亮该课; +- 通过即生成当日打卡 `数学思维 · <课题>`,subject='math'(复用 grammar 的 taskInstance 逻辑); +- 每周检测:从已点亮数学课的 quiz 题池 seeded 抽 10 题(不足 5 题时用 calc 模块兜底),达标生成打卡 `数学周检测 · `,subject='math'。 + +### 6. 页面 +- `/math` 课程地图(同 /learn 布局,按 7 模块分组); +- `/math/[id]` 课时页(复用 LessonBody + QuizBlock); +- `/math/weekly` 数学周测; +- `/kid` 首页新增「数学思维」渐变入口卡 + 「考试中心」卡。 + +## 二、考试板块 + +### 1. 内容来源与真实性 +来源:组卷网(zujuan.xkw.com,与 sj.zxxk.com 同一学科网体系)初中数学公开试卷页。 +- 试卷页公开:试卷标题/年份/地区/分值/时长/全部题干/选项/知识点标注; +- 答案解析登录不可见:由题目本身客观推导作答(计算/选择/判断答案唯一确定),并编写解析; +- 每张试卷记录 sourceUrl,保证可回溯对照原始试卷; +- 公式类题目:原站为图片无法直接取文本,按原图内容以文字/LaTeX 转写并核对答案。 + +### 2. 首期范围:初一上学期数学(人教版进度,按月度分类) +| 月份 | 考查范围 | 试卷类型 | +| --- | --- | --- | +| 9 月 | 有理数 | 月考 | +| 10 月 | 整式的加减 | 月考/单元 | +| 11 月 | 一元一次方程(+期中范围) | 期中 | +| 12 月 | 几何图形初步 | 月考/单元 | +| 1 月 | 全册综合 | 期末 | +每月 ≥1 张真实卷,首期共 5-9 张;schema 预留 subject/grade/semester 字段,可扩展其它学科年级。 + +### 3. 数据表 +- `exam_paper`:paper_id(slug)、subject/grade/semester/month、exam_type、title、region/year、duration/full_score、source_url、questions(JSON,QuizQ 数组)、seq; +- `exam_record`:child + paper_id 唯一,score/correct/total/passed、answers JSON、taken_at。 + +### 4. 考试体验 +- `/exam` 考试中心:按月份分组列表,显示已考分数; +- `/exam/[id]` 答题页:复用 QuizBlock(可提交多次,取最后一次成绩); +- 判定同语法:≥80 分达标,错题进错题本(sourceType='exam');达标生成打卡 `考试 · <卷名>` subject='math'。 + +## 三、已知约束 +1. drizzle 迁移历史与生产库有漂移(0002 文件为旧版 seq 结构,生产库实为 point_id 版,其余表由 push 创建)。本次 0003 手写纯新增表 SQL,不触碰既有结构; +2. 生产部署:push → 服务器 git pull + docker compose build/up,容器启动自动 migrate; +3. 数学题渲染暂不引入 KaTeX:题干用纯文本表达(分数写作 3/4,乘号用 ×),避免依赖膨胀;后续需要再加。 diff --git a/drizzle/0003_math-and-exam.sql b/drizzle/0003_math-and-exam.sql new file mode 100644 index 0000000..b710e1c --- /dev/null +++ b/drizzle/0003_math-and-exam.sql @@ -0,0 +1,84 @@ +CREATE TABLE `math_point` ( + `id` bigint AUTO_INCREMENT NOT NULL, + `point_id` varchar(191) NOT NULL, + `module` varchar(20) NOT NULL, + `module_name` varchar(50) NOT NULL, + `title` varchar(200) NOT NULL, + `grade` varchar(30), + `difficulty` int NOT NULL DEFAULT 1, + `summary` text, + `md` text NOT NULL, + `seq` int NOT NULL, + `updated_at` datetime NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP, + CONSTRAINT `math_point_id` PRIMARY KEY(`id`), + CONSTRAINT `uq_math_point_id` UNIQUE(`point_id`) +); +--> statement-breakpoint +CREATE TABLE `math_progress` ( + `id` bigint AUTO_INCREMENT NOT NULL, + `child_user_id` bigint NOT NULL, + `point_id` varchar(191) NOT NULL, + `score` int, + `passed` boolean NOT NULL DEFAULT false, + `completed_at` datetime NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP, + CONSTRAINT `math_progress_id` PRIMARY KEY(`id`), + CONSTRAINT `uq_math_child_point` UNIQUE(`child_user_id`,`point_id`) +); +--> statement-breakpoint +ALTER TABLE `math_progress` ADD CONSTRAINT `math_progress_child_user_id_user_id_fk` FOREIGN KEY (`child_user_id`) REFERENCES `user`(`id`) ON DELETE cascade ON UPDATE no action; +--> statement-breakpoint +CREATE TABLE `math_weekly_test` ( + `id` bigint AUTO_INCREMENT NOT NULL, + `child_user_id` bigint NOT NULL, + `week_key` varchar(12) NOT NULL, + `score` int, + `correct` int, + `total` int, + `passed` boolean NOT NULL DEFAULT false, + `questions` text, + `taken_at` datetime NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP, + CONSTRAINT `math_weekly_test_id` PRIMARY KEY(`id`), + CONSTRAINT `uq_math_weekly_child_week` UNIQUE(`child_user_id`,`week_key`) +); +--> statement-breakpoint +ALTER TABLE `math_weekly_test` ADD CONSTRAINT `math_weekly_test_child_user_id_user_id_fk` FOREIGN KEY (`child_user_id`) REFERENCES `user`(`id`) ON DELETE cascade ON UPDATE no action; +--> statement-breakpoint +CREATE TABLE `exam_paper` ( + `id` bigint AUTO_INCREMENT NOT NULL, + `paper_id` varchar(191) NOT NULL, + `subject` varchar(20) NOT NULL DEFAULT 'math', + `grade` varchar(20) NOT NULL, + `semester` varchar(10) NOT NULL, + `month` int NOT NULL, + `exam_type` varchar(20) NOT NULL, + `title` varchar(300) NOT NULL, + `region` varchar(60), + `year` int, + `duration` int, + `full_score` int, + `source_url` varchar(500), + `summary` text, + `questions` text NOT NULL, + `seq` int NOT NULL, + `created_at` datetime NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP, + CONSTRAINT `exam_paper_id` PRIMARY KEY(`id`), + CONSTRAINT `uq_exam_paper_id` UNIQUE(`paper_id`) +); +--> statement-breakpoint +CREATE INDEX `idx_exam_paper_scope` ON `exam_paper` (`subject`,`grade`,`semester`,`month`); +--> statement-breakpoint +CREATE TABLE `exam_record` ( + `id` bigint AUTO_INCREMENT NOT NULL, + `child_user_id` bigint NOT NULL, + `paper_id` varchar(191) NOT NULL, + `score` int, + `correct` int, + `total` int, + `passed` boolean NOT NULL DEFAULT false, + `answers` text, + `taken_at` datetime NOT NULL DEFAULT CURRENT_TIMESTAMP, + CONSTRAINT `exam_record_id` PRIMARY KEY(`id`), + CONSTRAINT `uq_exam_child_paper` UNIQUE(`child_user_id`,`paper_id`) +); +--> statement-breakpoint +ALTER TABLE `exam_record` ADD CONSTRAINT `exam_record_child_user_id_user_id_fk` FOREIGN KEY (`child_user_id`) REFERENCES `user`(`id`) ON DELETE cascade ON UPDATE no action; diff --git a/drizzle/meta/_journal.json b/drizzle/meta/_journal.json index 24b9241..5f8a143 100644 --- a/drizzle/meta/_journal.json +++ b/drizzle/meta/_journal.json @@ -22,6 +22,13 @@ "when": 1785689264881, "tag": "0002_grammar-progress", "breakpoints": true + }, + { + "idx": 3, + "version": "5", + "when": 1785772800000, + "tag": "0003_math-and-exam", + "breakpoints": true } ] } \ No newline at end of file diff --git a/package.json b/package.json index bc9f8fa..baf3bef 100644 --- a/package.json +++ b/package.json @@ -9,7 +9,9 @@ "db:generate": "drizzle-kit generate", "db:migrate": "drizzle-kit migrate", "db:push": "drizzle-kit push", - "db:seed": "tsx scripts/seed.ts" + "db:seed": "tsx scripts/seed.ts", + "db:seed-math": "tsx scripts/seed-math.ts", + "db:seed-exam": "tsx scripts/seed-exam.ts" }, "dependencies": { "@fontsource-variable/plus-jakarta-sans": "^5.3.0", diff --git a/scripts/check-math-content.mjs b/scripts/check-math-content.mjs new file mode 100644 index 0000000..da9eb05 --- /dev/null +++ b/scripts/check-math-content.mjs @@ -0,0 +1,97 @@ +// xuchao: 校验数学内容 JSON——外层可解析、每课有 md、quiz 块内层可解析且题目字段齐全 +// 用法:node scripts/check-math-content.mjs [more.json ...](不传则扫 src/content/math/*.json) +import fs from "node:fs"; +import path from "node:path"; + +const TYPE_OK = new Set(["choice", "fill", "judge", "order", "match"]); + +function checkQuizBlock(raw, where, errs) { + let parsed; + try { + parsed = JSON.parse(raw); + } catch (e) { + errs.push(`${where}: quiz 块 JSON 解析失败 — ${e.message}`); + return; + } + const qs = parsed.questions; + if (!Array.isArray(qs) || qs.length === 0) { + errs.push(`${where}: quiz 块没有 questions 数组`); + return; + } + if (qs.length < 8) errs.push(`${where}: 题目只有 ${qs.length} 题(建议 ≥8)`); + qs.forEach((q, i) => { + const tag = `${where} 第${i + 1}题`; + if (!TYPE_OK.has(q.type)) errs.push(`${tag}: 非法 type=${q.type}`); + if (!q.stem || typeof q.stem !== "string") errs.push(`${tag}: 缺 stem`); + if (!q.explain) errs.push(`${tag}: 缺 explain`); + if (q.type === "choice") { + if (!Array.isArray(q.options) || q.options.length < 2) errs.push(`${tag}: choice 选项不足`); + if (typeof q.answer !== "number" || q.answer < 0 || q.answer >= (q.options?.length ?? 0)) + errs.push(`${tag}: choice answer 越界`); + } else if (q.type === "judge") { + if (q.answer !== 0 && q.answer !== 1) errs.push(`${tag}: judge answer 必须是 0 或 1`); + } else if (q.type === "fill") { + if (!Array.isArray(q.answers) || q.answers.length === 0) errs.push(`${tag}: fill 缺 answers 数组`); + } else if (q.type === "order") { + if (!Array.isArray(q.words) || !Array.isArray(q.answer)) errs.push(`${tag}: order 缺 words/answer`); + } else if (q.type === "match") { + if (!Array.isArray(q.pairs) || q.pairs.length === 0) errs.push(`${tag}: match 缺 pairs`); + } + }); +} + +function checkFile(file) { + const errs = []; + let data; + try { + data = JSON.parse(fs.readFileSync(file, "utf8")); + } catch (e) { + console.log(`❌ ${file}: 外层 JSON 解析失败 — ${e.message}`); + return 1; + } + if (!data.module || !data.moduleName || !Array.isArray(data.points)) { + console.log(`❌ ${file}: 缺 module / moduleName / points`); + return 1; + } + const ids = new Set(); + let lessons = 0; + data.points.forEach((p, idx) => { + const tag = `${file} points[${idx}](${p.id ?? "?"})`; + if (!p.id) errs.push(`${tag}: 缺 id`); + else if (ids.has(p.id)) errs.push(`${tag}: id 重复`); + else ids.add(p.id); + if (!p.title) errs.push(`${tag}: 缺 title`); + if (!p.md || typeof p.md !== "string") { + errs.push(`${tag}: 缺 md`); + return; + } + lessons++; + const quizRe = /```quiz\s*\n([\s\S]*?)```/g; + let m, count = 0; + while ((m = quizRe.exec(p.md))) { + count++; + checkQuizBlock(m[1], `${tag} quiz#${count}`, errs); + } + if (count === 0) errs.push(`${tag}: md 中没有 quiz 块`); + }); + if (errs.length) { + console.log(`❌ ${file}: ${lessons} 课,${errs.length} 处问题`); + errs.forEach((e) => console.log(" - " + e)); + return 1; + } + console.log(`✅ ${file}: ${data.module} / ${lessons} 课,全部通过`); + return 0; +} + +const args = process.argv.slice(2); +const files = args.length + ? args + : fs + .readdirSync(path.join(process.cwd(), "src/content/math")) + .filter((f) => f.endsWith(".json")) + .map((f) => path.join(process.cwd(), "src/content/math", f)); + +let bad = 0; +for (const f of files) bad += checkFile(f); +console.log(bad ? `\n${bad} 个文件有问题` : "\n全部文件校验通过"); +process.exit(bad ? 1 : 0); diff --git a/scripts/seed-exam.ts b/scripts/seed-exam.ts new file mode 100644 index 0000000..ba1481d --- /dev/null +++ b/scripts/seed-exam.ts @@ -0,0 +1,80 @@ +// xuchao: 考试试卷种子——src/content/exam/*.json 灌入 exam_paper;表空全量,否则增量(按 paperId 跳过,seq 续接) +import fs from "node:fs"; +import path from "node:path"; +import { sql } from "drizzle-orm"; +import { drizzle } from "drizzle-orm/mysql2"; +import mysql from "mysql2/promise"; +import { examPapers } from "../src/db/schema"; + +type ExamPaper = { + id: string; + subject?: string; + grade: string; + semester: string; + month: number; + examType: string; + title: string; + region?: string; + year?: number; + duration?: number; + fullScore?: number; + sourceUrl?: string; + summary?: string; + questions: unknown[]; +}; +type ExamFile = { papers: ExamPaper[] }; + +async function main() { + const dir = path.join(process.cwd(), "src/content/exam"); + if (!fs.existsSync(dir)) { + console.log("src/content/exam 不存在,跳过考试种子"); + return; + } + const files: ExamFile[] = fs + .readdirSync(dir) + .filter((f) => f.endsWith(".json")) + .sort() + .map((f) => JSON.parse(fs.readFileSync(path.join(dir, f), "utf8"))); + + const conn = await mysql.createConnection(process.env.DATABASE_URL!); + const db = drizzle(conn); + + const [cnt] = await db.select({ n: sql`COUNT(*)` }).from(examPapers); + if (cnt.n > 0) console.log("exam_paper 已有", cnt.n, "条,增量模式(跳过已存在 paperId)"); + const [mx] = await db.select({ m: sql`COALESCE(MAX(seq),0)` }).from(examPapers); + let seq = mx.m; + const existing = new Set( + (await db.select({ paperId: examPapers.paperId }).from(examPapers)).map((r) => r.paperId), + ); + + let added = 0; + for (const file of files) { + for (const p of file.papers) { + if (existing.has(p.id)) continue; + seq += 1; + await db.insert(examPapers).values({ + paperId: p.id, + subject: p.subject ?? "math", + grade: p.grade, + semester: p.semester, + month: p.month, + examType: p.examType, + title: p.title, + region: p.region ?? null, + year: p.year ?? null, + duration: p.duration ?? null, + fullScore: p.fullScore ?? null, + sourceUrl: p.sourceUrl ?? null, + summary: p.summary ?? null, + questions: JSON.stringify(p.questions), + seq, + }); + added++; + } + } + const [tot] = await db.select({ n: sql`COUNT(*)` }).from(examPapers); + console.log("新增试卷:", added, "| 试卷总数:", tot.n); + await conn.end(); +} + +main(); diff --git a/scripts/seed-math.ts b/scripts/seed-math.ts new file mode 100644 index 0000000..6795eb1 --- /dev/null +++ b/scripts/seed-math.ts @@ -0,0 +1,64 @@ +// xuchao: 数学内容种子——src/content/math/*.json 灌入 math_point;表空全量,否则增量(按 pointId 跳过,seq 续接) +import fs from "node:fs"; +import path from "node:path"; +import { sql } from "drizzle-orm"; +import { drizzle } from "drizzle-orm/mysql2"; +import mysql from "mysql2/promise"; +import { mathPoints } from "../src/db/schema"; + +type MathPoint = { id: string; title: string; grade?: string; difficulty: number; summary?: string; md: string }; +type MathModuleFile = { module: string; moduleName: string; points: MathPoint[] }; + +// 模块顺序即学习顺序,与 src/lib/math.ts 的 MODULES 保持一致 +const MODULE_ORDER = ["calc", "apply", "geo", "num", "travel", "eq", "combo"]; + +async function main() { + const dir = path.join(process.cwd(), "src/content/math"); + if (!fs.existsSync(dir)) { + console.log("src/content/math 不存在,跳过数学种子"); + return; + } + const files: MathModuleFile[] = fs + .readdirSync(dir) + .filter((f) => f.endsWith(".json")) + .sort() + .map((f) => JSON.parse(fs.readFileSync(path.join(dir, f), "utf8"))); + + const conn = await mysql.createConnection(process.env.DATABASE_URL!); + const db = drizzle(conn); + + const [cnt] = await db.select({ n: sql`COUNT(*)` }).from(mathPoints); + if (cnt.n > 0) console.log("math_point 已有", cnt.n, "条,增量模式(跳过已存在 pointId)"); + const [mx] = await db.select({ m: sql`COALESCE(MAX(seq),0)` }).from(mathPoints); + let seq = mx.m; + const existing = new Set( + (await db.select({ pointId: mathPoints.pointId }).from(mathPoints)).map((r) => r.pointId), + ); + + let added = 0; + for (const mod of MODULE_ORDER) { + for (const file of files.filter((f) => f.module === mod)) { + for (const p of file.points) { + if (existing.has(p.id)) continue; + seq += 1; + await db.insert(mathPoints).values({ + pointId: p.id, + module: file.module, + moduleName: file.moduleName, + title: p.title, + grade: p.grade ?? null, + difficulty: p.difficulty || 1, + summary: p.summary ?? null, + md: p.md, + seq, + }); + added++; + } + } + } + const [tot] = await db.select({ n: sql`COUNT(*)` }).from(mathPoints); + console.log("新增数学课:", added, "| 数学知识点总数:", tot.n); + await conn.end(); +} + +main(); diff --git a/src/app/exam/[id]/page.tsx b/src/app/exam/[id]/page.tsx new file mode 100644 index 0000000..28dc0f6 --- /dev/null +++ b/src/app/exam/[id]/page.tsx @@ -0,0 +1,75 @@ +// xuchao: 考试答题页——复用 QuizBlock,判分走考试 action,可重考取最近成绩 +import Link from "next/link"; +import { redirect } from "next/navigation"; +import { BackgroundBlobs } from "@/components/background-blobs"; +import { Badge } from "@/components/ui/badge"; +import { EXAM_TYPE_LABEL, getExamRecord, getPaper, paperQuestions } from "@/lib/exam"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { QuizBlock } from "@/app/learn/quiz-block"; +import { takeExam } from "../actions"; + +export default async function ExamTakePage({ params }: { params: Promise<{ id: string }> }) { + const user = await getSessionUser(); + if (!user) redirect("/join"); + if (user.role !== "child") redirect("/parent"); + + const paperId = (await params).id; + const paper = await getPaper(paperId); + if (!paper) redirect("/exam"); + + const questions = paperQuestions(paper); + const record = await getExamRecord(user.id, paperId); + + return ( +
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试卷暂无题目

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+ ) : ( + + )} +
+ ); +} diff --git a/src/app/exam/actions.ts b/src/app/exam/actions.ts new file mode 100644 index 0000000..91f6b3f --- /dev/null +++ b/src/app/exam/actions.ts @@ -0,0 +1,37 @@ +"use server"; + +// xuchao: 考试判分——按卷面题判分,错题进错题本,达标联动数学打卡 +import { revalidatePath } from "next/cache"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { gradeAnswers, type AnswerValue } from "@/lib/grammar"; +import { getPaper, paperQuestions, recordExam } from "@/lib/exam"; +import { recordWrong } from "@/lib/wrongbook"; + +export type ExamResult = + | { score: number; passed: boolean; correct: number; total: number; detail: boolean[] } + | { error: string }; + +// 提交试卷:服务端判分、记录成绩、错题入库;可重考,取最近一次成绩 +export async function takeExam(paperId: string, answers: AnswerValue[]): Promise { + const user = await getSessionUser(); + if (!user || user.role !== "child") return { error: "会话无效,请重新激活设备" }; + + const paper = await getPaper(paperId); + if (!paper) return { error: "试卷不存在" }; + + const questions = paperQuestions(paper); + if (questions.length === 0) return { error: "试卷暂无题目" }; + + const g = gradeAnswers(questions, answers); + questions.forEach((q, i) => { + if (!g.detail[i]) void recordWrong(user.id, "exam", paperId, paper.title, q, answers[i]); + }); + await recordExam(user.id, paperId, paper.title, g.score, g.correct, g.total, g.passed, answers); + + revalidatePath("/exam"); + revalidatePath(`/exam/${paperId}`); + revalidatePath("/kid"); + revalidatePath("/parent"); + revalidatePath("/wrongbook"); + return g; +} diff --git a/src/app/exam/page.tsx b/src/app/exam/page.tsx new file mode 100644 index 0000000..e121611 --- /dev/null +++ b/src/app/exam/page.tsx @@ -0,0 +1,115 @@ +// xuchao: 考试中心——按月度分组的试卷列表,首期初一上学期数学 +import Link from "next/link"; +import { ScrollText } from "lucide-react"; +import { redirect } from "next/navigation"; +import { BackgroundBlobs } from "@/components/background-blobs"; +import { Badge } from "@/components/ui/badge"; +import { cn } from "@/lib/utils"; +import { EXAM_TYPE_LABEL, listPapers, recordsByPaper } from "@/lib/exam"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; + +// xuchao: 月份分组展示顺序与标签(初一上:9月~次年1月) +const MONTH_LABEL: Record = { + 9: "9 月 · 有理数", + 10: "10 月 · 整式的加减", + 11: "11 月 · 一元一次方程", + 12: "12 月 · 几何图形初步", + 1: "1 月 · 期末全册", +}; +const MONTH_ORDER = [9, 10, 11, 12, 1]; + +export default async function ExamHome() { + const user = await getSessionUser(); + if (!user) redirect("/join"); + if (user.role !== "child") redirect("/parent"); + + const papers = await listPapers("g7", "s1"); + const records = await recordsByPaper(user.id); + + return ( +
+ +
+ + ← 返回打卡 + + 初一上学期 · 数学 +
+ +
+ 考试中心 +

真实月考 / 期中 / 期末卷

+

按月度分类,与真实试卷格式一致;≥80 分达标,错题自动进错题本。

+
+ + {papers.length === 0 ? ( +
+

📄

+

试卷还在整理中

+

稍后再来看看吧

+
+ ) : ( + MONTH_ORDER.map((m) => { + const group = papers.filter((p) => p.month === m); + if (group.length === 0) return null; + return ( +
+
+

{MONTH_LABEL[m] ?? `${m} 月`}

+

{group.length} 套试卷

+
+
+ {group.map((p) => { + const rec = records.get(p.paperId); + return ( + +
+
+
+ + {EXAM_TYPE_LABEL[p.examType] ?? p.examType} + + {p.duration && {p.duration} 分钟} + {p.fullScore && 满分 {p.fullScore}} +
+

{p.title}

+

+ {[p.year, p.region].filter(Boolean).join(" · ")} +

+
+
+ {rec ? ( + <> + + {rec.score} + + {rec.passed ? "已达标" : "未达标"} + + ) : ( + <> + + 未作答 + + )} +
+
+ + ); + })} +
+
+ ); + }) + )} +
+ ); +} diff --git a/src/app/kid/page.tsx b/src/app/kid/page.tsx index 85e567a..3d43527 100644 --- a/src/app/kid/page.tsx +++ b/src/app/kid/page.tsx @@ -1,4 +1,4 @@ -import { BookOpen, Flame, Languages } from "lucide-react"; +import { BookOpen, Calculator, Flame, Languages } from "lucide-react"; import Link from "next/link"; import { redirect } from "next/navigation"; import { and, eq, sql } from "drizzle-orm"; @@ -12,6 +12,8 @@ import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; import { streakOf } from "@/lib/streak"; import { dayTasks, childCheckStats } from "@/lib/tasks"; import { listPoints, passedByPoint } from "@/lib/grammar"; +import { listMathPoints, mathPassedByPoint } from "@/lib/math"; +import { recordsByPaper } from "@/lib/exam"; import { TaskCard } from "./task-card"; export default async function KidPage() { @@ -41,6 +43,16 @@ export default async function KidPage() { .where(and(eq(wordProgress.childUserId, user.id), eq(wordProgress.passed, true))); const wDone = wd.n; + // 数学思维入口:下一课标题 + 已点亮数 + const mPassed = await mathPassedByPoint(user.id); + const mPoints = await listMathPoints(); + const mGoal = mPoints.find((p) => !mPassed.has(p.pointId)); + const mDone = mPassed.size; + + // 考试中心入口:已考卷数 + const examRecords = await recordsByPaper(user.id); + const examDone = examRecords.size; + return (
@@ -86,7 +98,31 @@ export default async function KidPage() { + +
+
+ +
+
+

数学思维 · 已点亮 {mDone} 课

+

+ {mGoal ? mGoal.title : "全部点亮,真棒!"} +

+
+ → +
+ +
+ +
+ 📄 +
+

考试中心

+

真实月考/期中/期末卷{examDone > 0 ? ` · 已考 ${examDone} 卷` : ""}

+
+
+
📝 @@ -96,6 +132,15 @@ export default async function KidPage() {
+ +
+ 🧮 +
+

数学每周检测

+

看看这周数学掌握得怎样

+
+
+
📒 diff --git a/src/app/learn/lesson-body.tsx b/src/app/learn/lesson-body.tsx index 81d68d4..2ee1f0b 100644 --- a/src/app/learn/lesson-body.tsx +++ b/src/app/learn/lesson-body.tsx @@ -3,16 +3,45 @@ import { Md } from "./md"; import { QuizBlock } from "./quiz-block"; import { extractQuiz, type QuizQ } from "@/lib/quiz-parse"; +import type { AnswerValue } from "@/lib/grammar"; +import type { QuizResult } from "./actions"; // 课文 = 前段 markdown + ⑤即时练习(quiz)+ 后段 markdown(小结/知识卡) -export function LessonBody({ md, pointId }: { md: string; pointId: string }) { +// submitter 可选:英语课用默认提交,数学课传入自己的服务端判分函数 +export function LessonBody({ + md, + pointId, + submitter, + quizTitle, + passText, + backHref, + backLabel, +}: { + md: string; + pointId: string; + submitter?: (a: AnswerValue[]) => Promise; + quizTitle?: string; + passText?: string; + backHref?: string; + backLabel?: string; +}) { const parts = md.split(/```quiz\s*\n[\s\S]*?```/); const questions: QuizQ[] = extractQuiz(md); return (
- {questions.length > 0 && } + {questions.length > 0 && ( + + )} {parts.slice(1).join("\n").trim() !== "" && }
); diff --git a/src/app/learn/quiz-block.tsx b/src/app/learn/quiz-block.tsx index a51dfb9..541c704 100644 --- a/src/app/learn/quiz-block.tsx +++ b/src/app/learn/quiz-block.tsx @@ -12,14 +12,25 @@ import { submitQuiz, type QuizResult } from "./actions"; type AV = AnswerValue | null; // 结课检验:选择/判断/填空/连词成句/连线,提交后服务端判分,达标点亮并联动打卡 +// 文案可配置:数学课/考试卷复用此组件时传入各自的标题、打卡文案与返回地址 export function QuizBlock({ pointId, questions, submitter, + title = "⑤ 即时练习", + subtitle = "做完提交,马上判分;每题有解说,达标即点亮本课。", + passText = "本课点亮 🎉 已计入今日英语打卡", + backHref = "/learn", + backLabel = "返回课程地图", }: { pointId: string; questions: QuizQ[]; submitter?: (a: AnswerValue[]) => Promise; + title?: string; + subtitle?: string; + passText?: string; + backHref?: string; + backLabel?: string; }) { const [answers, setAnswers] = useState(questions.map(() => null)); const [result, setResult] = useState | null>(null); @@ -53,8 +64,8 @@ export function QuizBlock({ return (
-

⑤ 即时练习

-

做完提交,马上判分;每题有解说,达标即点亮本课。

+

{title}

+

{subtitle}

{questions.map((q, qi) => { const a = answers[qi]; @@ -151,7 +162,7 @@ export function QuizBlock({

{result.score} 分

答对 {result.correct} / {result.total} - {result.passed ? " · 本课点亮 🎉 已计入今日英语打卡" : " · 看看解说,再试一次"} + {result.passed ? ` · ${passText}` : " · 看看解说,再试一次"}

{!result.passed && ( @@ -159,8 +170,8 @@ export function QuizBlock({ 重做练习 )} - - + +
diff --git a/src/app/math/[id]/page.tsx b/src/app/math/[id]/page.tsx new file mode 100644 index 0000000..78fd69b --- /dev/null +++ b/src/app/math/[id]/page.tsx @@ -0,0 +1,57 @@ +// xuchao: 数学课时页(结构同英语课,判分走数学 action) +import Link from "next/link"; +import { redirect } from "next/navigation"; +import { BackgroundBlobs } from "@/components/background-blobs"; +import { Badge } from "@/components/ui/badge"; +import { getMathPoint, mathPassedByPoint } from "@/lib/math"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { LessonBody } from "@/app/learn/lesson-body"; +import { submitMathQuiz } from "../actions"; + +export default async function MathLessonPage({ params }: { params: Promise<{ id: string }> }) { + const user = await getSessionUser(); + if (!user) redirect("/join"); + if (user.role !== "child") redirect("/parent"); + + const pointId = (await params).id; + const point = await getMathPoint(pointId); + if (!point) redirect("/math"); + + const passed = await mathPassedByPoint(user.id); + const alreadyPassed = passed.has(pointId); + + return ( +
+ +
+ + ← 数学课程地图 + +
+ {point.moduleName} + {point.grade && {point.grade}} + 难度 {"★".repeat(point.difficulty)} + {alreadyPassed && ( + 已点亮 + )} +
+

+ {point.title} +

+ {point.summary &&

🎯 {point.summary}

} +
+ +
+ +
+
+ ); +} diff --git a/src/app/math/actions.ts b/src/app/math/actions.ts new file mode 100644 index 0000000..96304a0 --- /dev/null +++ b/src/app/math/actions.ts @@ -0,0 +1,37 @@ +"use server"; + +// xuchao: 数学课即时练习判分(同英语 submitQuiz,打卡联动数学) +import { revalidatePath } from "next/cache"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { completeMathPoint, extractQuiz, getMathPoint, gradeAnswers, type AnswerValue } from "@/lib/math"; +import { recordWrong } from "@/lib/wrongbook"; + +export type QuizResult = + | { score: number; passed: boolean; correct: number; total: number; detail: boolean[] } + | { error: string }; + +// 提交数学课练习:服务端判分,达标记进度并联动数学打卡 +export async function submitMathQuiz(pointId: string, answers: AnswerValue[]): Promise { + const user = await getSessionUser(); + if (!user || user.role !== "child") return { error: "会话无效,请重新激活设备" }; + + const point = await getMathPoint(pointId); + if (!point) return { error: "课程不存在" }; + + const questions = extractQuiz(point.md); + if (questions.length === 0) return { error: "本课暂无练习题" }; + + const g = gradeAnswers(questions, answers); + // 错题进错题本(带详细讲解) + questions.forEach((q, i) => { + if (!g.detail[i]) void recordWrong(user.id, "mlesson", pointId, point.title, q, answers[i]); + }); + await completeMathPoint(user.id, pointId, point.title, g.score, g.passed); + + revalidatePath("/math"); + revalidatePath(`/math/${pointId}`); + revalidatePath("/kid"); + revalidatePath("/parent"); + revalidatePath("/wrongbook"); + return g; +} diff --git a/src/app/math/page.tsx b/src/app/math/page.tsx new file mode 100644 index 0000000..b4e5486 --- /dev/null +++ b/src/app/math/page.tsx @@ -0,0 +1,121 @@ +// xuchao: 数学思维课程地图(结构同英语 /learn,按七大模块分组) +import Link from "next/link"; +import { Calculator, Check } from "lucide-react"; +import { redirect } from "next/navigation"; +import { BackgroundBlobs } from "@/components/background-blobs"; +import { Button } from "@/components/ui/button"; +import { cn } from "@/lib/utils"; +import { MODULES, listMathPoints, mathPassedByPoint, totalMathPoints } from "@/lib/math"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; + +export default async function MathHome() { + const user = await getSessionUser(); + if (!user) redirect("/join"); + if (user.role !== "child") redirect("/parent"); + + const points = await listMathPoints(); + const passed = await mathPassedByPoint(user.id); + const total = await totalMathPoints(); + const done = passed.size; + const pct = total ? Math.round((done / total) * 100) : 0; + const next = points.find((p) => !passed.has(p.pointId)); + + return ( +
+ +
+ + ← 返回打卡 + + + 已点亮 {done} / {total} + +
+ + {next ? ( +
+ + 推荐下一课 · {next.moduleName} + +

{next.title}

+

每天一课约 40 分钟,学完做即时练习,达标即点亮。

+ + + +
+ ) : ( +
+

🏆

+

全部数学课都点亮了!

+
+ )} + +
+
+ 总进度 + {pct}% +
+
+
+
+
+ + {MODULES.map((mod) => { + const group = points.filter((p) => p.module === mod.id); + if (group.length === 0) return null; + const modDone = group.filter((p) => passed.has(p.pointId)).length; + return ( +
+
+
+

+ {mod.name} + {"★".repeat(mod.stars)} +

+

{mod.desc}

+
+ + {modDone}/{group.length} + +
+
+ {group.map((p) => { + const doneIt = passed.has(p.pointId); + return ( + + + {doneIt && } + + {p.title} + + ); + })} +
+
+ ); + })} +

+ 每课学完做即时练习,≥80 分点亮;每周还有数学周检测 +

+
+ ); +} diff --git a/src/app/math/weekly/actions.ts b/src/app/math/weekly/actions.ts new file mode 100644 index 0000000..3d6691d --- /dev/null +++ b/src/app/math/weekly/actions.ts @@ -0,0 +1,77 @@ +"use server"; + +// xuchao: 数学每周检测判分(同英语 takeWeekly,打卡联动数学) +import { revalidatePath } from "next/cache"; +import { and, eq, sql } from "drizzle-orm"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { gradeAnswers, type AnswerValue } from "@/lib/grammar"; +import { buildMathWeeklyQuestions, currentMathWeekKey, getMathWeeklyRecord } from "@/lib/math-weekly"; +import { recordWrong } from "@/lib/wrongbook"; +import { db } from "@/db"; +import { taskInstances, mathWeeklyTest } from "@/db/schema"; +import { todayStr } from "@/lib/dates"; + +export type MathWeeklyResult = + | { score: number; passed: boolean; correct: number; total: number; detail: boolean[] } + | { error: string }; + +// 提交数学每周检测:判分、记录、错题入库、达标关联当日数学打卡 +export async function takeMathWeekly(answers: AnswerValue[]): Promise { + const user = await getSessionUser(); + if (!user || user.role !== "child") return { error: "会话无效,请重新激活设备" }; + const wk = currentMathWeekKey(); + const existing = await getMathWeeklyRecord(user.id, wk); + if (existing) return { error: "本周已完成数学检测,下周再来。" }; + + const questions = await buildMathWeeklyQuestions(user.id, wk); + if (questions.length === 0) return { error: "暂无可组卷的题目,先学几课吧。" }; + + const g = gradeAnswers(questions, answers); + questions.forEach((q, i) => { + if (!g.detail[i]) void recordWrong(user.id, "mweekly", wk, `数学周检测 ${wk}`, q, answers[i]); + }); + + await db + .insert(mathWeeklyTest) + .values({ + childUserId: user.id, + weekKey: wk, + score: g.score, + correct: g.correct, + total: g.total, + passed: g.passed, + questions: JSON.stringify(questions), + }) + .onDuplicateKeyUpdate({ set: { score: g.score, correct: g.correct, total: g.total, passed: g.passed } }); + + // 达标关联当日数学打卡 + if (g.passed) { + const today = todayStr(); + const title = `数学周检测 · ${wk}`; + const [ex] = await db + .select({ id: taskInstances.id, status: taskInstances.status }) + .from(taskInstances) + .where(and(eq(taskInstances.childUserId, user.id), eq(taskInstances.date, today), eq(taskInstances.title, title))) + .limit(1); + if (ex) { + if (ex.status !== "done") + await db.update(taskInstances).set({ status: "done", doneAt: sql`CURRENT_TIMESTAMP` }).where(eq(taskInstances.id, ex.id)); + } else { + await db.insert(taskInstances).values({ + childUserId: user.id, + date: today, + title, + subject: "math", + status: "done", + doneAt: new Date(), + sortOrder: 95, + }); + } + } + + revalidatePath("/math/weekly"); + revalidatePath("/kid"); + revalidatePath("/parent"); + revalidatePath("/wrongbook"); + return g; +} diff --git a/src/app/math/weekly/page.tsx b/src/app/math/weekly/page.tsx new file mode 100644 index 0000000..3c2fcbc --- /dev/null +++ b/src/app/math/weekly/page.tsx @@ -0,0 +1,60 @@ +// xuchao: 数学每周检测页(结构同英语 /weekly) +import Link from "next/link"; +import { redirect } from "next/navigation"; +import { BackgroundBlobs } from "@/components/background-blobs"; +import { getSessionUser } from "@/lib/auth"; +import { buildMathWeeklyQuestions, currentMathWeekKey, getMathWeeklyRecord } from "@/lib/math-weekly"; +import { QuizBlock } from "@/app/learn/quiz-block"; +import { takeMathWeekly } from "./actions"; + +export default async function MathWeeklyPage() { + const user = await getSessionUser(); + if (!user) redirect("/join"); + if (user.role !== "child") redirect("/parent"); + + const wk = currentMathWeekKey(); + const record = await getMathWeeklyRecord(user.id, wk); + const questions = record ? [] : await buildMathWeeklyQuestions(user.id, wk); + + return ( +
+ +
+ + ← 返回数学 + +

数学每周检测

+ {wk} +
+

+ 从你已点亮的数学课里抽 10 题,判断这周的掌握情况;达标自动计入今日数学打卡,错题进错题本。 +

+ + {record ? ( +
+

{record.score} 分

+

+ 答对 {record.correct} / {record.total} · {record.passed ? "本周掌握良好 🎉" : "看看错题本,下周再战"} +

+
+ ) : ( + + )} +
+ ); +} diff --git a/src/content/exam/g7-s1-01.json b/src/content/exam/g7-s1-01.json new file mode 100644 index 0000000..c59a545 --- /dev/null +++ b/src/content/exam/g7-s1-01.json @@ -0,0 +1,112 @@ +{ + "papers": [ + { + "id": "g7s1-m01-gongyi", + "grade": "g7", + "semester": "s1", + "month": 1, + "examType": "final", + "title": "2025-2026学年第一学期期末考试试卷七年级数学（客观题）", + "region": "河南郑州", + "year": 2026, + "duration": 100, + "fullScore": 39, + "sourceUrl": "https://www.zxxk.com/soft/58892845.html", + "summary": "据学科网原卷转录,仅含选择题与填空题客观题部分,解答题未收录;客观题合计 39 分。", + "questions": [ + { + "type": "choice", + "stem": "下列各数中，绝对值最小的数是（）", + "options": ["A. -3", "B. -1/2", "C. 0", "D. 1"], + "answer": 2, + "explain": "|-3|=3，|-1/2|=1/2，|0|=0，|1|=1，其中0最小，故绝对值最小的数是0。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "2024年中秋假期第二天，据成都东部新区世园会运营部统计，全天累计入园达62100人次．62100用科学记数法表示为（）", + "options": ["A. 6.21×10⁴", "B. 6.21×10⁵", "C. 0.621×10⁴", "D. 0.621×10⁵"], + "answer": 0, + "explain": "62100=6.21×10⁴（小数点左移4位，n=4），故选A。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成（下层4个、上层1个，上层立方块位于下层左侧一列的上方），从前面看得到的图形是（）", + "options": [ + "A. 竖排三个正方形，中间正方形右侧还有一个正方形", + "B. 横排三个正方形，最左正方形上方还有一个正方形", + "C. 横排两个正方形，左边正方形上方还有一个正方形", + "D. 竖排三个正方形，最上正方形右侧还有一个正方形" + ], + "answer": 2, + "explain": "从前面看左右两列：左列两层、右列一层，即上层一个正方形（居左）、下层两个正方形，为C。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "若x=-2是方程2x+a=1的解，则a的值为（）", + "options": ["A. 3", "B. 5", "C. -3", "D. -5"], + "answer": 1, + "explain": "把x=-2代入方程，得2×(-2)+a=1，即-4+a=1，解得a=5。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图，正方体的表面展开图上写有“我们热爱中国”六个字（上排“我”“们”，中排“热”“中”“国”，其中“国”在“我”正下方，下排“爱”在“中”正下方），还原成正方体后“我”的对面的字是（）", + "options": ["A. 热", "B. 爱", "C. 中", "D. 国"], + "answer": 1, + "explain": "正方体展开图中相对面中间必隔一个正方形：“我”对“爱”，“们”对“中”，“热”对“国”。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "已知ax=ay，下列等式变形不一定成立的是（）", + "options": ["A. b+ax=b+ay", "B. x=y", "C. x-ax=x-ay", "D. ax/(a²+1)=ay/(a²+1)"], + "answer": 1, + "explain": "等式两边同加同减仍成立（A、C）；a²+1≠0，两边同除以a²+1成立（D）；B需两边同除以a，当a=0时不能除，x=y不一定成立。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "有理数a、b在数轴上的位置如图所示（a在原点左侧、b在原点右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离），下列式子错误的是（）", + "options": ["A. ab", "C. a²0"], + "answer": 2, + "explain": "由图a<0|b|：A正确；-a=|a|>|b|=b，B正确；a²=|a|²>|b|²=b²，故a²0，D正确。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "一把直尺和一块三角板（含30°,60°角）如图所示摆放，三角板直角顶点为C，∠BAC=60°，∠B=30°，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且∠CAD=50°，那么∠BAD的大小是（）", + "options": ["A. 10°", "B. 20°", "C. 30°", "D. 40°"], + "answer": 0, + "explain": "∠BAD=∠BAC-∠CAD=60°-50°=10°。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人乘一车，则最终剩余1辆车；若每2人乘一车，则最终剩余8人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x个人，那么可列方程为（）", + "options": ["A. 4(x-1)=2x+8", "B. 4(x+1)=2x-8", "C. x/4+1=(x+8)/2", "D. x/4+1=(x-8)/2"], + "answer": 3, + "explain": "车数不变：每4人一车空1辆，车数为x/4+1；每2人一车余8人步行，车数为(x-8)/2，故x/4+1=(x-8)/2。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "单项式-3πx²y/2的系数是___________．", + "answers": ["-3π/2", "-(3/2)π", "-1.5π"], + "explain": "系数是单项式中的数字因数，π是常数属于系数，故系数为-3π/2。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "将13转换为二进制数为___________．", + "answers": ["1101", "1101₂", "(1101)₂"], + "explain": "13=8+4+1=1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰，故二进制为1101。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "已知x-3y=2，那么代数式1+2x-6y的值是___________．", + "answers": ["5"], + "explain": "1+2x-6y=1+2(x-3y)=1+2×2=5。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "一个角的补角是125°，则这个角的余角为___________．", + "answers": ["35°", "35"], + "explain": "这个角=180°-125°=55°，其余角=90°-55°=35°。" + } + ] + } + ] +} diff --git a/src/content/exam/g7-s1-09.json b/src/content/exam/g7-s1-09.json new file mode 100644 index 0000000..8544d74 --- /dev/null +++ b/src/content/exam/g7-s1-09.json @@ -0,0 +1,105 @@ +{ + "papers": [ + { + "id": "g7s1-m09-zhengzhou4", + "grade": "g7", + "semester": "s1", + "month": 9, + "examType": "monthly", + "title": "2025-2026学年河南省郑州四中七年级（上）月考数学试卷（10月份）（客观题）", + "region": "河南郑州", + "year": 2025, + "fullScore": 39, + "sourceUrl": "https://www.zxxk.com/soft/55491209.html", + "summary": "据学科网原卷转录,仅含选择题与填空题客观题部分,解答题未收录;客观题合计 39 分。", + "questions": [ + { + "type": "choice", + "stem": "－5的相反数是（）", + "options": ["A. -1/5", "B. 1/5", "C. 5", "D. -5"], + "answer": 2, + "explain": "只有符号不同的两个数互为相反数，-5的相反数是5。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图，图中属于柱体的个数是（）（图中从左到右依次为：正方体、圆锥、长方体、圆柱、球、三棱柱）", + "options": ["A. 3", "B. 4", "C. 5", "D. 6"], + "answer": 1, + "explain": "柱体分为圆柱和棱柱：正方体、长方体、圆柱、三棱柱属于柱体，共4个；圆锥是锥体、球是球体。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "下列说法中正确的是（）", + "options": ["A. 正有理数和负有理数统称为有理数", "B. 整数和小数统称有理数", "C. 整数、零和分数统称为有理数", "D. 整数和分数统称为有理数"], + "answer": 3, + "explain": "有理数包括整数和分数（或正有理数、0、负有理数）：A漏了0；B中无限不循环小数不是有理数；C中零已包含在整数内，分类重复说法不当；D正确。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "分别用一个平面去截如图所示的几何体，能得到三角形截面的几何体共有（）（图中从左到右依次为：长方体、圆柱、三棱柱、圆锥、球）", + "options": ["A. 2个", "B. 3个", "C. 4个", "D. 5个"], + "answer": 1, + "explain": "用平面截长方体、三棱柱、圆锥都能得到三角形截面；截圆柱和球不能得到三角形截面，共3个。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图是正方体表面展开图（中间一行4个正方形；最左边正方形上方有1个正方形，其左上顶点为A；中间一行从左数第3个正方形下方有1个正方形，该下方正方形的左上、右上、左下、右下顶点依次为B、D、C、E）。将其折叠成正方体后，距顶点A最近的点是（）", + "options": ["A. B点", "B. C点", "C. D点", "D. E点"], + "answer": 2, + "explain": "将展开图折叠成正方体后，点E与顶点A重合，B、C、D中与A距离最近的是D点。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "比-3又1/3大且比2又1/3小的所有整数的和为（）", + "options": ["A. 4", "B. 0", "C. 3", "D. -3"], + "answer": 3, + "explain": "满足条件的整数有-3，-2，-1，0，1，2，它们的和为(-3)+(-2)+(-1)+0+1+2=-3。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "纽约与北京的时差为-13h（负数表示同一时刻纽约比北京晚的时数），小明10月1日在北京乘坐早晨8：00的航班飞行约20h到达纽约，此时纽约时间是（）", + "options": ["A. 10月1日7时", "B. 10月1日15时", "C. 10月2日15时", "D. 10月2日7时"], + "answer": 1, + "explain": "8+20+(-13)=15，即到达时纽约时间是10月1日15时。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图，由若干相同大小的小正方体组成的几何体，从不同方向看到的图形如图所示（从正面看：下层一行3个正方形，最右一列上方1个正方形；从左面看：下层一行2个正方形，左列上方1个正方形），组成该几何体最少需要m个小正方体，最多需要n个小正方体，则m，n分别为（）", + "options": ["A. 3，7", "B. 4，7", "C. 3，8", "D. 4，8"], + "answer": 1, + "explain": "从正面看三列高为1、1、2，从左面看前后两行高为2、1。最多时每个位置高度取两方向高度的较小值：(1+1)+(1+1)+(2+1)=7个；最少时只需每列、每行的最大高度被满足：一摞高2加两个高1，共4个。故m=4，n=7。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "在朱自清的《春》中描写春雨“像牛毛、像花针、像细丝，密密麻麻地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种生活现象可以反映的数学原理是__________．", + "answers": ["线动成面"], + "explain": "雨被看成线，密密麻麻斜织成片（面），反映的数学原理是线动成面。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "若|m-3|与|2n+4|互为相反数，则2m-3n=______．", + "answers": ["12"], + "explain": "绝对值都非负，两非负数互为相反数则都为0：m-3=0，2n+4=0，得m=3，n=-2，故2m-3n=6+6=12。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "一个直三棱柱，它的底面边长都相等，侧棱长12cm，侧面积是144cm²，那么它的底面边长是______．", + "answers": ["4cm", "4"], + "explain": "直三棱柱侧面积=底面周长×侧棱长=3a×12=144，解得底面边长a=4cm。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "正六边形ABCDEF（六条边相等）在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0（F在0处、A在1处，B、C、D、E依次在右、右上、左上、左方）。若正六边形绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；…按此规律继续翻转下去，数轴上数2026所对应的顶点是______．", + "answers": ["D", "点D", "顶点D"], + "explain": "数k对应的顶点以6为周期：0→F，1→A，2→B，3→C，4→D，5→E。2026÷6=337余4，故2026对应的顶点是D。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从-4到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为1:1:2，则折痕处对应的点所表示的数可能是_____", + "answers": ["2或4或6", "2、4、6"], + "explain": "三线段长为4、4、8。设两剪点为p、q（p”或“<”）．", + "answers": [">"], + "explain": "通分：-2/3=-8/12，-3/4=-9/12，-8/12>-9/12，故-2/3>-3/4。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "若m-2n=2，则2m-4n+5的值是___________．", + "answers": ["9"], + "explain": "2m-4n+5=2(m-2n)+5=2×2+5=9。" + } + ] + } + ] +} diff --git a/src/content/exam/g7-s1-11.json b/src/content/exam/g7-s1-11.json new file mode 100644 index 0000000..42f8b2f --- /dev/null +++ b/src/content/exam/g7-s1-11.json @@ -0,0 +1,112 @@ +{ + "papers": [ + { + "id": "g7s1-m11-bincheng", + "grade": "g7", + "semester": "s1", + "month": 11, + "examType": "midterm", + "title": "2025—2026学年度第一学期期中教学质量检测七年级数学试题（A）（客观题）", + "region": "山东滨州", + "year": 2025, + "duration": 120, + "fullScore": 42, + "sourceUrl": "https://www.zxxk.com/soft/55249928.html", + "summary": "据学科网原卷转录,仅含选择题与填空题客观题部分,解答题未收录;客观题合计 42 分。", + "questions": [ + { + "type": "choice", + "stem": "某地今年1月1日至1月4日每天的最高气温与最低气温如下表：1月1日最高气温5℃、最低气温0℃；1月2日最高气温4℃、最低气温-2℃；1月3日最高气温0℃、最低气温-4℃；1月4日最高气温4℃、最低气温-3℃。其中温差最大的是（）", + "options": ["A. 1月1日", "B. 1月2日", "C. 1月3日", "D. 1月4日"], + "answer": 3, + "explain": "温差=最高气温-最低气温：1月1日5-0=5℃，1月2日4-(-2)=6℃，1月3日0-(-4)=4℃，1月4日4-(-3)=7℃，故温差最大的是1月4日。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "截至2025年5月，国家智慧教育平台注册用户已突破1.64亿，成为世界第一大教育资源数字化中心和平台。将1.64亿用科学记数法表示应为（）", + "options": ["A. 16.4×10⁷", "B. 0.164×10⁹", "C. 1.64×10⁸", "D. 1.64×10⁹"], + "answer": 2, + "explain": "1.64亿=164000000=1.64×10⁸。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "把8-(+4)+(-6)-(-5)写成省略括号和加号的形式是（）", + "options": ["A. 8+(-4)+(-6)+5", "B. 8-4-6-5", "C. 8-4-6+5", "D. 8+4-6-5"], + "answer": 2, + "explain": "8-(+4)+(-6)-(-5)=8-4-6+5：减去+4得-4，加上-6得-6，减去-5得+5。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示（b在-1左侧，a在0与1之间），则下列各式正确的是（）", + "options": ["A. -b<-a|a|，故b<-a0；反之，若a>0，则|a|=a"], + "answer": 0, + "explain": "绝对值都是非负数，A正确；B中a还可为0；C中还有0，共7个；D中|a|=a时a也可为0。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案（第①个图案为1个正方形与1个六边形拼接、相邻图形共用一条边，第②个为1个正方形与2个六边形拼接，第③个为1个正方形与3个六边形拼接，第④个为1个正方形与4个六边形拼接），其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，若第n个图案中有y根木棍，则y与n之间的关系式是（）", + "options": ["A. y=5n+4", "B. y=5n-1", "C. y=2n+1", "D. y=2n-1"], + "answer": 0, + "explain": "每个图案比前一个多5根木棍：9，14，19，24，…，故y=9+5(n-1)=5n+4。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "月球表面温度白天最高130℃，记为+130℃；则夜间最低零下175℃，记为______℃。", + "answers": ["-175"], + "explain": "零上记为正，则零下记为负，零下175℃记为-175℃。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "用“＞”、“＜”、“＝”填空：① -0.02 ______ -4/5；② -3/4 ______ -(-3/4)；③ -[+(-0.75)] ______ 4/7。", + "answers": ["①＞ ②＜ ③＞", "＞，＜，＞"], + "explain": "① -4/5=-0.8，-0.02>-0.8；② -(-3/4)=3/4为正，-3/4<3/4；③ -[+(-0.75)]=0.75=21/28>4/7=16/28。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "已知代数式x+2y的值是3，则代数式2x+4y+2025的值是______。", + "answers": ["2031"], + "explain": "2x+4y+2025=2(x+2y)+2025=2×3+2025=2031。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "在50，6.3，2025，-12，19%，-3.12（12循环），-11，-5%中，正整数有a个，负有理数有b个，则代数式(a-b)³的值为______。", + "answers": ["-8"], + "explain": "正整数为50、2025，a=2；负有理数为-12、-3.12（循环）、-11、-5%，b=4；(a-b)³=(2-4)³=(-2)³=-8。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "如果路程为s，速度为v，时间为t，那么t与s、v之间的关系可以用式子表示为______，v与t之间的关系是______关系（填“正比例”或“反比例”）。", + "answers": ["t=s/v，反比例"], + "explain": "时间=路程÷速度，即t=s/v；路程s一定时，v与t的乘积为定值s，成反比例关系。" + }, + { + "type": "fill", + "stem": "上海举办过第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14），会徽的主题图案（如图）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂成就，图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745。我们常用的数是十进制数，如4657=4×10³+6×10²+5×10¹+7×10⁰。（规定：当a≠0时，a⁰=1）八进制是以8作为进位基数的数字系统，有8个基本数字0~7。八进制数(3745)₈换算成十进制数是3×8³+7×8²+4×8¹+5×8⁰=2021。将八进制数(2037)₈换算成十进制数为______。", + "answers": ["1055"], + "explain": "(2037)₈=2×8³+0×8²+3×8¹+7×8⁰=1024+0+24+7=1055。" + } + ] + } + ] +} diff --git a/src/content/exam/g7-s1-12.json b/src/content/exam/g7-s1-12.json new file mode 100644 index 0000000..6ba64ba --- /dev/null +++ b/src/content/exam/g7-s1-12.json @@ -0,0 +1,110 @@ +{ + "papers": [ + { + "id": "g7s1-m12-bj101", + "grade": "g7", + "semester": "s1", + "month": 12, + "examType": "monthly", + "title": "七年级数学（客观题）", + "region": "北京", + "year": 2025, + "fullScore": 39, + "sourceUrl": "https://www.zxxk.com/soft/55926833.html", + "summary": "据学科网原卷转录,仅含选择题与填空题客观题部分,解答题未收录;客观题合计 39 分。", + "questions": [ + { + "type": "choice", + "stem": "-2的倒数是（）", + "options": ["A. -2", "B. -1/2", "C. 1/2", "D. 2"], + "answer": 1, + "explain": "乘积为1的两个数互为倒数,-2×(-1/2)=1,故-2的倒数是-1/2。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设。北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为4×10¹⁷ Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops，则m的值为（）", + "options": ["A. 8×10¹⁶", "B. 2×10¹⁷", "C. 5×10¹⁷", "D. 2×10¹⁸"], + "answer": 3, + "explain": "m=4×10¹⁷×5=20×10¹⁷=2×10¹⁸。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "若{x=2, y=-1}是关于x、y的二元一次方程mx+y=3的解，则m的值为（）", + "options": ["A. 1", "B. -1", "C. -2", "D. 2"], + "answer": 3, + "explain": "把x=2，y=-1代入mx+y=3，得2m-1=3，解得m=2。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字。其中，手的对面是口的是（）", + "options": [ + "A. 上排自左至右为勤、洗、手，下排自左至右为戴、口、罩，其中戴在手的正下方", + "B. 中排自左至右为洗、手、戴、口，勤在洗的正上方，罩在口的正下方", + "C. 上排自左至右为勤、洗，中排自左至右为手、戴（手在洗的正下方），下排自左至右为口、罩（口在戴的正下方）", + "D. 中排自左至右为洗、手、戴，勤在洗的正上方，口在手的正下方，罩在口的正下方" + ], + "answer": 1, + "explain": "正方体展开图中相对的面之间一定相隔一个正方形：A中手的对面是勤，C中手的对面是罩，D中手的对面是罩，只有B中手的对面是口。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图，长和宽为a、b的长方形的周长为14，面积为10，则ab(a+b)的值为（）", + "options": ["A. 140", "B. 70", "C. 35", "D. 24"], + "answer": 1, + "explain": "由周长得2(a+b)=14，即a+b=7；由面积得ab=10；所以ab(a+b)=10×7=70。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如图所示，已知O是直线AB上一点，射线OC、OD在直线同侧（OC在左、OD在右），∠1即∠AOC，∠2即∠BOD，∠1＝40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（）", + "options": ["A. 20°", "B. 25°", "C. 30°", "D. 70°"], + "answer": 3, + "explain": "∠BOC=180°-∠1=140°；OD平分∠BOC，∠2=BOC÷2=70°。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "如果一个角的度数比它的补角的度数2倍多30°，那么这个角的度数是（）", + "options": ["A. 50°", "B. 70°", "C. 130°", "D. 160°"], + "answer": 2, + "explain": "设这个角为x，则x=2(180°-x)+30°，解得3x=390°，x=130°。" + }, + { + "type": "choice", + "stem": "已知数a、b在数轴上的位置如图所示（a在原点左侧，b在原点右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离），下列结论：①ab<0；②a+b>0；③a³>b³；④(a-b)³>0；⑤a<-b|b|：①ab<0正确；②a+b<0错误；③a³ ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n学会了 20 以内的加法之后,我们要开始用加法解决生活中的问题。本课要学会两类加法应用题:求总数(把两部分合起来)和求比几多几。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 求总数——把两部分合起来\n把两部分合起来算总数,要用加法。\n关键引导词:“合起来”“一共”“总共有”“又来了”。\n解题四步:\n1. 读题,找出两个已知的数量;\n2. 问一问:这是求合起来有多少吗?是,就用加法;\n3. 列式:第一部分 + 第二部分 = 总数;\n4. 检查:答案对不对。\n画图辅助:△△△ 是 3 个,○○○ 是 3 个,合起来 △△△○○○,就是 3+3=6 个。\n\n**例 1** 树上有 5 只小鸟,又飞来了 3 只,树上一共有几只?\n【思路】树上的 5 只 + 又来的 3 只,求合起来,用加法。\n【解答】5+3=8(只)。答:树上一共有 8 只小鸟。\n【验算/提醒】从 5 接着数 3 个:6、7、8,正确。记得写单位“只”和“答”。\n\n**例 2** 小明有 4 颗糖,妈妈又给了他 2 颗,小明现在有几颗?\n【思路】原来的 4 颗 + 妈妈给的 2 颗,合起来用加法。\n【解答】4+2=6(颗)。\n【验算/提醒】验算:4 颗再添 2 颗 → 5、6,正确。\n\n### 2. 求比几多几——小的数添上多的部分\n“比……多几”的问题,用加法算较多的那个:较大的数 = 较小的数 + 多的部分。\n\n**例 3** 小明踢了 6 下毽子,小兰比小明多踢了 3 下,小兰踢了几下?\n【思路】小兰比小明多 → 小兰 = 小明的下数 + 多的下数。\n【解答】6+3=9(下)。答:小兰踢了 9 下。\n【验算/提醒】小兰的 9 下比小明的 6 下多,9−6=3 正好多 3 下,符合题意。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 看见“一共”就想加,但“比多少”的问题要用减法 → 每次先问自己:这是合起来,还是比多少?\n- 忘记写单位、忘记写“答” → 养成“列式 → 写得数 → 写单位 → 写答”的习惯。\n- 觉得难就想不出来时,画图辅助,把两部分画出来一目了然。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红有 3 个苹果,小丽有 5 个苹果,她们一共有几个苹果?\",\"answers\":[\"8\",\"8个\"],\"explain\":\"把两部分合起来用加法:3+5=8(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"草地上有 7 只白兔,2 只灰兔,一共有几只兔子?\",\"options\":[\"8只\",\"9只\",\"10只\"],\"answer\":1,\"explain\":\"合起来用加法:7+2=9(只)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明做了 4 朵花,姐姐做了 6 朵花,两人一共做了几朵?\",\"answers\":[\"10\",\"10朵\"],\"explain\":\"4+6=10(朵)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"鱼缸里有 4 条红金鱼,3 条黑金鱼,一共有几条金鱼?\",\"answers\":[\"7\",\"7条\"],\"explain\":\"4+3=7(条)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"哥哥有 4 本书,弟弟比哥哥多 2 本,弟弟有几本书?\",\"options\":[\"2本\",\"6本\",\"8本\"],\"answer\":1,\"explain\":\"弟弟多 → 弟弟 = 哥哥 + 多的:4+2=6(本)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小白兔拔了 5 个萝卜,小灰兔比小白兔多拔了 4 个,小灰兔拔了几个?\",\"answers\":[\"9\",\"9个\"],\"explain\":\"小灰兔 = 5+4=9(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"停车场有 6 辆车,又开来了 4 辆,现在有多少辆?\",\"options\":[\"8辆\",\"9辆\",\"10辆\"],\"answer\":2,\"explain\":\"合起来用加法:6+4=10(辆)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“比几多几”的问题,求较多的那个数要用加法。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。较大的数 = 较小的数 + 多的部分,用加法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小红有 3 个苹果,小丽有 5 个苹果,求两人一共有几个,列式是 5−3=2。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。求“一共”是合起来,用加法 3+5=8;减法是用来比多少的。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解答应用题时,只写得数就行,不用写单位和答。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。要养成“列式 → 写得数 → 写单位 → 写答”的完整习惯。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 把两部分合起来求总数,用加法,引导词是“合起来、一共、又来了”。\n- “比几多几”求较大的数也用加法:较大数 = 较小数 + 多的部分。\n- 解题四步:读题找数量 → 判断用什么运算 → 列式 → 检查。\n- 写完得数要写单位和“答”。" + }, + { + "id": "apply-02", + "title": "减法应用题:求剩余与求相差", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握减法应用题中求剩余、求相差的解题方法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学了加法应用题。本课学习减法的两种用法:求剩余(从总数中去掉一部分)和求相差(两个数比多少),还要学着根据算式编应用题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 求剩余——从总数中去掉一部分\n从总数中去掉一部分,求剩下多少,用减法:总数 − 去掉的 = 剩下的。\n关键引导词:“还剩”“吃了”“飞走了”“拿走了”“卖掉了”。\n步骤:先找到总数和去掉的部分 → 列式 → 检查:剩下的一定比总数小。\n画图:○○○○○○○ 是 7 个苹果,吃了 3 个,剩下 ○○○○ 是 4 个,7−3=4。\n\n**例 1** 妈妈买了 8 个苹果,吃了 3 个,还剩几个?\n【思路】总数 8 个,吃掉 3 个是去掉一部分,用减法。\n【解答】8−3=5(个)。答:还剩 5 个。\n【验算/提醒】5 比 8 小,合理;5+3=8,正确。\n\n**例 2** 一共有 10 只小鸡,走了 4 只,还剩几只?\n【思路】总数 10 只,“走了”是去掉一部分,用减法。\n【解答】10−4=6(只)。\n【验算/提醒】“走了”就是去掉,用减法。\n\n### 2. 求相差——两个数比多少\n两个数比多少(相差多少),用减法:大数 − 小数 = 差。\n问“多几个”和问“少几个”,求的都是差,都用大数减小数。\n易混淆点:看到“比”字就想用加法 → 先问清楚:是求多的那个数,还是求差?关键是先找出哪个多、哪个少。\n排队比:小兔 ○○○○○○(6 个)和小猫 ○○○○(4 个)一一对应对齐,多出来的就是差,6−4=2。\n\n**例 3** 小红有 8 个苹果,小明有 5 个苹果,小红比小明多几个?\n【思路】多的 → 小红 8 个;少的 → 小明 5 个。大数减小数。\n【解答】8−5=3(个)。答:小红比小明多 3 个。\n\n**例 4** 哥哥有 10 本书,弟弟有 6 本书,弟弟比哥哥少几本?\n【思路】比多少就是求差,先找多的(哥哥 10 本)和少的(弟弟 6 本),大减小。\n【解答】10−6=4(本)。\n【验算/提醒】问“少几本”其实就是问“多几本”,都是大减小:10−6=4。\n\n### 3. 编应用题——反过来想\n根据算式编一道应用题,能检验你是不是真的懂了:\n- 3+5=8 可以编:“小红有 3 个苹果,小丽有 5 个,两人一共有几个?”\n- 10−4=6 可以编:“树上有 10 只小鸟,飞走了 4 只,还剩几只?”\n- 看图编题:图中有 6 个小朋友在跳绳,又来了 3 个 → “6 个小朋友跳绳,又来了 3 个,现在一共有几个?”解答:6+3=9(个)。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 看见“一共”就加,但比多少要用减法 → 每次问:这是合起来还是比多少?\n- 比多少算反了 → 先找出“多的那个数”和“少的那个数”,再大减小。\n- 不写单位、不写“答” → 养成“列式 → 写得数 → 写单位 → 写答”的习惯。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红有 7 个气球,放飞了 2 个,还剩几个?\",\"answers\":[\"5\",\"5个\"],\"explain\":\"“放飞”是去掉,用减法:7−2=5(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"盘子里有 6 个桃子,小猴吃了 4 个,还剩几个?\",\"options\":[\"10个\",\"3个\",\"2个\"],\"answer\":2,\"explain\":\"6−4=2(个)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"停车场有 11 辆车,开走了 5 辆,还剩几辆?\",\"answers\":[\"6\",\"6辆\"],\"explain\":\"11−5=6(辆)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明有 15 个积木,用了 8 个搭房子,还剩几个积木?\",\"options\":[\"7个\",\"8个\",\"23个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"15−8=7(个)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小亮有 9 个气球,小丽有 4 个气球,小亮比小丽多几个?\",\"answers\":[\"5\",\"5个\"],\"explain\":\"比多少用减法,大减小:9−4=5(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"跳绳比赛:小红跳了 12 下,小明跳了 8 下,小红比小明多跳几下?\",\"options\":[\"20下\",\"4下\",\"5下\"],\"answer\":1,\"explain\":\"12−8=4(下)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"白兔拔了 15 个萝卜,灰兔拔了 7 个萝卜,灰兔比白兔少拔几个?\",\"answers\":[\"8\",\"8个\"],\"explain\":\"少几个就是求差:15−7=8(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个篮球 42 元,一个排球 35 元,篮球比排球贵多少元?\",\"options\":[\"7元\",\"77元\",\"17元\"],\"answer\":0,\"explain\":\"42−35=7(元)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求“少几”和求“多几”一样,都是用大数减小数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。两者求的都是差:大数 − 小数 = 差。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“还剩多少”的问题要用加法计算。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从总数中去掉一部分求剩余,要用减法。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 求剩余:总数 − 去掉的 = 剩下的,剩下的数一定比总数小。\n- 求相差:大数 − 小数 = 差;问“多几”“少几”都用大数减小数。\n- 看到“比”字别急着加,先分清是求多的数还是求差。\n- 根据算式编题,能帮我们检查是否真正理解。" + }, + { + "id": "apply-03", + "title": "两步应用题:连加连减与加减混合", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会两步分析法,解决连加连减与加减混合问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一年级的一步应用题只要一次计算。很多问题要两步才能算出答案——先算出“中间问题”,再算最终问题。本课开始学习两步应用题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 两步分析法\n第 1 步:先求什么?(中间问题)\n第 2 步:再求什么?(最终问题)\n分步思考的例子:上午卖了 8 个,下午卖了 12 个 → 先算一共卖了几个;知道了一共卖几个,再算还剩几个。\n\n### 2. 连减问题\n**例 1** 果店有 50 箱苹果,上午卖出 12 箱,下午卖出 15 箱,还剩几箱?\n【思路】先求“一共卖出多少箱”(中间问题),再求还剩多少箱。\n【解答】第 1 步:12+15=27(箱);第 2 步:50−27=23(箱)。综合算式:50−(12+15)=23(箱)。\n【验算/提醒】23+27=50,正确。从 50 箱里减去“12+15 的和”,必须加括号。\n\n**例 2** 学校有 80 本故事书,一年级借走 25 本,二年级借走 30 本,还剩多少本?\n【思路】两次都是“借走”,从总数里依次减去,或先算一共借走多少。\n【解答】80−25−30=25(本),也可以写成 80−(25+30)=25(本)。\n【验算/提醒】连减可以从左到右依次算,也可以先把两次借走的加起来再减。\n\n### 3. 加减混合问题\n车上人数问题:上来用加,下去用减,按人数变化的顺序算。\n\n**例 3** 公交车上原来有 30 人,到站后上来 12 人,下去 8 人,现在有几人?\n【思路】人的变化顺序:先加上来的 12 人,再减下去的 8 人。\n【解答】方法一(分步):30+12=42(人),42−8=34(人)。方法二(综合):30+12−8=34(人)。\n【验算/提醒】上来 12 人比下去 8 人多,所以现在比原来多:34>30,合理。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找不到第一步算什么(中间问题) → 多问自己:“先知道什么,才能算出答案?”\n- 该加括号时漏写括号 → 需要先把两部分加起来再减的,一定记得加括号。\n- 分步写算式时,第 2 步用错了第 1 步的结果 → 记住:上一步算出来的就是下一步的条件。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明有 35 颗糖,上午吃了 8 颗,下午吃了 6 颗,还剩几颗?\",\"answers\":[\"21\",\"21颗\"],\"explain\":\"35−8−6=21(颗),也可以 35−(8+6)=21。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"书店原来有 45 本书,上午卖出 18 本,下午又进了 12 本,现在有多少本?\",\"options\":[\"39本\",\"15本\",\"51本\"],\"answer\":0,\"explain\":\"卖出用减,进书用加:45−18+12=39(本)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"操场上有 32 人在跳绳,先来了 15 人,后又走了 9 人,现在有多少人?\",\"answers\":[\"38\",\"38人\"],\"explain\":\"32+15−9=38(人)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"游泳池里有 40 人,上来 10 人,又下去 25 人,现在有多少人?\",\"options\":[\"55人\",\"25人\",\"15人\"],\"answer\":1,\"explain\":\"上来加、下去减:40+10−25=25(人)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"妈妈有 80 元钱,买菜用了 35 元,又取了 20 元,妈妈现在有多少钱?\",\"answers\":[\"65\",\"65元\"],\"explain\":\"80−35+20=65(元)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"超市有 68 箱牛奶,上午卖出 25 箱,下午卖出 18 箱,还剩几箱?\",\"options\":[\"25箱\",\"35箱\",\"61箱\"],\"answer\":0,\"explain\":\"68−25−18=25(箱),或 68−(25+18)=25(箱)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"公交车上原来有 25 人,上来 9 人,下去 12 人,现在有几人?\",\"answers\":[\"22\",\"22人\"],\"explain\":\"25+9−12=22(人)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求“50 箱减去上午 12 箱和下午 15 箱后还剩多少”,可以列式 50−(12+15)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。先算一共卖出 12+15=27 箱,再 50−27=23 箱,括号不能少。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"算式 45−18+12 应该先算 18+12。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。没有括号的加减混合算式从左往右算,先算 45−18=27。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两步应用题里,上一步算出的结果就是下一步的条件。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是分步思考:每一步的结果都会成为下一步的已知条件。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 两步应用题先找“中间问题”:先算什么,再算什么。\n- 连减问题:总数 − 第一部分 − 第二部分,或总数 −(两部分之和)。\n- 加减混合按变化顺序算:上来加、下去减。\n- 每一步的结果是下一步的条件,步步都要检查。" + }, + { + "id": "apply-04", + "title": "乘加乘减与带小括号的两步计算", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握乘加乘减及含括号算式的运算顺序", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上两课学了两步的加减应用题。二年级新学了乘除法,本课要掌握“先算乘法,再算加减”的乘加乘减问题,以及小括号改变运算顺序的规则。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 乘加、乘减问题\n先算乘法(几个几是多少),再算加减。\n口诀:先算乘法再加减,一步一得慢慢算。\n\n**例 1** 小红买了 4 本练习本,每本 2 元,又买了一块橡皮 1 元,一共多少钱?\n【思路】先算 4 本练习本多少钱(中间问题),再加上橡皮的钱。\n【解答】第 1 步:4×2=8(元);第 2 步:8+1=9(元)。\n【验算/提醒】必须先算 4×2,不能先算 2+1。\n\n**例 2** 妈妈买了 5 个苹果,每个 3 元,给了 20 元,找回多少钱?\n【思路】先算 5 个苹果一共多少钱,再从 20 元里减去。\n【解答】第 1 步:5×3=15(元);第 2 步:20−15=5(元)。\n【验算/提醒】找回的钱一定比给的 20 元少,5<20,合理。\n\n### 2. 带小括号的两步计算\n小括号可以改变运算顺序,括号里面先算。\n对比一下:\n- 50−(12+15):先算括号里 12+15=27,再算 50−27=23。\n- 50−12+15:没有括号从左往右,先算 50−12=38,再算 38+15=53。\n加括号和不加括号,结果完全不同!\n\n**例 3** 把两个算式合并成一个综合算式:12+8=20,50−20=30。\n【思路】第二个算式里的 20 就是第一个算式 12+8 的结果,把它代进去。\n【解答】50−(12+8)=30。\n【验算/提醒】12+8 是被整体减去的,必须加括号;不加括号写成 50−12+8=46 就错了。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 乘加乘减算式里先去算加减 → 口诀:先算乘法再加减。\n- 需要改变运算顺序时忘记加括号 → 要“先加后减”的,必须给加法加括号。\n- 抄错数字、看错运算符号 → 抄完算式先和原题对一遍。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明买了 6 支铅笔,每支 2 元,又买了一个文具盒 8 元,一共多少钱?\",\"answers\":[\"20\",\"20元\"],\"explain\":\"先算铅笔:6×2=12 元,再 12+8=20 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一箱牛奶有 8 瓶,每瓶 3 元,爸爸给了 30 元,应找回多少元?\",\"answers\":[\"6\",\"6元\"],\"explain\":\"先算一箱:8×3=24 元,找回 30−24=6 元。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"学校买了 4 把扫帚,每把 5 元,又买了 2 个水桶,每个 8 元,一共花了多少?\",\"options\":[\"26元\",\"36元\",\"46元\"],\"answer\":1,\"explain\":\"4×5+2×8=20+16=36(元)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小华有 50 元,买了 7 本作业本,每本 3 元,还剩多少钱?\",\"answers\":[\"29\",\"29元\"],\"explain\":\"先算作业本:7×3=21 元,还剩 50−21=29 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:60−(20+15)=?\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"先算括号:20+15=35,再 60−35=25。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:(36+24)÷6=?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"先算括号:36+24=60,再 60÷6=10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个算式的结果和 48−15−7 相同?\",\"options\":[\"48−(15−7)\",\"48−(15+7)\",\"48+(15−7)\"],\"answer\":1,\"explain\":\"48−15−7=26;48−(15+7)=48−22=26,两者相同。而 48−(15−7)=40。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:80−20+15=?\",\"answers\":[\"75\"],\"explain\":\"没有括号从左往右:80−20=60,60+15=75。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"算式 36+24÷6 要先算 36+24。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。除法在加法前面要先算:24÷6=4,再 36+4=40。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“50 减去 12 与 8 的和”应列式为 50−(12+8)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。减去的是“和”,必须先加括号,50−(12+8)=30。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 乘加乘减:先算乘法(几个几),再算加减。\n- 有括号的算式,括号里面先算。\n- 同一个算式,有无括号结果可能完全不同(如 50−12+15=53,50−(12+15)=23)。\n- 把分步算式合并成综合算式时,看清哪部分要先算,该加括号就加括号。" + }, + { + "id": "apply-05", + "title": "两步应用题综合练习", + "grade": "二年级", + "difficulty": 2, + "summary": "综合运用两步应用题方法,准确找出中间问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n前面学了连加连减、加减混合、乘加乘减和带括号的两步计算。本课用综合题目检验学习效果,重点训练找“中间问题”。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 解题思路回顾\n三个习惯:\n1. 先想“要先算什么中间问题”;\n2. 需要先加后减时加括号;\n3. 上一步的结果就是下一步的条件。\n\n### 2. 中间问题藏在题目里\n**例 1** 同学们种了 4 行树,每行 7 棵,其中松树有 15 棵,其余是杨树,杨树有几棵?\n【思路】题目没直接给树的总数,先算总数(中间问题),再减去松树。\n【解答】第 1 步:4×7=28(棵);第 2 步:28−15=13(棵)。答:杨树有 13 棵。\n【验算/提醒】13+15=28=4×7,正确。\n\n**例 2** 二年级有男生 45 人,女生比男生少 8 人,二年级一共有多少人?\n【思路】先求女生人数(中间问题),再求全年级总人数。\n【解答】女生:45−8=37(人);一共:45+37=82(人)。\n【验算/提醒】问题问的是“一共”,不能算到 37 人就停下。\n\n**例 3** 学校买来 5 箱矿泉水,每箱 12 瓶,发给各班 38 瓶后,还剩多少瓶?\n【思路】题目给的是“箱”,先换算成总瓶数(中间问题),再减去发掉的。\n【解答】总瓶数:5×12=60(瓶);还剩:60−38=22(瓶)。\n【验算/提醒】先把“5 箱 × 每箱 12 瓶”换算成总瓶数,这就是中间问题。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 没找到中间问题就急着列式 → 先圈出问题,再想“缺哪个条件”。\n- 把中间问题的答案当成最终答案 → 算完回头再读一遍问题。\n- 加减混合算错顺序、漏括号 → 按事情发生的顺序列式,需要先加后减就加括号。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一本书共 96 页,小明第一天看了 28 页,第二天看了 35 页,还剩多少页?\",\"answers\":[\"33\",\"33页\"],\"explain\":\"96−28−35=33(页),或 96−(28+35)=33(页)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"公交车上原有 42 人,到站后上来 18 人,下去 25 人,现在车上有多少人?\",\"answers\":[\"35\",\"35人\"],\"explain\":\"42+18−25=35(人)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明有 50 元零花钱,买一个玩具用了 28 元,又买了一个 6 元的笔记本,还剩多少元?\",\"options\":[\"16元\",\"28元\",\"22元\"],\"answer\":0,\"explain\":\"50−28−6=16(元)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"二年级有男生 45 人,女生比男生少 8 人,二年级一共有多少人?\",\"options\":[\"82人\",\"37人\",\"98人\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先求女生:45−8=37 人,再求一共:45+37=82 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校买来 5 箱矿泉水,每箱 12 瓶,发给各班 38 瓶后,还剩多少瓶?\",\"answers\":[\"22\",\"22瓶\"],\"explain\":\"先算总数 5×12=60 瓶,再 60−38=22 瓶。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"同学们种了 4 行树,每行 7 棵,其中松树有 15 棵,其余是杨树,杨树有几棵?\",\"options\":[\"13棵\",\"28棵\",\"22棵\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先算总数 4×7=28 棵,杨树 28−15=13 棵。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“女生比男生少 8 人,求二年级一共多少人”要先算出女生人数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。女生人数是中间问题:45−8=37,再算 45+37=82。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"超市有 68 箱牛奶,上午卖出 25 箱,下午卖出 18 箱,还剩几箱?用带括号的综合算式计算,结果是多少?\",\"answers\":[\"25\",\"25箱\"],\"explain\":\"68−(25+18)=68−43=25(箱)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"68−25+18 可以表示“上午卖出 25 箱、下午卖出 18 箱后还剩多少箱”。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。下午卖出的 18 箱也应该减去,68−25+18 反而加了 18。应列 68−25−18 或 68−(25+18)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 拿到题先找中间问题:先算什么,才能算出最终答案。\n- “比多比少”先求另一个量;“每行几个、共几行”先求总数。\n- 算完要回头对照问题,别把中间结果当答案。\n- 需要先加后减时,括号不能丢。" + }, + { + "id": "apply-06", + "title": "多步应用题与解题五步法", + "grade": "三~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "用五步法和综合法、分析法解决三步以上应用题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n两步应用题要找 1 个中间问题;有的题目需要 3 步、4 步甚至 5 步计算,核心是理清数量关系的先后顺序。本课学习解题五步法和两种分析思路。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 解题五步法\n1. 审题:读题 2~3 遍,找出所有已知条件和问题;\n2. 找条件:标注关键数据,区分“直接条件”和“隐藏条件”;\n3. 画线段图:用图表示数量关系,帮助理清思路;\n4. 列式:确定先算什么、再算什么、最后算什么,列出综合算式或分步算式;\n5. 检验:把答案代回原题验证,检查是否合理。\n\n两种分析思路:\n- 综合法(从条件推问题):已知什么 → 能算出什么 → 一步步推到问题;\n- 分析法(从问题找条件):要求什么 → 需要知道什么 → 倒推回已知条件。\n多步题的关键:每步算出的结果会成为下一步的条件。可以这样问自己:这道题要求什么?→ 要先知道什么?→ 这个能直接知道,还是得先算?\n\n### 2. 多步例题\n**例 1(3 步)** 学校买来 4 箱牛奶,每箱 24 瓶,平均分给 6 个班,每班分到几瓶?\n【思路】先算一共有多少瓶(中间问题),再平均分。\n【解答】第 1 步:4×24=96(瓶);第 2 步:96÷6=16(瓶)。综合算式:4×24÷6=16(瓶)。\n【验算/提醒】每班 16 瓶 × 6 个班 = 96 瓶 = 4 箱 × 24 瓶,正确。\n\n**例 2(4 步)** 果园里有苹果树 120 棵,梨树比苹果树少 30 棵,桃树的棵数是梨树的 2 倍。三种果树一共有多少棵?\n【思路】梨树、桃树都是隐藏条件,要先分别算出来,最后求和。\n【解答】第 1 步:梨树 120−30=90(棵);第 2 步:桃树 90×2=180(棵);第 3 步:一共 120+90+180=390(棵)。\n【验算/提醒】梨比苹果少 30 ✓,桃是梨的 2 倍 ✓,120+90+180=390 ✓。\n\n**例 3(5 步)** 修路队修一条公路,前 3 天每天修 150 米,后 4 天共修了 880 米,正好修完。这条公路全长多少米?平均每天修多少米?\n【思路】先求前 3 天的总量,再求全长;要求平均每天,还要知道一共修了几天。\n【解答】第 1 步:前 3 天共修 150×3=450(米);第 2 步:全长 450+880=1330(米);第 3 步:一共修了 3+4=7(天);第 4 步:平均每天 1330÷7=190(米)。\n【验算/提醒】190×7=1330=450+880,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不画图就列式,容易搞混数量关系 → 养成“读题必画图”的习惯。\n- 中间问题的结果算错,后面全错 → 每步都要验算。\n- 综合算式漏加括号 → 需要改变运算顺序时一定加括号。\n- 忘记检验 → 把答案代回原题检查,确保合理。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校买来 4 箱牛奶,每箱 24 瓶,平均分给 6 个班,每班分到几瓶?\",\"answers\":[\"16\",\"16瓶\"],\"explain\":\"4×24=96 瓶,96÷6=16 瓶。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"果园里苹果树 120 棵,梨树比苹果树少 30 棵,桃树是梨树的 2 倍,三种果树一共多少棵?\",\"answers\":[\"390\",\"390棵\"],\"explain\":\"梨 120−30=90 棵,桃 90×2=180 棵,共 120+90+180=390 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"修路队前 3 天每天修 150 米,后 4 天共修 880 米,正好修完。这条公路全长多少米?\",\"answers\":[\"1330\",\"1330米\"],\"explain\":\"150×3+880=450+880=1330(米)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同一条公路,前 3 天每天修 150 米,后 4 天共修 880 米,平均每天修多少米?\",\"answers\":[\"190\",\"190米\"],\"explain\":\"全长 1330 米 ÷ 总天数 7 天 = 190 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"商店运来 8 箱鸡蛋,每箱 30 个,卖出一半后,还剩多少个?\",\"answers\":[\"120\",\"120个\"],\"explain\":\"8×30=240 个,卖出一半:240÷2=120 个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三年级有 4 个班,每班 45 人,学校给三年级每人发 5 本练习本,一共需要多少本?\",\"options\":[\"180本\",\"225本\",\"900本\"],\"answer\":2,\"explain\":\"先求人数 4×45=180 人,再 180×5=900 本。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明看一本 240 页的书,前 5 天每天看 30 页,剩下的要 3 天看完,后 3 天平均每天看多少页?\",\"answers\":[\"30\",\"30页\"],\"explain\":\"已看 5×30=150 页,剩 240−150=90 页,90÷3=30 页。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"工厂生产零件,第一天 350 个,第二天 280 个,第三天比前两天总数少 130 个。第三天生产了多少个?\",\"options\":[\"500个\",\"630个\",\"760个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"前两天 350+280=630 个,第三天 630−130=500 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两地相距 480 千米,汽车前 2 小时每小时行 80 千米,剩下路程用 4 小时行完,后 4 小时平均每小时行多少千米?\",\"answers\":[\"80\",\"80千米\"],\"explain\":\"已行 2×80=160 千米,剩 480−160=320 千米,320÷4=80 千米。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"综合法是从问题出发,倒推回已知条件的分析思路。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从问题倒推条件的是“分析法”;综合法是从已知条件一步步推到问题。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 多步应用题按五步走:审题 → 找条件 → 画线段图 → 列式 → 检验。\n- 综合法从条件推问题,分析法从问题找条件。\n- 每步算出的结果是下一步的条件,中间一步错,后面全错。\n- 算完必须代回原题检验。" + }, + { + "id": "apply-07", + "title": "和差问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "用公式与线段图解决已知和与差的和差问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n多步应用题靠找中间问题,本课开始学习一类有固定套路的问题——和差问题:已知两个数的和与差,求这两个数。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 和差问题公式\n已知两数的和与差:\n- 大数 = (和 + 差) ÷ 2\n- 小数 = (和 − 差) ÷ 2\n核心方法是画线段图:把两个量画成两条线段,多出来的部分一目了然。\n\n**例 1** 甲乙共有 98 本书,甲比乙多 28 本,甲乙各多少本?\n【思路】画线段图:乙是一条短线段,甲同样长的一段再多出 28 本。如果从总数 98 里去掉多出的 28,就正好是两个乙。\n【解答】甲 = (98+28)÷2 = 63(本);乙 = (98−28)÷2 = 35(本)。\n【验算/提醒】63+35=98 ✓,63−35=28 ✓。\n\n**例 2** 一个长方形长和宽的和是 20cm,长比宽多 4cm,长和宽各是多少 cm?\n【思路】把“长”看作大数,“宽”看作小数,和是 20、差是 4,直接套公式。\n【解答】长 = (20+4)÷2 = 12(cm);宽 = (20−4)÷2 = 8(cm)。\n【验算/提醒】12+8=20 ✓,12−8=4 ✓。\n\n### 2. 先找出真正的“和”与“差”\n有些题不直接给差,要先想清楚差是多少。\n\n**例 3** 书架上、下两层共有书 72 本,如果从上层拿 8 本到下层,两层一样多,原来各有多少本?\n【思路】从上层拿走 8 本给下层后一样多,说明上层原来比下层多 8+8=16 本(差是 16 本)。\n【解答】上层 = (72+16)÷2 = 44(本);下层 = (72−16)÷2 = 28(本)。\n【验算/提醒】44−8=36,28+8=36,两层一样多 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不画线段图就套公式,分不清哪个是(和+差)÷2 → 先画图,想清楚“去掉多的部分就是两个小数”。\n- 把“移动后一样多”理解成差就是移动的数 → 移动 8 本后相等,差其实是 8×2=16。\n- 算完不验算 → 用“和”与“差”各检查一遍。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个数的和是 60,差是 20,较大的数是多少?\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"大数 = (60+20)÷2 = 40。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个数的和是 60,差是 20,较小的数是多少?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"小数 = (60−20)÷2 = 20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"姐姐和妹妹共有邮票 80 张,姐姐比妹妹多 20 张,姐姐有多少张?\",\"answers\":[\"50\",\"50张\"],\"explain\":\"姐姐 = (80+20)÷2 = 50(张)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"姐姐和妹妹共有邮票 80 张,姐姐比妹妹多 20 张,妹妹有多少张?\",\"answers\":[\"30\",\"30张\"],\"explain\":\"妹妹 = (80−20)÷2 = 30(张)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长和宽的和是 20cm,长比宽多 4cm,长是多少 cm?\",\"answers\":[\"12\",\"12cm\"],\"explain\":\"长 = (20+4)÷2 = 12(cm)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"书架上、下两层共有书 72 本,从上层拿 8 本到下层后两层一样多。原来上层有多少本?\",\"options\":[\"44本\",\"36本\",\"28本\"],\"answer\":0,\"explain\":\"拿 8 本后相等,说明原来上层多 8×2=16 本。上层 = (72+16)÷2 = 44 本。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书架上、下两层共有书 72 本,从上层拿 8 本到下层后两层一样多。原来下层有多少本?\",\"answers\":[\"28\",\"28本\"],\"explain\":\"下层 = (72−16)÷2 = 28(本)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"和差问题中,大数 = (和 − 差) ÷ 2。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。大数 = (和 + 差) ÷ 2;小数才是 (和 − 差) ÷ 2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从上层拿 8 本到下层后两层一样多,说明上层原来比下层多 8 本。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。上层给下层 8 本才扯平,说明上层原来多 8×2=16 本。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两个数的和是 50,差是 10,较小的数是多少?\",\"options\":[\"30\",\"20\",\"25\"],\"answer\":1,\"explain\":\"小数 = (50−10)÷2 = 20。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 和差问题:大数 = (和+差)÷2,小数 = (和−差)÷2。\n- 先画线段图,想清楚“去掉差就是两个小数”。\n- 题目不直接给差时(如“移动后一样多”),先算出真正的差。\n- 算完用和、差各验算一遍。" + }, + { + "id": "apply-08", + "title": "和倍问题与差倍问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "画线段图找“一倍量”,解决和倍、差倍问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了和差问题。本课学习和倍问题(已知和与倍数)与差倍问题(已知差与倍数),核心都是画线段图,先找“一倍量”。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 和倍问题\n已知两数的和与倍数关系:\n- 一倍量 = 和 ÷(倍数 + 1)\n- 几倍量 = 一倍量 × 倍数\n\n**例 1** 果园有苹果和梨共 300 棵,苹果是梨的 3 倍,苹果、梨各多少棵?\n【思路】画线段图:梨(一倍)是 |---|,苹果(三倍)是 |---|---|---|。合起来一共 4 份,对应 300 棵。\n【解答】梨(一倍量)= 300÷(3+1) = 75(棵);苹果 = 75×3 = 225(棵)。\n【验算/提醒】75+225=300 ✓,225÷75=3 ✓。\n\n### 2. 差倍问题\n已知两数的差与倍数关系:\n- 一倍量 = 差 ÷(倍数 − 1)\n- 几倍量 = 一倍量 × 倍数\n\n**例 2** 白兔比灰兔多 24 只,白兔是灰兔的 4 倍,两种兔各有多少只?\n【思路】画线段图:灰兔 1 份,白兔 4 份,白兔比灰兔多 4−1=3 份,这 3 份正好是 24 只。\n【解答】灰兔(一倍量)= 24÷(4−1) = 8(只);白兔 = 8×4 = 32(只)。\n【验算/提醒】32−8=24 ✓,32÷8=4 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不要死套公式,先画线段图再想“一份是多少”。\n- 和倍除以(倍数+1),差倍除以(倍数−1),两个公式别用混 → 看图:和是“总份数”,差是“多出的份数”。\n- 算出一倍量就停下,忘了乘倍数求另一个量。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"哥哥和弟弟共有苹果 120 个,哥哥的苹果是弟弟的 3 倍,弟弟有多少个?\",\"answers\":[\"30\",\"30个\"],\"explain\":\"弟弟(一倍量)= 120÷(3+1) = 30 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"哥哥和弟弟共有苹果 120 个,哥哥的苹果是弟弟的 3 倍,哥哥有多少个?\",\"answers\":[\"90\",\"90个\"],\"explain\":\"哥哥 = 30×3 = 90 个(120−30=90 也对)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校有篮球和排球共 72 个,篮球是排球的 3 倍,排球有多少个?\",\"answers\":[\"18\",\"18个\"],\"explain\":\"排球 = 72÷(3+1) = 18 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校有篮球和排球共 72 个,篮球是排球的 3 倍,篮球有多少个?\",\"answers\":[\"54\",\"54个\"],\"explain\":\"篮球 = 18×3 = 54 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"A 和 B 的和是 96,A 是 B 的 5 倍,B 是多少?\",\"answers\":[\"16\"],\"explain\":\"B = 96÷(5+1) = 16。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"A 和 B 的和是 96,A 是 B 的 5 倍,A 是多少?\",\"answers\":[\"80\"],\"explain\":\"A = 16×5 = 80。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲桶油比乙桶油多 36kg,甲桶是乙桶的 4 倍,乙桶有多少 kg?\",\"answers\":[\"12\",\"12kg\"],\"explain\":\"差倍:乙 = 36÷(4−1) = 12 kg。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲桶油比乙桶油多 36kg,甲桶是乙桶的 4 倍,甲桶有多少 kg?\",\"answers\":[\"48\",\"48kg\"],\"explain\":\"甲 = 12×4 = 48 kg。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三个数之和是 120,甲是乙的 2 倍,丙是乙的 3 倍,乙是多少?\",\"options\":[\"20\",\"40\",\"60\"],\"answer\":0,\"explain\":\"把乙看作 1 份:甲 2 份、丙 3 份,共 1+2+3=6 份,乙 = 120÷6 = 20。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"差倍问题中,一倍量 = 差 ÷(倍数 + 1)。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。差倍问题:一倍量 = 差 ÷(倍数 − 1);除以(倍数+1)的是和倍问题。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 和倍:一倍量 = 和 ÷(倍数+1);差倍:一倍量 = 差 ÷(倍数−1)。\n- 先画线段图,看清“和”对应几份、“差”对应几份。\n- 求出一倍量后,记得乘倍数求几倍量。\n- 用“和(或差)与倍数”两个条件分别验算。" + }, + { + "id": "apply-09", + "title": "归一问题与归总问题", + "grade": "三年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握归一归总问题先求单一量或总量的两步解法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课学习两类常考的两步应用题:归一问题(先求一份是多少)和归总问题(先求总共有多少)。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 归一问题——先求单一量\n归一问题:先求“一份是多少”(单一量),再求“几份的总量”。常见于买东西、干活效率、行程。题目里出现“照这样计算”,就意味着每份量相同(效率不变)。\n\n**例 1** 买 3 支笔花了 12 元,买 5 支要花多少元?\n【思路】先归一:1 支多少钱;再求 5 支。\n【解答】12÷3=4(元);4×5=20(元)。\n【验算/提醒】20÷5=4 元每支,和 12÷3 一致 ✓。\n\n### 2. 归总问题——先求总量\n归总问题:先求“总共有多少”(总量),再求“每份是多少”或“有几份”。\n\n**例 2** 3 个小朋友每人吃 4 个包子,如果改由 4 个小朋友分着吃,每人吃几个?\n【思路】包子的总量不变,先算出总量,再平均分给 4 人。\n【解答】总量:3×4=12(个);每人:12÷4=3(个)。\n【验算/提醒】4×3=12,总量没变 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- “照这样计算”没读懂 → 它表示每份量相同、效率不变,这是归一的前提。\n- 归一和归总搞混 → 想清楚:是“先求一份”,还是“先求总量”。\n- 第二步用错数 → 第一步算出的单一量(或总量)是第二步的条件。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红 4 天读了 28 页书,照这样计算,7 天能读多少页?\",\"answers\":[\"49\",\"49页\"],\"explain\":\"先归一:28÷4=7 页/天;再 7×7=49 页。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"3 台拖拉机每天耕地 120 亩,5 台拖拉机每天耕地多少亩?\",\"answers\":[\"200\",\"200亩\"],\"explain\":\"1 台:120÷3=40 亩;5 台:40×5=200 亩。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一辆汽车 2 小时行驶 160km,照这样的速度,从 A 城到 B 城 480km 需要几小时?\",\"answers\":[\"6\",\"6小时\"],\"explain\":\"速度:160÷2=80 km/时;时间:480÷80=6 小时。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"妈妈买了 4 个苹果用去 16 元,按这个价格,买 7 个苹果需要多少元?\",\"options\":[\"24元\",\"28元\",\"32元\"],\"answer\":1,\"explain\":\"单价 16÷4=4 元,7 个:4×7=28 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一批货,用 5 辆车每车装 6 吨正好装完,如果改用 3 辆车装,每车要装多少吨?\",\"answers\":[\"10\",\"10吨\"],\"explain\":\"总量 5×6=30 吨(归总);每车 30÷3=10 吨。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明每天读 8 页书,6 天读完一本书,如果每天读 12 页,几天读完?\",\"answers\":[\"4\",\"4天\"],\"explain\":\"书的总页数 8×6=48 页;48÷12=4 天。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"题目中说“照这样计算”,意思是每份的量相同(效率不变)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。“照这样计算”正是归一问题的前提:单一量保持不变。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"归一问题的第一步是先求总量。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。归一问题第一步求“一份是多少”(单一量);先求总量的是归总问题。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 归一问题:先求单一量(一份是多少),再乘份数。\n- 归总问题:先求总量,再按新条件分。\n- “照这样计算”提示效率不变。\n- 常见类型:买东西、干活效率、行程。" + }, + { + "id": "apply-10", + "title": "植树问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "分清三种情况与封闭图形,正确解决植树问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n植树问题是经典应用题:在一条路上按固定间隔种树,求棵数或距离。关键是分清“段数”和“棵数”的关系。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 核心公式与三种情况\n核心公式:总长 ÷ 间隔 = 段数。\n三种情况:\n- 两端都栽:棵数 = 段数 + 1\n- 一端栽一端不栽:棵数 = 段数\n- 两端都不栽:棵数 = 段数 − 1\n封闭图形(环形、方形一圈):棵数 = 段数。\n\n“手指+间隔”记忆法:伸出一只手,5 根手指之间有 4 个间隔——两端都栽时,就像手指比间隔多 1。\n\n**例 1** 在一条 100 米长的小路一边植树,每隔 5 米栽一棵(两端都栽),需要多少棵树苗?\n【思路】先求段数,两端都栽,棵数 = 段数 + 1。\n【解答】段数:100÷5=20(段);棵数:20+1=21(棵)。\n【验算/提醒】两端都栽,树比段多 1,就像 5 根手指有 4 个间隔。\n\n**例 2** 两栋楼之间每隔 2 米种一棵树(两端不种),共种了 9 棵,两栋楼相距多少米?\n【思路】两端都不栽:棵数 = 段数 − 1,所以段数 = 棵数 + 1;再用段数 × 间隔求距离。\n【解答】段数:9+1=10(段);距离:10×2=20(米)。\n【验算/提醒】楼的位置不能种树,两端都不栽,段数比棵数多 1。\n\n**例 3** 一个圆形花坛周长 60 米,每隔 3 米摆一盆花,需要几盆花?\n【思路】圆形是封闭图形,棵数 = 段数。\n【解答】60÷3=20(段),需要 20 盆花。\n【验算/提醒】围成一圈时,首尾相接,盆数正好等于间隔数。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不管什么情况都加 1 → 先判断是两端都栽、一端栽,还是两端都不栽。\n- 忘记先求段数,直接拿总长加减 → 第一步永远是:总长 ÷ 间隔 = 段数。\n- 封闭图形还去加 1 → 环形、方形围一圈时,棵数 = 段数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一条 100 米的小路一边植树,每隔 5 米栽一棵,一共可以分成多少段?\",\"answers\":[\"20\",\"20段\"],\"explain\":\"总长 ÷ 间隔 = 段数:100÷5=20 段。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一条 100 米的小路一边植树,每隔 5 米栽一棵,两端都栽,需要多少棵树苗?\",\"answers\":[\"21\",\"21棵\"],\"explain\":\"两端都栽:棵数 = 20+1 = 21 棵。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一条 100 米的小路一边植树,每隔 5 米栽一棵,只在一端栽,需要多少棵?\",\"options\":[\"19棵\",\"20棵\",\"21棵\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一端栽一端不栽:棵数 = 段数 = 20 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两栋楼之间每隔 2 米种一棵树,两端不种,共种了 9 棵,两栋楼相距多少米?\",\"answers\":[\"20\",\"20米\"],\"explain\":\"两端不栽:段数 = 9+1 = 10 段,距离 10×2=20 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆形花坛周长 60 米,每隔 3 米摆一盆花,需要几盆花?\",\"answers\":[\"20\",\"20盆\"],\"explain\":\"封闭图形棵数 = 段数:60÷3=20 盆。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"封闭图形(如圆形、方形一圈)植树,棵数等于段数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。围成一圈首尾相接,棵数 = 段数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两端都栽时,棵数 = 段数 − 1。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。两端都栽:棵数 = 段数 + 1;两端都不栽才是棵数 = 段数 − 1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"伸出 5 根手指,手指之间的间隔有几个?\",\"options\":[\"4个\",\"5个\",\"6个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"5 根手指之间有 4 个间隔,这正是“两端都栽棵数 = 段数+1”的直观例子。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一条 50 米的公路一边栽树,每隔 5 米栽一棵,两端都不栽,需要多少棵?\",\"answers\":[\"9\",\"9棵\"],\"explain\":\"段数 50÷5=10 段,两端都不栽:10−1=9 棵。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 核心公式:总长 ÷ 间隔 = 段数。\n- 两端都栽:棵数 = 段数+1;一端栽:棵数 = 段数;两端都不栽:棵数 = 段数−1。\n- 封闭图形:棵数 = 段数。\n- 拿到题先判断属于哪种情况,再选公式。" + }, + { + "id": "apply-11", + "title": "盈亏问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 3, + "summary": "用总差额÷每份差额求份数,解决盈亏分配问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n把一批东西分给一些人:每人多分一点,就从“多出来”变成“不够分”。盈亏问题就是利用两次分配的差异求出人数和总数。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 核心思路\n总差额 ÷ 每份差额 = 份数。\n三种类型:\n- 一盈一亏:(盈 + 亏) ÷ 每份差 = 份数\n- 双盈:(大盈 − 小盈) ÷ 每份差 = 份数\n- 双亏:(大亏 − 小亏) ÷ 每份差 = 份数\n\n**例 1** 给小朋友分糖果,每人 5 颗多 10 颗,每人 6 颗少 4 颗。有几个小朋友?几颗糖果?\n【思路】每人从 5 颗变成 6 颗,每人多分 1 颗;结果从“多 10 颗”变成“少 4 颗”,相当于里外里用掉了 10+4=14 颗。这 14 颗就是给每个小朋友各添 1 颗用掉的。\n【解答】总差额 = 盈+亏 = 10+4 = 14;份数 = 14÷(6−5) = 14(人);糖果 = 14×5+10 = 80(颗)。\n【验算/提醒】14×6−4 = 80 颗,两种分法总数一致 ✓。\n\n**例 2** 给小朋友分苹果,每人 3 个多 16 个,每人 5 个少 8 个,有几个小朋友?几个苹果?\n【思路】仍是一盈一亏。每人多分 5−3=2 个,总共多用了 16+8=24 个。\n【解答】小朋友 = (16+8)÷(5−3) = 24÷2 = 12(人);苹果 = 12×3+16 = 52(个)。\n【验算/提醒】12×5−8 = 52 个 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 一盈一亏时把盈和亏相减 → 一盈一亏要相加(从“多”变到“少”,差额是两者之和)。\n- 双盈、双亏时才相减(大盈减小盈、大亏减小亏)。\n- 忘了除以“每份差” → 总差额 ÷ 每份差 才是份数。\n- 求完人数就停,忘了求总数 → 用任一种分法都能算总数,并且互相验算。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"给小朋友分糖果,每人 5 颗多 10 颗,每人 6 颗少 4 颗,有几个小朋友?\",\"options\":[\"6个\",\"10个\",\"14个\"],\"answer\":2,\"explain\":\"(10+4)÷(6−5) = 14 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上题,糖果一共有多少颗?\",\"answers\":[\"80\",\"80颗\"],\"explain\":\"14×5+10 = 80 颗(或 14×6−4 = 80 颗)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"给小朋友分苹果,每人 3 个多 16 个,每人 5 个少 8 个,有几个小朋友?\",\"answers\":[\"12\",\"12个\"],\"explain\":\"(16+8)÷(5−3) = 24÷2 = 12 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上题,苹果一共有多少个?\",\"answers\":[\"52\",\"52个\"],\"explain\":\"12×3+16 = 52 个(或 12×5−8 = 52 个)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"给同学发练习本,每人 4 本多 10 本,每人 5 本少 5 本,有多少人?\",\"answers\":[\"15\",\"15人\"],\"explain\":\"(10+5)÷(5−4) = 15 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上题,练习本一共有多少本?\",\"answers\":[\"70\",\"70本\"],\"explain\":\"15×4+10 = 70 本(或 15×5−5 = 70 本)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一盈一亏问题中,总差额 = 盈 + 亏。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。从“多”变到“少”,两次相差的总数是盈与亏之和。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"双盈问题中,份数 = (大盈 + 小盈) ÷ 每份差。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。双盈:份数 = (大盈 − 小盈) ÷ 每份差,两次多出来的部分要相减。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"分糖果,每人 2 颗多 5 颗,每人 3 颗少 3 颗,有几个小朋友?\",\"options\":[\"2个\",\"8个\",\"15个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一盈一亏:(5+3)÷(3−2) = 8 人。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 盈亏问题核心:总差额 ÷ 每份差额 = 份数。\n- 一盈一亏用“盈+亏”,双盈、双亏用“大减小”。\n- 求出份数(人数)后,用任一种分法求总数,并互相验算。" + }, + { + "id": "apply-12", + "title": "年龄问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 3, + "summary": "抓住年龄差不变这一不变量解决年龄问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n年龄问题常常和和差问题、差倍问题结合在一起。它的核心特征是:两个人的年龄差永远不变。抓住这个不变量,就找到了突破口。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 关键规律\n- 年龄差 = 大年龄 − 小年龄(永远不变):今年差几岁,十年后还是差几岁。\n- 年龄的倍数关系会随时间变化:今年爸爸是儿子的 4 倍,几年后可能变成 3 倍。\n- 两人同时增长同样的年数,不是只有一个人长岁数。\n基本类型:已知年龄和与年龄差 → 和差问题;已知年龄差与倍数关系 → 差倍问题;已知几年前后倍数关系 → 找不变的年龄差。\n\n**例 1(入门)** 小明今年 8 岁,妈妈今年 32 岁。5 年后妈妈比小明大几岁?\n【思路】很多孩子会算 32+5 和 8+5 再相减,其实年龄差永远不变。\n【解答】32−8=24(岁)。5 年后妈妈还是比小明大 24 岁。\n【验算/提醒】(32+5)−(8+5)=37−13=24,结果一样——差不变。\n\n**例 2(差倍型)** 爸爸今年 36 岁,儿子今年 8 岁。几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍?\n【思路】年龄差 = 36−8 = 28 岁,永远不变。当爸爸是儿子 5 倍时,画线段图:儿子 1 份,爸爸 5 份,差是 4 份 = 28 岁。\n【解答】儿子 = 28÷(5−1) = 7(岁);爸爸 = 7×5 = 35(岁)。几年前 = 8−7 = 1(年前)。\n【验算/提醒】1 年前爸爸 35 岁、儿子 7 岁,35÷7=5 倍 ✓。\n\n**例 3(和差型)** 父子两人今年的年龄和是 56 岁,父亲比儿子大 24 岁。父子今年各多少岁?5 年后父亲年龄是儿子的几倍?\n【思路】已知年龄和与年龄差,就是和差问题;第二问先给两人各加 5 岁再算倍数。\n【解答】父亲 = (56+24)÷2 = 40(岁);儿子 = (56−24)÷2 = 16(岁)。5 年后父亲 45 岁、儿子 21 岁,45÷21≈2.14,不是整数倍关系。\n【验算/提醒】验证年龄差:45−21=24 岁 = 40−16 ✓,差不变。\n\n**例 4(倍数变化)** 今年奶奶的年龄是孙女的 6 倍,4 年后奶奶的年龄是孙女的 4 倍。今年奶奶和孙女各多少岁?\n【思路】年龄差不变,但倍数在变。设今年孙女 x 岁,奶奶 6x 岁,年龄差 = 6x−x = 5x。4 年后孙女 (x+4) 岁、奶奶 (6x+4) 岁,奶奶是孙女的 4 倍。\n【解答】6x+4 = 4×(x+4) → 6x+4 = 4x+16 → 2x=12 → x=6。孙女今年 6 岁,奶奶今年 6×6=36 岁。\n【验算/提醒】今年 36÷6=6 倍 ✓;4 年后孙女 10 岁、奶奶 40 岁,40÷10=4 倍 ✓;年龄差 36−6=30=40−10 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 忘了年龄差不变 → 做年龄题第一步先算年龄差。\n- “几年前”和“几年后”搞混 → 画时间线标注清楚。\n- 用倍数变化去硬算,忽略了差是不变量 → 始终抓住“不变量”。\n- 只给一个人加岁数 → 两人同时增长同样年数,每人都要加/减。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明今年 8 岁,妈妈今年 32 岁,5 年后妈妈比小明大几岁?\",\"options\":[\"19岁\",\"24岁\",\"29岁\"],\"answer\":1,\"explain\":\"年龄差永远不变:32−8=24 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"爸爸今年 36 岁,儿子今年 8 岁,几年前爸爸的年龄是儿子的 5 倍?\",\"answers\":[\"1\",\"1年前\"],\"explain\":\"年龄差 28 岁不变;5 倍时儿子 28÷(5−1)=7 岁,即 8−7=1 年前。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"父子两人今年年龄和是 56 岁,父亲比儿子大 24 岁,父亲今年多少岁?\",\"answers\":[\"40\",\"40岁\"],\"explain\":\"和差问题:父亲 = (56+24)÷2 = 40 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"父子两人今年年龄和是 56 岁,父亲比儿子大 24 岁,儿子今年多少岁?\",\"answers\":[\"16\",\"16岁\"],\"explain\":\"儿子 = (56−24)÷2 = 16 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"妈妈今年 35 岁,女儿今年 7 岁,几年后妈妈的年龄是女儿的 3 倍?\",\"answers\":[\"7\",\"7年后\"],\"explain\":\"年龄差 35−7=28 岁不变;3 倍时女儿 28÷(3−1)=14 岁,即 14−7=7 年后。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"爷爷和孙子今年的年龄和是 72 岁,爷爷比孙子大 54 岁,爷爷今年多少岁?\",\"answers\":[\"63\",\"63岁\"],\"explain\":\"和差问题:爷爷 = (72+54)÷2 = 63 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"兄弟两人年龄相差 6 岁,3 年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍,今年哥哥多少岁?\",\"answers\":[\"12\",\"12岁\"],\"explain\":\"差不变仍为 6;3 年前弟弟 6÷(3−1)=3 岁,今年弟弟 6 岁、哥哥 12 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明和爸爸今年年龄和是 48 岁,4 年后爸爸的年龄是小明的 3 倍,今年小明多少岁?\",\"answers\":[\"10\",\"10岁\"],\"explain\":\"4 年后年龄和 48+4+4=56,小明 56÷(3+1)=14 岁,今年 14−4=10 岁。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个人的年龄差会随着年份变化而改变。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。年龄差永远不变:今年差几岁,十年后还是差几岁。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"今年爸爸的年龄是儿子的 4 倍,过几年倍数关系可能会变成 3 倍。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。倍数关系会随时间变化,但年龄差不变。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 年龄差永远不变,是解年龄题的突破口;第一步先算年龄差。\n- 和差型用和差公式,差倍型用“差÷(倍数−1)”。\n- 倍数关系随时间变化,两人同时长岁数。\n- 用“差不变”验算答案。" + }, + { + "id": "apply-13", + "title": "鸡兔同笼", + "grade": "四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "用假设法、抬腿法解决鸡兔同笼及其变式问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n鸡兔同笼是经典问题:笼子里有鸡和兔共 20 只,共 50 条腿,鸡兔各几只?本课学习三种解法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 假设法(最通用)\n**例 1** 笼子里有鸡和兔共 20 只,共 50 条腿,鸡兔各几只?\n【思路】假设全是鸡,算出腿的总数,和 50 比较;每把 1 只鸡换成兔,腿数增加 2 条。\n【解答】假设全是鸡:20×2=40 条腿,少了 50−40=10 条腿;每换 1 只兔多 2 条腿,兔 = 10÷2 = 5(只);鸡 = 20−5 = 15(只)。\n【验算/提醒】15×2+5×4 = 30+20 = 50 条腿 ✓。\n\n### 2. 抬腿法(形象好理解)\n【思路】命令所有动物抬起 2 条腿:鸡一屁股坐下了,兔子还剩 2 条腿站着。\n【解答】抬起 20×2=40 条腿;剩下 50−40=10 条腿都是兔子的(每只兔剩 2 条);兔子 = 10÷2 = 5(只),鸡 = 20−5 = 15(只)。\n\n### 3. 方程法\n【思路】用字母表示未知量,按“鸡腿数 + 兔腿数 = 50”列方程。\n【解答】设鸡 x 只,兔 (20−x) 只:2x+4×(20−x)=50 → 2x+80−4x=50 → 2x=30 → x=15(鸡),兔 = 5 只。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 假设全是鸡,算出少的腿数后除以 2 得到的是兔的只数(换进去的),别安到鸡头上。\n- 忘了验算 → 用“只数之和”与“腿数之和”两个条件都查一遍。\n- 变式题(车轮、钞票)不会迁移 → 抓住结构:两类东西、已知总个数和总“腿数”。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"鸡兔共 20 只,用假设法假设全是鸡,一共有多少条腿?\",\"options\":[\"40条\",\"50条\",\"80条\"],\"answer\":0,\"explain\":\"20×2=40 条腿。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"鸡兔共 20 只,共 50 条腿,鸡有多少只?\",\"answers\":[\"15\",\"15只\"],\"explain\":\"兔 = (50−20×2)÷2 = 5 只,鸡 = 20−5 = 15 只。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"鸡兔共 20 只,共 50 条腿,兔有多少只?\",\"answers\":[\"5\",\"5只\"],\"explain\":\"少的腿 50−40=10,每换 1 只兔多 2 条腿:10÷2=5 只。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"停车场有三轮车和自行车共 15 辆,轮子共 37 个,三轮车有多少辆?\",\"answers\":[\"7\",\"7辆\"],\"explain\":\"假设全是自行车:15×2=30 个轮子,差 37−30=7;每辆三轮车多 1 个轮子,三轮车 7 辆。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"停车场有三轮车和自行车共 15 辆,轮子共 37 个,自行车有多少辆?\",\"answers\":[\"8\",\"8辆\"],\"explain\":\"15−7=8 辆(验算:7×3+8×2=37 ✓)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"有 1 元和 5 元的纸币共 12 张,共 28 元,5 元的有几张?\",\"answers\":[\"4\",\"4张\"],\"explain\":\"假设全是 1 元:12 元,差 28−12=16;每换一张 5 元多 4 元,16÷4=4 张。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"有 1 元和 5 元的纸币共 12 张,共 28 元,1 元的有几张?\",\"answers\":[\"8\",\"8张\"],\"explain\":\"12−4=8 张(验算:8×1+4×5=28 ✓)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"松鼠采松果,晴天每天采 20 个,雨天每天采 12 个,8 天共采了 136 个,晴天有几天?\",\"answers\":[\"5\",\"5天\"],\"explain\":\"假设 8 天全晴:8×20=160 个,比 136 多 24;每个雨天少采 8 个,雨天 24÷8=3 天,晴天 8−3=5 天。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用假设法(假设全是鸡)解题时,少的腿数 ÷ 2 算出的是鸡的只数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。每把 1 只鸡换成兔多 2 条腿,所以少的腿数 ÷ 2 = 兔的只数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用抬腿法:每只动物抬起 2 条腿后,每只兔子还剩下几条腿站着?\",\"options\":[\"0条\",\"2条\",\"4条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"兔子 4 条腿抬起 2 条,还剩 2 条;剩下的腿数 ÷ 2 = 兔子只数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 假设法:假设全是其中一种 → 算差 → 差 ÷ 单个差 = 另一种的数量。\n- 抬腿法:都抬起 2 条腿,剩下的腿都是兔子的,÷2 得兔数。\n- 方程法:设鸡 x 只,2x+4(20−x)=50。\n- 车轮、钞票等变式题结构相同:两类东西 + 总个数 + 总“腿数”。" + }, + { + "id": "apply-14", + "title": "分数应用题:单位“1”与量率对应", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "找准单位“1”,利用量率对应解决分数应用题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n分数应用题的关键是找单位“1”。本课学习找单位“1”的方法、三种基本题型和量率对应思想。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 找单位“1”\n单位“1”:被比较的那个量就是单位“1”。\n- “是……的几分之几” → “的”后面的量是单位“1”;\n- “比……多/少几分之几” → “比”后面的量是单位“1”;\n- “占……的几分之几” → “占”后面的量是单位“1”。\n练一练:“男生人数是全班人数的 3/5” → 全班人数是单位“1”;“已经看了全书的 2/3” → 全书页数是单位“1”;“苹果比梨多 1/4” → 梨的数量是单位“1”。\n\n### 2. 三种基本题型\n1. 求一个数的几分之几是多少:单位“1” × 分率 = 对应量(用乘法);\n2. 求一个数是另一个数的几分之几:对应量 ÷ 单位“1” = 分率(用除法);\n3. 已知一个数的几分之几是多少,求这个数:对应量 ÷ 分率 = 单位“1”(用除法)。\n口诀:知 1 求几用乘法,知几求 1 用除法。\n量率对应:每个分率都对应一个具体的数量,找到“量”和“率”的对应关系是解题核心。\n\n**例 1(已知单位“1”求对应量)** 一本故事书共 240 页,小明第一天看了全书的 1/4,第二天看了全书的 1/3。两天一共看了多少页?\n【思路】单位“1” = 全书 240 页(已知),用乘法。\n【解答】第一天:240×1/4=60 页;第二天:240×1/3=80 页;共 60+80=140 页。也可以:240×(1/4+1/3)=240×7/12=140 页。\n【验算/提醒】140/240 = 7/12 = 1/4+1/3 ✓。\n\n**例 2(已知对应量求单位“1”)** 果园里苹果树有 180 棵,恰好是梨树的 3/5。梨树有多少棵?\n【思路】单位“1” = 梨树(未知);量率对应:180 棵 ↔ 分率 3/5,用除法。\n【解答】梨树 = 180÷3/5 = 180×5/3 = 300(棵)。\n【验算/提醒】300×3/5=180 棵 ✓。\n\n**例 3(量率不对应,先转化)** 一袋大米,吃了 3/5 后还剩 10 千克。这袋大米原来有多少千克?\n【思路】单位“1” = 原来的大米(未知)。10 千克是“剩下的”,对应分率是 1−3/5=2/5,不能直接拿 10 除以 3/5。\n【解答】原来 = 10÷2/5 = 10×5/2 = 25(千克)。\n【验算/提醒】25×3/5=15 千克(吃了),25−15=10 千克 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找错单位“1” → 每次先圈出“是/占/比……的”这些关键词。\n- 量率不对应就列式 → 必须确认“这个量对应的是哪个分率”。\n- “吃了 3/5”和“还剩 3/5”搞混 → 认真读题,区分“已用”和“剩余”。\n- 分数除法算成乘法 → “知几求 1 用除法”,别搞反。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"“男生人数是全班人数的 3/5”,这道题的单位“1”是哪个量?\",\"options\":[\"男生人数\",\"全班人数\",\"女生人数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"“是……的几分之几”,“的”后面的量——全班人数是单位“1”。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"“苹果比梨多 1/4”,单位“1”是哪个量?\",\"options\":[\"苹果的数量\",\"梨的数量\",\"苹果和梨的总数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"“比……多几分之几”,“比”后面的量——梨的数量是单位“1”。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"六年级有学生 120 人,其中男生占 5/6,男生有多少人?\",\"answers\":[\"100\",\"100人\"],\"explain\":\"知 1 求几用乘法:120×5/6=100 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一本书看了 45 页,正好是全书的 3/8,这本书共有多少页?\",\"answers\":[\"120\",\"120页\"],\"explain\":\"知几求 1 用除法:45÷3/8=45×8/3=120 页。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一桶油用去了 2/7,还剩 30 千克,这桶油原来有多少千克?\",\"answers\":[\"42\",\"42千克\"],\"explain\":\"30 千克对应 1−2/7=5/7;原来 = 30÷5/7=30×7/5=42 千克。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"修一条公路,第一天修了全长的 1/5,第二天修了全长的 1/4,还剩 330 米没修。这条公路全长多少米?\",\"answers\":[\"600\",\"600米\"],\"explain\":\"剩下部分对应 1−1/5−1/4=11/20;全长 = 330÷11/20=330×20/11=600 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"水果店运来一批苹果,上午卖出总数的 1/3,下午卖出总数的 1/4,还剩 50 千克。这批苹果共有多少千克?\",\"answers\":[\"120\",\"120千克\"],\"explain\":\"50 千克对应 1−1/3−1/4=5/12;总数 = 50÷5/12=50×12/5=120 千克。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“吃了 3/5”和“还剩 3/5”表示的意义相同。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。“吃了 3/5”指已用部分,“还剩 3/5”指剩余部分,两者对应的数量不同,列式前必须分清。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"已知对应量求单位“1”,用除法:对应量 ÷ 分率 = 单位“1”。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。口诀:知 1 求几用乘法,知几求 1 用除法。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 找单位“1”:看“是/占/比……的”,后面的量是单位“1”。\n- 知 1 求几用乘法,知几求 1 用除法。\n- 量率对应:先确认数量对应哪个分率,再列式。\n- “已用”和“剩余”要分清,必要时用 1 去减。" + }, + { + "id": "apply-15", + "title": "百分数应用题:折扣与利润率", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握折扣、利润率问题的数量关系与解法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n百分数应用题和分数应用题一脉相承,都是找单位“1”。本课学习折扣问题和利润率问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 折扣问题\n打几折 = 按原价的百分之几十出售。如:打八折 = 原价 × 80% = 原价 × 4/5。\n- 现价 = 原价 × 折扣率\n- 原价 = 现价 ÷ 折扣率\n- 便宜了多少 = 原价 − 现价 = 原价 × (1 − 折扣率)\n\n**例 1** 一双运动鞋原价 350 元,现在打七五折出售。(1)现价多少元?(2)比原价便宜了多少元?(3)如果妈妈有 300 元,够不够买?\n【思路】打七五折 = 按原价的 75% 出售。\n【解答】(1)现价 = 350×75% = 262.5 元;(2)便宜 = 350−262.5 = 87.5 元,或 350×(1−75%)=350×25%=87.5 元;(3)262.5<300,够买。\n【验算/提醒】262.5+87.5=350 ✓。\n\n### 2. 利润率问题\n- 利润 = 售价 − 成本\n- 利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%(分母是成本,不是售价!)\n- 售价 = 成本 × (1 + 利润率)\n- 成本 = 售价 ÷ (1 + 利润率)\n\n**例 2** 一件商品的进价是 200 元,商店加价 25% 出售。(1)售价是多少元?(2)如果卖了 5 件,一共获利多少元?\n【思路】加价 25% 是以成本为单位“1”,售价 = 成本×(1+25%);利润 = 售价−成本。\n【解答】(1)售价 = 200×(1+25%) = 200×125% = 250 元;(2)每件利润 = 250−200 = 50 元,5 件获利 50×5 = 250 元。\n【验算/提醒】利润率 = 50÷200×100% = 25% ✓。\n\n口诀:知原求现乘,知现求原除。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- “打八折”算成“减 80%” → 打八折是按原价的 80% 卖,不是减掉 80%。\n- 利润率的分母用成售价 → 利润率 = 利润 ÷ 成本,不是利润 ÷ 售价。\n- 连续涨价/降价直接加减百分数 → “先涨 20% 再降 20%”不等于回到原价。\n- 求“便宜了多少”忘记可以用 原价×(1−折扣率) 一步算出。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一双运动鞋原价 350 元,打七五折出售,现价多少元?\",\"answers\":[\"262.5\",\"262.5元\"],\"explain\":\"350×75%=262.5 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一双运动鞋原价 350 元,打七五折出售,比原价便宜了多少元?\",\"answers\":[\"87.5\",\"87.5元\"],\"explain\":\"350−262.5=87.5 元,或 350×25%=87.5 元。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一件商品进价 200 元,加价 25% 出售,售价是多少元?\",\"options\":[\"225元\",\"250元\",\"45元\"],\"answer\":1,\"explain\":\"200×(1+25%)=200×125%=250 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一台电视机原价 4000 元,打九折出售,现价多少元?\",\"answers\":[\"3600\",\"3600元\"],\"explain\":\"4000×90%=3600 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"这台电视机打九折出售,便宜了多少元?\",\"answers\":[\"400\",\"400元\"],\"explain\":\"4000−3600=400 元,或 4000×10%=400 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一本图书原价 48 元,现在按原价的七五折出售,书店还能赚 8 元。这本图书的进价是多少元?\",\"answers\":[\"28\",\"28元\"],\"explain\":\"现价 48×75%=36 元;进价 = 36−8 = 28 元。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“打八折”就是按原价的 80% 出售。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。打八折 = 原价×80% = 原价×4/5。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"利润率 = 利润 ÷ 售价 × 100%。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。利润率 = 利润 ÷ 成本 × 100%,分母是成本不是售价。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一件衣服原价 100 元,先提价 20%,再打八折出售,最后售价是多少元?\",\"options\":[\"100元\",\"96元\",\"104元\"],\"answer\":1,\"explain\":\"先提价:100×(1+20%)=120 元;再打八折:120×80%=96 元。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一件衣服先提价 20%,再降价 20%,价格正好回到原价。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。设原价 100 元,100×120%×80%=96 元,比原价便宜了。连续涨跌不能直接加减百分数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 打几折 = 按原价的百分之几十出售;现价 = 原价×折扣率。\n- 利润 = 售价−成本;利润率 = 利润÷成本×100%。\n- 知原求现乘,知现求原除。\n- 连续涨跌要逐次乘,不能把百分数相加减。" + }, + { + "id": "apply-16", + "title": "百分数应用题:增长率与浓度", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "解决增长率(百分率)与浓度问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了折扣与利润率,本课继续百分数的两个应用场景:增长率(百分率)问题和浓度问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 增长率问题\n- 增长率 = 增长量 ÷ 原来 × 100%\n- 增长后的量 = 原来的量 × (1 + 增长率)\n- 减少后的量 = 原来的量 × (1 − 减少率)\n\n**例 1** 某工厂去年产值 800 万元,今年比去年增长了 15%。(1)今年产值多少万元?(2)两年产值一共多少万元?\n【思路】以去年产值为单位“1”,今年是去年的 (1+15%)。\n【解答】(1)今年 = 800×(1+15%) = 800×115% = 920 万元;(2)两年共 = 800+920 = 1720 万元。\n【验算/提醒】增长量 = 920−800 = 120 万元,120÷800 = 15% ✓。\n\n### 2. 浓度问题\n- 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%(溶质 + 溶剂 = 溶液,如盐 + 水 = 盐水)\n- 溶质 = 溶液 × 浓度\n- 溶液 = 溶质 ÷ 浓度\n\n**例 2** 一杯 200 克的盐水,浓度为 15%。(1)盐有多少克?(2)再加入 50 克水后,新浓度是多少?\n【思路】先求盐(溶质);加水后盐不变、溶液变多。\n【解答】(1)盐 = 200×15% = 30 克;(2)新溶液 = 200+50 = 250 克,新浓度 = 30÷250 = 12%。\n【验算/提醒】加水只增加溶剂,盐仍是 30 克:250×12%=30 克 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 增长后的量忘记用 (1+增长率) → 800×15% 只是增长的部分,还要加 800。\n- 浓度问题中溶质和溶剂搞混 → 浓度 = 溶质 ÷ 溶液,溶液 = 溶质 + 溶剂。\n- 加水后误以为盐也变了 → 加水只改变溶液总量,盐(溶质)不变。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某工厂去年产值 800 万元,今年比去年增长 15%,今年产值多少万元?\",\"answers\":[\"920\",\"920万元\"],\"explain\":\"800×(1+15%)=800×115%=920 万元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"去年产值 800 万元、今年 920 万元,两年产值一共多少万元?\",\"answers\":[\"1720\",\"1720万元\"],\"explain\":\"800+920=1720 万元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某城市去年人均收入 36000 元,今年比去年增长了 10%,今年人均收入多少元?\",\"answers\":[\"39600\",\"39600元\"],\"explain\":\"36000×(1+10%)=36000×110%=39600 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一杯 200 克的盐水,浓度为 15%,盐有多少克?\",\"answers\":[\"30\",\"30克\"],\"explain\":\"溶质 = 溶液×浓度:200×15%=30 克。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"这杯盐水(200 克、盐 30 克)再加入 50 克水后,新浓度是多少?(用百分数表示)\",\"answers\":[\"12%\",\"12\"],\"explain\":\"溶液变为 200+50=250 克,盐仍 30 克:30÷250=12%。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"浓度的正确计算公式是哪个?\",\"options\":[\"溶质 ÷ 溶剂 × 100%\",\"溶质 ÷ 溶液 × 100%\",\"溶剂 ÷ 溶液 × 100%\"],\"answer\":1,\"explain\":\"浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%,其中溶液 = 溶质 + 溶剂。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"溶液 = 溶质 + 溶剂。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。例如盐水 = 盐 + 水。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"减少后的量 = 原来的量 × (1 − 减少率)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。与增长同理:先算减少的部分,再从 1 里去掉。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一杯 100 克的糖水,浓度为 20%,糖有多少克?\",\"options\":[\"20克\",\"80克\",\"12克\"],\"answer\":0,\"explain\":\"溶质 = 100×20% = 20 克。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 增长率 = 增长量 ÷ 原来;增长后的量 = 原来 × (1+增长率)。\n- 浓度 = 溶质 ÷ 溶液;溶液 = 溶质 + 溶剂。\n- 加水(溶剂)时,溶质不变,溶液增加,浓度下降。\n- 求“增长后”的量别忘乘 (1+增长率)。" + }, + { + "id": "apply-17", + "title": "按比例分配与比例尺", + "grade": "六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "解决按比例分配与比例尺应用问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n比例在生活中无处不在:按比例分东西、地图上的比例尺。本课学习按比例分配和比例尺两类应用题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 按比例分配\n已知总量和各部分的比,求各部分是多少。\n方法:先求总份数 → 再求每份的值 → 各部分 = 份数 × 每份的值。\n例如:按 2:3 分配 100 → 总份数 5 → 每份 20 → 两部分分别为 40 和 60。\n\n**例 1** 学校买来 360 本书,按 4:5 分给五年级和六年级。五、六年级各分到多少本?\n【思路】先求总份数,再求每份是多少,最后乘各自份数。\n【解答】总份数 = 4+5 = 9 份;每份 = 360÷9 = 40 本;五年级 = 4×40 = 160 本;六年级 = 5×40 = 200 本。\n【验算/提醒】160+200=360 ✓,160:200=4:5 ✓。\n\n### 2. 比例尺\n- 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离\n- 图上距离 = 实际距离 × 比例尺\n- 实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺\n注意:比例尺不带单位;图上距离常用厘米,实际距离要换算(1 千米 = 100000 厘米)。\n\n**例 2** 地图比例尺 1:50000,图上距离 4 厘米,实际距离多少?\n【思路】实际距离 = 图上距离 ÷ 比例尺,算出来是厘米,要换算成千米。\n【解答】实际 = 4÷(1/50000) = 4×50000 = 200000 厘米 = 2 千米。\n【验算/提醒】比例尺 1:50000 表示图上 1 厘米代表实际 50000 厘米,单位是厘米,要换算成千米。\n\n**例 3** 在一幅比例尺为 1:200000 的地图上,量得甲乙两地的图上距离是 6 厘米。(1)甲乙两地的实际距离是多少千米?(2)如果改画在比例尺为 1:300000 的地图上,图上距离是多少厘米?\n【思路】第(1)问用“图上距离×比例尺的分母”求实际距离;第(2)问实际距离不变,再乘新比例尺。\n【解答】(1)实际距离 = 6×200000 = 1200000 厘米 = 12 千米;(2)新图上距离 = 1200000×(1/300000) = 4 厘米。\n【验算/提醒】4×300000=1200000 厘米 = 12 千米 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 比例尺的单位搞混 → 图上距离用厘米,实际距离要换算成千米或米。\n- 按比例分配时忘了求“总份数” → 先把比的各部分加起来,再除出每份。\n- 把 1:200000 读成“图上 1 代表实际 200000 千米” → 单位是厘米!要换算。\n- 分配完不验算 → 各部分之和应等于总量,比要还原。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校买来 360 本书,按 4:5 分给五年级和六年级,五年级分到多少本?\",\"answers\":[\"160\",\"160本\"],\"explain\":\"每份 360÷(4+5)=40 本,五年级 4×40=160 本。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一种混凝土按水泥:沙:石子 = 2:3:5 配制,要配制 600 吨,需要水泥多少吨?\",\"answers\":[\"120\",\"120吨\"],\"explain\":\"总份数 2+3+5=10,每份 600÷10=60 吨,水泥 2×60=120 吨。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上题,需要沙多少吨?\",\"answers\":[\"180\",\"180吨\"],\"explain\":\"沙 3×60=180 吨。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"同上题,需要石子多少吨?\",\"options\":[\"120吨\",\"180吨\",\"300吨\"],\"answer\":2,\"explain\":\"石子 5×60=300 吨(验算:120+180+300=600 ✓)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在一幅比例尺为 1:500000 的地图上,量得两个城市之间的距离是 8 厘米,这两个城市的实际距离是多少千米?\",\"answers\":[\"40\",\"40千米\"],\"explain\":\"8×500000=4000000 厘米 = 40 千米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一间教室长 9 米、宽 6 米,画在比例尺为 1:200 的图纸上,长应画多少厘米?\",\"answers\":[\"4.5\",\"4.5厘米\"],\"explain\":\"9 米=900 厘米,900×(1/200)=4.5 厘米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同一间教室,宽应画多少厘米?\",\"answers\":[\"3\",\"3厘米\"],\"explain\":\"6 米=600 厘米,600÷200=3 厘米。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙两个车间的人数比是 3:5,如果从甲车间调 12 人到乙车间,则甲乙人数比变为 1:3。原来甲车间有多少人?\",\"options\":[\"24人\",\"36人\",\"60人\"],\"answer\":1,\"explain\":\"总人数不变。原来甲占 3/(3+5)=3/8,后来甲占 1/(1+3)=1/4;甲减少的 12 人对应 3/8−1/4=1/8,总人数 12÷1/8=96 人,原来甲 96×3/8=36 人。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比例尺是一个比,不带单位。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离,单位统一约掉了,不带单位。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比例尺 1:200000 表示图上 1 厘米代表实际 200000 千米。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。代表实际 200000 厘米,还要换算:200000 厘米 = 2 千米。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 按比例分配三步:求总份数 → 求每份 → 乘各自份数。\n- 比例尺 = 图上距离 ÷ 实际距离,不带单位。\n- 图上距离常用厘米,实际距离记得换算(1 千米 = 100000 厘米)。\n- 做完验算:各部分之和等于总量。" + }, + { + "id": "apply-18", + "title": "正比例与反比例应用题", + "grade": "六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "判断正反比例,用商一定或积一定解应用题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n两个相关联的量,如果比值不变就是正比例,如果乘积不变就是反比例。本课学习判断方法和应用。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 正比例与反比例\n- 正比例:y÷x = k(一定),即两个量的比值(商)不变。例:时间一定时,路程 ÷ 速度 = 时间,速度越快路程越远。\n- 反比例:x×y = k(一定),即两个量的乘积不变。例:路程一定时,速度 × 时间 = 路程,速度越快时间越短。\n判断技巧:看两个量是“商一定”还是“积一定”——商一定 → 正比例(同增同减);积一定 → 反比例(一增一减)。\n\n**例 1(判断成什么比例)** 路程一定,速度和时间成什么比例?\n【思路】先写出三个量的关系式:速度 × 时间 = 路程。路程一定,就是速度和时间的乘积不变。\n【解答】积一定 → 反比例。速度越快,所需时间越短(一增一减)。\n【验算/提醒】用口诀核对:商一定 → 正比例;积一定 → 反比例。这里是积一定,所以是反比例。\n再练两个:单价一定,数量和总价 → 总价÷数量=单价(一定),商一定,正比例;长方形面积一定,长和宽 → 长×宽=面积(一定),积一定,反比例。\n\n**例 2(用比例解应用题)** 一辆汽车从 A 城到 B 城,如果每小时行 60 千米,需要 5 小时。如果要在 3 小时内到达,每小时至少要行多少千米?\n【思路】路程一定(60×5=300 千米),速度和时间成反比例,乘积不变。\n【解答】设每小时行 x 千米:x×3 = 60×5 → 3x=300 → x=100(千米/小时)。\n【验算/提醒】100×3=300 千米 = 60×5 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 正反比例判断错误 → 问自己:是商一定,还是积一定?\n- 以为“一起变化”就是正比例 → 必须商一定才是正比例;一增一减且积一定才是反比例。\n- 用反比例列式时写成了除法 → 积一定:速度 × 时间 = 速度 × 时间(两次乘积相等)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"路程一定时,速度和时间成什么比例?\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":1,\"explain\":\"速度×时间=路程(一定),积一定 → 反比例。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"单价一定时,数量和总价成什么比例?\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":0,\"explain\":\"总价÷数量=单价(一定),商一定 → 正比例。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方形面积一定时,长和宽成什么比例?\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":1,\"explain\":\"长×宽=面积(一定),积一定 → 反比例。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一辆汽车从 A 城到 B 城,每小时行 60 千米需要 5 小时。如果要在 3 小时内到达,每小时至少要行多少千米?\",\"answers\":[\"100\",\"100千米\"],\"explain\":\"路程一定:60×5=300 千米;300÷3=100 千米/小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一批货物,用载重 5 吨的卡车运需要 12 次运完。如果改用载重 8 吨的卡车运,需要几次运完?\",\"answers\":[\"8\",\"8次\"],\"explain\":\"货物总量一定(反比例):5×12=60 吨;60÷8=7.5 次,7 次运不完,至少要 8 次。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正比例是指两个量的乘积一定。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。正比例是商(比值)一定;积一定是反比例。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"成反比例的两个量,一个量增加,另一个量反而减少。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。积一定时,一增一减。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"若 y÷x = k(k 一定),则 x 和 y 成什么比例?\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":0,\"explain\":\"商一定 → 正比例,同增同减。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"时间一定时,速度越快,行的路程越远,速度和路程成正比例。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。路程÷速度=时间(一定),商一定,成正比例。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 商一定 → 正比例(同增同减);积一定 → 反比例(一增一减)。\n- 判断三步:找两个相关联的量 → 看谁不变 → 定商还是积。\n- 反比例应用题:两次的乘积相等,据此列式。\n- 结果要结合实际检验(如运货次数要进一)。" + }, + { + "id": "apply-19", + "title": "工程问题", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "把工作总量看作单位“1”,解决工程与注水问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n工程问题不关心“工作”具体是什么,只关心“效率”。核心思路:把工作总量看作单位“1”。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 基本公式\n- 工作效率 × 工作时间 = 工作总量\n- 工作效率 = 1 ÷ 工作时间(即每天完成总量的几分之几)\n- 工作时间 = 1 ÷ 工作效率\n三种类型:合作问题(效率相加)、轮流工作(分段计算)、效率变化(分阶段计算)。\n\n**例 1(合作问题)** 一项工程,甲单独做需要 12 天完成,乙单独做需要 18 天完成。两人合作几天可以完成?\n【思路】甲效率 1/12,乙效率 1/18,合作效率相加。\n【解答】通分:1/12=3/36,1/18=2/36;合作效率 = 3/36+2/36 = 5/36;合作时间 = 1÷5/36 = 36/5 = 7.2(天)。\n【验算/提醒】甲做 7.2 天完成 7.2×1/12=0.6,乙完成 7.2×1/18=0.4,0.6+0.4=1 ✓。\n\n**例 2(轮流工作)** 一项工程,甲单独做需要 10 天完成,乙单独做需要 15 天完成。先由甲做 2 天,剩下的由乙完成,乙还需要几天?\n【思路】先算甲 2 天完成多少,再用 1 减去得剩余工作量,除以乙的效率。\n【解答】甲做 2 天完成 2×1/10 = 1/5;剩余工作量 = 1−1/5 = 4/5;乙需要 4/5÷1/15 = 4/5×15 = 12(天)。\n【验算/提醒】1/5+12×1/15 = 1/5+4/5 = 1 ✓。\n\n**例 3(效率变化——水池注水)** 一个水池,单独开进水管 6 小时可以注满,单独开出水管 8 小时可以放完。水池是空的,同时开两管,几小时可以注满?\n【思路】进水管 = 工人(效率为正);出水管 = 反方向(效率为负),要用减法。\n【解答】通分:1/6=4/24,1/8=3/24;净效率 = 4/24−3/24 = 1/24;注满时间 = 1÷1/24 = 24(小时)。\n【验算/提醒】24 小时进水 24×1/6=4 池,出水 24×1/8=3 池,净注入 4−3=1 池 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把效率当时间用 → 效率是“每天做几分之几”,不是天数。\n- 合作问题效率相加后忘记化简 → 分数加减要通分。\n- 水池问题把进水效率和出水效率直接相加 → 出水是减少,要用减法。\n- 求“剩余工作量”时忘了用 1 − 已完成的 → 总量是 1,剩余 = 1 − 已完成。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一项工程,甲单独做 8 天完成,乙单独做 12 天完成,两人合作几天完成?\",\"answers\":[\"4.8\",\"24/5\"],\"explain\":\"合作效率 1/8+1/12=3/24+2/24=5/24;时间 = 1÷5/24 = 24/5 = 4.8 天。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"修一条路,甲队每天修 1/20,乙队每天修 1/30。两队合作 5 天后,还剩多少没有修?\",\"answers\":[\"7/12\"],\"explain\":\"每天合修 1/20+1/30=5/60=1/12;5 天修 5×1/12=5/12;剩 1−5/12=7/12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一份稿件,甲打字员单独打需要 6 小时,乙单独打需要 9 小时。甲先打了 2 小时后,剩下的由甲乙合作,还需要几小时?\",\"answers\":[\"2.4\",\"12/5\"],\"explain\":\"甲 2 小时完成 2/6=1/3,剩 2/3;合作效率 1/6+1/9=5/18;2/3÷5/18=2/3×18/5=12/5=2.4 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个水池有甲乙两个进水管。单开甲管 4 小时注满,单开乙管 6 小时注满。先开甲管 2 小时,再同时开两管,还要几小时注满?\",\"answers\":[\"1.2\",\"6/5\"],\"explain\":\"甲 2 小时注入 2×1/4=1/2,剩 1/2;两管合注 1/4+1/6=5/12;1/2÷5/12=1/2×12/5=6/5=1.2 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一项工程,甲乙合作 12 天完成。如果甲单独做需要 20 天完成,乙单独做需要多少天?\",\"answers\":[\"30\",\"30天\"],\"explain\":\"乙效率 = 1/12−1/20 = 5/60−3/60 = 2/60 = 1/30;乙单独做需 30 天。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一项工程甲单独做要 10 天完成,甲的工作效率是多少?\",\"options\":[\"10\",\"1/10\",\"1\"],\"answer\":1,\"explain\":\"效率 = 1÷工作时间 = 1/10,即每天完成总量的十分之一。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"水池问题中,进水效率和出水效率应该相加。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。出水是减少,净效率 = 进水效率 − 出水效率。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"工程问题中,通常把工作总量看作单位“1”。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这样效率就是 1÷时间,便于计算合作与剩余。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲效率 1/12,乙效率 1/18,两人合作效率是多少?\",\"options\":[\"2/30\",\"1/15\",\"5/36\"],\"answer\":2,\"explain\":\"1/12+1/18=3/36+2/36=5/36。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 工作总量看作单位“1”,效率 = 1÷时间。\n- 合作:效率相加;时间 = 1÷合作效率。\n- 中途换人/分段:先算已完成,剩余 = 1−已完成。\n- 水池注水:进水为正、出水为负,净效率相减。" + }, + { + "id": "apply-20", + "title": "还原问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "从结果出发逆序倒推,解决还原问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n有些题目告诉你“经过一连串变化后的结果”,要求原来的数。这类还原问题要用倒推法:从结果出发,逆序推算。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 倒推规则\n从结果出发,把每一步运算“反过来”:\n- 加法 → 逆推用减法\n- 减法 → 逆推用加法\n- 乘法 → 逆推用除法\n- 除法 → 逆推用乘法\n\n**例 1** 一个数加 3 乘 4 再减 5 得 15,这个数是几?\n【思路】顺行:? → 加3 → 乘4 → 减5 → 15;逆行:15 → 加5 → 除以4 → 减3 → ?。\n【解答】15+5=20 → 20÷4=5 → 5−3=2。这个数是 2。\n【验算/提醒】代回顺行:2+3=5,5×4=20,20−5=15 ✓。\n\n**例 2** 一个数除以 3 加上 5 等于 11,这个数是多少?\n【思路】原来的顺序:÷3 → +5 → 11;倒过来:+5 变 −5,÷3 变 ×3。\n【解答】11−5=6 → 6×3=18。这个数是 18。\n【验算/提醒】18÷3=6,6+5=11 ✓。\n\n**例 3** 有一桶水,先倒出一半,再倒出 5 升,还剩 12 升,桶里原来有多少升水?\n【思路】从 12 升倒推:先还原“倒出 5 升”(加回去),再还原“倒出一半”(乘 2)。\n【解答】12+5=17(升) → 17×2=34(升)。桶里原来有 34 升水。\n【验算/提醒】34 倒出一半剩 17,再倒出 5 升剩 12 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 顺着算而不是倒着算 → 还原问题必须从结果出发,逆着顺序推。\n- 逆推时运算没反过来 → 加变减、减变加、乘变除、除变乘。\n- 倒推顺序搞反 → 最后做的变化最先还原(像穿脱衣服,后穿的先脱)。\n- 算完不验算 → 把答案代回原题顺行算一遍。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数加 3 乘 4 再减 5 得 15,这个数是多少?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"倒推:15+5=20,20÷4=5,5−3=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数除以 3 加上 5 等于 11,这个数是多少?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"倒推:11−5=6,6×3=18。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明的年龄乘 5 再减去 7 得 38,小明多少岁?\",\"answers\":[\"9\",\"9岁\"],\"explain\":\"倒推:38+7=45,45÷5=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"有一桶水,先倒出一半,再倒出 5 升,还剩 12 升,桶里原来有多少升水?\",\"answers\":[\"34\",\"34升\"],\"explain\":\"倒推:12+5=17,17×2=34 升。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个数先加上 8,再乘 2,得到 30。还原这个数,正确列式是哪个?\",\"options\":[\"30×2−8=52\",\"30÷2−8=7\",\"(30−8)÷2=11\"],\"answer\":1,\"explain\":\"最后做的是乘 2,先还原它:30÷2=15;再还原加 8:15−8=7。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"还原一个数时,原来用乘 5 的步骤,逆推时要用除以 5。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。乘法逆推用除法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"还原问题应该从已知条件出发顺着往下算。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。还原问题要从结果出发,逆序倒推。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个数先减去 6,再除以 3,得 4。这个数是多少?\",\"options\":[\"6\",\"18\",\"2\"],\"answer\":1,\"explain\":\"倒推:4×3=12,12+6=18。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 还原问题用倒推法:从结果出发,逆序推算。\n- 运算反过来:加↔减、乘↔除。\n- 倒推顺序与原顺序相反:最后做的先还原。\n- 把答案代回原题顺行验算。" + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/src/content/math/calc-a.json b/src/content/math/calc-a.json new file mode 100644 index 0000000..69b72bd --- /dev/null +++ b/src/content/math/calc-a.json @@ -0,0 +1,246 @@ +{ + "module": "calc", + "moduleName": "计算与计数", + "points": [ + { + "id": "calc-01", + "title": "认识1~5：认数、比大小、第几与分合", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识数字1~5，会比较大小、分清第几、掌握2~5的分与合", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n这是数学学习的第一步。我们已经会数数了，本课要正式认识数字1~5：会认、会读、会写、会用，还要学会比大小、分清\"第几\"、掌握2~5的分与合。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：1~5 的认、读、写\n\n数字1~5是学习数学的第一步，要做到：会认→会读→会写→会用。\n\n记忆儿歌：\n- 1像铅笔细又长，2像小鸭水上漂\n- 3像耳朵听声音，4像小旗随风飘\n- 5像鱼钩把鱼钓\n\n用实物对应：拿出1支笔→写1，拿出2个积木→写2。\n\n**例 1** 数一数，连一连：●● 对应几？●●●●● 对应几？●●● 对应几？\n【思路】手口一致地点数，数到几就是几。\n【解答】●● 是 2 个，连 2；●●●●● 是 5 个，连 5；●●● 是 3 个，连 3。\n【提醒】点数时手指点一个、嘴里数一个，不能快也不能慢。\n\n### 概念 2：比大小（＞、＜、＝）\n\n认识\"＞\"（大于号）、\"＜\"（小于号）、\"=\"（等号）。\n\n口诀：**开口对大数，尖尖对小数**。大数在前读大于（5＞3 读作 5 大于 3），小数在前读小于（3＜5 读作 3 小于 5）。手势记忆：右手比\"八\"字→＞，左手比\"八\"字→＜。\n\n**例 2** 在○里填上合适的符号：3○5\n【思路】3 在前、5 在后，3 比 5 小，尖尖要对着小数 3。\n【解答】3＜5\n【提醒】先比出谁大谁小，再想符号开口朝谁。\n\n**例 3** 在○里填上合适的符号：4○4\n【思路】4 和 4 一样多。\n【解答】4＝4\n\n### 概念 3：第几（序数）\n\n\"几个\"表示数量，\"第几\"表示位置/顺序。\n\n**例 4** 从左边数起：●○●○○\n【思路】从左往右一个一个数，分清\"一共有几个\"和\"排在第几\"。\n【解答】第 1 个是●，第 2 个是○，第 3 个是●；一共有 5 个图形，第 3 个是●。\n【提醒】\"5 个\"说的是总数，\"第 3 个\"说的是位置，只指某一个。\n\n### 概念 4：数的分与合（2~5）\n\n一个数可以分成两个更小的数，两个数合起来变成原来的数。\n\n5 的分合口诀（背诵）：\n- 2 可以分成 1 和 1\n- 3 可以分成 1 和 2、2 和 1\n- 4 可以分成 1 和 3、2 和 2、3 和 1\n- 5 可以分成 1 和 4、2 和 3、3 和 2、4 和 1\n\n**例 5** 填一填：5 = 2 + ( )\n【思路】想 5 的分合：5 可以分成 2 和 3。\n【解答】填 3。\n【验算】2+3=5 ✓。5 个苹果分给 2 个人，就有 1 和 4、2 和 3、3 和 2、4 和 1 共 4 种分法。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 大于号、小于号方向搞反 → 记住\"开口对大数，尖尖对小数\"。\n- 混淆\"几个\"（总数）和\"第几个\"（位置）→ 先问\"问的是多少个，还是哪一个\"。\n- 分与合口诀不熟 → 分与合是后面学加减法的基础，必须背熟。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填一填：5 = 2 + ( )\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"想 5 的分合：5 可以分成 2 和 3，所以填 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填一填：4 = 1 + ( )\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"4 可以分成 1 和 3，所以填 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填一填：3 = ( ) + 1\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"3 可以分成 2 和 1，所以填 2。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把 5 个苹果分给 2 个人（每人至少 1 个），一共有几种不同的分法？\",\"options\":[\"2 种\",\"3 种\",\"4 种\"],\"answer\":2,\"explain\":\"按 5 的分合：1 和 4、2 和 3、3 和 2、4 和 1，共 4 种分法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"5 ＞ 3。\",\"answer\":0,\"explain\":\"5 比 3 大，大于号开口对着大数 5，写法正确。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在○里填符号：4○4\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":2,\"explain\":\"4 和 4 一样多，所以填等号，4＝4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△○□☆★ 从左数第 2 个是什么图形？（直接填图形符号）\",\"answers\":[\"○\"],\"explain\":\"从左往右数：第 1 个△、第 2 个○、第 3 个□、第 4 个☆、第 5 个★。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在 1~5 中，比 2 小的数是几？\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"1~5 里只有 1 比 2 小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"大于号的开口对着小数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。口诀是\\\"开口对大数，尖尖对小数\\\"，开口应对着大数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把 5、2、4、1、3 按从小到大排列，正确的是？\",\"options\":[\"1、2、3、4、5\",\"5、4、3、2、1\",\"1、3、2、4、5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先找最小的 1，再依次找 2、3、4、5，排成 1、2、3、4、5。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 数字 1~5 要会认、会读、会写、会用。\n- 比大小口诀：开口对大数，尖尖对小数。\n- \"几个\"是数量，\"第几\"是位置。\n- 背熟 2~5 的分与合口诀，这是学加减法的地基。\n" + }, + { + "id": "calc-02", + "title": "5以内的加法和减法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解加法是合起来、减法是去掉，会算5以内的加减法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n上节课我们认识了1~5和它们的分与合。本课要学两个新符号：加号＋和减号－，学会5以内的加法和减法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：5 以内的加法\n\n把两部分合起来→用加法，符号\"＋\"。计算方法：**继续数**——从第一个数往后数。\n\n**例 1** 2 + 1 = ?\n【思路】2 个往后数 1 个 → 3。\n【解答】2 + 1 = 3 ✓\n\n**例 2** 3 + 2 = ?\n【思路】3 个往后数 2 个 → 4、5。\n【解答】3 + 2 = 5 ✓\n\n**例 3** 树上有 2 只鸟，又飞来了 3 只，一共有几只？\n【思路】\"又飞来\"是把两部分合起来 → 用加法。\n【解答】列式：2 + 3 = 5（只）。\n【验算】接着数：2 往后数 3 个 → 3、4、5，共 5 只 ✓\n\n### 概念 2：5 以内的减法\n\n从整体中去掉一部分→用减法，符号\"－\"。计算方法：**倒着数**——从第一个数往前倒数。\n\n**例 4** 4 - 1 = ?\n【思路】4 个往前倒 1 个 → 3。\n【解答】4 - 1 = 3 ✓\n\n**例 5** 5 - 3 = ?\n【思路】5 个往前倒 3 个 → 4、3、2。\n【解答】5 - 3 = 2 ✓\n\n**例 6** 盘子里有 4 个苹果，小猴吃了 1 个，还剩几个？\n【思路】\"吃了\"是从整体里去掉一部分 → 用减法。\n【解答】列式：4 - 1 = 3（个）。\n【提醒】做题前先问一句：\"这是合起来还是去掉？\"合起来用加法，去掉用减法。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 减法时把大数减小数搞反 → 记住\"从多的里面去掉少的\"。\n- 5-0=5 和 5-5=0 容易混 → 用实物演示：一个都不去掉还是 5，全部去掉才是 0。\n- 不先判断\"合起来还是去掉\"就乱填符号。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：2 + 1 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"2 往后数 1 个是 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：3 + 2 = ?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"3 往后数 2 个：4、5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：4 - 1 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"4 倒着数 1 个是 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：5 - 3 = ?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"5 倒着数 3 个：4、3、2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：5 - 0 = ?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"一个都不去掉，还是 5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：5 - 5 = ?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"全部去掉，一个不剩，得 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：1 + 1 + 2 = ?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"先算 1+1=2，再算 2+2=4。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"树上有 2 只鸟，又飞来了 3 只，一共有几只？正确的列式是？\",\"options\":[\"2 + 3 = 5\",\"5 - 2 = 3\",\"3 - 2 = 1\"],\"answer\":0,\"explain\":\"飞来是合起来，用加法：2+3=5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"盘子里有 4 个苹果，小猴吃了 1 个，还剩几个？\",\"options\":[\"5 个\",\"3 个\",\"4 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"吃掉是去掉，用减法：4-1=3。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求\\\"还剩多少\\\"的问题要用加法解决。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。\\\"还剩多少\\\"是从总数里去掉一部分，要用减法。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 合起来用加法（＋），继续数。\n- 去掉一部分用减法（－），倒着数。\n- 做题前先问：这是合起来还是去掉？\n- 5-0=5，5-5=0，注意区分。\n" + }, + { + "id": "calc-03", + "title": "认识6~10与10以内的加减法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识6~10，背熟10的分合，会算10以内加减法和连加连减", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n我们已经认识了1~5。本课要认识6~10，重点背熟10的分与合——它是后面学凑十法的基础，还要学会10以内的加减法和连加连减。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：6~10 的认、读、写\n\n记忆儿歌：\n- 6像口哨吹得响，7像镰刀割青草\n- 8像葫芦藤上挂，9像勺子能盛汤\n- 10像铅笔加鸡蛋（1 和 0 挨着站）\n\n重点：6 和 9 容易认反——**6 的圈在下面，9 的圈在上面**。10 是两位数：1 在十位，0 在个位。\n\n### 概念 2：10 的分与合（重中之重）\n\n10 的分与合是凑十法的基础，必须熟练。口诀（背诵）：\n- 一九一九好朋友（1+9=10）\n- 二八二八手拉手（2+8=10）\n- 三七三七真亲密（3+7=10）\n- 四六四六一起走（4+6=10）\n- 五五凑成一双手（5+5=10）\n\n**例 1** 填一填：10 = 4 + ( )\n【思路】想口诀\"四六四六一起走\"。\n【解答】填 6。\n【验算】4+6=10 ✓。还可以玩口算接龙：说\"1\"就答\"9\"，说\"2\"就答\"8\"。\n\n### 概念 3：10 以内加减法（利用分合）\n\n利用分合算加减：想\"3 和 4 合起来是 7\"→ 3+4=7；想\"7 可以分成 3 和 4\"→ 7-3=4、7-4=3。也可以用数轴法：加就往右跳，减就往左跳。\n\n**例 2** 在○里填\"+\"或\"-\"：9○6=3\n【思路】9 变成 3 是变少了 → 用减号。\n【解答】9 - 6 = 3 ✓\n\n**例 3** 括号里最大能填几：( ) + 4 ＜ 10\n【思路】想 6+4=10，要让结果小于 10，括号里最大只能填 5。\n【解答】最大填 5（5+4=9＜10 ✓）。\n【验算】若填 6，6+4=10，不小于 10，不行。\n\n### 概念 4：连加、连减和加减混合\n\n三个数连续运算，**从左到右依次计算**：先算前两个数，再用结果和第三个数算。\n\n**例 4** 3 + 2 + 4 = ?\n【思路】先算 3+2=5，再算 5+4=9。\n【解答】3+2+4=9\n\n**例 5** 4 + 5 - 3 = ?\n【思路】先算 4+5=9，再算 9-3=6。\n【解答】4+5-3=6\n\n**例 6** 公共汽车上有 6 人，到站上来 2 人，又下去 3 人，现在车上有几人？\n【思路】上来用加法，下去用减法，从左到右算。\n【解答】列式：6 + 2 - 3 = 5（人）。\n【验算】6 人加 2 人是 8 人，再减 3 人剩 5 人 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 6 和 9 认反 → 记住\"6 的圈在下，9 的圈在上\"。\n- 10 的分合不熟 → 直接影响后面学凑十法、破十法，务必背熟口诀。\n- 连加连减第二步忘了用第一步的结果去算。\n- 填\"+\"\"-\"时不先判断数是变大还是变小。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填一填：10 = 4 + ( )\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"四六四六一起走，4+6=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：10 - 3 = ?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"想 10 的分合：3 和 7 组成 10，所以 10-3=7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：3 + 4 = ?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"想 3 和 4 合起来是 7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：8 - 3 = ?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"8 可以分成 3 和 5，所以 8-3=5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在○里填上\\\"+\\\"或\\\"-\\\"：5○3=8\",\"options\":[\"+\",\"-\"],\"answer\":0,\"explain\":\"5 变成 8 是变多了，合起来用加法：5+3=8。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在○里填上\\\"+\\\"或\\\"-\\\"：9○6=3\",\"options\":[\"+\",\"-\"],\"answer\":1,\"explain\":\"9 变成 3 是变少了，去掉用减法：9-6=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：2 + 3 + 4 = ?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"先算 2+3=5，再算 5+4=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：8 - 3 - 2 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"先算 8-3=5，再算 5-2=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：4 + 5 - 3 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"先算 4+5=9，再算 9-3=6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"括号里最大能填几：( ) + 4 ＜ 10\",\"options\":[\"4\",\"5\",\"6\"],\"answer\":1,\"explain\":\"6+4=10 不小于 10；5+4=9＜10，所以最大填 5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"公共汽车上有 6 人，上来 2 人，又下去 3 人，现在车上有几人？\",\"options\":[\"5 人\",\"7 人\",\"11 人\"],\"answer\":0,\"explain\":\"列式 6+2-3=5（人）。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 6~10 会认会写，分清 6 和 9。\n- 10 的分合口诀必须脱口而出。\n- 10 以内加减法靠分合：合起来想加法，分成想减法。\n- 连加连减、加减混合都从左到右依次算。\n" + }, + { + "id": "calc-04", + "title": "认识11~20与数位", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识个位十位，知道十几就是10加几，会算10加几和相应减法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n我们认识了10以内的数。本课要认识11~20，理解数位（个位、十位），发现「十几就是10加几」的规律。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：数位（个位和十位）\n\n十位表示\"几个十\"，个位表示\"几个一\"。十几 = 1 个十 + 几个一；20 = 2 个十。\n\n用小棒理解：1 捆（10 根）→ 十位上的 1；几根单独的 → 个位上的数字。\n- 11 = 1 个十和 1 个一 → 十位写 1，个位写 1\n- 15 = 1 个十和 5 个一 → 十位写 1，个位写 5\n- 20 = 2 个十和 0 个一 → 十位写 2，个位写 0\n\n数位器上：十位画 1 颗珠、个位画 5 颗珠，就表示 15。\n\n**例 1** 14 有几个十和几个一？\n【思路】14 的十位是 1，个位是 4。\n【解答】14 有 1 个十和 4 个一。\n【提醒】20 的个位上一个也没有，必须写 0 占位。\n\n### 概念 2：十几就是 10 加几\n\n11~20 的组成有三条关键规律：\n- 10 + 几 = 十几（如 10+5=15）\n- 十几 - 10 = 几（如 15-10=5）\n- 十几 - 几 = 10（如 15-5=10）\n\n**例 2** 计算：10 + 7 = ?\n【思路】10 加几就是十几。\n【解答】10+7=17\n\n**例 3** 计算：15 - 5 = ?\n【思路】十几减几得 10。\n【解答】15-5=10\n【提醒】不要算成 5，15 去掉个位的 5，还剩 1 个十，是 10。\n\n**例 4** 比大小：12○15\n【思路】十位都是 1，比个位：2＜5。\n【解答】12＜15\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 20 的个位忘了写 0 → 0 要占位，否则 20 就变成 2 了。\n- 15-5=10 算成 5 → 十几减几得的是 10。\n- 分不清十位上的数和个位上的数各表示什么。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"14 有几个十？\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"14 的十位是 1，表示 1 个十。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"14 有几个一？\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"14 的个位是 4，表示 4 个一。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"20 有几个十？\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"20 = 2 个十。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：10 + 7 = ?\",\"answers\":[\"17\"],\"explain\":\"10 加几就是十几，10+7=17。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：16 - 10 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"十几减 10 得几，16-10=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：15 - 5 = ?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"十几减几得 10，15-5=10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比大小：12○15，○里应填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":1,\"explain\":\"十位都是 1，比个位：2＜5，所以 12＜15。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"15 十位上的 1 表示 1 个十。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。十位上的数表示几个十，个位上的 5 才表示 5 个一。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 个十和 8 个一组成的数是几？\",\"options\":[\"81\",\"18\",\"8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 个十是 10，再加 8 个一，组成 18。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"19 读作什么？（填汉字）\",\"answers\":[\"十九\"],\"explain\":\"19 读作十九。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 十位表示几个十，个位表示几个一。\n- 十几 = 1 个十 + 几个一；20 = 2 个十。\n- 10+几=十几，十几-10=几，十几-几=10。\n- 20 的个位必须写 0 占位。\n" + }, + { + "id": "calc-05", + "title": "凑十法：20以内进位加法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握\"看大数、拆小数、凑成十、加剩数\"，会算9、8、7加几", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n10以内的加法我们已经很熟了。本课学习20以内的进位加法，核心方法是凑十法——先把大数凑成10，再加剩下的数。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：凑十法口诀\n\n**看大数，拆小数，凑成十，加剩数。**\n\n### 概念 2：9 加几\n\n9 + 几 = ？→ 把\"几\"分成 1 和（几-1），因为 9 缺 1 就凑成 10。\n\n**例 1** 9 + 5 = ?\n【思路】9 缺 1 凑 10 → 把 5 拆成 1 和 4；先算 9+1=10，再算 10+4=14。\n【解答】9 + 5 = 14\n【验算】方法二（继续数）：9 往后数 5 个 → 10、11、12、13、14，结果一致 ✓\n\n### 概念 3：8 加几、7 加几\n\n- 8 加几：8 缺 2 凑 10 → 把\"几\"拆成 2 和（几-2）\n- 7 加几：7 缺 3 凑 10 → 把\"几\"拆成 3 和（几-3）\n\n**例 2** 8 + 6 = ?\n【思路】8 缺 2 凑 10 → 把 6 拆成 2 和 4。\n【解答】8+2=10，10+4=14 → 8+6=14\n\n**例 3** 7 + 6 = ?\n【思路】7 缺 3 凑 10 → 把 6 拆成 3 和 3。\n【解答】7+3=10，10+3=13 → 7+6=13\n\n**例 4** 停车场有 8 辆车，又开来 5 辆，现在有多少辆？\n【思路】合起来用加法：8+5；8 缺 2 凑 10，把 5 拆成 2 和 3。\n【解答】8 + 5 = 13（辆）。\n【提醒】可以画\"凑十图\"：把 5 个里的 2 个移到 8 个那边凑成 10，还剩 3 个，10+3=13。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 凑十后忘记加剩下的数 → 口诀最后一句\"加剩数\"不能丢。\n- 把 6 拆成 2 和几不熟练 → 多练 6、7、8 的分合。\n- 拆数时拆的是小数（加数），不是把 9 或 8 拆开。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：9 + 5 = ?\",\"answers\":[\"14\"],\"explain\":\"9 缺 1 凑 10，把 5 拆成 1 和 4：9+1=10，10+4=14。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：9 + 7 = ?\",\"answers\":[\"16\"],\"explain\":\"把 7 拆成 1 和 6：9+1=10，10+6=16。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：8 + 6 = ?\",\"answers\":[\"14\"],\"explain\":\"把 6 拆成 2 和 4：8+2=10，10+4=14。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：7 + 6 = ?\",\"answers\":[\"13\"],\"explain\":\"把 6 拆成 3 和 3：7+3=10，10+3=13。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"算 9 + 5 时，应该把 5 拆成哪两个数？\",\"options\":[\"1 和 4\",\"2 和 3\",\"5 和 0\"],\"answer\":0,\"explain\":\"9 缺 1 凑 10，所以把 5 拆成 1 和 4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：8 + 7 = ?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"把 7 拆成 2 和 5：8+2=10，10+5=15。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：9 + 5○14，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":2,\"explain\":\"9+5=14，所以填等号。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"停车场有 8 辆车，又开来 5 辆，现在有多少辆？\",\"options\":[\"12 辆\",\"13 辆\",\"14 辆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"8+5：把 5 拆成 2 和 3，8+2=10，10+3=13。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用凑十法算 9+6，凑成 10 以后就不用再加了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。口诀是\\\"凑成十，加剩数\\\"：9+1=10 后，还要把剩下的 5 加上，10+5=15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红有 9 颗糖，小明有 6 颗，两人一共有几颗？\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"9+6：把 6 拆成 1 和 5，9+1=10，10+5=15。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 凑十法口诀：看大数，拆小数，凑成十，加剩数。\n- 9 缺 1、8 缺 2、7 缺 3 凑成 10。\n- 拆的是较小的加数。\n- 凑成 10 后别忘了加剩下的数。\n" + }, + { + "id": "calc-06", + "title": "破十法：20以内退位减法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握破十法和想加算减，会算十几减9、减8、减7、减6", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n上节课学了进位加法，这节课学退位减法。个位不够减怎么办？把十几拆成10和几，先用10去减——这就是破十法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：破十法口诀\n\n**看大数，分出 10，先减再加。**把十几拆成 10 和几，先用 10 减，再把结果和个位上的数相加。\n\n**例 1** 15 - 9 = ?\n【思路】方法一（破十法）：15 拆成 10 和 5 → 10-9=1 → 1+5=6。\n【解答】15 - 9 = 6\n【验算】方法二（想加算减）：想 9+( )=15，9+6=15 → 15-9=6 ✓；方法三（连减法）：15-5=10，10-4=6 ✓。三种方法结果一样。\n\n### 概念 2：十几减 8、7、6\n\n同样的方法：把十几拆成 10 和几 → 先用 10 减 → 再加个位。\n\n**例 2** 14 - 8 = ?\n【思路】14 拆成 10 和 4 → 10-8=2 → 2+4=6。\n【解答】14-8=6\n\n**例 3** 13 - 7 = ?\n【思路】13 拆成 10 和 3 → 10-7=3 → 3+3=6。\n【解答】13-7=6\n\n**例 4** 15 - 6 = ?\n【思路】15 拆成 10 和 5 → 10-6=4 → 4+5=9。\n【解答】15-6=9\n\n**例 5** 有 16 个气球，卖了 9 个，还剩几个？\n【思路】去掉用减法：16-9；16 拆成 10 和 6，10-9=1，1+6=7。\n【解答】列式：16 - 9 = 7（个）。\n\n### 概念 3：个位够减，不用破十\n\n**例 6** 14 - 3 = ?\n【思路】先看个位：4-3 够减，直接减，不需要破十。\n【解答】14-3=11\n【提醒】做题前先判断个位够不够减，够减就直接减。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 破十后忘记加个位上的数 → 记住\"10 减完，加个位\"。\n- 个位够减的题（如 14-3）也去破十 → 先判断个位够不够减。\n- 20 以内退位减法要天天练，每天 3~5 分钟，形成条件反射。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用破十法计算：15 - 9 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"15 拆成 10 和 5：10-9=1，1+5=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：12 - 9 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"12 拆成 10 和 2：10-9=1，1+2=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：14 - 8 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"14 拆成 10 和 4：10-8=2，2+4=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：13 - 7 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"13 拆成 10 和 3：10-7=3，3+3=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：15 - 6 = ?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"15 拆成 10 和 5：10-6=4，4+5=9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"想加算减：因为 9 + 6 = 15，所以 15 - 9 = ?\",\"options\":[\"6\",\"9\",\"15\"],\"answer\":0,\"explain\":\"想加算减：9+6=15，所以 15-9=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：11 - 8 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"11 拆成 10 和 1：10-8=2，2+1=3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"有 16 个气球，卖了 9 个，还剩几个？\",\"options\":[\"6 个\",\"7 个\",\"8 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"16-9：10-9=1，1+6=7，剩 7 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"计算 14 - 3 必须用破十法。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。个位 4-3 够减，直接减：14-3=11，不用破十。破十法用在个位不够减时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：17 - 9 = ?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"17 拆成 10 和 7：10-9=1，1+7=8。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 破十法口诀：看大数，分出 10，先减再加。\n- 还可以\"想加算减\"：想 9+( )=15。\n- 个位够减就直接减，不必破十。\n- 退位减法天天练，熟能生巧。\n" + }, + { + "id": "calc-07", + "title": "100以内数的认识与整十数加减", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "会数读写100以内的数，掌握拐弯数，会算整十数加减", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n我们认识了20以内的数。本课要认识100以内的数，学会数数、读数、写数，还会算整十数的加减法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：数数、读数、写数\n\n从 1 数到 100，难点是**拐弯数**（满十进一）：29→30、39→40、49→50……\n\n数位从个位、十位扩展到**百位**。读数写数都从高位起。\n- 48：十位是 4，个位是 8\n- 90：十位是 9，个位是 0\n- 100：百位是 1，十位、个位都是 0\n\n**例 1** 49 后面是几？99 后面是几？\n【思路】拐弯数满十进一：49 的个位 9 满十，十位进 1。\n【解答】49 后面是 50；99 后面是 100。\n【验算】100 里面有 10 个十，或者说 100 个一。\n\n**例 2** 写出各数：三十七、八十\n【思路】从高位写起：三十七有 3 个十和 7 个一。\n【解答】三十七写作 37；八十写作 80。\n\n### 概念 2：整十数加减整十数\n\n整十数：个位是 0 的数（10、20、30……）。整十数加减，**看成\"几个十\"来算**。\n\n**例 3** 20 + 30 = ?\n【思路】20 是 2 个十，30 是 3 个十；2 个十 + 3 个十 = 5 个十 = 50。\n【解答】20+30=50\n\n**例 4** 50 - 20 = ?\n【思路】50 是 5 个十，20 是 2 个十；5 个十 - 2 个十 = 3 个十 = 30。\n【解答】50-20=30\n\n**例 5** 学校有 30 棵杨树，40 棵柳树，一共有多少棵？\n【思路】合起来用加法：30+40，即 3 个十加 4 个十。\n【解答】30 + 40 = 70（棵）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 拐弯数数错：29 后面数成 210 → 记住\"满十进一\"，29 后面是 30。\n- 整十数加减把结果写成几个十而不是几十：20+30 写成 5 → 应是 50。\n- 读数和写数都要从高位起。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"49 后面是几？\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"拐弯数满十进一：49 后面是 50。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"99 后面是几？\",\"answers\":[\"100\"],\"explain\":\"99 满十进一，后面是 100。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"100 里面有几个十？\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"10 个十是 100。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"\\\"三十七\\\"写作哪个数？\",\"options\":[\"73\",\"37\",\"307\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3 个十和 7 个一，写作 37。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：20 + 30 = ?\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"2 个十加 3 个十是 5 个十，就是 50。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：50 - 20 = ?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"5 个十减 2 个十是 3 个十，就是 30。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：30 + 60 = ?\",\"answers\":[\"90\"],\"explain\":\"3 个十加 6 个十是 9 个十，就是 90。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"学校有 30 棵杨树、40 棵柳树，一共有多少棵？\",\"options\":[\"70 棵\",\"10 棵\",\"7 棵\"],\"answer\":0,\"explain\":\"30+40=70（棵）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"读数和写数都要从个位起。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。读数和写数都要从高位起。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"4 个十和 8 个一组成的数是几？\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"十位写 4，个位写 8，组成 48。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 拐弯数满十进一：29→30、39→40。\n- 100 里面有 10 个十。\n- 读数写数从高位起。\n- 整十数加减看成\"几个十\"来算。\n" + }, + { + "id": "calc-08", + "title": "100以内的两位数加减法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握两位数加减一位数和整十数，学会进位加、退位减的竖式", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n我们会算整十数加减了。本课要学两位数的加减法：先学不进位不退位的，再攻克重点难点——进位加法和退位减法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：两位数加减一位数（不进位不退位）\n\n个位和个位相加减，十位不变。\n\n**例 1** 34 + 5 = ?\n【思路】34 拆成 30 和 4，先算 4+5=9，再算 30+9=39。竖式里个位 4+5=9，十位 3 照写。\n【解答】34+5=39\n\n**例 2** 56 - 3 = ?\n【思路】先算 6-3=3，再算 50+3=53。\n【解答】56-3=53\n\n### 概念 2：两位数加减整十数\n\n十位和十位相加减，个位不变。\n\n**例 3** 34 + 20 = ?\n【思路】先算 30+20=50，再算 50+4=54。\n【解答】34+20=54；同理 56-30=26。\n\n### 概念 3：进位加法（重点）\n\n个位相加满十 → 向十位进 1。\n\n**例 4** 28 + 5 = ?\n【思路】个位 8+5=13，满十了 → 写 3 进 1；十位 2 加上进位的 1 得 3。\n【解答】28+5=33\n【提醒】竖式里别忘了加进位的 1，可以在十位右上角标个小\"1\"。\n\n### 概念 4：退位减法（难点）\n\n个位不够减 → 向十位借 1 当 10。\n\n**例 5** 32 - 8 = ?\n【思路】个位 2-8 不够减，从十位的 3 借 1 → 12-8=4；十位 3 被借走 1 剩 2。\n【解答】32-8=24\n【提醒】竖式里用斜线划掉十位原数字，上面写借位后剩下的数。\n\n**例 6** 竖式计算：28 + 15、45 - 18\n【思路】28+15：个位 8+5=13，写 3 进 1；十位 2+1+1=4 → 43。45-18：个位 5-8 不够，借位成 15-8=7；十位 4 借走 1 剩 3，3-1=2 → 27。\n【解答】28+15=43；45-18=27。\n【验算】43-15=28 ✓；27+18=45 ✓。\n\n**例 7** 小明有 42 元，买了一个书包用去 28 元，还剩多少元？\n【思路】用去就是去掉，用减法：42-28，个位 2-8 不够要退位。\n【解答】42 - 28 = 14（元）。\n\n**例 8（挑战）** 从 1 写到 99，数字\"9\"出现了几次？\n【思路】分类数：个位是 9 的有 9、19、29、…、99 共 10 次；十位是 9 的有 90、91、…、99 共 10 次（99 里的两个 9 分别算在这两类里）。\n【解答】10 + 10 = 20（次）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 进位加法忘记加进位的 1 → 养成在十位右上角标\"1\"的习惯。\n- 退位减法忘了十位已被借走 1 → 用斜线划掉原数字，上面写新数字。\n- 竖式没对齐 → 个位对个位，十位对十位。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：34 + 5 = ?\",\"answers\":[\"39\"],\"explain\":\"个位 4+5=9，十位 3 不变，得 39。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：56 - 3 = ?\",\"answers\":[\"53\"],\"explain\":\"个位 6-3=3，十位 5 不变，得 53。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：34 + 20 = ?\",\"answers\":[\"54\"],\"explain\":\"十位 3+2=5，个位 4 不变，得 54。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：28 + 5 = ?\",\"answers\":[\"33\"],\"explain\":\"个位 8+5=13，写 3 进 1，十位 2+1=3，得 33。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：32 - 8 = ?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"个位 2-8 不够，借位成 12-8=4，十位剩 2，得 24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：28 + 15 = ?\",\"answers\":[\"43\"],\"explain\":\"个位 8+5=13 写 3 进 1，十位 2+1+1=4，得 43。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：45 - 18 = ?\",\"answers\":[\"27\"],\"explain\":\"个位借位：15-8=7；十位 4 借走 1 剩 3，3-1=2，得 27。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明有 42 元，买书包用去 28 元，还剩多少元？\",\"options\":[\"14 元\",\"24 元\",\"16 元\"],\"answer\":0,\"explain\":\"42-28=14（元），退位减法。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个数加 5 得 12，这个数是几？\",\"options\":[\"7\",\"17\",\"8\"],\"answer\":0,\"explain\":\"想 ( )+5=12，因为 7+5=12，这个数是 7。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"进位加法中，进位的 1 加不加都行。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。进位的 1 必须加到十位上，否则结果会少 10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从 1 写到 99，数字\\\"9\\\"一共出现了几次？\",\"options\":[\"19 次\",\"20 次\",\"10 次\"],\"answer\":1,\"explain\":\"个位是 9 的 10 次（9、19…99），十位是 9 的 10 次（90~99），共 20 次。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 两位数±一位数：个位算，十位不变。\n- 两位数±整十数：十位算，个位不变。\n- 进位加：个位满十向十位进 1，别忘加。\n- 退位减：个位不够向十位借 1 当 10，别忘十位少 1。\n- 竖式要对齐数位。\n" + }, + { + "id": "calc-09", + "title": "认识时间：整时、半时与时分秒", + "grade": "一~三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "会认整时、半时、几时几分，掌握时分秒换算和经过时间计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n生活中处处要用时间。本课从一年级认钟面开始，一直学到三年级的时、分、秒换算和经过时间计算，一课打通「认识时间」。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：认识整时（一年级）\n\n钟面上有 12 个数字、12 大格，还有时针和分针：\"长腿是分针，短腿是时针\"。\n\n**分针指向 12，时针指向几就是几时。**整时可以写成 7:00 或 7 时。一天有 24 小时，钟面要走两圈。\n\n**例 1** 分针指向 12，时针指向 7，是几时？\n【思路】分针指 12，看时针指几。\n【解答】7 时（7:00）。\n\n### 概念 2：大约几时和半时\n\n- \"快几时了\"：分针在 12 的左边（还没到整时）\n- \"几时刚过\"：分针在 12 的右边（刚过整时）\n- 半时：**分针指向 6，时针在两个数字中间**\n\n**例 2** 8 时半的钟面是什么样的？\n【思路】半时分针指 6，时针走过 8 但还没到 9。\n【解答】分针指向 6，时针在 8 和 9 中间。\n【提醒】8 时半的时针不是正好指着 8，而是在 8 和 9 中间。\n\n### 概念 3：认识分（二年级）\n\n1 时 = 60 分。钟面有 12 大格，每大格 5 小格，共 60 小格；**分针走 1 小格是 1 分**，走 1 圈（60 小格）就是 1 时。\n\n读时间的步骤：1. 看时针在几和几之间 → 就是几时多；2. 看分针走了几小格 → 就是几分。\n\n**例 3** 时针在 8 和 9 之间，分针指向 5，是几时几分？\n【思路】分针指向 5，走了 5×5=25 小格，即 25 分。\n【解答】8 时 25 分（8:25）。\n\n### 概念 4：秒与经过时间（三年级）\n\n1 分 = 60 秒（眨一下眼大约 1 秒）。换算：2 时 = 120 分，3 分 = 180 秒。\n\n经过时间的计算：**先凑到整点再算**。\n\n**例 4** 8:35 到 9:15 经过了多少分钟？\n【思路】先算 8:35→9:00 是 25 分，再加上 9:00→9:15 的 15 分。\n【解答】25 + 15 = 40（分）。\n\n**例 5** 一集动画片 25 分钟，从 7:30 开始播，什么时候结束？\n【思路】7:30 往后推 25 分：先到 8:00（30 分不够，7:30→7:55 是 25 分）。\n【解答】7:55 结束。\n【验算】7:30 到 7:55 正好是 25 分 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 半时时针的位置画错：时针应在两个数字中间，不是正好指着某个数字。\n- \"几时差几分\"读错：分针在 12 左边要说\"差几分到几时\"。\n- 经过时间跨越整点时忘记分段计算。\n- 1 时=60 分、1 分=60 秒的进率是 60，不是 100。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 时 = ( ) 分\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"1 时 = 60 分。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 分 = ( ) 秒\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"1 分 = 60 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2 时 = ( ) 分\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"1 时是 60 分，2 时就是 60×2=120 分。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"180 秒 = ( ) 分\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"60 秒是 1 分，180 秒里有 3 个 60 秒，就是 3 分。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"分针指向 12，时针指向 8，是几时？\",\"options\":[\"8 时\",\"12 时\",\"6 时\"],\"answer\":0,\"explain\":\"分针指 12，时针指几就是几时，所以是 8 时。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从 8:30 到 9:00 经过了多少分钟？\",\"options\":[\"20 分\",\"30 分\",\"40 分\"],\"answer\":1,\"explain\":\"8:30 到 9:00 正好是半小时，即 30 分。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一节课 40 分钟，下课休息 10 分钟，一共是 ( ) 分钟\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"40+10=50（分钟）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小红 7:30 到校，8:00 上课，中间有多少分钟？\",\"options\":[\"20 分钟\",\"30 分钟\",\"40 分钟\"],\"answer\":1,\"explain\":\"7:30 到 8:00 是半小时，即 30 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"分针走 1 小格是 1 分钟。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。钟面共 60 小格，分针走 1 小格是 1 分，走一圈是 60 分即 1 时。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一集动画片 25 分钟，从 7:30 开始播，什么时候结束？\",\"options\":[\"7:45\",\"7:55\",\"8:05\"],\"answer\":1,\"explain\":\"7:30 往后数 25 分钟是 7:55。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 分针指 12，时针指几就是几时。\n- 半时：分针指 6，时针在两数中间。\n- 1 时 = 60 分，1 分 = 60 秒。\n- 读几时几分：先看时针定\"几时多\"，再看分针数小格。\n- 经过时间跨整点要分段算。\n" + }, + { + "id": "calc-10", + "title": "认识人民币与购物计算", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握元角分进率，会算付钱、找钱和够不够的问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n数学在生活中最常见的应用就是买东西。本课认识人民币的单位元、角、分，学会简单的购物计算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：元、角、分\n\n人民币的单位是元、角、分，进率是 10：\n- 1 元 = 10 角\n- 1 角 = 10 分\n\n记住：\"元是大的，角是小的\"。换钱练习：1 元 = 2 个 5 角 = 5 个 2 角 = 10 个 1 角。\n\n**例 1** 填空：5 元 = ( ) 角\n【思路】1 元 = 10 角，5 元就是 5 个 10 角。\n【解答】5 元 = 50 角。\n【验算】50 角 ÷ 10 = 5 元 ✓\n\n### 概念 2：付钱与找钱\n\n**例 2** 小明有 10 元钱，买一个 6 元的文具盒，还剩多少？\n【思路】花掉的钱从总数里去掉 → 用减法。\n【解答】10 - 6 = 4（元）。\n\n**例 3** 买一个书包 30 元，付 50 元，找回多少元？\n【思路】找回的钱 = 付出的 - 商品价格。\n【解答】50 - 30 = 20（元）。\n\n### 概念 3：够不够的判断\n\n**例 4** 小红有 5 元，想买一个 8 元的娃娃，够不够？\n【思路】比较钱数和价格：5 元＜8 元。\n【解答】不够，还差 8 - 5 = 3（元）。\n【提醒】\"还差多少\"用大数减小数。\n\n**例 5** 一支笔 2 元 5 角，一把尺子 1 元，一共多少钱？\n【思路】元加元，角照写：2 元 + 1 元 = 3 元，还有 5 角。\n【解答】一共 3 元 5 角。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 元和角的概念混淆 → 始终强调\"元是大的，角是小的\"。\n- 元加角不会算 → 统一成角再计算。\n- 缺少实际经验 → 多去小商店自己付钱、找钱。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 元 = ( ) 角\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"元和角的进率是 10：1 元 = 10 角。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 角 = ( ) 分\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"1 角 = 10 分。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5 元 = ( ) 角\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"1 元是 10 角，5 元就是 50 角。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"30 角 = ( ) 元\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"10 角是 1 元，30 角里有 3 个 10 角，就是 3 元。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一张 5 元能换几张 1 元？\",\"options\":[\"3 张\",\"5 张\",\"10 张\"],\"answer\":1,\"explain\":\"5 元里面有 5 个 1 元，能换 5 张。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个铅笔 2 元，一个橡皮 1 元，一共 ( ) 元\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"2+1=3（元）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"买一个书包 30 元，付 50 元，找回 ( ) 元\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"50-30=20（元）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一支笔 2 元 5 角，一把尺子 1 元，一共多少钱？\",\"options\":[\"3 元 5 角\",\"2 元 5 角\",\"3 元\"],\"answer\":0,\"explain\":\"元加元：2+1=3 元，角不变还是 5 角，共 3 元 5 角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个冰淇淋 3 元，小明用 5 个 1 元硬币付款，买完后还剩多少元？\",\"options\":[\"1 元\",\"2 元\",\"3 元\"],\"answer\":1,\"explain\":\"5 个 1 元是 5 元，5-3=2（元）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小红有 5 元，能买一个 8 元的娃娃。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。5 元＜8 元，钱不够，还差 3 元。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 1 元 = 10 角，1 角 = 10 分。\n- 元是大的，角是小的。\n- 找钱 = 付出的钱 - 商品价格。\n- 比较\"够不够\"：钱数比价格大才够；不够时，还差的钱 = 价格 - 钱数。\n" + }, + { + "id": "calc-11", + "title": "年、月、日", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "记住大小月口诀，会判断平年闰年，会计算天数", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n时、分、秒我们已经学过了。本课认识更大的时间单位：年、月、日，学会记大小月和判断闰年。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：大月和小月\n\n一年有 12 个月。大月 31 天，小月 30 天，二月特殊（平年 28 天，闰年 29 天）。\n\n记忆方法：\n- **拳头法**：握拳从食指骨节开始数，凸起是大月，凹陷是小月。七月八月都是大月 → 七月前单月大，八月后双月大。\n- **口诀**：一三五七八十腊，三十一天永不差；四六九冬三十日，平年二月二十八。（腊 = 12 月，冬 = 11 月）\n\n**例 1** 一年有几个大月、几个小月？\n【思路】大月：1、3、5、7、8、10、12；小月：4、6、9、11。\n【解答】大月有 7 个，小月有 4 个，二月特殊不算在内。\n\n### 概念 2：平年和闰年\n\n平年全年 365 天，闰年全年 366 天。闰年判断方法：\n- 年份能被 4 整除 → 闰年（如 2020÷4=505，2024÷4=506）\n- **整百年份必须能被 400 整除**才是闰年（如 1900÷400=4.75，除不尽 → 1900 不是闰年）\n\n**例 2** 2024 年是闰年吗？2025 年呢？\n【思路】2024÷4=506，能整除；2025÷4 除不尽。\n【解答】2024 年是闰年，2025 年是平年。\n\n**例 3** 1900 年是闰年吗？\n【思路】1900 是整百年份，要看能否被 400 整除：1900÷400=4.75。\n【解答】除不尽，1900 年不是闰年。\n【提醒】这是最容易错的地方：整百年份不能只看能否被 4 整除。\n\n### 概念 3：天数计算\n\n**例 4** 平年的第一季度（1~3 月）是多少天？闰年呢？\n【思路】第一季度 = 1 月 + 2 月 + 3 月；平年二月 28 天，闰年二月 29 天。\n【解答】平年：31+28+31=90（天）；闰年：31+29+31=91（天）。\n【验算】90、91 都接近三个月（约 30×3=90 天），合理 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 把二月当成大月或小月 → 二月特殊，平年 28 天，闰年 29 天。\n- 整百年份只看能否被 4 整除 → 整百年份必须能被 400 整除才是闰年（1900 年不是闰年）。\n- 口诀里的\"腊\"是 12 月、\"冬\"是 11 月，别搞错。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一年有几个月？\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"一年有 12 个月。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"大月有几天？\",\"answers\":[\"31\"],\"explain\":\"大月有 31 天。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一年中大月一共有几个？\",\"options\":[\"6 个\",\"7 个\",\"8 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"大月是 1、3、5、7、8、10、12 月，共 7 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2024 年是闰年。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。2024÷4=506，能被 4 整除，所以 2024 年是闰年。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1900 年是闰年。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。1900 是整百年份，必须能被 400 整除才是闰年，而 1900÷400 除不尽。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"平年的二月有几天？\",\"options\":[\"28 天\",\"29 天\",\"30 天\"],\"answer\":0,\"explain\":\"平年二月 28 天，闰年二月 29 天。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"闰年全年有多少天？\",\"answers\":[\"366\"],\"explain\":\"平年 365 天，闰年二月多 1 天，是 366 天。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平年的第一季度（1~3 月）一共有多少天？\",\"answers\":[\"90\"],\"explain\":\"31+28+31=90（天）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"口诀\\\"一三五七八十腊，三十一天永不差\\\"中的\\\"腊\\\"指的是 12 月。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。腊指腊月，即 12 月；冬指冬月，即 11 月。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"2025 年是平年还是闰年？\",\"options\":[\"平年\",\"闰年\"],\"answer\":0,\"explain\":\"2025÷4 除不尽，不能被 4 整除，所以是平年。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 一年 12 个月：7 个大月（31 天）、4 个小月（30 天）、二月特殊。\n- 口诀：一三五七八十腊，三十一天永不差。\n- 平年 365 天，闰年 366 天。\n- 闰年判断：能被 4 整除；整百年份须被 400 整除。\n" + }, + { + "id": "calc-12", + "title": "乘法的初步认识与2、3的口诀", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解乘法是几个几连加的简便运算，学会2和3的乘法口诀", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n加减法之外，我们要学一种新运算：乘法。本课先理解乘法的意义，再学习2和3的乘法口诀。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：几个几连加 → 乘法\n\n乘法是加法的简便运算：**几个相同的数连加**，就可以用乘法表示。写成乘法：相同加数×个数。\n\n**例 1** 把 3+3+3+3 改写成乘法\n【思路】这是 4 个 3 连加，相同加数是 3，个数是 4。\n【解答】3+3+3+3=12 → 4×3=12 或 3×4=12（读作 3 乘 4）。\n\n**例 2** 每排有 5 个椅子，有 4 排，一共有几个椅子？\n【思路】每排 5 个，有 4 排 → 4 个 5 相加。\n【解答】加法：5+5+5+5=20（个）；乘法：4×5=20（个）或 5×4=20（个）。\n【验算】数一数确实是 20 个 ✓\n\n**例 3** 看图列式：★★　★★　★★\n【思路】每份有 2 个★，有 3 份 → 3 个 2 连加。\n【解答】加法：2+2+2=6；乘法：2×3=6 或 3×2=6。\n【提醒】关键要理解：\"每份有几个，有几份 → 几乘几\"。\n\n### 概念 2：2 的乘法口诀\n\n2 的口诀：一二得二，二二得四。2 的乘法就是每次加 2：2、4、6、8、10、12。儿歌：一双筷子 2，两双筷子 4。\n\n**例 4** 一双袜子 2 元，买 3 双要几元？\n【思路】每双 2 元，买 3 双 → 3 个 2 相加，用乘法。\n【解答】2×3=6（元）。\n\n### 概念 3：3 的乘法口诀\n\n3 的口诀：一三得三，二三得六，三三得九。3 的乘法就是每次加 3。儿歌：三轮车三个轮，两辆车六个轮。\n\n**例 5** 一张桌子 3 条腿，4 张桌子几条腿？\n【思路】每张 3 条腿，4 张桌子 → 4 个 3 相加。\n【解答】列式：3×4=12（条）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 把加数不同的连加也写成乘法（如 2+3+4）→ 只有相同加数连加才能写成乘法。\n- 口诀背得磕磕绊绊 → 每天朗读口诀表，像唱歌一样。\n- 分不清\"相同加数\"和\"个数\"→ 先找每份是几，再数有几份。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把 3 + 3 + 3 + 3 改写成乘法算式，正确的是？\",\"options\":[\"3×4\",\"3+4\",\"4+3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"4 个 3 连加，写成 3×4（或 4×3），结果是 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5 + 5 + 5 改写成乘法算式是 5×3，结果是几？\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"3 个 5 连加：5×3=15。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"每排有 5 个椅子，有 4 排，一共有几个椅子？\",\"options\":[\"9 个\",\"20 个\",\"15 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"4 个 5 相加：4×5=20（个）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：2 × 3 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"二三得六，2×3=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：3 × 3 = ?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"三三得九，3×3=9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一张桌子 3 条腿，4 张桌子有几条腿？\",\"options\":[\"7 条\",\"12 条\",\"9 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"4 个 3 相加：3×4=12（条）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一双袜子 2 元，买 3 双要几元？\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"2×3=6（元）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"任何连加算式都可以改写成乘法。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。只有加数相同的连加（如 3+3+3）才能改写成乘法，2+3+4 不行。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"看图列式：★★　★★　★★，正确的乘法算式是？\",\"options\":[\"2×3=6\",\"3+2=5\",\"2×2=4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"每份 2 个，有 3 份，3 个 2 相加：2×3=6。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 几个相同加数连加可以用乘法表示：相同加数×个数。\n- 乘法算式交换两个因数，结果一样（3×4=4×3）。\n- 2 的口诀：一二得二、二二得四。\n- 3 的口诀：一三得三、二三得六、三三得九。\n" + }, + { + "id": "calc-13", + "title": "4~6的乘法口诀", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会4、5、6的乘法口诀并发现规律，能解决简单实际问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n上节课我们学了2、3的口诀。本课继续学习4、5、6的乘法口诀，并发现口诀里的规律。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：4 的乘法口诀\n\n一四得四、二四得八、三四十二、四四十六。\n\n### 概念 2：5 的乘法口诀（最好记）\n\n一五得五、二五一十、三五十五、四五二十、五五二十五。\n\n规律：**得数末尾是 5 或 0**，每次增加 5：5、10、15、20、25。儿歌：一只手五指，两只手十指。\n\n### 概念 3：6 的乘法口诀\n\n一六得六、二六十二、三六十八、四六二十四、五六三十、六六三十六。规律：每次增加 6：6、12、18、24、30、36。\n\n**例 1** 一只小兔 4 条腿，5 只小兔几条腿？\n【思路】每只 4 条腿，5 只小兔 → 5 个 4 相加。\n【解答】列式：4×5=20（条）。\n\n**例 2** 一个六边形有 6 条边，2 个六边形有几条边？\n【思路】每个 6 条边，2 个六边形 → 2 个 6 相加。\n【解答】列式：6×2=12（条）。\n\n**例 3** 一本书 6 元，买 4 本要多少元？给 30 元够吗？\n【思路】先算总价 6×4，再和 30 比较。\n【解答】6×4=24（元）；24＜30，够。\n【验算】30-24=6，还能剩 6 元 ✓\n\n**例 4** 每辆小汽车有 4 个轮子，5 辆小汽车有几个轮子？\n【思路】每辆 4 个轮子，5 辆 → 5 个 4 相加。\n【解答】4×5=20（个）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 四六二十四，不要记成\"四六二十八\"。\n- 二六十二，容易记成\"二六十八\"→ 强调二六和\"十二\"有关。\n- 五六三十就是 5×6，得数是 30。\n- 忘记口诀的规律：每句口诀的得数比上一句多 4（或 5、6）。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：4 × 3 = ?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"三四十二，4×3=12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：5 × 4 = ?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"四五二十，5×4=20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：6 × 5 = ?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"五六三十，6×5=30。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：6 × 6 = ?\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"六六三十六，6×6=36。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一只小兔 4 条腿，5 只小兔有几条腿？\",\"options\":[\"9 条\",\"20 条\",\"24 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"5 个 4 相加：4×5=20（条）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个六边形有 6 条边，2 个六边形有几条边？\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"6×2=12（条）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"每辆小汽车有 4 个轮子，5 辆小汽车有几个轮子？\",\"options\":[\"20 个\",\"9 个\",\"16 个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"5 个 4 相加：4×5=20（个）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一本书 6 元，买 4 本要多少元？给 30 元够吗？\",\"options\":[\"24 元，够\",\"24 元，不够\",\"30 元，刚好\"],\"answer\":0,\"explain\":\"6×4=24（元），24＜30，所以够，还找 6 元。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"四六二十八。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。正确口诀是四六二十四，6×4=24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"补充口诀：三五( )。（填汉字）\",\"answers\":[\"十五\"],\"explain\":\"三五十五，3×5=15。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 4 的口诀：一四得四、二四得八、三四十二、四四十六。\n- 5 的口诀得数末尾是 5 或 0，每次加 5。\n- 6 的口诀每次加 6；二六十二、四六二十四别记错。\n- 解决问题：每份数×份数=总数。\n" + }, + { + "id": "calc-14", + "title": "7~9的乘法口诀与口诀表", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 2, + "summary": "学会7、8、9的口诀和手指法，熟记九九乘法表并综合运用", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n2~6的口诀学完了。本课学习最难记的7、8、9的口诀，掌握9的手指法，最后汇总成完整的九九乘法表。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：7 的乘法口诀\n\n一七得七、二七十四、三七二十一、四七二十八、五七三十五、六七四十二、七七四十九。\n\n难点是\"三七二十一\"和\"四七二十八\"容易混淆。记忆窍门：一个星期 7 天 → 2 周 14 天 → 3 周 21 天；\"七七四十九\"可联想孙悟空炼丹七七四十九天。\n\n**例 1** 一星期 7 天，4 星期有多少天？\n【思路】每周 7 天，4 周 → 4 个 7 相加。\n【解答】列式：7×4=28（天）。\n\n### 概念 2：8 的乘法口诀\n\n一八得八、二八十六、三八二十四、四八三十二、五八四十、六八四十八、七八五十六、八八六十四。\n\n规律：每次增加 8。**七八五十六**是最容易记错的一句，要多重复。\n\n**例 2** 一只螃蟹 8 条腿，5 只螃蟹几条腿？\n【思路】每只 8 条腿，5 只螃蟹 → 5 个 8 相加。\n【解答】8×5=40（条）。\n\n### 概念 3：9 的乘法口诀（最有规律）\n\n一九得九、二九十八、三九二十七、四九三十六、五九四十五、六九五十四、七九六十三、八九七十二、九九八十一。\n\n规律：\n- **手指法**：伸开 10 根手指，弯下第几根就是几九。如 3×9：弯第 3 根，左边 2 根、右边 7 根 → 27。\n- 得数的数字和都是 9：1+8=9、2+7=9、3+6=9、4+5=9……\n- 十位依次加 1（0~8），个位依次减 1（9~1）。\n\n**例 3** 一排有 9 个座位，8 排共有几个座位？\n【思路】每排 9 个，8 排 → 8 个 9 相加。\n【解答】9×8=72（个）。\n\n**例 4** 9×6 和 6×9 的答案一样吗？\n【思路】交换两个因数，积不变。\n【解答】一样，都是 54。\n\n### 概念 4：口诀表综合运用\n\n**例 5** 括号里最大能填几：( )×6＜28\n【思路】想 6 的口诀：4×6=24＜28，5×6=30＞28。\n【解答】最大填 4。\n【验算】4×6=24＜28 ✓，5×6=30 超了 ✗\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 七八五十六 vs 七八六十五 → 重点口诀反复练。\n- 三七二十一与四七二十八混淆。\n- 乘法口诀背诵不熟 → 每天朗读口诀表，像唱歌一样。\n- \"括号最大能填几\"的题，填完要代回去验算。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：7 × 4 = ?\",\"answers\":[\"28\"],\"explain\":\"四七二十八，7×4=28。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：8 × 7 = ?\",\"answers\":[\"56\"],\"explain\":\"七八五十六，8×7=56。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：9 × 6 = ?\",\"answers\":[\"54\"],\"explain\":\"六九五十四，9×6=54。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：9 × 9 = ?\",\"answers\":[\"81\"],\"explain\":\"九九八十一，9×9=81。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一星期 7 天，4 星期有多少天？\",\"options\":[\"21 天\",\"28 天\",\"35 天\"],\"answer\":1,\"explain\":\"7×4=28（天）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一只螃蟹 8 条腿，5 只螃蟹有几条腿？\",\"options\":[\"40 条\",\"13 条\",\"48 条\"],\"answer\":0,\"explain\":\"8×5=40（条）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一排有 9 个座位，8 排共有几个座位？\",\"options\":[\"72 个\",\"17 个\",\"81 个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"9×8=72（个）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"七八六十五。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。正确口诀是七八五十六，7×8=56。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"括号里最大能填几：( ) × 6 ＜ 28\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"4×6=24＜28，而 5×6=30 就超过 28 了，最大填 4。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"9 × 6 和 6 × 9 的结果相比？\",\"options\":[\"9×6 大\",\"6×9 大\",\"一样大\"],\"answer\":2,\"explain\":\"交换两个因数积不变：9×6=54，6×9=54，一样大。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"三个数连乘：2 × 3 × 4 = ?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"先算 2×3=6，再算 6×4=24。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 7 的口诀难点：三七二十一、四七二十八。\n- 8 的口诀：七八五十六最容易错。\n- 9 的口诀最有规律：手指法、数字和是 9。\n- 括号最大能填几：想口诀，代回验算。\n- 交换因数，积不变。\n" + }, + { + "id": "calc-15", + "title": "除法的初步认识与用口诀求商", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解平均分和包含除，会用乘法口诀求商", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n学完乘法，我们来学它的「朋友」——除法。本课理解除法的两种含义，学会用乘法口诀求商。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：平均分与包含除\n\n**平均分**：每份分得同样多。已知总数和份数，求每份数。\n**包含除**：一个数里面有几个另一个数。已知总数和每份数，求份数。\n\n除法算式：被除数 ÷ 除数 = 商。\n\n**例 1（平均分）** 有 15 颗糖，平均分给 5 个小朋友，每人几颗？\n【思路】总数 15，分成 5 份，求每份 → 用除法。\n【解答】15 ÷ 5 = 3（颗）✓\n\n**例 2（包含除）** 有 15 颗糖，每人分 3 颗，能分给几人？\n【思路】总数 15，每份 3 颗，求能分几份。\n【解答】15 ÷ 3 = 5（人）✓\n\n**例 3** 16 个同学，每 4 人一组，能分几组？\n【思路】每 4 人一份，求份数 → 包含除。\n【解答】16 ÷ 4 = 4（组）。\n【提醒】判断是不是平均分，看每份是否同样多：3、3、3、3 是平均分；2、4、2、4 不是。\n\n### 概念 2：用 2~6 的口诀求商\n\n**想乘法算除法**：一句乘法口诀可以算两个除法。\n\n**例 4** 12 ÷ 3 = ?\n【思路】想口诀：三（ ）十二 → 三四十二。\n【解答】12 ÷ 3 = 4。对应地，12 ÷ 4 = 3。\n\n**例 5** 20 ÷ 5 = ?\n【思路】想口诀：四五二十。\n【解答】20 ÷ 5 = 4。\n\n### 概念 3：用 7~9 的口诀求商\n\n方法相同，口诀扩展到 7~9。\n\n**例 6** 42 ÷ 7 = ?、56 ÷ 8 = ?\n【思路】想口诀：六七四十二；七八五十六。\n【解答】42÷7=6；56÷8=7。\n\n**例 7** 有 63 颗糖，每盒装 9 颗，能装几盒？\n【思路】每盒 9 颗，求盒数 → 63÷9，想口诀七九六十三。\n【解答】63 ÷ 9 = 7（盒）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 分不清平均分和包含除 → 先找\"总数、份数、每份数\"三个量，缺哪个求哪个。\n- 想口诀求商时想错口诀 → 先用\"除数×( )=被除数\"来想。\n- 每份不一样多也当成平均分。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把 12 个苹果平均分给 3 个小朋友，每人几个？\",\"options\":[\"3 个\",\"4 个\",\"9 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"12÷3=4（个）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：15 ÷ 5 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"总数 15 平均分成 5 份，每份 3：15÷5=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：15 ÷ 3 = ?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"15 里面每 3 个一份，可以分 5 份。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"16 个同学，每 4 人一组，能分几组？\",\"options\":[\"4 组\",\"12 组\",\"20 组\"],\"answer\":0,\"explain\":\"16÷4=4（组）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"想乘法算除法：因为 3 × 4 = 12，所以 12 ÷ 4 = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"一句口诀算两个除法：3×4=12 → 12÷3=4、12÷4=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：20 ÷ 5 = ?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"想口诀：四五二十，所以 20÷5=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：42 ÷ 7 = ?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"想口诀：六七四十二，所以 42÷7=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：56 ÷ 8 = ?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"想口诀：七八五十六，所以 56÷8=7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：72 ÷ 9 = ?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"想口诀：八九七十二，所以 72÷9=8。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"有 63 颗糖，每盒装 9 颗，能装几盒？\",\"options\":[\"6 盒\",\"7 盒\",\"9 盒\"],\"answer\":1,\"explain\":\"63÷9=7（盒），想口诀七九六十三。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把 10 块饼干平均分给 2 个小朋友，每人 5 块，列式是 10÷2=5。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。总数÷份数=每份数：10÷2=5（块）。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 除法两种含义：平均分（求每份数）、包含除（求份数）。\n- 被除数÷除数=商。\n- 想乘法算除法：一句口诀算两个除法。\n- 口诀要正背、倒背都熟。\n" + }, + { + "id": "calc-16", + "title": "有余数的除法", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 2, + "summary": "认识余数，牢记余数小于除数，会用有余数除法解决实际问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n分东西时经常分不完、有剩余。本课学习有余数的除法，记住最重要的规则：余数必须比除数小。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：认识余数\n\n平均分后有剩余 → 用有余数的除法。\n\n13 颗糖，每袋装 4 颗 → 能装 3 袋，还剩 1 颗：13 ÷ 4 = 3（袋）…1（颗）。其中 3 是商，1 是余数。\n\n**最重要的规则：余数 ＜ 除数。**\n\n公式：**被除数 = 除数 × 商 + 余数**，用它来验算。\n\n**例 1** 23 ÷ 5 = ?\n【思路】想 5×( ) 最接近 23：5×4=20，23-20=3，余数 3＜5 ✓。\n【解答】23 ÷ 5 = 4…3\n【验算】5×4+3=20+3=23 ✓\n\n**例 2** 在 □÷6=□…□ 中，余数最大是几？\n【思路】除数是 6，余数必须＜6。\n【解答】余数最大是 5。\n\n### 概念 2：余数的范围\n\n- ÷4 → 余数只能是 1、2、3\n- ÷7 → 余数只能是 1~6\n- ÷5 → 余数最大是 4\n\n**例 3** ( )÷4=5…3，被除数是多少？\n【思路】用公式：被除数 = 除数×商+余数。\n【解答】4×5+3=23，被除数是 23。\n【验算】23÷4=5…3 ✓\n\n### 概念 3：用有余数除法解决问题\n\n**例 4** 有 38 人坐船，每条船坐 6 人，至少要几条船？\n【思路】38÷6=6（条）…2（人），剩下的 2 人也需要 1 条船。\n【解答】6+1=7（条）。\n【提醒】\"至少\"\"全都装下\"这类问题，有剩余就要再加 1。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 余数大于或等于除数 → 做完马上检查余数和除数比一比。如 37÷9=3…10 ✗（余数 10＞9，应该商 4 余 1：37÷9=4…1 ✓）。\n- 忘记验算 → 用\"除数×商+余数=被除数\"检查。\n- \"至少需要几条船/几个箱子\"的问题忘记给剩下的数加 1。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"13 ÷ 4 = 3…( )，余数是几？\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"4×3=12，13-12=1，余数是 1（1＜4 ✓）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"23 ÷ 5 = 4…( )，余数是几？\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"5×4=20，23-20=3，余数是 3（3＜5 ✓）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在 □÷6=□…□ 中，余数最大是几？\",\"options\":[\"5\",\"6\",\"7\"],\"answer\":0,\"explain\":\"余数必须比除数小，除数是 6，余数最大是 5。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"有余数的除法中，余数一定比除数小。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是有余数除法最重要的规则。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"( ) ÷ 4 = 5…3，被除数是几？\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"被除数=除数×商+余数=4×5+3=23。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"有 38 人坐船，每条船坐 6 人，至少要几条船？\",\"options\":[\"6 条\",\"7 条\",\"8 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"38÷6=6（条）…2（人），剩下 2 人也要 1 条船：6+1=7（条）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"37 ÷ 9 = 3…10 是正确的。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。余数 10 比除数 9 大，说明商小了。正确：37÷9=4…1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"25 ÷ 6 的商和余数分别是多少？（写成\\\"商…余数\\\"的形式，如 3…1）\",\"answers\":[\"4…1\"],\"explain\":\"6×4=24，25-24=1，所以商 4 余 1（1＜6 ✓）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"41 ÷ 8 的商和余数分别是多少？（写成\\\"商…余数\\\"的形式）\",\"answers\":[\"5…1\"],\"explain\":\"8×5=40，41-40=1，所以商 5 余 1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"验算有余数的除法：被除数 = 除数 × 商 + 余数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。例如 13÷4=3…1，验算 4×3+1=13 ✓。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 平均分有剩余 → 有余数的除法。\n- 余数必须比除数小（最重要的规则）。\n- 被除数 = 除数×商+余数（验算公式）。\n- \"至少需要\"问题：有剩余要加 1。\n" + }, + { + "id": "calc-17", + "title": "计量单位：毫米、分米、千米和吨", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握长度和质量单位的进率，会换算、比大小并解决实际问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n我们已经认识了米和厘米。本课要认识更多计量单位：毫米、分米、千米和吨，学会单位换算和解决问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：长度单位\n\n从大到小排列：千米(km) → 米(m) → 分米(dm) → 厘米(cm) → 毫米(mm)。\n\n进率：\n- 1 千米 = 1000 米\n- 1 米 = 10 分米\n- 1 分米 = 10 厘米\n- 1 厘米 = 10 毫米\n\n实物参照帮助记忆：1 毫米≈硬币厚度，1 厘米≈指甲宽度，1 分米≈手掌宽，1 米≈门宽，1 千米≈步行 12 分钟的距离。\n\n**例 1** 5 cm = ( ) mm\n【思路】1 cm = 10 mm，5 cm 就是 5 个 10 mm。\n【解答】5 cm = 50 mm\n\n**例 2** 填上合适的单位：橡皮厚 8( )，课桌高 8( )，小明重 30( )\n【思路】联系实物：橡皮很薄，课桌大约到高个子同学的腰部，人的体重用千克。\n【解答】橡皮厚 8 毫米，课桌高 8 分米，小明重 30 千克。\n\n### 概念 2：质量单位\n\n1 吨(t) = 1000 千克(kg)；1 千克 = 1000 克。参照：一头大象约 3 吨，两瓶矿泉水约 1 千克。\n\n**例 3** 2 t = ( ) kg\n【思路】1 吨 = 1000 千克。\n【解答】2 t = 2000 kg\n\n### 概念 3：比大小与解决问题\n\n比大小前先**统一单位**。\n\n**例 4** 比大小：5 cm○50 mm、3 km○300 m\n【思路】5 cm = 50 mm；3 km = 3000 m。\n【解答】5 cm ＝ 50 mm；3 km ＞ 300 m。\n\n**例 5** 一根绳子长 1 m，用去 35 cm，还剩多少 cm？\n【思路】先统一单位：1 m = 100 cm，再相减。\n【解答】100 - 35 = 65（cm）。\n\n**例 6** 一辆卡车能载重 4 吨，已经装了 2500 千克，还能装多少千克？\n【思路】4 吨 = 4000 千克，用载重量减去已装的。\n【解答】4000 - 2500 = 1500（千克）。\n【验算】2500+1500=4000 千克=4 吨 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 相邻单位进率记错：千米到米是 1000，其余相邻单位之间都是 10。\n- 比大小前不统一单位就直接比。\n- 填单位脱离实际（如橡皮厚 8 米）→ 先想实物有多大。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 厘米 = ( ) 毫米\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"1 厘米 = 10 毫米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 千米 = ( ) 米\",\"answers\":[\"1000\"],\"explain\":\"1 千米 = 1000 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 吨 = ( ) 千克\",\"answers\":[\"1000\"],\"explain\":\"1 吨 = 1000 千克。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5 cm = ( ) mm\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"1 cm = 10 mm，5 cm = 50 mm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"3 km = ( ) m\",\"answers\":[\"3000\"],\"explain\":\"1 km = 1000 m，3 km = 3000 m。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"橡皮厚 8( )，括号里填哪个单位合适？\",\"options\":[\"毫米\",\"厘米\",\"分米\"],\"answer\":0,\"explain\":\"橡皮很薄，8 毫米大约和硬币叠起来差不多，选毫米。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：5 cm○50 mm，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":2,\"explain\":\"5 cm = 50 mm，两边相等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：3 km○300 m，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 km = 3000 m，3000 m ＞ 300 m。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一根绳子长 1 m，用去 35 cm，还剩多少 cm？\",\"options\":[\"35 cm\",\"65 cm\",\"75 cm\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 m = 100 cm，100-35=65（cm）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一辆卡车能载重 4 吨，已经装了 2500 千克，还能装多少千克？\",\"options\":[\"1500 千克\",\"2500 千克\",\"1000 千克\"],\"answer\":0,\"explain\":\"4 吨 = 4000 千克，4000-2500=1500（千克）。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 长度单位：km、m、dm、cm、mm，千米到米进率 1000，其余相邻进率 10。\n- 质量单位：1 吨 = 1000 千克，1 千克 = 1000 克。\n- 比大小、做计算，先统一单位。\n- 填单位要联系生活实际。\n" + }, + { + "id": "calc-18", + "title": "万以内的加减法竖式", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握三位数连续进位加、连续退位减的竖式和验算方法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n两位数的进位加、退位减我们已经会了。本课把数字扩大到三位数，学习连续进位、连续退位的竖式计算和验算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：连续进位加法\n\n**例 1** 268 + 357 = ?\n【思路】从个位算起，满十进一：\n- 个位：8+7=15 → 写 5 进 1\n- 十位：6+5+1=12 → 写 2 进 1\n- 百位：2+3+1=6\n【解答】268+357=625\n【验算】加法用减法验算：625-268=357 ✓\n\n### 概念 2：连续退位减法\n\n**例 2** 402 - 135 = ?\n【思路】个位 2-5 不够减，要向十位借，可十位是 0 → 连续借位：先从百位借 1 到十位当 10，再从十位借 1 到个位当 10。\n- 个位：12-5=7\n- 十位：9-3=6（十位借出 1 后剩 9）\n- 百位：3-1=2（百位借出 1 后剩 3）\n【解答】402-135=267\n【验算】减法用加法验算：267+135=402 ✓\n\n### 概念 3：加减法的验算\n\n- 验算加法 → 用减法（和 - 一个加数 = 另一个加数）\n- 验算减法 → 用加法（差 + 减数 = 被减数）\n\n**例 3** 学校图书馆有故事书 586 本，科技书 247 本。两种书共有多少本？故事书比科技书多多少本？\n【思路】求总数用加法，比多少用减法。\n【解答】586+247=833（本）；586-247=339（本）。\n\n**例 4** 妈妈带了 500 元，买了 268 元的衣服和 175 元的鞋子，还剩多少钱？\n【思路】从 500 元里连续减去两样商品的价钱。\n【解答】500-268-175=57（元）。\n【验算】268+175+57=500 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 连续进位时漏加进上来的 1 → 把进位的 1 标在竖式上。\n- 被减数中间有 0 的退位减法（如 402-135）忘记连续借位。\n- 做完不验算 → 加法用减法验，减法用加法验。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：268 + 357 = ?\",\"answers\":[\"625\"],\"explain\":\"个位 8+7=15 写 5 进 1，十位 6+5+1=12 写 2 进 1，百位 2+3+1=6，得 625。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：402 - 135 = ?\",\"answers\":[\"267\"],\"explain\":\"连续借位：个位 12-5=7，十位 9-3=6，百位 3-1=2，得 267。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：367 + 284 = ?\",\"answers\":[\"651\"],\"explain\":\"个位 7+4=11 进 1，十位 6+8+1=15 进 1，百位 3+2+1=6，得 651。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：600 - 347 = ?\",\"answers\":[\"253\"],\"explain\":\"连续借位：个位 10-7=3，十位 9-4=5，百位 5-3=2，得 253。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：503 - 248 = ?\",\"answers\":[\"255\"],\"explain\":\"个位借位 13-8=5，十位 9-4=5，百位 4-2=2，得 255。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"验算 625 - 268 = 357，正确的方法是？\",\"options\":[\"357 + 268，看是否等于 625\",\"625 + 357\",\"357 - 268\"],\"answer\":0,\"explain\":\"减法用加法验算：差+减数=被减数，357+268=625 ✓。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"图书馆有故事书 586 本、科技书 247 本，两种书共有多少本？\",\"answers\":[\"833\"],\"explain\":\"586+247=833（本）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"故事书 586 本，科技书 247 本，故事书比科技书多多少本？\",\"answers\":[\"339\"],\"explain\":\"586-247=339（本）。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"妈妈带了 500 元，买 268 元的衣服和 175 元的鞋子，还剩多少钱？\",\"options\":[\"57 元\",\"143 元\",\"67 元\"],\"answer\":0,\"explain\":\"500-268-175=57（元）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"三位数加法竖式中，进位的 1 可以不写，心算记住就行，不会出错。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。连续进位时很容易漏记，建议把进位的 1 标在竖式上，保证不错。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 三位数加法：从个位算起，哪一位满十就向前一位进 1，别忘加进位。\n- 三位数减法：哪一位不够减就向前一位借 1 当 10；中间有 0 要连续借位。\n- 验算：加法用减法验，减法用加法验。\n" + }, + { + "id": "calc-19", + "title": "乘法竖式：乘一位数与乘两位数", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握多位数乘一位数、两位数乘两位数的竖式及口算技巧", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n表内乘法我们已经背熟了。本课要学笔算乘法：多位数乘一位数（三年级上）和两位数乘两位数（三年级下）。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：口算整十、整百数乘一位数\n\n把整十整百数看成\"几个十、几个百\"来乘：\n- 20×3=60（2 个十×3=6 个十）\n- 200×3=600（2 个百×3=6 个百）\n- 20×30=600（先算 2×3=6，再补两个 0）\n- 14×20=280（先算 14×2=28，再补一个 0）\n\n### 概念 2：多位数乘一位数（笔算）\n\n从个位乘起，乘到哪一位积写在哪一位，满几十向前一位进几。\n\n**例 1** 123 × 4 = ?\n【思路】3×4=12 → 写 2 进 1；2×4+1=9；1×4=4。\n【解答】123×4=492\n\n**例 2（中间有 0）** 105 × 6 = ?\n【思路】5×6=30 → 写 0 进 3；0×6+3=3；1×6=6。\n【解答】105×6=630\n【提醒】中间有 0 也要乘，还要加上后面的进位，不能跳过。\n\n### 概念 3：两位数乘两位数（笔算）\n\n先用第二个因数的**个位**乘，得数写第一行；再用第二个因数的**十位**乘，得数末位和十位对齐（左移一位）写第二行；最后两行相加。\n\n**例 3** 16 × 21 = ?\n【思路】16×1=16 写第一行；16×20=320，左移一位写第二行；16+320=336。\n【解答】16×21=336\n【验算】估算：16×21≈16×20=320，336 很接近 ✓\n\n### 概念 4：解决问题\n\n**例 4** 一套书 125 元，买 3 套要多少钱？给 400 元够吗？\n【思路】先算总价再比较。\n【解答】125×3=375（元），375＜400，够。\n\n**例 5** 电影院有 8 排座位，每排 32 个，一共有多少个座位？\n【思路】每排个数×排数。\n【解答】32×8=256（个）。\n\n**例 6** 300 个同学乘 5 辆车去春游，前 4 辆车各坐 62 人，第 5 辆车坐多少人？\n【思路】先算前 4 辆车坐的总人数，再从 300 里减去。\n【解答】300-62×4=300-248=52（人）。\n\n**例 7** 一个书架有 12 层，每层能放 35 本书，这个书架能放多少本书？\n【思路】每层本数×层数：35×12。\n【解答】35×12=420（本）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 中间有 0 的乘法跳过 0 不乘，或忘记加进位。\n- 两位数乘两位数时第二行忘记左移一位，直接对着个位写。\n- 口算整十数乘整十数时补 0 的个数弄错（20×30 要补两个 0）。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：20 × 3 = ?\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"2 个十乘 3 是 6 个十，即 60。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：200 × 3 = ?\",\"answers\":[\"600\"],\"explain\":\"2 个百乘 3 是 6 个百，即 600。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：123 × 4 = ?\",\"answers\":[\"492\"],\"explain\":\"3×4=12 写 2 进 1，2×4+1=9，1×4=4，得 492。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：105 × 6 = ?\",\"answers\":[\"630\"],\"explain\":\"5×6=30 写 0 进 3，0×6+3=3，1×6=6，得 630。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：23 × 4 = ?\",\"answers\":[\"92\"],\"explain\":\"3×4=12 写 2 进 1，2×4+1=9，得 92。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：16 × 21 = ?\",\"answers\":[\"336\"],\"explain\":\"16×1=16，16×20=320，16+320=336。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：20 × 30 = ?\",\"answers\":[\"600\"],\"explain\":\"2×3=6，再补两个 0，得 600。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一套书 125 元，买 3 套要多少钱？给 400 元够吗？\",\"options\":[\"375 元，够\",\"375 元，不够\",\"425 元，不够\"],\"answer\":0,\"explain\":\"125×3=375（元），375＜400，够。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"电影院有 8 排座位，每排 32 个，一共有多少个座位？\",\"options\":[\"40 个\",\"256 个\",\"246 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"32×8=256（个）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"300 个同学乘 5 辆车春游，前 4 辆车各坐 62 人，第 5 辆车坐多少人？\",\"answers\":[\"52\"],\"explain\":\"300-62×4=300-248=52（人）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"计算 105×6 时，中间的 0 不用乘，直接写 0 就行。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。0 也要乘：0×6=0，还要加上个位进上来的 3，这一位写 3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个书架有 12 层，每层放 35 本，这个书架能放多少本书？\",\"options\":[\"420 本\",\"47 本\",\"352 本\"],\"answer\":0,\"explain\":\"35×12=420（本）。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 口算整十整百数乘法：先算 0 前面的数，再补 0。\n- 多位数乘一位数：从个位乘起，满几十进几；中间有 0 也要乘。\n- 两位数乘两位数：个位乘一次、十位乘一次（左移一位），再相加。\n- 估算可以帮忙验算。\n" + }, + { + "id": "calc-20", + "title": "除法竖式：除数是一位数", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握两三位数除以一位数的竖式、商中间末尾有0的情况和验算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n表内除法和有余数除法我们会了。本课学习两、三位数除以一位数的竖式计算，包括商中间有0的难点。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：口算整十、整百数除以一位数\n\n- 60÷3=20（6 个十÷3=2 个十）\n- 800÷4=200（8 个百÷4=2 个百）\n\n### 概念 2：笔算步骤\n\n从高位除起，除到哪一位商就写在哪一位上；余数必须比除数小；每次除完要把下一位落下来。\n\n**例 1** 87 ÷ 3 = ?\n【思路】先除十位：8÷3 商 2 余 2；把个位 7 落下来成 27；27÷3=9。\n【解答】87÷3=29\n【验算】29×3=87 ✓\n\n### 概念 3：商中间或末尾有 0\n\n**例 2** 618 ÷ 6 = ?\n【思路】6÷6=1；十位 1÷6 不够除，商 0 占位；把个位 8 落下来成 18，18÷6=3。\n【解答】618÷6=103\n【提醒】不够除时要商 0 占位，0 不能丢。\n\n**例 3** 428 ÷ 7 = ?\n【思路】42÷7=6；落 8，8÷7=1 余 1。\n【解答】428÷7=61…1\n【验算】7×61+1=427+1=428 ✓\n\n### 概念 4：解决问题\n\n**例 4** 有 235 本书，每 3 本捆一捆，能捆几捆？还剩几本？\n【思路】235÷3：23÷3=7 余 2，落 5 成 25，25÷3=8 余 1。\n【解答】235÷3=78…1，能捆 78 捆，还剩 1 本。\n\n**例 5** 三年级 168 名同学去参观，每辆车限坐 6 人，需要多少辆车？\n【思路】168÷6：16÷6=2 余 4，落 8 成 48，48÷6=8。\n【解答】168÷6=28（辆），正好坐满，需要 28 辆。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 商中间或末尾的 0 漏写（如 618÷6 写成 13）。\n- 余数比除数大 → 说明商小了，要调大。\n- 忘记把下一位落下来继续除。\n- 不验算 → 用\"除数×商+余数=被除数\"检查。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：60 ÷ 3 = ?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"6 个十除以 3 是 2 个十，即 20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"口算：800 ÷ 4 = ?\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"8 个百除以 4 是 2 个百，即 200。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：87 ÷ 3 = ?\",\"answers\":[\"29\"],\"explain\":\"8÷3 商 2 余 2，落 7 成 27，27÷3=9，得 29。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：96 ÷ 4 = ?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"9÷4 商 2 余 1，落 6 成 16，16÷4=4，得 24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：618 ÷ 6 = ?\",\"answers\":[\"103\"],\"explain\":\"6÷6=1，1 不够除商 0，落 8 成 18，18÷6=3，得 103。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"竖式计算：428 ÷ 7，商和余数是多少？（写成\\\"商…余数\\\"的形式）\",\"answers\":[\"61…1\"],\"explain\":\"42÷7=6，落 8，8÷7=1 余 1，得 61…1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"有 235 本书，每 3 本捆一捆，能捆几捆、还剩几本？（写成\\\"捆数…余数\\\"的形式）\",\"answers\":[\"78…1\"],\"explain\":\"235÷3=78…1，能捆 78 捆，还剩 1 本。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三年级 168 名同学去参观，每辆车限坐 6 人，需要多少辆车？\",\"options\":[\"26 辆\",\"28 辆\",\"30 辆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"168÷6=28（辆）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"618 ÷ 6 的商中间有一个 0。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。十位 1 不够除以 6，商 0 占位，618÷6=103。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"验算 87 ÷ 3 = 29，正确的方法是？\",\"options\":[\"29 × 3，看是否等于 87\",\"87 × 3\",\"29 + 3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"用商×除数：29×3=87，说明计算正确。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 口算：几个十、几个百直接除。\n- 笔算：从高位除起，商写对应位，余数必须比除数小，记得落下一位。\n- 不够除时商 0 占位。\n- 验算：除数×商+余数=被除数。\n" + }, + { + "id": "calc-21", + "title": "运算律与简便计算", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握五大运算律和减法除法性质，会用分配律做简便计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n计算不仅要会算，还要会「聪明地算」。本课认识运算律，重点攻克乘法分配律，学会简便计算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：加法运算律\n\n- 加法交换律：a + b = b + a（交换位置，和不变）\n- 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（改变运算顺序，和不变）\n\n### 概念 2：乘法运算律\n\n- 乘法交换律：a × b = b × a\n- 乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)\n- **乘法分配律（重点+难点）**：(a + b) × c = a × c + b × c\n\n用生活例子理解分配律：妈妈买了 5 排酸奶，每排有 3 瓶纯奶和 2 瓶酸奶，总共多少瓶？\n- 算法一：每排 3+2=5 瓶，5×(3+2)=5×5=25 瓶\n- 算法二：纯奶 5×3=15，酸奶 5×2=10，共 15+10=25 瓶\n两种算法结果相同，所以 5×(3+2)=5×3+5×2。\n\n### 概念 3：减法与除法的性质\n\n- 减法性质：a - b - c = a - (b + c)\n- 除法性质：a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)（b、c≠0）\n\n### 概念 4：简便计算典型题\n\n**例 1** 125 × 32 × 25\n【思路】把 32 拆成 8×4，让 125 配 8、25 配 4 凑整。\n【解答】(125×8)×(4×25)=1000×100=100000\n\n**例 2** 102 × 35\n【思路】102 接近整百，拆成 100+2，用分配律。\n【解答】(100+2)×35=100×35+2×35=3500+70=3570\n\n**例 3** 99 × 56\n【思路】99=100-1，用分配律。\n【解答】(100-1)×56=5600-56=5544\n\n**例 4（判断）** 12×(8+5) = 12×8+5，对吗？\n【思路】分配律要把括号外的 12 分别乘给 8 和 5。\n【解答】错。正确：12×(8+5)=12×8+12×5=96+60=156。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 分配律漏乘其中一个加数：12×(8+5)=12×8+5 ✗（5 也要乘 12）。\n- 看不出隐藏的公因数：56×99+56 中第二个 56 = 56×1 → 56×(99+1)=5600。\n- 凑整配对记不牢：125×8=1000、25×4=100、5×2=10 要脱口而出。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"a + b = b + a 叫什么运算律？\",\"options\":[\"加法交换律\",\"加法结合律\",\"乘法分配律\"],\"answer\":0,\"explain\":\"交换两个加数的位置和不变，是加法交换律。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"(a + b) + c = a + (b + c)，这是加法结合律。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。改变运算顺序和不变，是加法结合律。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"简便计算：125 × 32 × 25 = ?\",\"answers\":[\"100000\"],\"explain\":\"32 拆成 8×4：(125×8)×(4×25)=1000×100=100000。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"简便计算：102 × 35 = ?\",\"answers\":[\"3570\"],\"explain\":\"(100+2)×35=3500+70=3570。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"简便计算：99 × 56 = ?\",\"answers\":[\"5544\"],\"explain\":\"(100-1)×56=5600-56=5544。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"12 × (8 + 5) = 12 × 8 + 5。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。分配律要把 12 分别乘给 8 和 5：12×8+12×5=96+60=156。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"(25 + 8) × 4 = 25 × 4 + 8 × 4。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。分配律：括号里的每个数都要乘 4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"56 × 99 + 56 = 56 × 100。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。第二个 56 看作 56×1：56×99+56×1=56×(99+1)=56×100=5600。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"简便计算：25 × 17 × 4 = ?\",\"answers\":[\"1700\"],\"explain\":\"交换结合：(25×4)×17=100×17=1700。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"简便计算：38 × 101 = ?\",\"answers\":[\"3838\"],\"explain\":\"38×(100+1)=3800+38=3838。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 加法：交换律、结合律；乘法：交换律、结合律、分配律。\n- 分配律：(a+b)×c = a×c + b×c，每个加数都要乘。\n- 减法性质 a-b-c=a-(b+c)，除法性质 a÷b÷c=a÷(b×c)。\n- 简便计算：凑整配对（125×8、25×4）+ 拆数（99=100-1、102=100+2）。\n" + }, + { + "id": "calc-22", + "title": "四则混合运算与运算顺序", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握运算顺序规则，会算含小括号和中括号的混合运算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n一个算式里加减乘除都有，还有括号，先算哪个？本课学习运算顺序，学会规范的脱式计算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：运算顺序规则\n\n口诀：**先乘除后加减，有括号先算括号里面的**。括号层级：先算小括号 ( )，再算中括号 [ ]。\n\n脱式计算格式：等号对齐，一步一步写出计算过程。\n\n### 概念 2：先乘除，后加减\n\n**例 1** 25 + 8 × 3\n【思路】有加法有乘法，先算乘法。\n【解答】25 + 8×3 = 25 + 24 = 49\n\n**例 2** 42 - 18 ÷ 3\n【思路】先算除法 18÷3=6，再算减法。\n【解答】42 - 6 = 36\n\n### 概念 3：有括号先算括号里面\n\n**例 3** (25 + 8) × 3\n【思路】先算括号里的 25+8=33，再乘 3。\n【解答】33 × 3 = 99\n【提醒】对比例 1：同样三个数，25+8×3=49，(25+8)×3=99，括号改变了运算顺序，结果完全不同。\n\n**例 4** (36 + 24) ÷ 6 与 36 + 24 ÷ 6\n【思路】有括号先算 36+24=60，60÷6=10；没括号先算 24÷6=4，36+4=40。\n【解答】(36+24)÷6=10；36+24÷6=40。\n\n### 概念 4：含中括号的综合算式\n\n**例 5** 180 ÷ (36 - 12) + 8\n【思路】先算小括号：36-12=24；再算除法：180÷24=7.5；最后算加法。\n【解答】7.5 + 8 = 15.5\n\n**例 6** [85 - (12 + 19)] × 4\n【思路】先算小括号 12+19=31，再算中括号 85-31=54，最后乘 4。\n【解答】54 × 4 = 216\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 从左到右依次算，忘了先乘除后加减（如 25+8×3 算成 99）。\n- 有括号时先算了括号外面的。\n- 脱式时等号不对齐、抄错上一步的数。\n- 中括号和小括号的先后顺序搞混：先小括号，再中括号。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：36 + 24 ÷ 6 = ?\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"先算除法 24÷6=4，再算 36+4=40。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：42 - 18 ÷ 3 = ?\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"先算除法 18÷3=6，再算 42-6=36。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：8 × 7 - 15 = ?\",\"answers\":[\"41\"],\"explain\":\"先算乘法 8×7=56，再算 56-15=41。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：(36 + 24) ÷ 6 = ?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"先算括号里 36+24=60，再算 60÷6=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：(42 - 18) ÷ 3 = ?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"先算括号里 42-18=24，再算 24÷3=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：180 ÷ (36 - 12) + 8 = ?\",\"answers\":[\"15.5\"],\"explain\":\"先算 36-12=24，再算 180÷24=7.5，最后 7.5+8=15.5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：[85 - (12 + 19)] × 4 = ?\",\"answers\":[\"216\"],\"explain\":\"小括号：12+19=31；中括号：85-31=54；54×4=216。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"计算 25 + 8 × 3 时，应该先算 25 + 8。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。先乘除后加减，应先算 8×3=24，再算 25+24=49。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"运算顺序的口诀是？\",\"options\":[\"先乘除后加减，有括号先算括号里面\",\"从左到右依次计算\",\"先加减后乘除\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先乘除后加减，有括号先算括号里面的。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"算式 (25 + 8) × 3 的结果是多少？\",\"options\":[\"49\",\"99\",\"75\"],\"answer\":1,\"explain\":\"先算括号里 25+8=33，33×3=99。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 口诀：先乘除后加减，有括号先算括号里面。\n- 括号层级：先小括号，再中括号。\n- 同样的数，括号位置不同，结果可能完全不同。\n- 脱式计算等号对齐，步步写清。\n" + }, + { + "id": "calc-23", + "title": "分数的初步认识", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解分数的意义，会比较分数大小，会算同分母分数加减法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n整数不够用了：一个月饼分给两个人，每人多少？这就要认识一种新数——分数。本课学习分数的意义、大小比较和同分母加减法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：分数的意义\n\n把一个整体**平均分**成若干份，取其中的一份或几份，就可以用分数表示。分数线下面的数叫分母（表示平均分成几份），上面的数叫分子（表示取了几份）。\n\n关键理解：**\"平均分\"**——不平均就不能用分数表示。\n\n折纸理解分数：一张正方形纸对折 → 平均分成 2 份，每份是 1/2；再对折 → 平均分成 4 份，每份是 1/4。\n\n**例 1** 把一个月饼平均分成 8 块，小明吃了 3 块，用分数表示吃了多少？\n【思路】平均分成 8 块 → 分母是 8；吃了 3 块 → 分子是 3。\n【解答】吃了 3/8。\n\n### 概念 2：分数的大小比较\n\n- **同分母比分子**：分子越大，分数越大。\n- **同分子比分母**：分母越大，分数越小（分的份数越多，每份越小）。\n\n**例 2** 比较 3/7 和 5/7 的大小\n【思路】分母都是 7，比分子：3＜5。\n【解答】3/7 ＜ 5/7\n\n**例 3** 比较 1/3 和 1/5 的大小\n【思路】分子都是 1，比分母：3＜5，分的份数越少每份越大。\n【解答】1/3 ＞ 1/5\n【提醒】这道题最容易错！画图看：同一个圆，平均分成 3 份的每一份，比平均分成 5 份的每一份大。\n\n### 概念 3：同分母分数加减法\n\n**分母不变，分子相加减。**\n\n**例 4** 计算：2/5 + 1/5、5/7 - 2/7\n【思路】分母相同，只把分子相加减。\n【解答】2/5+1/5=3/5；5/7-2/7=3/7\n\n**例 5** 一张饼平均分成 6 份，爸爸吃了 2 份，妈妈吃了 1 份，一共吃了这张饼的几分之几？还剩几分之几？\n【思路】吃的份数加起来作分子，分母 6 不变。\n【解答】一共吃了 2/6+1/6=3/6；还剩 6/6-3/6=3/6。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 认为 1/3＜1/4（分母大反而小才对：1/3＞1/4）→ 用实物演示\"分的份数越少每份越大\"。\n- 同分母加减法把分母也一起加减 → 分母不变，只加减分子。\n- 不是\"平均分\"的情况也用分数表示。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把一个月饼平均分成 8 块，小明吃了 3 块，吃了多少？\",\"options\":[\"3/8\",\"8/3\",\"3/5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"平均分成 8 块，分母是 8；吃了 3 块，分子是 3，即 3/8。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：3/7○5/7，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":1,\"explain\":\"同分母比分子：3＜5，所以 3/7＜5/7。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：1/3○1/5，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":0,\"explain\":\"同分子比分母：分的份数越少每份越大，3 份中的 1 份比 5 份中的 1 份大，所以 1/3＞1/5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：2/5 + 1/5 = ?（写分数）\",\"answers\":[\"3/5\"],\"explain\":\"同分母分数相加，分母不变，分子相加：2+1=3，得 3/5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：5/7 - 2/7 = ?（写分数）\",\"answers\":[\"3/7\"],\"explain\":\"同分母分数相减，分母不变，分子相减：5-2=3，得 3/7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：3/8 + 4/8 = ?（写分数）\",\"answers\":[\"7/8\"],\"explain\":\"分母不变，分子相加：3+4=7，得 7/8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一张饼平均分成 6 份，爸爸吃 2 份、妈妈吃 1 份，一共吃了几分之几？（写分数）\",\"answers\":[\"3/6\",\"1/2\"],\"explain\":\"2/6+1/6=3/6（也就是 1/2）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把一个圆分成的份数越多，每一份就越大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。分成的份数越多，每一份反而越小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"计算 2/5 + 1/5 时，分母也要相加，得 3/10。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。同分母分数相加，分母不变，只加分子：2/5+1/5=3/5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"分数 4/7 中，7 叫做什么？\",\"options\":[\"分子\",\"分母\",\"分数线\"],\"answer\":1,\"explain\":\"分数线下面的数叫分母，表示把整体平均分成 7 份。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 分数是\"平均分\"后取其中几份得到的数。\n- 分母表示分成几份，分子表示取了几份。\n- 同分母比分子；同分子比分母（分母越大分数越小）。\n- 同分母加减法：分母不变，分子相加减。\n" + }, + { + "id": "calc-24", + "title": "小数的初步认识", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解小数的意义，会读写一位小数、比较大小和计算加减法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n商品价格 3.5 元、身高 1.35 米——这些数中间都有个小圆点，它们是小数。本课学习小数的意义、读写、比较和加减。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：小数的意义和读写\n\n十分之几就是零点几：\n- 1 元 = 10 角 → 1 角 = 1/10 元 = 0.1 元\n- 3 角 = 3/10 元 = 0.3 元\n- 7 角 = 7/10 元 = 0.7 元\n\n读法：0.3 读作\"零点三\"。写法：先写\"0\"，再写\".\"，最后写\"3\"。\n生活中处处有小数：商品价格 3.5 元、身高 1.35m、体温 36.6℃。\n\n**例 1** 用小数表示：7 角 = ( ) 元\n【思路】1 角 = 0.1 元，7 角就是 7 个 0.1 元。\n【解答】7 角 = 0.7 元。同理 1 元 2 角 = 1.2 元。\n\n### 概念 2：小数的大小比较\n\n先比整数部分 → 相同再比十分位 → 再比百分位。\n\n**例 2** 比较：0.5○0.8、1.2○1.8\n【思路】0.5 和 0.8 整数部分都是 0，比十分位：5＜8；1.2 和 1.8 整数部分都是 1，比十分位：2＜8。\n【解答】0.5＜0.8；1.2＜1.8\n\n**例 3** 比较：2.1○1.9\n【思路】先比整数部分：2＞1，不用再比小数部分。\n【解答】2.1＞1.9\n\n### 概念 3：一位小数的加减法\n\n**小数点对齐**，再按整数加减法来算，满 10 向前进 1。\n\n**例 4** 计算：0.3+0.5、1.2-0.7、0.8+0.9\n【思路】小数点对齐后逐位算；0.8+0.9 十分位 8+9=17，满 10 向个位进 1。\n【解答】0.3+0.5=0.8；1.2-0.7=0.5；0.8+0.9=1.7\n\n**例 5** 小明身高 1.3m，小丽身高 1.5m，谁高？高多少？\n【思路】先比大小：1.3＜1.5；再相减。\n【解答】小丽高，高 1.5-1.3=0.2（m）。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 小数加减法时小数点没对齐。\n- 0.8+0.9 满 10 忘记向个位进 1（应得 1.7，不是 0.17）。\n- 比较小数只看小数部分，不看整数部分。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用小数表示：7 角 = ( ) 元\",\"answers\":[\"0.7\"],\"explain\":\"1 角=0.1 元，7 角=0.7 元。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用小数表示：1 元 2 角 = ( ) 元\",\"answers\":[\"1.2\"],\"explain\":\"1 元照写，2 角=0.2 元，合起来 1.2 元。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：0.6○0.9，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":1,\"explain\":\"整数部分都是 0，比十分位：6＜9，所以 0.6＜0.9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：2.1○1.9，○里填？\",\"options\":[\"＞\",\"＜\",\"＝\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先比整数部分：2＞1，所以 2.1＞1.9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：0.3 + 0.5 = ?\",\"answers\":[\"0.8\"],\"explain\":\"小数点对齐，十分位 3+5=8，得 0.8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：1.2 - 0.7 = ?\",\"answers\":[\"0.5\"],\"explain\":\"十分位 2-7 不够减，退 1 当 10：12-7=5，个位剩 0，得 0.5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：0.8 + 0.9 = ?\",\"answers\":[\"1.7\"],\"explain\":\"十分位 8+9=17，满 10 向个位进 1，得 1.7。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把 0.8、1.5、0.3、2.1、0.9 从大到小排列，正确的是？\",\"options\":[\"2.1、1.5、0.9、0.8、0.3\",\"0.3、0.8、0.9、1.5、2.1\",\"2.1、1.5、0.8、0.9、0.3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先比整数部分：2.1 和 1.5 最大；剩下三个整数部分都是 0，比十分位：0.9＞0.8＞0.3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明身高 1.3m，小丽身高 1.5m，谁高？高多少？\",\"options\":[\"小明高，高 0.2m\",\"小丽高，高 0.2m\",\"小丽高，高 0.8m\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1.3＜1.5，小丽高；1.5-1.3=0.2（m）。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"十分之几可以写成零点几的小数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。如 3/10 元 = 0.3 元，十分之几就是零点几。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 十分之几就是零点几。\n- 比大小：先比整数部分，再依次比十分位、百分位。\n- 加减法：小数点对齐，满 10 进 1。\n- 小数在价格、身高、体温中处处用到。\n" + }, + { + "id": "calc-25", + "title": "分数与小数的互化", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握分数化小数、小数化分数的方法，能比较和混合计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n分数和小数是一家人，可以互相变。本课学习互化方法，包括循环小数的处理，并用互化来比较大小。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：分数化小数\n\n方法：分子÷分母（除不尽的按四舍五入保留位数）。\n\n**例 1** 把 3/4、2/5、7/8 化成小数\n【思路】直接做除法。\n【解答】3/4=3÷4=0.75；2/5=2÷5=0.4；7/8=7÷8=0.875\n\n常用分数要记牢：1/2=0.5，1/4=0.25，3/4=0.75，1/5=0.2，1/8=0.125，1/3≈0.333…\n\n### 概念 2：小数化分数\n\n方法：一位小数写成分母是 10 的分数，两位写成分母是 100 的分数，再**约分**。\n\n**例 2** 把 0.6、0.36 化成分数\n【思路】0.6=6/10，约分：6/10=3/5；0.36=36/100，约分：36/100=9/25。\n【解答】0.6=3/5；0.36=9/25\n【提醒】一定要约分成最简分数！\n\n### 概念 3：循环小数化分数（拓展）\n\n- 纯循环小数：循环节作分子，9（循环一位就一个 9）作分母。如 0.333…=3/9=1/3；0.222…=2/9。\n- 混循环小数如 0.1666…（只有 6 循环）：可拆成 0.1+0.0666… 处理，或利用 1/6=0.1666… 的记忆直接认。\n\n**例 3** 把 0.222… 化成分数\n【思路】循环节是 2，一位循环。\n【解答】0.222…=2/9\n\n### 概念 4：用互化来比较大小\n\n分数、小数比大小，先统一成同一种形式。\n\n**例 4** 比较：2/3、0.67、7/10 哪个最大？\n【思路】都化成小数：2/3≈0.667，0.67，7/10=0.7。\n【解答】0.7 最大，即 7/10 最大。\n\n**例 5** 计算：3/4 + 0.5\n【思路】统一成小数：3/4=0.75。\n【解答】0.75+0.5=1.25\n\n**例 6** 计算：1.25 - 1/4\n【思路】1/4=0.25。\n【解答】1.25-0.25=1\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 小数化分数后忘记约分（如 0.6 写成 6/10 就停）。\n- 分数化小数时分子分母颠倒（应是分子÷分母）。\n- 循环小数不按要求处理位数，直接当有限小数比较。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 3/4 化成小数\",\"answers\":[\"0.75\"],\"explain\":\"3÷4=0.75。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 2/5 化成小数\",\"answers\":[\"0.4\"],\"explain\":\"2÷5=0.4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 7/8 化成小数\",\"answers\":[\"0.875\"],\"explain\":\"7÷8=0.875。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 0.6 化成最简分数（写成 a/b 形式）\",\"answers\":[\"3/5\"],\"explain\":\"0.6=6/10，约分得 3/5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 0.36 化成最简分数（写成 a/b 形式）\",\"answers\":[\"9/25\"],\"explain\":\"0.36=36/100，约分得 9/25。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 0.125 化成最简分数（写成 a/b 形式）\",\"answers\":[\"1/8\"],\"explain\":\"0.125=125/1000，约分得 1/8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 0.222…（2 循环）化成最简分数（写成 a/b 形式）\",\"answers\":[\"2/9\"],\"explain\":\"循环节是 2，一位循环：2/9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比较大小：2/3、0.67、7/10，最大的是？\",\"options\":[\"2/3\",\"0.67\",\"7/10\"],\"answer\":2,\"explain\":\"都化小数：2/3≈0.667，0.67，7/10=0.7，0.7 最大。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：3/4 + 0.5 = ?\",\"answers\":[\"1.25\"],\"explain\":\"3/4=0.75，0.75+0.5=1.25。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：1.25 - 1/4 = ?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"1/4=0.25，1.25-0.25=1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把小数化成分数后，一定要约分成最简分数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。如 0.6=6/10 还要约分成 3/5 才是规范答案。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"5/6 化成小数（保留两位小数）约是多少？\",\"options\":[\"0.83\",\"0.85\",\"0.90\"],\"answer\":0,\"explain\":\"5÷6=0.8333…，保留两位小数是 0.83。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 分数化小数：分子÷分母。\n- 小数化分数：按位数写成分母 10、100、1000，再约分。\n- 常用分数值（1/2、1/4、1/8、1/3、1/6）要熟记。\n- 分数小数混合比大小、做计算，先统一形式。\n" + }, + { + "id": "calc-26", + "title": "分数四则运算", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握分数加减乘除法则，会算分数混合运算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n同分母分数加减我们会了。本课把分数运算升级：异分母加减、分数乘除法，以及分数混合运算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：分数加减法\n\n- 同分母：分母不变，分子相加减。\n- 异分母：先**通分**（化成同分母），再加减。\n\n**例 1** 计算：7/8 - 3/8\n【思路】同分母，直接减分子。\n【解答】7/8-3/8=4/8=1/2（记得约分）\n\n**例 2** 计算：1/2 + 1/3\n【思路】异分母，先通分：1/2=3/6，1/3=2/6。\n【解答】3/6+2/6=5/6\n\n### 概念 2：分数乘法\n\n法则：**分子乘分子作分子，分母乘分母作分母**；能约分的先约分再乘。\n\n**例 3** 计算：2/3 × 3/4\n【思路】先约分：3 和 3 约掉，2 和 4 约成 1 和 2。\n【解答】2/3×3/4=1/2\n\n**例 4** 计算：5/7 × 14/15\n【思路】5 与 15 约成 1、3；7 与 14 约成 1、2：剩 2/3。\n【解答】5/7×14/15=2/3\n\n### 概念 3：分数除法\n\n法则：**除以一个分数 = 乘以它的倒数**。\n\n**例 5** 计算：3/4 ÷ 1/2\n【思路】1/2 的倒数是 2/1。\n【解答】3/4×2=6/4=3/2\n\n**例 6** 计算：5/6 ÷ 5/12\n【思路】5/12 的倒数是 12/5。\n【解答】5/6×12/5=2\n\n### 概念 4：分数混合运算\n\n顺序与整数相同：先乘除后加减，有括号先算括号里。\n\n**例 7** 计算：(2/3 + 1/6) × 2/5\n【思路】先算括号里：2/3+1/6=4/6+1/6=5/6；再乘 2/5。\n【解答】5/6×2/5=1/3\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 异分母直接加减分子（如 1/2+1/3=2/5 ✗）→ 必须先通分。\n- 分数除法把除号变成乘号后忘记取倒数。\n- 结果不约分成最简分数。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：7/8 - 3/8（写最简分数）\",\"answers\":[\"1/2\"],\"explain\":\"同分母：7/8-3/8=4/8，约分得 1/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：1/2 + 1/3（写最简分数）\",\"answers\":[\"5/6\"],\"explain\":\"通分：3/6+2/6=5/6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：2/3 × 3/4（写最简分数）\",\"answers\":[\"1/2\"],\"explain\":\"先约分再乘：2/3×3/4=1/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：5/7 × 14/15（写最简分数）\",\"answers\":[\"2/3\"],\"explain\":\"5 与 15 约、7 与 14 约：得 2/3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：3/4 ÷ 1/2（写最简分数）\",\"answers\":[\"3/2\"],\"explain\":\"3/4÷1/2=3/4×2=6/4=3/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：5/6 ÷ 5/12 = ?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"5/6÷5/12=5/6×12/5=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算：(2/3 + 1/6) × 2/5（写最简分数）\",\"answers\":[\"1/3\"],\"explain\":\"括号里 4/6+1/6=5/6；5/6×2/5=1/3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"计算 1/2 + 1/3，正确结果是？\",\"options\":[\"2/5\",\"5/6\",\"2/6\"],\"answer\":1,\"explain\":\"异分母要先通分：1/2=3/6，1/3=2/6，3/6+2/6=5/6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"除以一个分数，等于乘以这个分数的倒数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。如 3/4÷1/2=3/4×2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"分数乘法的结果不是最简分数也没关系，不用约分。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。分数计算结果要化成最简分数，如 4/8 要写成 1/2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 异分母加减：先通分再加减。\n- 乘法：分子×分子、分母×分母，先约分。\n- 除法：乘除数的倒数。\n- 混合运算顺序与整数一样，结果要约成最简分数。\n" + }, + { + "id": "calc-27", + "title": "百分数、比与正反比例", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握百分数互化与百分数应用题，理解比和正、反比例", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n商场打折、果汁浓度、地图比例尺，都离不开百分数和比。本课学习百分数、比的概念以及正比例、反比例。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：百分数的意义与互化\n\n百分数表示一个数是另一个数的百分之几，记作 %。\n\n- 百分数化小数：去掉 %，小数点左移两位。如 25%=0.25。\n- 小数化百分数：小数点右移两位，添上 %。如 0.45=45%。\n- 百分数化分数：写成分母 100 的分数再约分。如 25%=25/100=1/4。\n\n**例 1** 把 3/5 化成百分数\n【思路】先化小数 3÷5=0.6，再化百分数。\n【解答】3/5=0.6=60%\n\n### 概念 2：百分数应用题\n\n**例 2** 某班有 200 名学生，今天出勤率 80%，到校的有多少人？\n【思路】求 200 的 80%。\n【解答】200×80%=160（人）\n\n**例 3** 一件衣服原价 300 元，打八折出售，现价多少元？\n【思路】打八折就是按原价的 80% 卖。\n【解答】300×80%=240（元）\n\n### 概念 3：比\n\n两个数相除又叫做这两个数的比。如 8:12，8 叫前项，12 叫后项，比值=8÷12=2/3。\n比的基本性质：前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变——用它化简比。\n\n**例 4** 化简比：16:24\n【思路】前项后项同除以最大公因数 8。\n【解答】16:24=2:3\n\n### 概念 4：正比例与反比例\n\n- **正比例**：两种相关联的量，一种量变化另一种也随着变化，且比值一定。如路程一定时……不对——是：速度一定时，路程和时间成正比例（路程÷时间=速度，一定）。\n- **反比例**：两种相关联的量，乘积一定。如总钱数一定时，单价和数量成反比例（单价×数量=总钱数，一定）。\n\n**例 5** 一辆车速度不变，行驶 2 小时走 120 km，行驶 5 小时走多少 km？\n【思路】速度一定，路程和时间成正比例，先求速度 120÷2=60。\n【解答】60×5=300（km）\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 百分数化小数时小数点移动方向弄反。\n- 求百分率问题搞错单位\"1\"（如\"出勤率=出勤人数÷总人数\"，不是÷出勤人数）。\n- 正反比例判断凭感觉，不去验证是比值一定还是乘积一定。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 3/5 化成百分数\",\"answers\":[\"60%\"],\"explain\":\"3÷5=0.6=60%。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把 0.45 化成百分数\",\"answers\":[\"45%\"],\"explain\":\"小数点右移两位添上 %：45%。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班 200 人，出勤率 80%，到校的有多少人？\",\"answers\":[\"160\"],\"explain\":\"200×80%=160（人）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一件衣服原价 300 元，打八折出售，现价多少元？\",\"answers\":[\"240\"],\"explain\":\"300×80%=240（元）。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简比：16:24（写成 a:b 形式）\",\"answers\":[\"2:3\"],\"explain\":\"同除以 8：16:24=2:3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"速度一定时，路程和时间成什么比例？\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":0,\"explain\":\"路程÷时间=速度（一定），比值一定，成正比例。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"总钱数一定时，单价和数量成什么比例？\",\"options\":[\"正比例\",\"反比例\",\"不成比例\"],\"answer\":1,\"explain\":\"单价×数量=总钱数（一定），乘积一定，成反比例。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一辆车速度不变，2 小时行 120 km，5 小时行多少 km？\",\"answers\":[\"300\"],\"explain\":\"速度 120÷2=60 km/时，60×5=300 km。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"25% 化成小数是 0.25。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。去掉 %，小数点左移两位：25%=0.25。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"比 8:12 的比值是多少？\",\"options\":[\"2/3\",\"3/2\",\"1.5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"8÷12=2/3。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 百分数与小数互化：右移两位加 %，左移两位去 %。\n- 百分数应用：找准单位\"1\"，求一个数的百分之几用乘法。\n- 比的前项÷后项=比值；化简比用比的基本性质。\n- 比值一定→正比例；乘积一定→反比例。\n" + }, + { + "id": "calc-28", + "title": "估算：四舍五入、进一法、去尾法", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握三种取近似值方法，能根据情境选择合适的估算策略", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n很多时候我们不需要精确答案，只需要「大概是多少」。本课学习估算的三种方法：四舍五入法、进一法、去尾法，并学会根据生活情境选用。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：四舍五入法\n\n看要求保留位数的后一位：不满 5 舍去，是 5 或更大就进 1。\n\n**例 1** 估算：48 × 32\n【思路】把 48 看成 50，把 32 看成 30。\n【解答】48×32≈50×30=1500\n\n**例 2** 估算：71 × 19\n【思路】71≈70，19≈20。\n【解答】71×19≈70×20=1400\n\n**例 3** 估算：203 × 11\n【思路】203≈200，11≈10。\n【解答】203×11≈200×10=2000\n\n### 概念 2：进一法\n\n不管剩余多少，都再加 1。适用情境：装运（装完所有东西需要几个箱子）、租车（所有人都要有座位）。\n\n**例 4** 17 个同学去划船，每条船最多坐 4 人，至少要租几条船？\n【思路】17÷4=4…1，剩下的 1 人也要一条船。\n【解答】需要 4+1=5（条）\n\n**例 5** 有 50 个鸡蛋，每箱装 6 个，至少要几个箱子？\n【思路】50÷6=8…2，剩下 2 个也要一个箱子。\n【解答】8+1=9（个）\n\n### 概念 3：去尾法\n\n不管剩余多少，都舍去。适用情境：做衣服（不够做一套的布料不算）、截绳子（不够一段的不要）。\n\n**例 6** 有 17 米布，每套衣服用 4 米布，最多能做几套衣服？\n【思路】17÷4=4…1，剩的 1 米不够做一套。\n【解答】最多做 4（套）\n\n**例 7** 一根 23 米长的绳子，每 3 米截一段，最多能截几段？\n【思路】23÷3=7…2，剩的 2 米不够一段。\n【解答】最多截 7（段）\n\n### 概念 4：如何选用\n\n- 一般比较大小、判断够不够 → 四舍五入估算\n- \"至少\"\"装满\"\"人人有\" → 进一法\n- \"最多\"\"够不够做/截\" → 去尾法\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 所有估算都用四舍五入，不看情境（租船 4…1 写成 4 条船 ✗）。\n- 估算时把数看得离原数太远（如把 71 看成 100），误差过大。\n- 不写约等号 ≈，写成等号。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"估算：48 × 32 ≈ ?\",\"answers\":[\"1500\"],\"explain\":\"48≈50，32≈30，50×30=1500。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"估算：71 × 19 ≈ ?\",\"answers\":[\"1400\"],\"explain\":\"71≈70，19≈20，70×20=1400。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"估算：203 × 11 ≈ ?\",\"answers\":[\"2000\"],\"explain\":\"203≈200，11≈10，200×10=2000。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"17 个同学划船，每条船最多坐 4 人，至少要租几条船？\",\"options\":[\"4 条\",\"5 条\",\"6 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"17÷4=4…1，剩 1 人也需一条船，进一法：5 条。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"50 个鸡蛋每箱装 6 个，至少要几个箱子？\",\"options\":[\"8 个\",\"9 个\",\"10 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"50÷6=8…2，剩 2 个也需一箱，进一法：9 个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"17 米布每套用 4 米，最多能做几套衣服？\",\"options\":[\"3 套\",\"4 套\",\"5 套\"],\"answer\":1,\"explain\":\"17÷4=4…1，剩 1 米不够一套，去尾法：4 套。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"23 米绳子每 3 米截一段，最多截几段？\",\"options\":[\"7 段\",\"8 段\",\"6 段\"],\"answer\":0,\"explain\":\"23÷3=7…2，剩 2 米不够一段，去尾法：7 段。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种情况适合用进一法？\",\"options\":[\"租船装下所有人\",\"用布做衣服\",\"判断带的钱够不够买东西\"],\"answer\":0,\"explain\":\"租船必须人人有座位，剩余的人也要一条船，用进一法。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种情况适合用去尾法？\",\"options\":[\"装箱运完所有货物\",\"布料做衣服\",\"乘车安排座位\"],\"answer\":1,\"explain\":\"不够做一套衣服的布料要舍去，用去尾法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"估算的结果要用约等号 ≈ 表示。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。估算得到的是近似值，用 ≈。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 四舍五入：看保留位的后一位，满 5 进 1。\n- 进一法：有剩余就加 1（租船、装箱）。\n- 去尾法：有剩余也舍去（做衣服、截绳子）。\n- 估算前先想情境，选对方法再算。\n" + }, + { + "id": "calc-29", + "title": "巧算：凑整、拆分与提公因数", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握凑整、借位拆分、提公因数等巧算技巧，又快又准", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n运算律是巧算的「内功」。本课把运算律变成实用的巧算技巧：凑整、拆分、提公因数，让计算又快又准。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：凑整法\n\n把接近整十整百的数拆开：198=200-2，102=100+2；或利用 25×4=100、125×8=1000 凑整。\n\n**例 1** 198 + 357\n【思路】198 看成 200-2。\n【解答】200+357-2=555\n\n**例 2** 1000 - 367\n【思路】把 367 看成 400-33，先减整百再加回。\n【解答】1000-400+33=633\n\n**例 3** 125 × 24\n【思路】24 拆成 8×3，125×8 凑整。\n【解答】(125×8)×3=1000×3=3000\n\n**例 4** 25 × 44\n【思路】44 拆成 4×11，25×4 凑整。\n【解答】(25×4)×11=100×11=1100\n\n### 概念 2：移位凑整（加减法）\n\n加法交换律+结合律：把能凑整的数先加起来。\n\n**例 5** 198 + 456 + 302 + 144\n【思路】198+302=500，456+144=600。\n【解答】500+600=1100\n\n**例 6** 37 + 56 + 63\n【思路】37+63=100。\n【解答】100+56=156\n\n### 概念 3：提公因数（分配律逆用）\n\na×c + b×c = (a+b)×c，把相同的因数提出来。\n\n**例 7** 36 × 7 + 36 × 3\n【思路】36 是公因数。\n【解答】36×(7+3)=36×10=360\n\n**例 8** 99 × 46 + 46\n【思路】第二个 46 = 46×1，公因数是 46。\n【解答】46×(99+1)=46×100=4600\n\n### 概念 4：借数凑整与拆数\n\n**例 9** 999 × 5\n【思路】999=1000-1。\n【解答】(1000-1)×5=5000-5=4995\n\n**例 10** 98 × 46\n【思路】98=100-2。\n【解答】(100-2)×46=4600-92=4508\n\n### 概念 5：基准数求和\n\n几个接近的数相加，选一个基准数：每个数=基准数±差。\n\n**例 11** 87 + 92 + 89 + 94 + 91 + 88\n【思路】都接近 90，以 90 为基准：6×90=540，再算各数与 90 的差的和：-3+2-1+4+1-2=1。\n【解答】540+1=541\n\n**例 12** 78 + 82 + 79 + 81 + 83 + 77\n【思路】以 80 为基准：6×80=480，差：-2+2-1+1+3-3=0。\n【解答】480+0=480\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 拆数时拆错方向：198=200-2（减），不是 200+2。\n- 提公因数时漏掉\"隐藏的 1\"：99×46+46 的第二个 46 是 46×1。\n- 凑整只凑一对就停手（如 198+456+302+144 能凑出两个整百）。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：25 × 36 = ?\",\"answers\":[\"900\"],\"explain\":\"36 拆成 4×9：(25×4)×9=100×9=900。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：198 + 357 = ?\",\"answers\":[\"555\"],\"explain\":\"198=200-2：200+357-2=555。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：1000 - 367 = ?\",\"answers\":[\"633\"],\"explain\":\"367=400-33：1000-400+33=633。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：36 × 7 + 36 × 3 = ?\",\"answers\":[\"360\"],\"explain\":\"提公因数：36×(7+3)=360。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：99 × 46 + 46 = ?\",\"answers\":[\"4600\"],\"explain\":\"46×(99+1)=4600。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：125 × 24 = ?\",\"answers\":[\"3000\"],\"explain\":\"24=8×3：1000×3=3000。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：999 × 5 = ?\",\"answers\":[\"4995\"],\"explain\":\"999=1000-1：5000-5=4995。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：198 + 456 + 302 + 144 = ?\",\"answers\":[\"1100\"],\"explain\":\"(198+302)+(456+144)=500+600=1100。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"基准数求和：87+92+89+94+91+88 = ?\",\"answers\":[\"541\"],\"explain\":\"以 90 为基准：90×6=540，差之和为 1，得 541。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"巧算：98 × 46 = ?\",\"answers\":[\"4508\"],\"explain\":\"98=100-2：4600-92=4508。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"198 可以看成 200-2，计算 198+357 就是 200+357-2。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。多加了 2 就要再减回来。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"25 × 32 × 125 巧算时，正确的拆法是？\",\"options\":[\"把 32 拆成 4×8\",\"把 32 拆成 5×6\",\"把 25 拆成 20+5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"32=4×8，让 25×4、125×8 分别凑成 100 和 1000。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 凑整：接近整十整百的数拆开，25 配 4、125 配 8。\n- 移位凑整：加法中先凑整百整千。\n- 提公因数：分配律倒着用，注意隐藏的 1。\n- 基准数求和：几个接近的数先取基准数再调差。\n" + }, + { + "id": "calc-30", + "title": "等差数列求和与裂项相消", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握高斯求和公式与裂项相消法，解决数列求和问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟：热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n1+2+3+…+100 怎么快速算？本课学习等差数列求和公式（高斯求和），以及分数裂项相消这一高级巧算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1：等差数列\n\n相邻两项差都相等的数列叫等差数列，这个差叫公差。如 1、3、5、7、…公差是 2。\n\n**例 1** 求 1 + 2 + 3 + … + 100\n【思路】高斯的配对法：首尾配对相加，1+100=101，2+99=101，…一共 50 对。\n【解答】101×50=5050\n\n由此得到**求和公式**：和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2\n项数 = (末项 - 首项) ÷ 公差 + 1\n\n**例 2** 求 1 + 3 + 5 + … + 99\n【思路】首项 1，末项 99，公差 2。项数=(99-1)÷2+1=50。\n【解答】(1+99)×50÷2=2500\n\n**例 3** 求 2 + 4 + 6 + … + 100\n【思路】首项 2，末项 100，公差 2，项数=(100-2)÷2+1=50。\n【解答】(2+100)×50÷2=2550\n\n**例 4** 求 3 + 6 + 9 + … + 99\n【思路】首项 3，末项 99，公差 3，项数=(99-3)÷3+1=33。\n【解答】(3+99)×33÷2=33×102÷2=1683\n\n### 概念 2：裂项相消\n\n分数 1/(n×(n+1)) 可以拆成 1/n - 1/(n+1)，连加时中间项互相抵消。\n\n**例 5** 计算 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4)\n【思路】裂项：\n1/(1×2)=1-1/2；1/(2×3)=1/2-1/3；1/(3×4)=1/3-1/4\n原式=(1-1/2)+(1/2-1/3)+(1/3-1/4)，中间的 -1/2 和 +1/2 抵消，-1/3 和 +1/3 抵消。\n【解答】1-1/4=3/4\n\n**例 6** 计算 1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4) + 1/(4×5) + 1/(5×6)\n【思路】同样裂项相消，只剩首尾。\n【解答】1-1/6=5/6\n【提醒】裂项后一定是\"首项减末项\"。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 项数公式忘加 1：项数=(末项-首项)÷公差+1，\"+1\"最容易丢。\n- 求和时忘记除以 2（和=(首项+末项)×项数÷2）。\n- 裂项相消时把首尾项也消掉了，只留首减尾。\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求和：1 + 2 + 3 + … + 100 = ?\",\"answers\":[\"5050\"],\"explain\":\"(1+100)×100÷2=5050。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求和：1 + 3 + 5 + … + 99 = ?\",\"answers\":[\"2500\"],\"explain\":\"项数=(99-1)÷2+1=50，(1+99)×50÷2=2500。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求和：2 + 4 + 6 + … + 100 = ?\",\"answers\":[\"2550\"],\"explain\":\"项数 50，(2+100)×50÷2=2550。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求和：3 + 6 + 9 + … + 99 = ?\",\"answers\":[\"1683\"],\"explain\":\"项数=(99-3)÷3+1=33，(3+99)×33÷2=1683。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"等差数列的项数公式是？\",\"options\":[\"(末项-首项)÷公差+1\",\"(末项-首项)÷公差\",\"末项÷公差\"],\"answer\":0,\"explain\":\"项数=(末项-首项)÷公差+1，别忘加 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"裂项计算：1/(1×2) + 1/(2×3) + 1/(3×4)（写最简分数）\",\"answers\":[\"3/4\"],\"explain\":\"裂项相消后剩 1-1/4=3/4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"裂项计算：1/(1×2) + 1/(2×3) + … + 1/(5×6)（写最简分数）\",\"answers\":[\"5/6\"],\"explain\":\"相消后剩 1-1/6=5/6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1/(3×4) 裂项后等于？\",\"options\":[\"1/3 - 1/4\",\"1/4 - 1/3\",\"1/3 + 1/4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)，所以是 1/3-1/4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"等差数列求和公式是：和=(首项+末项)×项数÷2。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是高斯求和公式。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"等差数列 5、9、13、17、… 的公差是多少？\",\"options\":[\"4\",\"5\",\"9\"],\"answer\":0,\"explain\":\"相邻两项的差是 4，公差为 4。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 等差数列：相邻两项差相等，这个差叫公差。\n- 求和公式：和=(首项+末项)×项数÷2。\n- 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1。\n- 裂项相消：1/(n×(n+1))=1/n-1/(n+1)，中间抵消剩首减尾。\n" + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/src/content/math/calc-b.json b/src/content/math/calc-b.json new file mode 100644 index 0000000..0394d60 --- /dev/null +++ b/src/content/math/calc-b.json @@ -0,0 +1,126 @@ +{ + "module": "calc", + "moduleName": "计算与计数", + "points": [ + { + "id": "calc-50", + "title": "数一数(1~10)与比多少", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会手口一致地点数物品,用一一对应比多少", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n数数是数学学习的起点。本课要学会两样本领:手口一致地点数物品、数到几就是几;用一一对应的方法比较两组物品的多少。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:数一数(1~10)\n数数四步法:\n1. 看:看清要数哪些东西\n2. 指:用手指着一个一个点\n3. 数:嘴里跟着念 1、2、3……\n4. 说:最后一个数是多少就是总数\n\n数数约定:从左到右、从上到下,不跳着数。\n数数儿歌:一二三四五,上山打老虎;六七八九十,数数要数齐。\n\n**例1** 数一数:★★★☆☆☆☆☆,★有几个?☆有几个?\n【思路】只数★,用手指着一个一个点着数,不数☆。\n【解答】★:1、2、3,共3个;☆:1、2、3、4、5,共5个。\n【提醒】手口一致:手指点到哪个,嘴里就数哪个,最后一个数就是个数。\n\n**例2** 一排花 🌷🌷🌷🌷🌷🌷🌷,共有几朵?\n【思路】从左到右一个一个点着数。\n【解答】1、2、3、4、5、6、7,共7朵花。\n【验算】再从右往左数一遍,还是7朵,说明没数错。\n\n### 概念/方法 2:比多少(一一对应)\n排队法:把两组物品一个对一个地配对,谁有剩余,谁就多。\n口诀:排排队,手拉手,谁没朋友谁就多。\n\n**例3** ●●● 和 ★★★★★,谁多?多几个?\n【思路】一个●对一个★配对。\n【解答】配了3对后,★还多出2个。●有3个,★有5个,5>3,所以★比●多2,●比★少2。\n【提醒】\"多几\"和\"少几\"说的是同一件事:★比●多2,也就是●比★少2。\n\n**例4** 妈妈有4个苹果,爸爸有4个苹果,谁的多?\n【思路】一一对应配对,看有没有剩余。\n【解答】每人都有朋友,没有剩余,一样多,4=4。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 数数时跳着数或重复数:必须从左到右、从上到下按顺序数\n- 嘴里数到5、手指却点到第6个:手口要一致\n- 比较多少时只凭眼睛看:两组物品排列不齐时容易看错,要一一对应配对\n- 只说出\"谁多\",忘记回答\"多几个\"\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数一数:★★★☆☆☆☆☆ 中,★有几个?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"一个一个点着数★:1、2、3,共3个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数一数:★★★☆☆☆☆☆ 中,☆有几个?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"一个一个点着数☆:1、2、3、4、5,共5个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数一数:△△△△△ 中,△有几个?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"手口一致点着数,共5个△。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面有一排花:🌷🌷🌷🌷🌷🌷🌷,共有几朵花?\",\"options\":[\"6朵\",\"7朵\",\"8朵\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从左到右一个一个数:1、2、3、4、5、6、7,共7朵。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"●●● 和 ★★★★★ 一一对应后,下面的说法正确的是?\",\"options\":[\"★比●多2\",\"●比★多2\",\"一样多\"],\"answer\":0,\"explain\":\"一个●对一个★,3对之后★还多2个。●有3个,★有5个,5>3,所以★比●多2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△△△△ 和 ○○○ 一一对应后,△比○多( )个。\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"一个△对一个○,配对3组后△还剩1个,所以△比○多1个(○比△少1个)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"妈妈有4个苹果,爸爸有4个苹果,一一对应后两人一样多。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。一一对应,每人都有朋友、没有剩余,所以一样多,4=4。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小兔子有5只萝卜,小松鼠有3个松果,谁的多?多几个?\",\"options\":[\"小兔子的多,多2个\",\"小松鼠的多,多2个\",\"一样多\"],\"answer\":0,\"explain\":\"5>3,小兔子的萝卜多,5-3=2,多2个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在 7○9 的○里应填哪个比较符号?\",\"options\":[\">\",\"<\",\"=\"],\"answer\":1,\"explain\":\"7比9小,所以填<,即7<9。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"数数时可以跳着数,这样数得更快。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。数数要按从左到右、从上到下的顺序一个一个数,跳着数容易多数或漏数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 数数四步法:看、指、数、说,按顺序数不跳跃\n- 最后一个数到的数就是总数\n- 比多少用一一对应排队法:谁没朋友(有剩余)谁就多\n- 一方多几,另一方就少几\n- 比大小用 >、<、= 填空" + }, + { + "id": "calc-51", + "title": "数100以内的数", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "突破拐弯数,理解几十几由几个十和几个一组成", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们学会了点数 1~10。这节课要把数数范围扩大到 100,重点突破拐弯数,并理解几十几的组成。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:从1数到100与拐弯数\n从 1 数到 100,最难的是拐弯的地方:\n- 29 后面是 30(二九过了是三零)\n- 39 后面是 40,49 后面是 50\n- 99 后面是 100\n\n建议每天从 1 数到 100,坚持一周就能数熟。\n\n数数游戏:\n- 拍七:轮到 7 和 7 的倍数时拍手不说话\n- 跳数:2、4、6、8……(双数);1、3、5、7……(单数)\n\n**例1** 填数:38、( )、40、41、( )、( )\n【思路】按顺序一个一个往后数。\n【解答】39、42、43。\n【验算】连起来读一遍:38、39、40、41、42、43,顺不顺口。\n\n**例2** 填数:66、67、( )、( )、70、( )\n【解答】68、69、71。\n【提醒】69 后面是 70,拐弯处个位满十,十位加 1。\n\n**例3** 从72数到83,写出中间的数。\n【解答】73、74、75、76、77、78、79、80、81、82,共10个数。\n\n### 概念/方法 2:几十几的组成\n几个十和几个一组成几十几。例如 53 由 5 个十和 3 个一组成。\n\n**例4** 5个十和3个一组成几?7个十是多少?\n【解答】5个十和3个一组成53;7个十是70。\n【提醒】分清几个十和几个一:7个十是70,不是17。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 拐弯数卡壳:29 后面说成\"二十十\"。记住个位满十就变成下一个整十数\n- 倒数时漏数:从 10 倒数回 1 也要一个一个倒着数\n- 混淆几个十和几个一:7个十是 70,7个一是 7\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填数:38、( )、40、41,括号里填几?\",\"answers\":[\"39\"],\"explain\":\"按顺序数,38后面是39,39后面是40。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填数:66、67、( )、69、70,括号里填几?\",\"answers\":[\"68\"],\"explain\":\"67后面是68,68后面是69。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"拐弯数:29后面是几?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"二九过了是三零,个位满十就向十位进一,29后面是30。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"拐弯数:49后面是几?\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"49的个位满十,十位加1,后面是50。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"拐弯数:99后面是几?\",\"answers\":[\"100\"],\"explain\":\"99的个位、十位都满十,后面是100。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5个十和3个一组成( )。\",\"answers\":[\"53\"],\"explain\":\"几个十和几个一组成几十几:5个十是50,再加3个一,是53。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"7个十是多少?\",\"options\":[\"7\",\"17\",\"70\"],\"answer\":2,\"explain\":\"7个十就是70。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从72数到83,中间(不含72和83)有几个数?\",\"options\":[\"9\",\"10\",\"11\"],\"answer\":1,\"explain\":\"中间的数是73、74、75、76、77、78、79、80、81、82,共10个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"100以内,数字5出现在几个数里?\",\"options\":[\"18个\",\"19个\",\"20个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"个位是5的有5、15、25、35、45、55、65、75、85、95共10个;十位是5的有50~59共10个;其中55被数了两次,所以共10+10-1=19个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"跳数 2、4、6、8……数出的都是双数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。2、4、6、8……是双数;1、3、5、7……是单数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 从1数到100,拐弯数(29→30、39→40、99→100)是关键\n- 几个十和几个一组成几十几\n- 双数:2、4、6、8……;单数:1、3、5、7……\n- 按顺序数数,正着数、倒着数都要熟练" + }, + { + "id": "calc-52", + "title": "分类整理与正字计数", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "按不同标准分类,用正字记录并统计数据", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n生活中经常要把杂乱的东西整理清楚。本课学习按不同标准分类,并学会用正字记录和统计数据。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:按不同标准分类\n分类就是把事物按共同特征分组。注意:分类标准不同,结果也不同。要\"先想好按什么分,再动手分\"。\n\n**例1** 把红色方块、蓝色圆圈、红色三角、蓝色方块、红色圆圈分类。\n【思路】可以按颜色分,也可以按形状分。\n【解答】按颜色分:红色3个(红色方块、红色三角、红色圆圈),蓝色2个(蓝色圆圈、蓝色方块);按形状分:方块2个、圆圈2个、三角1个。\n【提醒】同一堆物品,按不同标准分,结果不同。\n\n**例2** 整理书包:书放一层,本子放一层,文具盒放一层。\n【解答】这就是分类在生活中的应用——把物品按类别分开摆放。\n\n### 概念/方法 2:正字计数与统计表\n一个正字有5画,一画代表1个。记录时一笔一笔地画正字,最后数有几个正字、几画,就知道总数。\n\n**例3** 统计一个路口5分钟内通过的车辆:小轿车记作正正,公交车记作正,摩托车记作正丅,各有多少辆?\n【思路】一个正字是5,正字数完再数零头笔画。\n【解答】小轿车:两个正字,5+5=10辆;公交车:一个正字,5辆;摩托车:一个正字加2画,5+2=7辆。\n【验算】一笔一笔地数,结果相同。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 画正字时多画、漏画笔画:一画代表1个,要画一笔数一个\n- 只数正字的个数,忘记加上剩余的零头笔画\n- 分类标准不统一,分着分着换了标准\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把红色方块、蓝色圆圈、红色三角、蓝色方块、红色圆圈按颜色分,红色的有几个?\",\"options\":[\"2个\",\"3个\",\"5个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"红色的有:红色方块、红色三角、红色圆圈,共3个;蓝色的有2个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把上面这些物品按形状分,可以分成几类?\",\"options\":[\"2类\",\"3类\",\"4类\"],\"answer\":1,\"explain\":\"按形状分成方块、圆圈、三角共3类:方块2个、圆圈2个、三角1个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"分类的标准不同,分类的结果也不同。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。同一堆物品,按颜色分和按形状分,结果不一样。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正字有( )画,用正字计数时一画代表1个。\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"正字共5画,所以一个正字代表5个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用正字计数,两个正字代表( )个。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"一个正字代表5,两个正字是5+5=10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"统计路口车辆,小轿车记作正正,小轿车有几辆?\",\"options\":[\"5辆\",\"10辆\",\"20辆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一个正字5辆,两个正字是10辆。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"摩托车记作正丅(一个正字加2画),摩托车有几辆?\",\"options\":[\"6辆\",\"7辆\",\"8辆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一个正字是5,再加2画,5+2=7辆。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用正字记录:★★★★★★★★ 共有( )个。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"8个★记作一个正字加3画,5+3=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用正字记录:◆◆◆◆◆◆ 共有( )个。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"6个◆记作一个正字加1画,5+1=6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"整理书包时把书、本子、文具盒分层放置,就用到了分类的思想。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。把不同的物品按类别分层放好,这就是分类。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分类:把事物按共同特征分组,先想好标准再动手\n- 分类标准不同,结果不同\n- 正字计数:一个正字5画,一画代表1个\n- 统计数据可以整理成统计表,一目了然" + }, + { + "id": "calc-53", + "title": "枚举法:有序列举不重不漏", + "grade": "二~三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "按顺序枚举所有可能性,做到不重复不遗漏", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n可能性不多的时候,可以一个一个列举出来。本课学习有序枚举:把所有可能性按顺序列举出来,不重复、不遗漏。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:有序枚举\n枚举口诀:先分类后枚举,按顺序不重复。\n\n**例1** 用1、2、3能组成几个不同的两位数?\n【思路】按十位分类,固定十位再换十位,依次枚举。\n【解答】十位是1:12、13;十位是2:21、23;十位是3:31、32。共6个。\n【验算】十位有3种选择,个位各有2种选择,3×2=6,正好对上,说明没重没漏。\n【提醒】12 和 21 数字相同但位置不同,是两个不同的两位数,都要算。\n\n**例2** 用0、1、2能组成几个不同的两位数?\n【思路】注意0不能做十位!十位只能是1或2。\n【解答】十位是1:10、12;十位是2:20、21。共4个。\n【提醒】数字里有0时,要先排除0做首位的情况。\n\n### 概念/方法 2:列表法与简单搭配\n**例3** 小明有2件上衣(红、蓝)和3条裤子(黑、白、灰),一共有几种搭配方法?\n【思路】先固定上衣,再依次枚举裤子。\n【解答】红上衣配黑裤、白裤、灰裤,3种;蓝上衣配黑裤、白裤、灰裤,3种。共3+3=6种。\n【验算】2×3=6,结果一致。\n\n**例4** 从A、B、C三个地点中选两个去旅游,有几种选法?\n【解答】AB、AC、BC,共3种。选地点不分先后,AB和BA算同一种选法。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 枚举没有顺序,想到哪写到哪,造成重复或遗漏\n- 含0的数字问题中,把0做首位的情况也算进去\n- 分不清顺序是否影响结果:组两位数时12和21不同,选地点时AB和BA相同\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用1、2、3能组成( )个不同的两位数。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"有序枚举:12、13、21、23、31、32,共6个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用1、2、3组成的两位数中,最大的是( )。\",\"answers\":[\"32\"],\"explain\":\"枚举出的6个两位数是12、13、21、23、31、32,最大的是32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明有2件上衣(红、蓝)和3条裤子(黑、白、灰),一共有( )种搭配方法。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"红上衣配黑、白、灰3种,蓝上衣配黑、白、灰3种,3+3=6种。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从A、B、C三个地点中选两个去旅游,有几种选法?\",\"options\":[\"2种\",\"3种\",\"6种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"枚举:AB、AC、BC,共3种(选地点不分先后)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用0、1、2能组成( )个不同的两位数。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"0不能做十位:十位是1有10、12,十位是2有20、21,共4个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个不是0、1、2组成的两位数?\",\"options\":[\"10\",\"02\",\"20\"],\"answer\":1,\"explain\":\"0不能做十位,02不是两位数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"有序枚举的关键是按一定顺序列举,做到不重复、不遗漏。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。枚举口诀:先分类后枚举,按顺序不重复。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"12和21由相同的数字组成,所以是同一个两位数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。数字的位置不同,数就不同,12和21是两个不同的两位数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用1、2、3组成的两位数中,十位是1的有( )个。\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"十位是1的有12、13,共2个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用1、2、3组成的两位数中,十位上的数比个位上的数大的有几个?\",\"options\":[\"2个\",\"3个\",\"4个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"枚举6个两位数12、13、21、23、31、32,十位大于个位的有21、31、32,共3个。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 有序枚举:按一定顺序列举所有可能性,不重复、不遗漏\n- 先分类后枚举:先固定一个位置,再换下一个\n- 数字中有0时,0不能做最高位\n- 列表法能把枚举结果整理得清楚整齐" + }, + { + "id": "calc-54", + "title": "加法原理:分类用加法", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "任务分类完成时,把各类方法数相加", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n枚举法要一个一个列出来,可能性多了就很麻烦。从这节课起学习\"不用数就能算\"的计数原理,先学加法原理。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:加法原理\n完成一件事有 n 类方法,每类分别有 m₁、m₂……种,总方法数 = m₁+m₂+…。\n区分关键:分类用加法(\"要么……要么……\")。\n\n**例1** 从A地到B地可以坐火车、汽车或飞机,一共有几种走法?\n【思路】坐任何一种交通工具都能到达目的地,这是分类完成。\n【解答】3类方法,共3种走法。\n【提醒】\"分类\"的意思是:做其中任何一件,都算完成了这件事。\n\n**例2** 书架上有5本故事书、4本科技书、3本漫画书,借一本,有几种选法?\n【思路】任务是借\"一本\",随便拿哪一本都算完成,分三类。\n【解答】5+4+3=12种。\n【验算】三类分别数:5、4、3,加起来12。\n\n### 概念/方法 2:识别\"分类\"\n**例3** 班里有男生10人、女生12人,任选一名同学当旗手,有几种选法?\n【思路】选一名就够,男生、女生是两类。\n【解答】10+12=22种。\n【提醒】先问自己:任务要求做几件事?只做一件就完成,用加法。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把分类的任务当成乘法来算(乘法用于分步任务,下节课学)\n- 分类时出现重叠,同一件东西被算进两类\n- 漏数某一类的方法数\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"加法原理:完成一件事有若干类方法,总方法数等于?\",\"options\":[\"各类方法数相加\",\"各类方法数相乘\",\"最多那一类的方法数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"完成一件事有n类方法,每类分别有m₁、m₂……种,总数=m₁+m₂+…,分类用加法。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从A地到B地可以坐火车、汽车或飞机,一共有( )种走法。\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"三类交通工具,任选一种都能到达,3种走法,用加法原理。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书架上有5本故事书、4本科技书、3本漫画书,借一本,有( )种选法。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"借一本,随便拿哪本都算完成任务,分类相加:5+4+3=12。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明有3个红球、2个蓝球,任取一个,有几种取法?\",\"options\":[\"5种\",\"6种\",\"1种\"],\"answer\":0,\"explain\":\"取一个球就完成,分类用加法:3+2=5种。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"加法原理适用的任务,关键词是?\",\"options\":[\"分类\",\"分步\",\"排队\",\"搭配\"],\"answer\":0,\"explain\":\"分类用加法(要么……要么……);分步才用乘法(先……再……)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"加法原理用于需要分几个步骤才能完成的任务。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。分步完成的任务用乘法原理;分类完成的任务才用加法原理。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"班里男生有10人、女生有12人,任选一名同学当旗手,有( )种选法。\",\"answers\":[\"22\"],\"explain\":\"任选一名,分类相加:10+12=22种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"文具店有6种铅笔、4种钢笔,买一支笔,有( )种买法。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"买一支笔就完成,6+4=10种。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用加法原理时,总方法数等于各类方法数相乘。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。加法原理是各类方法数相加;相乘是乘法原理。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个任务用加法原理?\",\"options\":[\"选一件上衣和一条裤子\",\"从书架上借一本书\",\"三类书各借一本\"],\"answer\":1,\"explain\":\"借一本书,拿一本就完成,分类用加法。另外两个都要分两步(或三步)完成,用乘法。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 加法原理:完成任务分 n 类,总方法数 = 各类方法数相加\n- 关键词:分类、\"要么……要么……\"、\"任取一个\"\n- 判断标准:做任何一件都算完成任务,就用加法\n- 注意各类之间不能重叠" + }, + { + "id": "calc-55", + "title": "乘法原理:分步用乘法", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "任务分步完成时,把各步方法数相乘", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了分类用加法。本课学分步用乘法——乘法原理,并学会区分两个原理。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:乘法原理\n完成一件事需要分成 n 个步骤,每步分别有 m₁、m₂……种方法,总方法数 = m₁×m₂×…。\n区分关键:分步用乘法(\"先……再……\")。\n\n**例1** 选一件上衣和一条裤子,上衣有3种、裤子有4种,有几种选法?\n【思路】这件事要分两步:先选上衣,再选裤子。\n【解答】3×4=12种。\n\n**例2** 从学校到电影院有3条路,从电影院到公园有2条路,从学校经电影院到公园有几种走法?\n【思路】分两步走:第一步学校→电影院,第二步电影院→公园。\n【解答】3×2=6种。\n【验算】把6种走法一一列举出来,正好6种,不多不少。\n\n**例3** 早餐店有4种主食(包子、馒头、油条、面包)和3种饮料(豆浆、牛奶、果汁),选一种主食和一种饮料,有几种搭配?\n【解答】4×3=12种。\n\n### 概念/方法 2:区分加法原理与乘法原理\n分类用加法(\"要么……要么……\"),分步用乘法(\"先……再……\")。\n\n**例4** 书架上有5本故事书、4本科技书、3本漫画书。\n- 借一本:拿一本就完成,分类用加法,5+4+3=12种;\n- 三类各借一本:要分三步才完成,分步用乘法,5×4×3=60种。\n【提醒】同样的书架,一字之差(\"一本\"与\"各一本\"),方法完全不同。审题先问:做几件事才算完成?\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 分类用了乘法、分步用了加法:先判断任务性质\n- 步骤数漏数:要所有步骤都做完才算完成任务\n- 混淆\"借一本\"与\"各借一本\"\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"乘法原理:完成一件事需要分成几个步骤,总方法数等于?\",\"options\":[\"各步方法数相乘\",\"各步方法数相加\",\"最后一步的方法数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"完成一件事有n个步骤,每步分别有m₁、m₂……种,总数=m₁×m₂×…,分步用乘法。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从学校到电影院有3条路,从电影院到公园有2条路,从学校经电影院到公园有( )种走法。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"分两步:先学校→电影院(3种),再电影院→公园(2种),3×2=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"早餐店有4种主食和3种饮料,选一种主食和一种饮料,有( )种搭配。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"先选主食4种,再选饮料3种,4×3=12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书架上有5本故事书、4本科技书、3本漫画书,三类各借一本,有( )种借法。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"分三步:故事书5种、科技书4种、漫画书3种,5×4×3=60。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上衣有3种、裤子有4种,选一件上衣和一条裤子,有几种选法?\",\"options\":[\"7种\",\"12种\",\"24种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"先选上衣再选裤子,分步用乘法:3×4=12。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"乘法原理适用的任务,关键词是?\",\"options\":[\"分类\",\"分步\",\"至少\",\"相同\"],\"answer\":1,\"explain\":\"分步用乘法(先……再……);分类才用加法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从书架上借一本书这个任务,要用乘法原理解决。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。借一本,拿一本就完成,是分类任务,用加法原理。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从3件上衣中选一件、2条裤子中选一条、2顶帽子中选一顶搭配,有( )种搭法。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"分三步:3×2×2=12。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"区分加法原理和乘法原理,要看任务是分类完成还是分步完成。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。分类用加法(要么……要么……),分步用乘法(先……再……)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一张桌子配一把椅子为一套,桌子有4种、椅子有3种,有( )种配法。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"先选桌子再选椅子,4×3=12。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 乘法原理:完成任务分 n 步,总方法数 = 各步方法数相乘\n- 关键词:分步、\"先……再……\"\n- 分类用加法,分步用乘法\n- 审题第一步:弄清做几件事才算完成任务" + }, + { + "id": "calc-56", + "title": "排列初步:排列与阶乘", + "grade": "四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "认识与顺序有关的排列,学会阶乘的意义与计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n乘法原理告诉我们分步相乘。本课正式研究\"顺序\"问题:什么是排列,什么是阶乘。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:排列的概念\n从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n),按一定顺序排成一列,叫做排列。\n关键特征:顺序有关,交换位置算不同结果。\n例:从A、B、C中取2个排列:AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6种。\n\n生活例子区分:\n- 排队站位(AB和BA不同)→ 排列\n- 选人组队(AB和BA相同)→ 组合(后面的课学)\n\n计算排列用\"填空法\":画几个空位,每个空位有几种选择,依次乘起来。\n\n**例1** 甲、乙、丙3人排成一排照相,有几种排法?\n【思路】3个位置:□□□,逐个填空。\n【解答】第1个位置3种选择,第2个位置2种,第3个位置1种,共3×2×1=3!=6种。\n【验算】枚举:甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲,正好6种。\n\n**例2** 甲、乙、丙、丁4人坐一排4把椅子,甲必须坐最左边,有几种坐法?\n【思路】有约束的元素先安排:先把甲固定在最左边,再排其余3人。\n【解答】3×2×1=6种。\n【提醒】有条件限制时,先安排受限制的元素。\n\n### 概念/方法 2:阶乘\nn! = n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1,特别规定 0!=1。\n从小数字记起:1!=1,2!=2,3!=6,4!=24,5!=120,6!=720。\n全排列:n 个人全部排队 = n!,如 A(4,4)=4!=24。\n\n**例3** 计算 3! 和 5!。\n【解答】3!=3×2×1=6;5!=5×4×3×2×1=120。\n【提醒】阶乘要一直乘到1,不能半途停下。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 排列与组合混淆:排列讲顺序,组合不讲顺序,审题时要判断\n- 阶乘计算漏乘:把5!算成5×4×3=60(少了×2×1)\n- 有约束条件(某人必须站某处)时没有先安排受约束的元素\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"排列的关键特征是?\",\"options\":[\"顺序有关\",\"顺序无关\",\"元素必须相同\",\"不能重复选取\"],\"answer\":0,\"explain\":\"排列讲顺序,交换位置算不同结果,如AB和BA是两种排法。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从A、B、C中取2个排成一列,共有( )种排法。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"枚举:AB、BA、AC、CA、BC、CB,共6种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"3! = ( )\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"3!=3×2×1=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5! = ( )\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"5!=5×4×3×2×1=120,要一直乘到1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"按约定,0! = ( )\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"特别规定0!=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲、乙、丙3人排成一排照相,有( )种排法。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"填空法:第一个位置3种,第二个2种,第三个1种,3×2×1=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"4个小朋友排成一排做游戏,有( )种排法。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"4×3×2×1=4!=24。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲、乙、丙、丁4人坐一排4把椅子,甲必须坐最左边,有几种坐法?\",\"options\":[\"6种\",\"12种\",\"24种\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先固定甲在最左边,剩下3人在3个位置上全排列:3×2×1=6种。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"AB和BA的元素相同,所以它们是同一种排法。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。排列讲顺序,AB和BA位置不同,是两种不同的排法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"5! = 5×4×3 = 60。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。5!=5×4×3×2×1=120,漏乘了2和1。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 排列:从n个不同元素中取m个按顺序排成一列,顺序有关\n- 填空法:画空位,数每位的选法,依次相乘\n- n!=n×(n-1)×…×2×1,0!=1\n- n个元素全排列有n!种" + }, + { + "id": "calc-57", + "title": "排列数公式A(n,m)", + "grade": "四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "用填空法与排列数公式计数,处理首位含0问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课认识了排列和阶乘。本课学习排列数公式 A(n,m),用填空法解决各类排列计数问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:排列数公式\n从 n 个不同元素中取 m 个的排列数,记为 A(n,m) 或 P(n,m):\nA(n,m) = n×(n-1)×(n-2)×…(共 m 个连续递减的数相乘)\n全排列:A(n,n) = n!,例如 A(4,4)=4!=24。\n\n**例1** 计算 A(5,3)。\n【思路】从5开始,连续写3个递减的数相乘。\n【解答】A(5,3)=5×4×3=60。\n【提醒】一共乘 m 个数,不多不少。\n\n### 概念/方法 2:填空法解应用题\n**例2** 从5名同学中选3人分别担任班长、学委、体委,有几种选法?\n【思路】三个职位不同(有顺序)→ 排列问题。画3个职位空位逐个填。\n【解答】班长:5人选1,5种;学委:剩4人,4种;体委:剩3人,3种。共5×4×3=A(5,3)=60种。\n\n**例3** 用1、2、3、4能组成多少个没有重复数字的三位数?\n【思路】百位、十位、个位三个空位,数字不能重复。\n【解答】百位4种,十位3种,个位2种,共4×3×2=A(4,3)=24个。\n\n**例4** 用0、1、2、3能组成多少个没有重复数字的三位数?\n【思路】0不能做百位!百位先定,其余位再放开。\n【解答】百位只能是1、2、3:3种;十位从剩下3个数(含0)中选:3种;个位:2种。共3×3×2=18个。\n【提醒】含0的数字问题,首位要单独处理。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 排列与组合混淆:\"分别担任\"\"排队\"\"排列\"等词提示顺序有关,是排列\n- 含0的排列中忘记排除0做首位的情况\n- A(n,m) 相乘的个数数错:应是 m 个连续递减的数\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:A(5,3) = ( )\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"A(5,3)=5×4×3=60,共3个连续递减的数相乘。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:A(6,2) = ( )\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"A(6,2)=6×5=30。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:A(5,4) = ( )\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"A(5,4)=5×4×3×2=120。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:6! = ( )\",\"answers\":[\"720\"],\"explain\":\"6!=6×5×4×3×2×1=720。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:7!/5! = ( )\",\"answers\":[\"42\"],\"explain\":\"7!/5!=(7×6×5!)/5!=7×6=42。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从5名同学中选3人分别担任班长、学委、体委,有( )种选法。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"职位不同、顺序有关,是排列:5×4×3=A(5,3)=60。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用1、2、3、4能组成( )个没有重复数字的三位数。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"百位4种、十位3种、个位2种,4×3×2=A(4,3)=24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用0、1、2、3能组成( )个没有重复数字的三位数。\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"0不能做百位:百位3种(1、2、3),十位从剩下3个数里选有3种,个位2种,3×3×2=18。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从7名运动员中选3人分别参加100米、200米、400米比赛,有( )种选法。\",\"answers\":[\"210\"],\"explain\":\"项目不同、顺序有关:A(7,3)=7×6×5=210。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"全排列 A(n,n) = n!。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。n个元素全部排列,n×(n-1)×…×1正好是n!。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- A(n,m)=n×(n-1)×…(共m个数相乘),A(n,n)=n!\n- 填空法:画出空位,逐位数选法,依次相乘\n- 职位不同、位置不同,都属于排列问题\n- 数字含0时,最高位要单独处理" + }, + { + "id": "calc-58", + "title": "组合初步:组合与组合数", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "认识顺序无关的组合,掌握组合数公式C(n,m)", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n排队站位讲顺序,选人组队不讲顺序。本课学习组合与组合数公式,并分清它和排列的区别。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:组合的概念\n从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)组成一组,叫做组合。\n关键特征:顺序无关,交换位置算同一种。\n例:从A、B、C中取2个组合:AB、AC、BC,共3种。\n\n用\"选人\"场景区分:\n- 从5个人中选2人打扫教室:选甲乙和选乙甲一样 → 组合\n- 从5个人中选正、副班长:甲正乙副 ≠ 甲副乙正 → 排列\n\n口诀:排列有序组合乱,排列除阶乘变组合。\n\n### 概念/方法 2:组合数公式\nC(n,m) = A(n,m) ÷ m!,也就是:\nC(n,m) = n×(n-1)×…×(n-m+1) ÷ m×(m-1)×…×1\n\n为什么要除以 m!? 因为排列把每一组重复算了 m! 次:\n- 选2人:每对被算了2!=2次 → C(n,2)=A(n,2)÷2\n- 选3人:每组被算了3!=6次 → C(n,3)=A(n,3)÷6\n\n**例1** 从5名同学中选2人参加朗诵比赛,有几种选法?\n【思路】选2人组队,不分先后 → 组合。\n【解答】C(5,2)=(5×4)/(2×1)=20÷2=10种。\n\n**例2** 计算 C(6,3)。\n【解答】C(6,3)=(6×5×4)/(3×2×1)=120÷6=20。\n【提醒】分子从6开始连乘3个数,分母是3!,都别漏。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 排列组合判断错误:审题关键是看\"交换后结果是否不同\"\n- 组合计算时忘记除以m!,直接用排列数当组合数\n- 关键词提示:\"选取\"\"组队\"\"一组\" → 组合;\"排列\"\"排队\"\"分别担任\" → 排列\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"组合的关键特征是?\",\"options\":[\"顺序无关\",\"顺序有关\",\"必须站成一排\",\"元素要重复选取\"],\"answer\":0,\"explain\":\"组合不讲顺序,交换位置算同一种,如选甲乙和选乙甲一样。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从A、B、C中取2个组成一组,共有( )种取法。\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"枚举:AB、AC、BC,共3种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:C(5,2) = ( )\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"C(5,2)=(5×4)/(2×1)=20/2=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:C(6,3) = ( )\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"C(6,3)=(6×5×4)/(3×2×1)=120/6=20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:C(6,2) = ( )\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"C(6,2)=(6×5)/(2×1)=30/2=15。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"根据 C(n,m)=C(n,n-m),C(7,2) 等于下面哪个?\",\"options\":[\"C(7,5)\",\"C(7,3)\",\"C(5,2)\"],\"answer\":0,\"explain\":\"选2个等于留下5个,所以C(7,2)=C(7,5)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从5名同学中选2人参加朗诵比赛,有( )种选法。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"选2人组队不分先后,是组合:C(5,2)=(5×4)/(2×1)=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从8本书中选3本借阅,有( )种选法。\",\"answers\":[\"56\"],\"explain\":\"选书不分顺序:C(8,3)=(8×7×6)/(3×2×1)=56。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从4男3女中选2男1女参加活动,有( )种选法。\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"分两类人选:选2男C(4,2)=6种,选1女C(3,1)=3种,再相乘:6×3=18。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"C(5,2) 与 A(5,2) 的计算结果相同。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。A(5,2)=5×4=20,C(5,2)=20÷2=10,组合要在排列基础上除以m!。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 组合:顺序无关,交换位置算同一种\n- C(n,m)=A(n,m)÷m!:排列数除以重复次数\n- 判断依据:交换后结果是否不同\n- C(n,m)=C(n,n-m);C(n,0)=1,C(n,1)=n,C(n,n)=1" + }, + { + "id": "calc-59", + "title": "组合的应用:握手、线段与循环赛", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 3, + "summary": "用组合数解决握手、连线段、单循环比赛问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学会了组合数公式。本课用组合数解决握手、连线段、单循环比赛等经典问题,并认识组合数的性质。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:组合数的性质\n- C(n,m) = C(n,n-m):选 m 个 = 留下 n-m 个\n- C(n,0)=1,C(n,1)=n,C(n,n)=1\n\n### 概念/方法 2:\"每两个一次\"的经典模型\n握手、连线段、单循环比赛,都是\"从 n 个里每次取 2 个、不分顺序\",用 C(n,2)=n×(n-1)÷2。\n\n**例1** 平面上有6个点(任意3点不共线),可以连成几条线段?\n【思路】每2个点连一条线段,线段AB和BA是同一条 → 组合。\n【解答】C(6,2)=(6×5)/(2×1)=15条。\n\n**例2** 10个人进行乒乓球单打比赛,每两人赛一场,共需赛几场?\n【思路】每2人赛一场,不分先后 → 组合。\n【解答】C(10,2)=(10×9)/2=45场。\n\n**例3** 一个班有45人,每两人握一次手,共握手几次?\n【解答】C(45,2)=45×44÷2=990次。\n【提醒】45×44 把每次握手都数了两遍(甲握乙、乙握甲),所以要除以2。\n\n### 概念/方法 3:取3个的模型与分组去重\n**例4** 一条直线上有8个点,可以组成多少条线段?\n【解答】C(8,2)=8×7÷2=28条。\n延伸:若平面内有8个点、任意3点不共线,可组成多少个三角形?每3点定一个三角形,C(8,3)=56个。\n【提醒】源练习中说\"一条直线上8个点组成三角形\",但三点在一条直线上是围不成三角形的;三角形问题应按\"平面内8个点、任意3点不共线\"来理解。\n\n**例5**(分组去重)把6人平均分成2组。\n【解答】先选3人出来 C(6,3)=20,但两组没有名称、先后之分,每种分法被数了两次,要再除以2!,答案是20÷2=10种。\n【提醒】平均分成无区别的组,要除以组数的阶乘去掉重复。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 排列组合判断错误:看交换后结果是否不同\n- 握手问题忘记除以2,把次数算成 n×(n-1)\n- 分组问题中重复计数:平均分组要再除以组数的阶乘\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平面上有6个点(任意3点不共线),可以连成( )条线段。\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"每2个点连一条线段,无序:C(6,2)=(6×5)/(2×1)=15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"10个人进行乒乓球单打比赛,每两人赛一场,共需赛( )场。\",\"answers\":[\"45\"],\"explain\":\"每2人赛一场,无序:C(10,2)=(10×9)/2=45场。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个班有45人,每两人握一次手,共握手( )次。\",\"answers\":[\"990\"],\"explain\":\"C(45,2)=45×44÷2=990次。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一条直线上有8个点,可以组成( )条线段。\",\"answers\":[\"28\"],\"explain\":\"每2个点确定一条线段:C(8,2)=8×7÷2=28。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"平面内有8个点,任意3点不共线,可以组成多少个三角形?\",\"options\":[\"28个\",\"56个\",\"336个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"每3个点组成一个三角形:C(8,3)=(8×7×6)/(3×2×1)=56个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"组合数的性质:C(n,m) 等于?\",\"options\":[\"C(n,n-m)\",\"C(m,n)\",\"n×m\"],\"answer\":0,\"explain\":\"选m个留下,等价于留下n-m个,所以C(n,m)=C(n,n-m)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"C(10,1) = ( )\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"性质C(n,1)=n:从10个里选1个,有10种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"C(9,0) = ( )\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"性质C(n,0)=1:一个都不选,只有1种情况。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把6人平均分成2组,方法数直接用 C(6,3)=20 就可以了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。两组本身没有先后、名称之分,每种分法被数了两次,应再除以2!,即20÷2=10种。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"线段AB和线段BA是同一条线段,所以连线段问题是组合问题。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。交换两个端点结果不变,无序,用组合数C(n,2)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- C(n,m)=C(n,n-m);C(n,0)=1,C(n,1)=n,C(n,n)=1\n- 握手、连线段、单循环比赛都用 C(n,2)=n×(n-1)÷2\n- 每3个一组的问题用 C(n,3)\n- 平均分成无区别的组,要除以组数的阶乘去重" + }, + { + "id": "calc-60", + "title": "树形图与图示法", + "grade": "二~五年级", + "difficulty": 1, + "summary": "用树形图、列表法、连线法计数全部方案", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n可能性一多,枚举就容易乱。本课学习用树形图、列表法、连线法把所有方案清楚地表示出来再计数。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:树形图的画法与计数\n- 从起点出发,把每一步的选择画成分支\n- 每个分支代表一种可能,沿着分支走到底就是一个完整方案\n- 画树形图要有序、不遗漏:按固定顺序排列第一层,记住\"先定后变\"\n\n计数方法:数清所有叶子节点(最末端的点)就是总方案数;也可以用乘法原理验证——每层分支数相乘 = 总方案数。\n\n**例1** 小明有2件上衣(红、蓝)和3条裤子(黑、白、灰),有几种搭配?\n【思路】第一层画上衣,每个分支下再画3条裤子。\n【解答】红上衣下3片叶子,蓝上衣下3片叶子,共6片叶子,6种搭配。\n【验算】2×3=6,乘法原理验证一致。\n\n**例2** 用1、2、3三张卡片组成三位数,能组成几个?\n【思路】百位→十位→个位逐层展开,先固定百位。\n【解答】百位是1:123、132;百位是2:213、231;百位是3:312、321。共6个。\n【提醒】若数字中含0,要排除首位为0的情况(如02不是两位数)。\n\n### 概念/方法 2:列表法与连线法\n列表法:用表格把所有可能情况一一列出,适合两个变量搭配的问题。口诀:横行一类,纵列一类,交叉就是搭配。\n连线法:把两类事物分别列出,用连线表示搭配,线的总数就是搭配方法数。\n\n**例3** 学校食堂有3种菜和2种汤,选一种菜和一种汤有几种搭配?\n【解答】横行写3种菜,纵列写2种汤,交叉格共3×2=6个,即6种搭配。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 画树形图时分支顺序混乱,导致重复或遗漏(要按固定顺序排列)\n- 忘记数完所有叶子节点,只数了某几层\n- 含0的数字问题中没有排除首位为0的情况\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2件上衣(红、蓝)和3条裤子(黑、白、灰),一共有( )种搭配。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"树形图:每件上衣各配3条裤子,2个分支各长出3片叶子,共6种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用1、2、3三张卡片组成三位数,能组成( )个。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"123、132、213、231、312、321,共6个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"掷两枚硬币,可能出现的结果有几种?\",\"options\":[\"2种\",\"3种\",\"4种\"],\"answer\":2,\"explain\":\"画树形图:正正、正反、反正、反反,共4种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"学校食堂有3种菜和2种汤,选一种菜和一种汤,有( )种搭配。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"3×2=6,用列表法可以一一列出全部6种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从甲地到乙地有2条路,从乙地到丙地有3条路,从丙地到丁地有2条路,从甲地到丁地有( )种走法。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"分三步:2×3×2=12,可画树形图逐层展开验证。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用树形图计数时,总方案数等于?\",\"options\":[\"叶子节点(最末端的点)的个数\",\"第一层分支的个数\",\"层数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"沿分支走到底就是一个完整方案,数清所有叶子节点就是总方案数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"画树形图时要先定后变、按固定顺序展开,才能不重复、不遗漏。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。先固定第一个位置列出所有可能,再换第二个,依次类推。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"列表法的口诀是:横行一类,纵列一类,交叉就是搭配。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。列表法适合两个变量搭配的问题。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"树形图第一层有3种选择,每种下面第二层各有2种选择,叶子节点共有几个?\",\"options\":[\"5个\",\"6个\",\"8个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"每层分支数相乘:3×2=6个叶子。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用连线法把4种笔和3种本一一搭配,共要连几条线?\",\"options\":[\"7条\",\"12条\",\"24条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"线的总数就是搭配方法数:4×3=12条。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 树形图:从起点逐层画分支,先定后变,不重不漏\n- 数叶子节点 = 总方案数,可用乘法原理验证\n- 列表法:横行一类、纵列一类,交叉就是搭配\n- 连线法:线的总数就是搭配方法数" + }, + { + "id": "calc-61", + "title": "包含与排除(一):两集合问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握两集合容斥公式与韦恩图", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n两类人有重叠时,总数不能简单相加。本课学习两集合的容斥原理(包含与排除)和韦恩图。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:两集合容斥\n公式:|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|\n含义:两个集合的总数 = A的个数 + B的个数 - 两者都有的个数。\n原因:A∩B 被重复算了一次,要减去。\n口诀:先加后减,不重不漏。\n\n**例1** 全班40人,喜欢数学的有25人,喜欢语文的有22人,两科都喜欢的有几人?(每人至少喜欢一科)\n【思路】设都喜欢的人数为x,由容斥原理列式。\n【解答】25+22-x=40,47-x=40,x=7。两科都喜欢的有7人。\n【验算】只喜欢数学25-7=18人,只喜欢语文22-7=15人,18+15+7=40,正好全班人数。\n\n**例2** 某校100名学生中,订阅《数学报》的有65人,订阅《语文报》的有58人,两份都没订的有12人。两份都订的有几人?\n【思路】先求至少订一份的人数,再用容斥。\n【解答】至少订一份:100-12=88人;两份都订:65+58-88=35人。\n\n### 概念/方法 2:韦恩图与常用推论\n韦恩图(文氏图):用两个重叠的圆表示集合,重叠部分表示两个集合都有的元素。画图时先填重叠部分,再填各自独有的部分。\n常用推论:\n- 只属于A的 = |A| - |A∩B|\n- 至少属于一个的 = |A∪B|\n- 两个都不属于的 = 总数 - |A∪B|\n\n**例3** 1~100中,能被3整除或能被5整除的数有几个?\n【思路】能被15整除的数被两类重复计算,要排除。\n【解答】能被3整除:100÷3=33(取整),33个;能被5整除:100÷5=20,20个;能被15整除:100÷15=6,6个。共33+20-6=47个。\n【提醒】求1~n中m的倍数的个数,用n÷m取整。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 忘记减去重叠部分:直接把A+B当成总数\n- \"至少属于一个\"和\"总数\"混淆:有人两个都不属于时,要用总数先减去这部分\n- 求\"只属于A\"时忘记减去重叠部分\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两集合容斥公式 |A∪B| = ?\",\"options\":[\"|A|+|B|\",\"|A|+|B|-|A∩B|\",\"|A|×|B|\"],\"answer\":1,\"explain\":\"总数=A的个数+B的个数-两者都有的个数,重叠部分被算了两次,要减去一次。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班40人,喜欢数学的有25人,喜欢语文的有22人,每人至少喜欢一科,两科都喜欢的有( )人。\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"设都喜欢的有x人:25+22-x=40,解得x=7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班45人,会游泳的有28人,会骑车的有32人,每人至少会一样,两样都会的有( )人。\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"28+32-45=15人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某兴趣小组有30人,参加绘画的有18人,参加书法的有15人,每人至少参加一项,只参加绘画的有( )人。\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"两项都参加:18+15-30=3人;只参加绘画:18-3=15人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上题,只参加书法的有( )人。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"只参加书法:15-3=12人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1~100中,能被3整除或能被5整除的数有( )个。\",\"answers\":[\"47\"],\"explain\":\"能被3整除33个,能被5整除20个,能被15整除6个:33+20-6=47。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1~50中,是2的倍数或是3的倍数的数有( )个。\",\"answers\":[\"33\"],\"explain\":\"2的倍数50÷2=25个,3的倍数50÷3取整=16个,6的倍数50÷6取整=8个:25+16-8=33。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某校100名学生中,订阅数学报的有65人,订阅语文报的有58人,两份都没订的有12人,两份都订的有( )人。\",\"answers\":[\"35\"],\"explain\":\"至少订一份:100-12=88;都订:65+58-88=35人。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求两组的总数时,直接把两组人数相加就行,不用考虑重叠。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。两组有重叠时,重叠的人被数了两次,必须减去一次。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"韦恩图中两个圆重叠的部分表示什么?\",\"options\":[\"只属于A的元素\",\"既属于A又属于B的元素\",\"两个都不属于的元素\"],\"answer\":1,\"explain\":\"重叠部分表示两个集合都有的元素,画图时先填重叠部分,再填各自独有的部分。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|:重叠部分被数两次,减去一次\n- 韦恩图:先填重叠部分,再填独有部分\n- 只属于A = |A|-|A∩B|;都不属于 = 总数-|A∪B|\n- 口诀:先加后减,不重不漏" + }, + { + "id": "calc-62", + "title": "包含与排除(二):三集合问题", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握三集合容斥的加减加节奏", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了两个集合的容斥。本课学习三个集合互相重叠时,怎样计数才能不重不漏。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:三集合容斥公式\n|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|\n含义:先加单个集合 → 再减两两重叠(多算了一次)→ 最后加三者重叠(被减过头了)。\n节奏记忆:加、减、加。\n\n**例1** 某班50人,参加数学竞赛的有28人、语文竞赛23人、英语竞赛18人;同时参加数学和语文的10人、数学和英语的8人、语文和英语的6人;三科都参加的3人。三科都没参加的有几人?\n【思路】先用容斥求至少参加一科的人数,再用总数减。\n【解答】至少参加一科 = 28+23+18-10-8-6+3 = 48人;三科都没参加 = 50-48 = 2人。\n【验算】用韦恩图逐块填:三科都参加3;只数学+语文10-3=7;只数学+英语8-3=5;只语文+英语6-3=3;只数学28-7-5-3=13;只语文23-7-3-3=10;只英语18-5-3-3=7。合计3+7+5+3+13+10+7=48,正确。\n【提醒】求\"只参加数学\"的:从数学总数里减去只数学+语文、只数学+英语和三科都参加的,即28-(10-3)-(8-3)-3=13。\n\n**例2** 全班50人,喜欢篮球的30人、足球的25人、乒乓球的20人;同时喜欢篮球和足球的12人、篮球和乒乓球的8人、足球和乒乓球的7人;三种都喜欢的4人。至少喜欢一种运动的有几人?\n【解答】30+25+20-12-8-7+4 = 75-27+4 = 52人。\n【提醒】本练习重点在公式流程;52超过了总人数50,实际出题时数据应当自洽,练习时以掌握方法为主。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三集合容斥中最后一项忘记加回(+A∩B∩C)\n- 忘记减去两两重叠部分\n- \"至少属于一个\"和\"总数\"混淆:题目问\"几人都不属于\"时,要用总数减去并集\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三集合容斥公式是哪个?\",\"options\":[\"|A|+|B|+|C|\",\"|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|\",\"|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|\"],\"answer\":2,\"explain\":\"先加单个集合,再减两两重叠,最后加回三者重叠。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班50人,参加数学竞赛28人、语文竞赛23人、英语竞赛18人;同时参加数学和语文10人、数学和英语8人、语文和英语6人;三科都参加3人。至少参加一科的有( )人。\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"28+23+18-10-8-6+3=48人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"接上题,三科都没参加的有( )人。\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"50-48=2人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班50人,喜欢篮球30人、足球25人、乒乓球20人;同时喜欢篮球足球12人、篮球乒乓8人、足球乒乓7人;三种都喜欢4人。至少喜欢一种运动的有( )人。\",\"answers\":[\"52\"],\"explain\":\"30+25+20-12-8-7+4=75-27+4=52人。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三集合容斥最后为什么要加回 |A∩B∩C|?\",\"options\":[\"它一开始没被计算\",\"减两两重叠时把它减过头了\",\"为了让结果变大\"],\"answer\":1,\"explain\":\"三者重叠的部分在减三个两两重叠时被多减了,所以要加回一次。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"三集合容斥的节奏是:加、减、加。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。先加单个集合,再减两两重叠,最后加三者重叠。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"运动会中,班级参加跑步15人、跳远10人、接力8人;同时参加跑步跳远4人、跑步接力3人、跳远接力2人;三项都参加1人。至少参加一项的有( )人。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"15+10+8-4-3-2+1=25人。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"计算三组的总数时,把三组人数直接相加即可。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。要按容斥公式:加单个、减两两重叠、加三者重叠,否则会重复计数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"按本课题1竞赛班的条件,只参加数学竞赛的有( )人。\",\"answers\":[\"13\"],\"explain\":\"只参加数学=28-(10-3)-(8-3)-3=28-7-5-3=13人。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"求两个都不属于的人数,应该怎么做?\",\"options\":[\"直接加上并集\",\"用总数减去并集\",\"用两两重叠去减\"],\"answer\":1,\"explain\":\"两个都不属于 = 总数 - |A∪B|(两集合时);三集合同理,先求并集再用总数减。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 三集合容斥:加单个、减两两重叠、加三者重叠\n- 三者重叠被减过头,最后必须加回\n- 求\"都不属于\":总数减去并集\n- 可用韦恩图逐块填写来验证结果" + }, + { + "id": "calc-63", + "title": "统计图表初步", + "grade": "四~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识条形、折线、扇形统计图并按需选图", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n数据会说话,图表让数据更直观。本课认识条形、折线、扇形三种统计图,学会根据需要选对图。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:三种统计图\n**条形统计图**\n- 用长条的高低(或长短)表示数据的大小\n- 特点:能直观看出各项数据的多少,便于比较\n- 分类:单式条形统计图、复式条形统计图(比较两组数据)\n- 要素:标题、横轴(类别)、纵轴(数量)、单位、直条\n\n**折线统计图**\n- 用折线的起伏表示数据的变化趋势\n- 特点:不仅能看出数据的多少,还能看出变化趋势(上升/下降/平稳)\n- 适用场景:随时间变化的数据(气温变化、成绩变化等)\n- 要素:标题、横轴(时间)、纵轴(数量)、折线、数据点\n\n**扇形统计图**\n- 用扇形面积占圆面积的比例表示各部分占总数的百分比\n- 特点:能直观看出各部分与总数的关系\n- 适用场景:表示比例、占比(班级男女比例、支出构成等)\n- 所有扇形百分比之和 = 100%\n\n记忆:条形图看\"多少\",折线图看\"变化\",扇形图看\"占比\"。\n\n**例1** 根据信息选择合适的统计图:\n(1)学校各年级人数 → 条形统计图(比较各年级多少)\n(2)小明一周体温变化 → 折线统计图(看变化趋势)\n(3)家庭月支出各项占比 → 扇形统计图(看各部分占比)\n\n### 概念/方法 2:读图与百分比计算\n读图训练:拿到统计图先问三个问题——①横轴表示什么?②纵轴表示什么?③数据说明了什么?\n\n**例2** 某班40人最喜欢的运动项目统计:篮球12人、足球10人、乒乓球8人、游泳6人、其他4人,各项占全班百分之几?\n【思路】各项百分比 = 该项人数 ÷ 总人数。\n【解答】篮球12÷40=30%;足球10÷40=25%;乒乓球8÷40=20%;游泳6÷40=15%;其他4÷40=10%。\n【验算】30%+25%+20%+15%+10%=100%,正好一个整圆。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 选错统计图类型:要看清数据是\"比较多少\"还是\"看变化\"还是\"看占比\"\n- 读折线统计图时只看数据点,不看趋势\n- 扇形图各项百分比之和不等于100%,说明计算有误\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"条形统计图最大的优点是?\",\"options\":[\"能看出变化趋势\",\"能直观看出各项数据的多少,便于比较\",\"能看出各部分与总数的关系\"],\"answer\":1,\"explain\":\"条形图用长条的高低表示数据大小,一眼看出多少、便于比较。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"记录小明一周的体温变化,选哪种统计图合适?\",\"options\":[\"条形统计图\",\"折线统计图\",\"扇形统计图\"],\"answer\":1,\"explain\":\"体温随时间变化,要看变化趋势,选折线统计图。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"统计学校各年级的人数,选哪种统计图合适?\",\"options\":[\"条形统计图\",\"折线统计图\",\"扇形统计图\"],\"answer\":0,\"explain\":\"比较各年级人数多少,选条形统计图。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"表示家庭月支出各项的占比,选哪种统计图合适?\",\"options\":[\"条形统计图\",\"折线统计图\",\"扇形统计图\"],\"answer\":2,\"explain\":\"看各部分占总数的比例,选扇形统计图。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"扇形统计图中,所有扇形的百分比之和等于100%。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。各部分占比合起来正好是整个圆,即100%。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班40人最喜欢的运动:篮球12人。最喜欢篮球的占全班的( )%。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"12÷40=0.3=30%。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"同上,足球10人,占全班的( )%。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"10÷40=25%。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"折线统计图只能看出数据的多少,看不出变化趋势。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。折线图用折线的起伏表示变化趋势,既能看出多少,又能看出上升、下降、平稳。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个不是条形统计图的要素?\",\"options\":[\"标题\",\"横轴\",\"页码\",\"纵轴\"],\"answer\":2,\"explain\":\"条形图的要素:标题、横轴(类别)、纵轴(数量)、单位、直条,没有页码。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班40人,最喜欢乒乓球的有8人,占全班的( )%。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"8÷40=20%。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 条形统计图:看多少、便于比较\n- 折线统计图:看随时间的变化趋势\n- 扇形统计图:看各部分占总数的百分比,总和为100%\n- 读图先问:横轴是什么、纵轴是什么、数据说明了什么" + }, + { + "id": "calc-64", + "title": "平均数、中位数、众数", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会求一组数据的平均数、中位数、众数", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n同一组数据,可以从不同角度描述它。本课学习三个统计量:平均数、中位数、众数。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念/方法 1:平均数\n平均数 = 总和 ÷ 个数,表示一组数据的平均水平。\n理解\"移多补少\":把多的移给少的,最后一样多,那个数就是平均数。平均数不一定等于其中任何一个数。\n\n### 概念/方法 2:中位数与众数\n- 中位数:把数据从小到大排列后,最中间的数;偶数个数据时,取中间两个数的平均值\n- 众数:出现次数最多的数\n\n**例1** 某同学5次数学考试成绩:80、85、90、88、92,求平均数、中位数、众数。\n【思路】平均数用总和÷5;中位数先排序再取中间;众数看有没有重复。\n【解答】\n(1)平均成绩=(80+85+90+88+92)÷5=435÷5=87分;\n(2)从小到大排列:80、85、88、90、92,中位数是第3个,88分;\n(3)没有重复的数,所以没有众数。\n【提醒】求中位数必须先排序!\n\n**例2** 数据 3、5、7、5、8、5、9、6,求平均数、中位数、众数。\n【解答】平均数=(3+5+7+5+8+5+9+6)÷8=48÷8=6;排序后3、5、5、5、6、7、8、9,共8个(偶数个),中位数=(5+6)÷2=5.5;5出现3次最多,众数=5。\n\n**例3** 某水果店一周的苹果销售量(千克):周一25、周二30、周三28、周四35、周五40、周六50、周日45。\n【思路】画折线统计图:横轴是星期,纵轴是销售量;再求平均每天销售量。\n【解答】一周共销售25+30+28+35+40+50+45=253千克;平均每天销售253÷7=36又1/7≈36.1千克。变化趋势:总体上升(周三略有回落),周末销量较高。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 求平均数时个数数错:总和÷个数,分母是数据的个数而非最大数\n- 求中位数时忘记先排序;偶数个数据时忘记取中间两个的平均值\n- 读折线统计图时只看数据点,不看变化趋势\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数据 80、85、90、88、92 的平均数是( )。\",\"answers\":[\"87\"],\"explain\":\"(80+85+90+88+92)÷5=435÷5=87。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数据 80、85、90、88、92 的中位数是( )。\",\"answers\":[\"88\"],\"explain\":\"先排序:80、85、88、90、92,最中间第3个是88。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"数据 80、85、90、88、92 的众数是?\",\"options\":[\"88\",\"90\",\"没有众数\"],\"answer\":2,\"explain\":\"没有重复出现的数,所以没有众数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数据 3、5、7、5、8、5、9、6 的平均数是( )。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"总和3+5+7+5+8+5+9+6=48,48÷8=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数据 3、5、7、5、8、5、9、6 的中位数是( )。\",\"answers\":[\"5.5\"],\"explain\":\"排序后3、5、5、5、6、7、8、9,共8个(偶数),取中间两个5和6的平均值:(5+6)÷2=5.5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数据 3、5、7、5、8、5、9、6 的众数是( )。\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"5出现了3次,次数最多,众数是5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"水果店一周苹果销售量(千克):25、30、28、35、40、50、45,这一周共销售( )千克。\",\"answers\":[\"253\"],\"explain\":\"总销售=25+30+28+35+40+50+45=253千克;由此平均每天销售253÷7=36又1/7≈36.1千克。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"求中位数的正确步骤是?\",\"options\":[\"直接取最中间的那个数\",\"先从小到大排序,再取中间值\",\"找出现次数最多的数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"必须先排序再取中间;偶数个数据时取中间两个的平均值。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平均数一定等于这组数据中的某一个数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。平均数不一定等于其中任何一个数,它反映的是平均水平(移多补少的结果)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求平均数时,分母是数据的个数,而不是最大的数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平均数=总和÷个数,个数数错结果就错。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 平均数=总和÷个数,反映平均水平,不一定等于某个数据\n- 中位数:先排序,再取中间(偶数个取中间两个的平均)\n- 众数:出现次数最多的数,可能没有\n- 三个统计量从不同角度描述同一组数据" + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/src/content/math/combo.json b/src/content/math/combo.json new file mode 100644 index 0000000..b34b8a7 --- /dev/null +++ b/src/content/math/combo.json @@ -0,0 +1,70 @@ +{ + "module": "combo", + "moduleName": "组合", + "points": [ + { + "id": "combo-01", + "title": "找规律:发现重复的一组", + "grade": "一~二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会找重复的一组,能接着画、接着填,并推算周期中的第几个", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n孩子在生活中已经会跟着「拍手—停—拍手」这样的节奏做动作。本课把这种「重复」变成数学眼光:学会找出重复出现的「一组」,能接着往下画、往下填,还能推算很久以后的那一个。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 什么是规律:找重复的「一组」\n\n找规律就像「猜下一个是什么」。方法:先看前面是怎么排的,找到**重复出现的一组**,再看要猜的位置是这一组里的第几个。\n\n三种基本规律:\n1. **颜色规律**:红黄红黄红黄(ABAB)\n2. **形状规律**:△○△○△○(ABAB)\n3. **数字规律**:1,2,1,2,1,2,…(周期重复)\n\n**例1**:△○□△○□△○□,下一个是什么?\n\n【思路】先圈出重复的一组:△○□ 为一组,三个一循环。最后一个 □ 之后,又从这一组的第一个开始。\n【解答】下一个是 △。\n【提醒】最容易错的是没找准「一组」有几个。拿不准就多画几组,把重复的部分圈出来再判断。\n\n**例2**:2,4,2,4,2,4,…,下一个是什么?\n\n【思路】一组是「2 和 4」,两个一循环:2 后面总是 4,4 后面总是 2。\n【解答】最后一个数是 4,下一个是 2。\n\n### 2. 数字递增、递减规律:先算相邻两个数的差\n\n有的规律不是重复,而是每次增加(或减少)同样多。方法:**先算相邻两个数的差**。\n\n**例3**:1,3,5,7,____,____\n\n【思路】3−1=2,5−3=2,7−5=2,每次 +2。\n【解答】7+2=9,9+2=11,填 9、11。\n【验算】1,3,5,7,9,11 相邻两个数的差都是 2 ✓\n同样的方法:2,4,6,8 每次 +2,接着是 10、12;5,10,15,20 每次 +5,接着是 25、30。\n\n**例4**:50,45,40,35,____,____\n\n【思路】45−50=−5,数越来越小,是递减,每次 −5。\n【解答】35−5=30,30−5=25,填 30、25。\n【提醒】看到数字变小,不要还往「加」上想。先算相邻差,再决定是加还是减。\n\n### 3. 生活里的规律:用除法找「第几个」\n\n季节、星期都是周期规律:春夏秋冬 4 个一循环,周一到周日 7 个一循环。方法:用「第几个」除以每组个数,**看余数**——余几就是一组里的第几个(余 0 就是一组里的最后一个)。\n\n**例5**:季节按春夏秋冬循环,第 13 个月是什么季节?\n\n【思路】4 个季节一循环,13÷4=3 余 1,余 1 对应一组里的第 1 个。\n【解答】第 13 个月是春季。\n【验算】第 1、5、9、13 个月都对应春季 ✓\n\n**例6**:按红黄红黄……的规律摆花,第 15 朵是什么颜色?\n\n【思路】2 朵一组,15÷2=7 余 1,余 1 对应一组里第 1 个颜色。\n【解答】第 15 朵是红色。\n\n**例7**:今天是周三,从今天算起(今天是第 1 天),第 10 天是星期几?\n\n【思路】星期 7 天一循环。第 10 天比第 1 天多 10−1=9 天,9÷7=1 余 2,从周三往后数 2 天。\n【解答】周三 → 周四(过 1 天)→ 周五(过 2 天),第 10 天是星期五。\n【提醒】「第 10 天」是从今天数起的第 10 个,中间相隔 9 天,不是加 10 天。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 没找准「一组」的长度就急着往下画 → 先多画几组,把重复的部分圈出来再判断\n- 数字规律中加减幅度弄错 → 先算相邻两个数的差,再决定加还是减\n- 周期问题里把「第 10 天」当成「再加 10 天」 → 从今天算起,今天是第 1 天,中间只隔 9 天\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"找规律接着画:△△○○△△○,下一个图形是什么?(填图形符号)\",\"answers\":[\"○\"],\"explain\":\"一组是 △△○○,四个一循环:△△○○、△△○○……已给出 △△○○△△○,下一个轮到 ○。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"找规律:●○●○●○●,下一个图形是什么?\",\"options\":[\"●\",\"○\",\"△\"],\"answer\":1,\"explain\":\"● 和 ○ 两个一循环,● 后面总是 ○,所以下一个是 ○。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"☆★☆★☆★☆★ 中,重复的一组是什么?(按出现顺序写两个图形)\",\"answers\":[\"☆★\"],\"explain\":\"☆ 和 ★ 两个一组不断重复,重复的一组是 ☆★。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"□○△□○△□○△,接着画 3 个图形是什么?(按顺序写)\",\"answers\":[\"□○△\"],\"explain\":\"一组是 □○△,三个一循环,接着又是一整组 □○△。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"按规律填数:1,2,1,2,1,2,____,____(两个数用逗号隔开)\",\"answers\":[\"1,2\",\"1、2\",\"1,2\",\"1 2\"],\"explain\":\"1 和 2 两个一循环,接下来是 1、2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"按规律填数:3,6,3,6,3,6,____,____(两个数用逗号隔开)\",\"answers\":[\"3,6\",\"3、6\",\"3,6\",\"3 6\"],\"explain\":\"3 和 6 两个一循环,接下来是 3、6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"找规律填数:1,3,5,7,____,____(两个数用逗号隔开)\",\"answers\":[\"9,11\",\"9、11\",\"9,11\",\"9 11\"],\"explain\":\"相邻差都是 2,每次 +2:7+2=9,9+2=11。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"找规律填数:50,45,40,35,____,____(两个数用逗号隔开)\",\"answers\":[\"30,25\",\"30、25\",\"30,25\",\"30 25\"],\"explain\":\"相邻差都是 −5,每次 −5:35−5=30,30−5=25。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一年按春夏秋冬循环,第 13 个月是什么季节?\",\"options\":[\"春季\",\"夏季\",\"秋季\",\"冬季\"],\"answer\":0,\"explain\":\"13÷4=3 余 1,余 1 对应一组里的第 1 个,也就是春季。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"按红黄红黄……的规律摆花,第 15 朵是什么颜色?\",\"options\":[\"红色\",\"黄色\"],\"answer\":0,\"explain\":\"2 朵一组,15÷2=7 余 1,余 1 对应一组里第 1 个颜色,是红色。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 找规律先找重复的「一组」,再看所求是组里的第几个\n- 递增、递减规律先算相邻两个数的差\n- 季节、星期等周期问题用除法看余数\n- 拿不准时多画几组、圈出重复部分来检验" + }, + { + "id": "combo-02", + "title": "简单推理:排除法与列表法", + "grade": "二~三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "会根据已知条件推理,掌握排除法和列表法", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n上一课学会了按规律接着画、接着填。本课进入「推理」:**根据已知条件推算出未知结果**。要学会两种方法——排除法和列表法,并养成「每步都说得出为什么」的习惯。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 什么是推理\n\n推理:根据已知条件推算出未知结果。要点:**读一句条件、用一句条件**,不靠猜,每写一个结论都能说出「为什么这样想」。\n\n### 2. 排除法:不是 A,就是 B\n\n只有两种可能时,排除掉一种,剩下的一种一定对。\n\n**例1**:小刚和小丽比赛,小刚不是第一名,那么谁是第一名?\n\n【思路】只有两个人,第一名只有两种可能:小刚或小丽。\n【解答】小刚不是第一,排除掉他,第一名就是小丽。\n\n**例2**:三个小朋友比身高,小红比小明高,小丽比小红高。谁最高?谁最矮?\n\n【思路】把两个条件连成一条链:小丽 > 小红 > 小明。\n【解答】小丽最高,小明最矮。\n【验算】小丽比小红高、小红比小明高,两个条件都满足 ✓\n\n### 3. 列表法:用表格整理信息\n\n条件多的时候,画表格:姓名作行、事物作列,用 ✓ 表示「是」、× 表示「不是」。**每一行只能有一个 ✓,每一列也只能有一个 ✓**。每用一个条件就打 ×,空出来的格子自然就是 ✓。\n\n**例3**:三个人分别吃苹果、香蕉、橘子。小明不吃橘子,小红不吃香蕉,小丽爱吃苹果。每种水果谁吃?\n\n【思路】先找最确定的条件打 ✓:小丽—苹果 ✓,于是小明、小红的「苹果」格都打 ×。再用「不吃」条件打 ×:小明的「橘子」打 ×,他只剩「香蕉」→ ✓;小红只剩「橘子」→ ✓。\n【解答】小明吃香蕉,小红吃橘子,小丽吃苹果。\n【验算】每人一种、每种水果归一人,且满足全部三个条件 ✓\n\n**例4**:三个小朋友各拿语文、数学、英语中的一本书。小红没拿语文,小丽没拿数学也不拿英语。能推出什么?\n\n【思路】小丽不是数学、也不是英语,只能拿语文 ✓。语文已被小丽拿走,小红「没拿语文」与之相符。剩下数学和英语归小红和第三位小朋友,但题目没有给出区分他们的条件。\n【解答】只能确定:小丽拿语文。小红拿数学或英语,无法进一步确定。\n【提醒】条件不够时不要硬猜——能推到哪一步就推到哪一步,并说清楚「还缺什么条件」。\n\n### 4. 生活推理:比年龄\n\n**例5**:明明说「我比军军大」,军军说「我比丽丽大」。他们三人谁最大?谁最小?\n\n【思路】连成链:明明 > 军军 > 丽丽。\n【解答】明明最大,丽丽最小。\n\n**例6**:小红说「我比小丽大 2 岁」,小丽说「我比小明大 1 岁」。从大到小排一排。\n\n【思路】小红 > 小丽,小丽 > 小明,接起来:小红 > 小丽 > 小明。\n【解答】从大到小:小红、小丽、小明。\n【提醒】比大小时把「谁比谁大」逐个接成链,顺序就不会乱。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 漏掉条件 → 读一句、画一句(打 ✓ 或 ×),不放过任何一个条件\n- 靠猜不靠推理 → 每写一个答案都问自己「为什么这样想」\n- 列表时一行出现了两个 ✓ → 检查:每一行、每一列都只能有一个 ✓\n- 条件不够就硬给答案 → 只能推出多少就说多少\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小刚和小丽比赛,小刚不是第一名,第一名是谁?\",\"options\":[\"小刚\",\"小丽\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"只有两人参赛,排除小刚,第一名只能是小丽(排除法)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红比小明高,小丽比小红高。最高的是谁?\",\"answers\":[\"小丽\"],\"explain\":\"连成链:小丽 > 小红 > 小明,最高是小丽。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红比小明高,小丽比小红高。最矮的是谁?\",\"answers\":[\"小明\"],\"explain\":\"小丽 > 小红 > 小明,最矮是小明。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明不吃橘子,小红不吃香蕉,小丽爱吃苹果。小明吃哪种水果?\",\"options\":[\"苹果\",\"香蕉\",\"橘子\"],\"answer\":1,\"explain\":\"苹果归小丽;小明不吃橘子,只能吃香蕉。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明不吃橘子,小红不吃香蕉,小丽爱吃苹果。小红吃哪种水果?\",\"options\":[\"苹果\",\"香蕉\",\"橘子\"],\"answer\":2,\"explain\":\"苹果归小丽,香蕉归小明,剩下橘子归小红。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"列表法中,每一行、每一列都只能有一个 ✓。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。每人只对应一种事物,每种事物也只归一人,所以每行每列恰有一个 ✓。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三个小朋友各拿语文、数学、英语中的一本书。小红没拿语文,小丽没拿数学也不拿英语。谁拿了语文书?\",\"options\":[\"小红\",\"小丽\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"小丽不拿数学、不拿英语,三本中只能是语文。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"明明比军军大,军军比丽丽大。三人中最小的是谁?\",\"answers\":[\"丽丽\"],\"explain\":\"明明 > 军军 > 丽丽,最小的是丽丽。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小红比小丽大 2 岁,小丽比小明大 1 岁。年龄最大的是谁?\",\"options\":[\"小红\",\"小丽\",\"小明\"],\"answer\":0,\"explain\":\"小红 > 小丽 > 小明,最大的是小红。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"推理时如果条件不够,可以先猜一个答案当作结论。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。条件不够只能得到部分结论(比如只确定其中一人),不能靠猜。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 推理 = 根据已知条件推出未知结果,读一句、用一句\n- 只有两种可能时用排除法:不是 A 就是 B\n- 条件多用列表法:✓ 表示是、× 表示不是,一行一列各一个 ✓\n- 条件不够时不硬猜,能推多少推多少" + }, + { + "id": "combo-03", + "title": "集合思想与韦恩图", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会用韦恩图和公式 总数=A+B-重叠 解决重叠计数问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n推理教会我们「用条件」。本课学习一种新的计数场景:两堆人数里有**同样一些人**,直接相加会算重。我们要认识集合、交集和韦恩图,学会用公式解决这类「重叠问题」。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 集合、交集、韦恩图\n\n- **集合**:具有某种共同特征的事物组成的整体,比如「参加语文小组的人」。\n- **交集**:同时属于两个集合的部分,比如「两个小组都参加的人」。\n- **韦恩图(文氏图)**:用圆圈表示集合的关系。画两个相交的圆:左边的圆是 A,右边的圆是 B,中间重叠的部分表示「既是 A 又是 B」。\n\n### 2. 重叠问题公式:总数 = A + B − 重叠部分\n\n**例1**:一班参加语文小组的有 8 人,参加数学小组的有 10 人,其中 3 人两个组都参加了。一共有多少人参加了小组?\n\n【思路】画韦恩图:先在中间重叠部分填 3;只参加语文的有 8−3=5 人,只参加数学的有 10−3=7 人。\n【解答】8+10−3=15(人)。\n【验算】5+3+7=15,与 8+10−3 的结果一致 ✓\n【提醒】8+10 时,重叠的 3 人在语文里数了一次、在数学里又数了一次,算了两遍,所以要减去一次。\n\n**公式**:总数 = A 的数量 + B 的数量 − 两者都有的数量。\n\n### 3. 公式的正用与反用\n\n**例2**:喜欢吃苹果的有 12 人,喜欢吃香蕉的有 15 人,两种都喜欢的有 6 人。一共调查了多少人?\n\n【思路】已知两部分和重叠,直接套公式。\n【解答】12+15−6=21(人)。\n\n**例3**:会游泳的有 18 人,会骑自行车的有 22 人,两种都会的有 10 人。至少会一种的有多少人?\n\n【解答】18+22−10=30(人)。\n\n**例4**:三(1)班有 45 人(每人至少订一种报),订《数学报》的有 28 人,订《语文报》的有 30 人。两种都订的有多少人?\n\n【思路】反着用公式:重叠部分 = A + B − 总数。为什么?28+30 把两种都订的人数算了两遍,而全班只有 45 人,多算的正好是一份重叠部分。\n【解答】28+30−45=13(人)。\n【验算】只订数学报 28−13=15,只订语文报 30−13=17,15+13+17=45 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 把重叠部分算了两遍 → 记住:重叠部分在 A+B 里出现两次,只能算一次,必须减去一次\n- 画韦恩图时先填了两边、忘了重叠 → 先把重叠部分填好,再算两边「只属于」的部分\n- 反用公式时搞错谁减谁 → 重叠 = A + B − 总数,想不清就画韦恩图验证\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"参加语文小组 8 人,参加数学小组 10 人,两个组都参加的 3 人。一共多少人参加了小组?\",\"answers\":[\"15\",\"15人\",\"15 人\"],\"explain\":\"8+10−3=15(人),重叠的 3 人只算一次。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"喜欢吃苹果的 12 人,喜欢吃香蕉的 15 人,两种都喜欢的 6 人。一共调查了多少人?\",\"answers\":[\"21\",\"21人\",\"21 人\"],\"explain\":\"12+15−6=21(人)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"会游泳的 18 人,会骑自行车的 22 人,两种都会的 10 人。至少会一种的有多少人?\",\"answers\":[\"30\",\"30人\",\"30 人\"],\"explain\":\"18+22−10=30(人)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班 45 人每人至少订一种报,订《数学报》的 28 人,订《语文报》的 30 人。两种都订的有多少人?\",\"answers\":[\"13\",\"13人\",\"13 人\"],\"explain\":\"反用公式:28+30−45=13(人)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"韦恩图中两个圆重叠的部分表示什么?\",\"options\":[\"只属于 A 的\",\"只属于 B 的\",\"同时属于 A 和 B 的\",\"既不属于 A 也不属于 B 的\"],\"answer\":2,\"explain\":\"重叠部分就是交集:既是 A 又是 B 的那部分。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"总数 = A + B − 重叠,是因为重叠部分在 A 和 B 里各被数了一次,一共数了两遍。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。减去一次重叠,正好把它纠正为只算一次。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"喜欢面条的 20 人,喜欢米饭的 16 人,两种都喜欢的 7 人。一共调查了多少人?\",\"options\":[\"36 人\",\"29 人\",\"43 人\"],\"answer\":1,\"explain\":\"20+16−7=29(人)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"韦恩图的重叠部分在计算总数时应该算两次。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。重叠部分只算一次,这正是公式里要减去一次的原因。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"喜欢葡萄的 14 人,喜欢西瓜的 17 人,两种都喜欢的 9 人。一共调查了多少人?\",\"answers\":[\"22\",\"22人\",\"22 人\"],\"explain\":\"14+17−9=22(人)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 集合是具有共同特征的事物组成的整体;交集是同时属于两个集合的部分\n- 韦恩图:两个相交的圆,重叠部分表示「两者都有」\n- 总数 = A + B − 重叠(重叠部分在 A+B 里被算了两遍)\n- 已知总数可以反求:重叠 = A + B − 总数" + }, + { + "id": "combo-04", + "title": "有序搭配:不重复不遗漏", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会不重不漏地搭配,会用枚举和乘法求搭配总数", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n集合帮我们「不重复地数人」。本课学习搭配问题:从两类东西里各选一个配成一组(一件上衣配一条裤子、一种面包配一种牛奶),怎样做到**不重复、不遗漏**。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 什么是搭配\n\n搭配就是「选一种这个和一种那个」。要求:有序搭配,不重复不遗漏。\n\n### 2. 方法一:固定一个,再换另一个(有序枚举)\n\n**例1**:2 件上衣、3 条裤子,有几种穿法?\n\n【思路】先固定红色上衣,依次配 3 条裤子(3 种);再固定蓝色上衣,配 3 条裤子(又是 3 种)。\n【解答】3+3=6(种)。\n【提醒】固定一个不动、依次换另一个,按顺序写下来,就不会重复也不会漏。\n\n### 3. 方法二:用乘法直接算\n\n第一类的种数 × 第二类的种数 = 搭配总数。\n\n**例2**:2 件上衣、3 条裤子,用乘法怎么算?\n\n【解答】2×3=6(种)。\n\n**例3**:3 种主食、2 种饮品,早餐有几种搭配?\n\n【解答】3×2=6(种)。\n\n**例4**:从 A 到 B 有 3 条路,从 B 到 C 有 2 条路。从 A 到 C 一共有几种走法?\n\n【思路】从 A 到 C 要先走 A 到 B 的一段、再走 B 到 C 的一段:先选一条 A 到 B 的路,再配一条 B 到 C 的路。\n【解答】3×2=6(种)。\n\n### 4. 枚举法:把所有结果写出来\n\n**例5**:用 3、5、7 可以组成几个不同的两位数(每个数字只用一次)?写出来。\n\n【思路】按十位固定枚举:十位是 3 → 35、37;十位是 5 → 53、57;十位是 7 → 73、75。\n【解答】共 6 个:35、37、53、57、73、75。\n【验算】十位有 3 种选择,个位还剩 2 种选择,3×2=6,与枚举结果一致 ✓\n【提醒】35 和 53 数字顺序不同,是两个不同的两位数,别当成一个。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 想到哪写到哪,重复或遗漏 → 固定一个按顺序枚举,或画树形图\n- 把数字顺序不同的两个数当成一个(如 35 和 53)→ 顺序不同就是不同的数\n- 数出搭配个数后不检验 → 用「两类数量相乘」核对一遍\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"早饭有 3 种面包和 2 种牛奶,选一种面包和一种牛奶,有几种搭配方案?\",\"answers\":[\"6\",\"6种\",\"6 种\"],\"explain\":\"3×2=6(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 A 到 B 有 3 条路,从 B 到 C 有 2 条路。从 A 到 C 一共有几种走法?\",\"answers\":[\"6\",\"6种\",\"6 种\"],\"explain\":\"3×2=6(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小红的衣柜有 4 条裙子、3 双鞋,每穿一条裙子配一双鞋,有几种穿法?\",\"answers\":[\"12\",\"12种\",\"12 种\"],\"explain\":\"4×3=12(种)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"2 件上衣、3 条裤子,有几种穿法?\",\"options\":[\"5 种\",\"6 种\",\"9 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"2×3=6(种)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 种主食、2 种饮品,有几种早餐搭配?\",\"options\":[\"5 种\",\"6 种\",\"8 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3×2=6(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用 3、5、7 组成两位数(每个数字只用一次),一共能组成几个?\",\"answers\":[\"6\",\"6个\",\"6 个\"],\"explain\":\"十位 3 种选择、个位 2 种选择,3×2=6(个)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个数不能用 3、5、7 组成(每个数字只用一次)?\",\"options\":[\"35\",\"57\",\"33\",\"75\"],\"answer\":2,\"explain\":\"33 要用两个 3,但每个数字只能用一次;35、57、75 都可以组成。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"有序搭配时,可以先固定一类中的一个,再把它和另一类逐个搭配,这样不重复也不遗漏。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。「固定一个、再换另一个」正是有序枚举的做法。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"商店有 2 种帽子和 3 种围巾,选一顶帽子和一条围巾,有几种搭配?\",\"options\":[\"5 种\",\"6 种\",\"8 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"2×3=6(种)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 搭配 = 从两类东西里各选一个配成一组\n- 方法一:固定一个,再换另一个,按顺序枚举\n- 方法二:两类数量相乘 = 搭配总数\n- 枚举要按顺序写,才能不重复、不遗漏" + }, + { + "id": "combo-05", + "title": "分类与分步:加法原理与乘法原理", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "分清分类与分步,会用加法原理和乘法原理计数", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n上节课的搭配是「先选一个、再选一个」。本课把这类问题讲透:什么时候把方法数**相加**,什么时候**相乘**——这就是分类加法原理和分步乘法原理。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 分类加法原理:关键词「或」\n\n完成一件事有若干**类**方法,各类方法互不重叠,把各类方法数**相加**就是总方法数。要求:分类**不重不漏**。\n\n**例1**:从甲地到乙地,每天有火车 3 班、汽车 2 班、飞机 1 班。一天中从甲地到乙地共有多少种不同的方式?\n\n【思路】火车、汽车、飞机是三类不同方式,任选一种就能到达——做完就成功,是分类问题。\n【解答】3+2+1=6(种)。\n\n**例2**:从家到学校,坐公交有 3 种路线,坐地铁有 2 种路线。共有几种方式?\n\n【解答】3+2=5(种)。选任何一种路线都能到学校,事情完成了,所以用加法。\n\n### 2. 分步乘法原理:关键词「且、先……再……」\n\n完成一件事需要若干**步骤**,每步依次进行,把各步方法数**相乘**就是总方法数。要求:每步必须依次完成。\n\n**例3**:书架上有 4 本不同的故事书和 3 本不同的科普书。\n(1)从中取 1 本书,有多少种取法?\n(2)从中取故事书和科普书各 1 本,有多少种取法?\n\n【思路】(1)只要取出 1 本,任务就完成了:取故事书或科普书都行 → 分类,用加法。(2)要取 2 本:先取 1 本故事书(4 种),再取 1 本科普书(3 种);只取了第一本时任务还没完成 → 分步,用乘法。\n【解答】(1)4+3=7(种)。(2)4×3=12(种)。\n【提醒】同一个书架,问法不同,方法就不同。关键看:做完这一步,任务完成没有?\n\n### 3. 区分口诀:做完就成功 → 加法;做完还没完 → 乘法\n\n**例4**:从甲地到乙地有 3 条路,从乙地到丙地有 2 条路。\n(1)从甲地到丙地共有几种走法?\n(2)从甲地到丙地再原路返回甲地,共有几种走法?\n\n【思路】(1)甲→乙是第一步,走到乙地还没到丙地,任务没完成 → 分步乘法。(2)去程是「甲→乙→丙」两步,回程是「丙→乙→甲」两步,去和回之间又是分步关系。\n【解答】(1)3×2=6(种)。(2)去程 3×2=6 种,回程 2×3=6 种,去和回配对:6×6=36(种)。\n【验算】去程每种走法都可搭配 6 种回程,逐一配对共 36 种 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 混淆分类和分步 → 判断标准:做完这一步,任务是否完成?\n- 分类时遗漏或重复 → 画树形图或列表,确保不重不漏\n- 分步时忘记相乘、把各步选择数相加 → 每一步的选择数都要乘进去\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从甲地到乙地,每天有 4 班火车、3 班汽车和 2 班轮船。一天中乘交通工具从甲地到乙地有几种不同的选择?\",\"answers\":[\"9\",\"9种\",\"9 种\"],\"explain\":\"三类交通工具,任选一种即到达,分类加法:4+3+2=9(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明有 3 件不同的上衣和 4 条不同的裤子,选一件上衣和一条裤子搭配穿,有几种不同的穿法?\",\"answers\":[\"12\",\"12种\",\"12 种\"],\"explain\":\"先选上衣再选裤子,分步乘法:3×4=12(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 3 名男生和 2 名女生中选 1 名代表,有几种选法?\",\"answers\":[\"5\",\"5种\",\"5 种\"],\"explain\":\"选出 1 人任务即完成,分类加法:3+2=5(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 3 名男生和 2 名女生中选 1 名男生和 1 名女生,有几种选法?\",\"answers\":[\"6\",\"6种\",\"6 种\"],\"explain\":\"先选男生(3 种)再选女生(2 种),分步乘法:3×2=6(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书架上层有 4 本不同的书,下层有 6 本不同的书。从中任取 1 本,有几种取法?\",\"answers\":[\"10\",\"10种\",\"10 种\"],\"explain\":\"取 1 本就完成任务,分类加法:4+6=10(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书架上层 4 本、下层 6 本不同的书。取 2 本且两本不在同一层,有几种取法?\",\"answers\":[\"24\",\"24种\",\"24 种\"],\"explain\":\"不在同一层就是上层取 1 本、下层取 1 本:4×6=24(种)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用 1、2、3 三个数字组成各位数字不重复的三位数,一共可以组成几个?\",\"answers\":[\"6\",\"6个\",\"6 个\"],\"explain\":\"百位 3 种、十位 2 种、个位 1 种,3×2×1=6(个):123、132、213、231、312、321。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"判断一道题用加法还是乘法,关键看什么?\",\"options\":[\"数字的大小\",\"做完这一步任务是否完成\",\"题目里有没有「一共」这个词\"],\"answer\":1,\"explain\":\"做完就成功 → 分类加法;做完还没完 → 分步乘法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"分步问题中,把每一步的选择数加起来就是总方法数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。分步问题要把每一步的选择数相乘,相加的是分类问题。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从家到学校,坐公交有 3 种路线、坐地铁有 2 种路线,任选一种都能到校。共有几种方式?\",\"options\":[\"5 种\",\"6 种\",\"1 种\"],\"answer\":0,\"explain\":\"任选一种路线事情就完成了,是分类:3+2=5(种)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 分类(关键词「或」)→ 加法原理,分类要不重不漏\n- 分步(关键词「且、先……再……」)→ 乘法原理,每步选择数都要乘进去\n- 判断口诀:做完就成功 → 加法;做完还没完 → 乘法\n- 同样的条件、不同的问法,可能一个用加法、一个用乘法" + }, + { + "id": "combo-06", + "title": "沏茶问题:并行安排省时间", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会找关键路径,把能同时做的事塞进等待时间,求最短总用时", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n加乘原理教我们「数方法」。本课走进统筹与优化:**合理安排做事的顺序和时间,使总用时最短**。主角是经典的沏茶问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 统筹优化的核心:能同时做的就同时做\n\n有些事情必须一件一件做,有些事情可以**同时做**(比如烧水的同时洗杯子)。方法:先找**不能并行的关键路径**(最长的时间链),再把能并行的任务「塞」进等待时间里。画流程图能帮你看清哪些事可以同时做。\n\n### 2. 沏茶问题\n\n**例1**:小明帮妈妈烧水沏茶。烧水 8 分钟,洗茶壶 1 分钟,洗茶杯 2 分钟,拿茶叶 1 分钟,沏茶 2 分钟。怎样安排最省时间?最少需要几分钟?\n\n【思路】先理清顺序:要先洗茶壶才能烧水,水开了才能沏茶——「洗茶壶 → 烧水 → 沏茶」是不能并行的关键路径。烧水的 8 分钟里人闲着,可以同时洗茶杯、拿茶叶。\n【解答】① 洗茶壶 1 分钟;② 烧水 8 分钟(同时:洗茶杯 2 分钟 + 拿茶叶 1 分钟,共 3 分钟,小于 8 分钟,能在烧水期间完成);③ 沏茶 2 分钟。总时间 1+8+2=11(分钟)。\n【验算】塞进烧水时间的活共 2+1=3 分钟 ≤ 8 分钟,安排成立 ✓\n【提醒】同时做的两段时间不是相加,而是取较长的那一段。\n\n**例2**:小红早晨起床后要做这些事:穿衣 2 分钟,叠被 1 分钟,刷牙洗脸 5 分钟,烤面包 4 分钟,吃早餐 8 分钟。怎样安排最省时间?最少需要几分钟?\n\n【思路】烤面包时机器自己工作,小红可以同时干别的。叠被 1 分钟能完整放进烤面包的 4 分钟;刷牙洗脸要 5 分钟,比 4 分钟长、放不完整,就放在烤面包之前做;吃早餐必须等面包烤好。\n【解答】穿衣 2 分钟 → 刷牙洗脸 5 分钟 → 烤面包 4 分钟(同时叠被 1 分钟)→ 吃早餐 8 分钟。总时间 2+5+4+8=19(分钟)。\n\n**例3**:妈妈做饭:淘米 2 分钟,煮饭 25 分钟,洗菜 5 分钟,切菜 3 分钟,炒菜 8 分钟。怎样安排最省时间?最少需要几分钟?\n\n【思路】关键路径是「淘米 → 煮饭」。煮饭的 25 分钟里可以依次做洗菜 → 切菜 → 炒菜。\n【解答】先淘米 2 分钟,然后煮饭;煮饭同时洗菜 5 分钟 → 切菜 3 分钟 → 炒菜 8 分钟(5+3+8=16 分钟 ≤ 25 分钟,来得及)。总时间 2+25=27(分钟)。\n\n**例4**:小明做家务:用洗衣机洗衣服 30 分钟,扫地 5 分钟,擦桌子 3 分钟,晾衣服 5 分钟。怎样安排最省时间?(晾衣服必须在洗完衣服之后)\n\n【思路】洗衣机转的 30 分钟里,小明可以去扫地、擦桌子。晾衣服必须等衣服洗完,只能放在洗衣机之后。\n【解答】洗衣机洗衣服 30 分钟(同时扫地 5 分钟 + 擦桌子 3 分钟,共 8 分钟 ≤ 30 分钟)→ 晾衣服 5 分钟。总时间 30+5=35(分钟)。\n【提醒】有先后依赖的事(先洗完才能晾、水开了才能沏茶),顺序不能颠倒。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 忽略任务的先后顺序 → 画流程图,标清哪些必须先做\n- 把并行的两段时间相加 → 同时做的事,总时间取较长的那个\n- 塞不下的任务硬塞 → 先比一比:零碎任务的总时间有没有超过等待时间\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"烧水 8 分钟、洗茶壶 1 分钟、洗茶杯 2 分钟、拿茶叶 1 分钟、沏茶 2 分钟。合理安排最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"11\",\"11分钟\",\"11 分钟\"],\"explain\":\"洗茶壶 1 → 烧水 8(同时洗茶杯、拿茶叶)→ 沏茶 2,共 1+8+2=11 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"沏茶问题中,烧水的 8 分钟里可以同时做什么?\",\"options\":[\"沏茶\",\"洗茶杯和拿茶叶\",\"洗茶壶\"],\"answer\":1,\"explain\":\"沏茶要等水烧开;洗茶壶必须在烧水之前。烧水时人闲着,正好洗茶杯、拿茶叶。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"淘米 2 分钟、煮饭 25 分钟、洗菜 5 分钟、切菜 3 分钟、炒菜 8 分钟。合理安排最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"27\",\"27分钟\",\"27 分钟\"],\"explain\":\"淘米 2 后煮饭,煮饭 25 分钟里完成洗菜、切菜、炒菜(16 分钟 ≤ 25 分钟),共 2+25=27 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"洗衣机洗衣服 30 分钟、扫地 5 分钟、擦桌子 3 分钟、晾衣服 5 分钟(晾衣服须在洗完后)。合理安排最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"35\",\"35分钟\",\"35 分钟\"],\"explain\":\"洗衣 30 分钟里扫地、擦桌子(8 分钟 ≤ 30),再晾衣服 5 分钟,共 30+5=35 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"穿衣 2 分钟、叠被 1 分钟、刷牙洗脸 5 分钟、烤面包 4 分钟、吃早餐 8 分钟。合理安排最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"19\",\"19分钟\",\"19 分钟\"],\"explain\":\"穿衣 2 → 刷牙洗脸 5 → 烤面包 4(同时叠被)→ 吃早餐 8,共 2+5+4+8=19 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"能同时做的两件事,计算总用时时要把两段时间相加。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。同时做的两件事,总用时取较长的那一段,不是相加。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"沏茶问题省时间的关键是什么?\",\"options\":[\"把每件事都做得更快\",\"把能同时做的事塞进长任务的等待时间\",\"少做几件事\"],\"answer\":1,\"explain\":\"先找关键路径,再把能并行的任务塞进等待时间,总时间就缩短了。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"晾衣服可以在洗衣机洗衣服的同时进行。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须等衣服洗完才能晾,这是先后依赖,顺序不能颠倒。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"烧水 8 分钟,烧水的同时洗茶杯 2 分钟、拿茶叶 1 分钟。这几件事合起来共花几分钟?\",\"options\":[\"11 分钟\",\"8 分钟\",\"3 分钟\"],\"answer\":1,\"explain\":\"洗茶杯、拿茶叶在烧水期间完成,并行取较长的那段,共 8 分钟。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 统筹优化:先找不能并行的关键路径,再把能并行的事塞进等待时间\n- 并行的两段时间不相加,取较长的那个\n- 有先后依赖的任务(先烧水后沏茶、先洗后晾)顺序不能颠倒\n- 塞任务前先比较:零碎任务总时间是否超过等待时间" + }, + { + "id": "combo-07", + "title": "烙饼问题:让锅不空位", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 3, + "summary": "会用交替烙法和轮数公式求烙饼的最短总时间", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n沏茶问题教会我们「把任务塞进等待时间」。本课的烙饼问题更进一步:锅每次只能烙有限张饼、每张饼要烙两面,怎样安排才能让锅尽量不空着、总时间最短。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 问题与关键想法\n\n锅一次最多烙有限张饼,每张饼要烙两面。关键想法:**让锅每次都满着**,锅有空位就是在浪费时间。\n\n### 2. 交替烙法\n\n**例1**:一个平底锅一次最多烙 2 张饼,每张饼要烙两面,每面需要 3 分钟。烙 3 张饼最少需要多少分钟?\n\n【思路】如果逐张烙,每张 6 分钟,3 张共 18 分钟——锅一半时间空着,浪费!设 3 张饼为 A、B、C,用交替烙法,每次都让锅里有 2 张饼。\n【解答】\n第 1 次(3 分钟):A 正面、B 正面\n第 2 次(3 分钟):A 反面、C 正面\n第 3 次(3 分钟):B 反面、C 反面\nA 在第 1、2 次烙好,B 在第 1、3 次烙好,C 在第 2、3 次烙好。总时间 3+3+3=9(分钟)。\n【验算】一共要烙 3×2=6 个面,每次烙 2 个面,正好 3 次烙完,9 分钟 ✓\n【提醒】偶数张饼直接两两配对烙;奇数张饼先两两配对,最后 3 张用交替烙法。\n\n### 3. 通用公式(饼数不少于锅容量时)\n\n总时间 = (饼数×2÷锅容量,有余数就进一轮) × 每面时间。\n\n理解:一共要烙「饼数×2」个面,每次最多烙「锅容量」个面,需要几轮,就乘每面时间。除不尽时,剩下的面也要再开一轮。\n\n**例2**:一个锅一次能烙 2 张饼,每面需要 2 分钟。烙 5 张饼最少需要多少分钟?\n\n【解答】5×2=10 个面,10÷2=5 轮(整除),5×2=10(分钟)。\n\n**例3**:一个锅一次能烙 2 张饼,每面需要 4 分钟。烙 4 张饼和烙 7 张饼分别最少需要多少分钟?\n\n【解答】4 张:4×2=8 个面,8÷2=4 轮,4×4=16(分钟);7 张:7×2=14 个面,14÷2=7 轮,7×4=28(分钟)。\n\n**例4**:一个锅一次能烙 3 张饼,每面需要 5 分钟。烙 4 张饼最少需要多少分钟?\n\n【思路】4×2=8 个面,8÷3=2 余 2,需要 3 轮。注意安排:别把最后一张饼单独留两轮,要把它「穿插」进前面的轮次。\n【解答】第 1 轮:A、B、C 的正面;第 2 轮:A、B 的反面和 D 的正面;第 3 轮:C、D 的反面。3×5=15(分钟)。\n【验算】3 轮共 9 个位置,烙 8 个面只空 1 个位置,安排成立 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 奇数张饼忘了用交替烙法 → 偶数张直接配对,奇数张最后 3 张交替烙\n- 算轮数时把余数丢了 → 有余数就要再加一轮(向上进一轮)\n- 把最后一张饼孤零零地单独烙 → 像例 4 那样把它穿插进前面的轮次\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个锅一次最多烙 2 张饼,每面 3 分钟。烙 3 张饼最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"9\",\"9分钟\",\"9 分钟\"],\"explain\":\"交替烙法烙 3 轮,每轮 3 分钟,共 9 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"烙 3 张饼用交替烙法,好处是什么?\",\"options\":[\"每张饼可以少烙一面\",\"让锅每次都不空位\",\"锅会热得更快\"],\"answer\":1,\"explain\":\"交替烙法保证每一轮锅里都是 2 张饼,没有空位,时间最省。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个锅一次能烙 2 张饼,每面 2 分钟。烙 5 张饼最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"10\",\"10分钟\",\"10 分钟\"],\"explain\":\"5×2=10 个面,10÷2=5 轮,5×2=10 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个锅一次能烙 2 张饼,每面 4 分钟。烙 4 张饼最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"16\",\"16分钟\",\"16 分钟\"],\"explain\":\"4×2=8 个面,8÷2=4 轮,4×4=16 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个锅一次能烙 2 张饼,每面 4 分钟。烙 7 张饼最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"28\",\"28分钟\",\"28 分钟\"],\"explain\":\"7×2=14 个面,14÷2=7 轮,7×4=28 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个锅一次能烙 3 张饼,每面 5 分钟。烙 4 张饼最少需要几分钟?\",\"answers\":[\"15\",\"15分钟\",\"15 分钟\"],\"explain\":\"4×2=8 个面,8÷3=2 余 2,需要 3 轮,3×5=15 分钟(把第 4 张穿插进前两轮)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"烙饼时锅里有空位,就意味着时间在浪费。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。空位说明这一轮本可以多烙饼,让锅满着才能最省时间。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"饼数不少于锅容量时,烙饼总时间等于什么?\",\"options\":[\"饼数 × 每面时间\",\"(饼数×2÷锅容量,有余数就进一轮) × 每面时间\",\"锅容量 × 每面时间\"],\"answer\":1,\"explain\":\"先算总面数 饼数×2,除以锅容量得轮数(有余数进一轮),再乘每面时间。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"烙 3 张饼(每面 3 分钟、锅容 2 张),逐张烙和交替烙花的时间一样多。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。逐张烙要 6×3=18 分钟,交替烙只要 9 分钟,差一倍。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 烙饼问题的核心:让锅每次都满着,不空位\n- 偶数张两两配对烙;奇数张先配对,最后 3 张用交替烙法\n- 公式:总时间 =(饼数×2÷锅容量,有余数进一轮) × 每面时间\n- 别把最后的饼孤零零单独烙,穿插进前面的轮次" + }, + { + "id": "combo-08", + "title": "田忌赛马:对策论", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 3, + "summary": "学会牺牲局部、赢得全局的对策,会安排以弱胜强", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\n沏茶、烙饼是安排「自己的事」。本课学习对策论:**对手也会出招**,怎样了解对手的策略、合理安排自己的资源,以弱胜强——这就是田忌赛马的智慧。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 对策论的核心\n\n了解对手的策略,合理安排自己的资源,以弱胜强。关键:不一定要每局都赢,**整体最优比局部最优更重要**。\n\n### 2. 田忌赛马\n\n**例1**:甲、乙两人各有一组扑克牌(只有 3 张)。甲的牌是 10、7、4,乙的牌是 9、6、3。每人每次出一张牌比大小,三局两胜制。甲先出牌(即甲按 10、7、4 的顺序出,乙提前知道)。乙怎样出牌才能获胜?\n\n【思路】乙的每张牌都比甲对应的牌小:9<10、6<7、3<4,硬碰硬(9 对 10、6 对 7、3 对 4)会三局全输。办法:用最小的牌去对甲最大的牌,**主动放弃这一局**,剩下的两局用大牌压过甲。\n【解答】\n第 1 局:甲出 10,乙出 3 —— 甲赢\n第 2 局:甲出 7,乙出 9 —— 乙赢\n第 3 局:甲出 4,乙出 6 —— 乙赢\n乙以 2:1 获胜!\n【提醒】这就是田忌赛马的核心思想:**牺牲局部,赢得全局**。\n\n**策略总结**(对方出牌顺序已知时):用我最小的牌对对方最大的牌(主动放弃),再让我剩下的牌依次压过对方剩下的牌。\n\n### 3. 更多对策问题\n\n**例2**:甲的牌是 8、5、2,乙的牌是 7、4、1。三局两胜,甲按 8、5、2 的顺序出牌。乙怎样出牌才能获胜?\n\n【解答】乙用 1 对 8(输),7 对 5(赢),4 对 2(赢),2:1 获胜。\n\n**例3**:甲的牌是 9、7、5,乙的牌是 8、6、3。三局两胜,甲按 9、7、5 的顺序出牌。乙有几种获胜的出牌方案?\n\n【思路】先看乙的牌能赢谁:8 能赢 7 和 5(赢不了 9),6 只能赢 5,3 谁都赢不了。乙要赢两局,必须 8 赢一局、6 赢一局;6 只能对 5,那么 8 就得对 7,剩下 3 对 9(放弃)。\n【解答】只有 1 种获胜方案:3 对 9、8 对 7、6 对 5。\n【验算】把乙的 6 种出牌顺序逐一检查,只有这一种能赢两局 ✓\n\n**例4**:学校举行乒乓球团体赛,每班出 3 名选手。甲班按实力从强到弱派出 A、B、C;乙班有 X、Y、Z(X 能赢 B 和 C,Y 能赢 C,Z 打不过甲班任何人)。乙班怎样安排出场顺序才能获胜?\n\n【思路】Z 谁也赢不了,就让他去对甲班最强的 A,主动放弃这一局;X 对 B 能赢,Y 对 C 能赢。\n【解答】乙班出场顺序:Z、X、Y(分别对甲班的 A、B、C)。结果:Z 输给 A,X 赢 B,Y 赢 C,乙班 2:1 获胜。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n\n- 总想让每局都赢 → 有时主动放弃一局反而能赢下全局\n- 不看对手的出招就排自己的顺序 → 对策论的前提是了解对手的策略\n- 以为实力弱就一定输 → 合理安排出场顺序,弱的一方也能整体取胜\n\n## ④ 即时练习\n\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"田忌赛马的核心思想是什么?\",\"options\":[\"每局都要赢\",\"牺牲局部,赢得全局\",\"用最弱的对对方最弱的\"],\"answer\":1,\"explain\":\"用最弱的对掉对方最强的(放弃一局),换取其余两局的胜利,整体取胜。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲出 10、7、4,乙有 9、6、3(三局两胜,甲按 10、7、4 出)。乙应该用哪张牌去对甲的 10?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"用最小的 3 对甲最大的 10,主动放弃这一局。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上题中,乙三局依次出的牌是什么?(按顺序写,用逗号隔开)\",\"answers\":[\"3,9,6\",\"3、9、6\",\"3,9,6\",\"3 9 6\"],\"explain\":\"3 对 10(输),9 对 7(赢),6 对 4(赢),乙 2:1 获胜。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲按 8、5、2 出牌,乙有 7、4、1。乙怎样出牌才能 2:1 获胜?\",\"options\":[\"7、4、1\",\"1、7、4\",\"4、1、7\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 对 8(输),7 对 5(赢),4 对 2(赢)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲按 8、5、2 出牌,乙按 1、7、4 出牌。乙赢了几局?\",\"answers\":[\"2\",\"2局\",\"2 局\"],\"explain\":\"1 对 8 输,7 对 5 赢,4 对 2 赢,共赢 2 局。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲按 9、7、5 出牌,乙有 8、6、3。三局两胜,乙有几种获胜的出牌方案?\",\"options\":[\"1 种\",\"2 种\",\"3 种\"],\"answer\":0,\"explain\":\"6 只能赢 5,8 需赢 7,3 对 9 放弃,只有「3、8、6」这一种方案。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"乒乓球团体赛中(X 能赢 B、C,Y 能赢 C,Z 谁都赢不了),乙班应该让 X 第一个出场去赢甲班的 A。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。X 赢不了 A。应让 Z 对 A(放弃),X 对 B、Y 对 C,才能 2:1 获胜。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"乒乓球问题中(X 能赢 B、C,Y 能赢 C,Z 谁都赢不了),乙班应派谁去对甲班的 A?\",\"answers\":[\"Z\"],\"explain\":\"Z 反正赢不了任何人,用他对最强的 A,主动放弃这一局。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"对策论中,只要实力比对方弱,无论怎么安排都一定输。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。了解对手策略、合理安排出场顺序,弱的一方也能以弱胜强。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n\n- 对策论:了解对手的策略,合理安排自己的资源\n- 用最小的对对方最大的(主动放弃一局),其余各局争取赢\n- 整体最优比每局都赢更重要,牺牲局部、赢得全局" + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/src/content/math/eq.json b/src/content/math/eq.json new file mode 100644 index 0000000..35e17dc --- /dev/null +++ b/src/content/math/eq.json @@ -0,0 +1,118 @@ +{ + "module": "eq", + "moduleName": "方程", + "points": [ + { + "id": "eq-01", + "title": "等量代换", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "用相等的量互相替换,解决比较与换算问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们早就会用\"相等\"来比较两个量。本课学习一种重要的思想方法——等量代换:用一个量去替换和它相等的另一个量。它是以后学习方程、等式性质的基础。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:什么是等量代换\n**等量代换**就是用一种量来代替和它相等的另一种量。它背后有三条关于\"等式\"的基本事实:\n1. **传递性**:如果 a=b,b=c,那么 a=c。\n2. 等式两边同时加上或减去同一个数或字母,等式仍然成立。\n3. 等式两边同时乘或除以相同的数或字母(0 除外),等式仍然成立。\n\n做等量代换题的口诀:**找到相等的关系,统一成一个标准,再比较或计算。**\n\n### 例题 1:链式代换(谁等于谁)\n天平一:1 只猫的重量等于 2 只兔子的重量;天平二:1 只兔子的重量等于 3 只甲虫的重量。问:1 只猫相当于几只甲虫的重量?\n\n【思路】猫不能直接换成甲虫,但可以先换成兔子,再把兔子换成甲虫——像传接力棒一样。\n【解答】1 只猫=2 只兔子;每只兔子=3 只甲虫,所以 2 只兔子=2×3=6 只甲虫。因此 1 只猫相当于 6 只甲虫的重量。\n【验算/提醒】回头检查:6 只甲虫=2 只兔子=1 只猫,链条通顺。注意要\"一环一环\"换,不能跳步。\n\n### 例题 2:比轻重(谁最重)\n观察三台天平:① 2 只小鸡和 1 只兔子一样重;② 1 只猫和 1 只兔子加 1 只小鸡一样重;③ 1 只狗和 1 只猫加 1 只兔子一样重。问:谁最重?\n\n【思路】四种动物互相纠缠,最好把它们全部换成同一种动物(比如小鸡)来比较。\n【解答】设小鸡为 1 份。由①兔子=2 只小鸡=2 份;由②猫=兔子+小鸡=2+1=3 份;由③狗=猫+兔子=3+2=5 份。5>3>2>1,所以狗最重,顺序是:狗>猫>兔子>小鸡。\n【验算/提醒】把结果代回三台天平逐一检查都成立。比轻重时一定要先统一标准,不能凭\"谁出现得多\"乱猜。\n\n### 例题 3:饼干问题(代换后计算)\n一天,小东一下子吃了 4 大包外加 14 小包饼干,一共 70 块。如果 3 大包饼干数量和 7 小包饼干数量相同,那么 1 小包饼干有几块?\n\n【思路】大、小两种包装混在一起没法算,先把\"大包\"全部换成\"小包\"(或反过来),变成只有一种包装。\n【解答】由 3 大包=7 小包,两边同时翻倍得 6 大包=14 小包。于是 4 大包+14 小包=4 大包+6 大包=10 大包=70 块,所以 1 大包=7 块。再由 3 大包=7 小包:3×7=21 块=7 小包,所以 1 小包=21÷7=3 块。\n【验算/提醒】验算:4×7+14×3=28+42=70 块,正确。本题也可以把小包换成大包做,结果一样。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 代换不彻底:换了一半就停,式子里还留着两种量。\n- 不统一标准就比较多少,得出错误结论。\n- 倍数关系搞反:3 大包=7 小包,说明 1 大包比 1 小包多,而不是少。\n- 算完不验算,链条中某一环换错也发现不了。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"如果 ○=△+△,△=□+□,那么 ○ 等于几个 □?\",\"options\":[\"2 个\",\"4 个\",\"6 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"把 △ 换成 □+□:○=△+△=(□+□)+(□+□)=4 个 □。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 △=○+○,且 ○=3,那么 △=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"把 ○ 换成 3:△=3+3=6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 只鹅的重量等于 2 只鸭的重量,1 只鸭的重量等于 3 只小鸡的重量。1 只鹅等于几只小鸡的重量?\",\"options\":[\"5 只\",\"6 只\",\"8 只\"],\"answer\":1,\"explain\":\"鹅=2 鸭=2×3 小鸡=6 只小鸡。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"如果 a=b,b=c,那么 a=c。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等量的传递性,相等的量可以层层传递。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"等量代换就是把一个量随便换成另一个量。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须换成和它相等的量,否则结果就错了。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 大包饼干等于 2 小包饼干。5 大包加 4 小包一共 56 块,那么 1 小包饼干有几块?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"5 大包=10 小包,10+4=14 小包=56 块,所以 1 小包=56÷14=4 块。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个苹果与 6 个橘子一样重,2 根香蕉与 1 个苹果一样重。1 根香蕉与几个橘子一样重?\",\"options\":[\"1 个\",\"2 个\",\"3 个\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 苹果=6 橘子,所以 1 苹果=2 橘子;2 香蕉=1 苹果=2 橘子,所以 1 香蕉=1 橘子。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"如果 □+□+□=18,○=□+□,那么 ○=?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"□=18÷3=6,○=6+6=12。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2 头小猪和 1 只羊一样重,那么 1 只羊一定比 1 头小猪重。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。羊=2 头小猪,当然比 1 头小猪重。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小东吃了 4 大包加 14 小包饼干共 70 块,已知 3 大包和 7 小包一样多。1 小包饼干有几块?\",\"options\":[\"3 块\",\"4 块\",\"5 块\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 大包=7 小包,所以 6 大包=14 小包;4 大包+14 小包=4 大包+6 大包=10 大包=70 块,1 大包=7 块;7 小包=3 大包=21 块,1 小包=3 块。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 等量代换:用相等的量互相替换,是代数思想的基础。\n- 三条基本事实:传递性;两边同加同减;两边同乘同除(0 除外)。\n- 链式代换要一环一环换;比轻重先统一标准。\n- 做完记得代回原题验算。\n" + }, + { + "id": "eq-02", + "title": "用字母表示数:乘法简写与化简", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握含字母式子的简写规则,会正确化简", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一二年级起我们就和数字打交道。从本课起,我们学习**用字母表示数**——这是从算术走向代数的第一步。本课先学会含字母乘法式子的简写与化简。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:含字母式子的简写规则\n用含有字母的式子可以表示数量关系。书写时有四条规则:\n1. 当字母的值确定时,含有字母的式子的值也随之确定。\n2. 字母与字母相乘,乘号可以记作\"·\",也可以**省略不写**,如 a×b=ab。\n3. 数字与字母相乘,乘号也可以省略,**一般把数字写在字母前面**,如 3×a=3a。\n4. 几个相同的数相乘,可以简写成这个数的几次方,如 a×a=a²。\n\n### 例题 1:基础简写\n参照下列格式,化简 3×a、a×b、(a+b)×2。\n\n【思路】按规则:省略乘号、数字放前面、数字乘进括号。\n【解答】3×a=3·a=3a;a×b=a·b=ab;(a+b)×2=2·(a+b)=2a+2b(用乘法分配律把 2 乘进括号)。\n【验算/提醒】(a+b)×2 容易写成 a+2b——漏乘了 a。括号前是数字时,每一项都要乘。\n\n### 例题 2:多个字母与数字混乘\n化简:1×b×d×19 和 a×2×a×b。\n\n【思路】乘法有交换律,先把数字归拢、相同字母归拢,再按规则简写。\n【解答】1×b×d×19=19bd(1 乘任何数不变,直接省略);a×2×a×b=2×a×a×b=2a²b。\n【验算/提醒】a×a 是 a²(平方),不是 2a。2a 表示 a+a,a² 表示 a×a,两者完全不同。\n\n### 例题 3:加法与乘法的对比\n化简:a+a+a 和 a×a。\n\n【思路】相同字母相加,个数作系数;相同字母相乘,写成平方。\n【解答】a+a+a=3a(3 个 a 相加);a×a=a²。\n【验算/提醒】取 a=4 检验:3a=12,而 a²=16,确实不同。\n\n### 课堂过关:化简下面各题(先自己做,再对答案)\n1. a×5=5a\n2. a×12=12a\n3. w×1=w\n4. n×m=mn\n5. a×b×x=abx\n6. h×g=gh\n7. 1×b×d×19=19bd\n8. a×2×a×b=2a²b\n9. a+a+a=3a\n10. a×a=a²\n11. 3(a+2b)=3a+6b\n12. a×b+c=ab+c\n13. 28×h+k×9k=28h+9k²\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 数字写在字母后面:a×5 写成 a5,应写 5a。\n- 1×b 写成 1b,系数 1 必须省略,写 b。\n- 把 a+a 当成 a²:相加得 2a,相乘才是 a²。\n- 数字乘括号时漏乘其中一项:3(a+2b)≠3a+2b。\n- k×9k 漏掉一个 k,写成 9k,应是 9k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a×5=?\",\"answers\":[\"5a\"],\"explain\":\"数字与字母相乘省略乘号,数字写在字母前面,得 5a。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a×12=?\",\"answers\":[\"12a\"],\"explain\":\"省略乘号,数字在前,得 12a。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:w×1=?\",\"answers\":[\"w\"],\"explain\":\"任何数乘 1 等于它本身,1 可以省略,得 w。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:n×m=?(按字母顺序写)\",\"answers\":[\"mn\"],\"explain\":\"字母与字母相乘省略乘号,习惯按字母表顺序写成 mn。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 a×b×x 的结果是?\",\"options\":[\"abx\",\"a+b+x\",\"3abx\"],\"answer\":0,\"explain\":\"三个字母相乘,省略乘号写成 abx;a+b+x 是加法,3abx 是相加才有的系数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:a+a+a=?\",\"answers\":[\"3a\"],\"explain\":\"3 个 a 相加等于 3a。注意相加与相乘不同。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"a×a 等于?\",\"options\":[\"2a\",\"a²\",\"a+a\"],\"answer\":1,\"explain\":\"两个相同的数相乘写成它的平方:a×a=a²。2a 表示 a+a。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 1×b×d×19 的结果是?\",\"options\":[\"19bd\",\"1bd19\",\"bd19\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 可以省略,数字写在字母前面,得 19bd。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 a×2×a×b 的结果是?\",\"options\":[\"2a²b\",\"4ab\",\"2ab\"],\"answer\":0,\"explain\":\"用交换律把数字和相同字母放一起:2×a×a×b=2a²b。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"3(a+2b)=3a+2b。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。去括号要用 3 乘括号里的每一项:3(a+2b)=3a+6b,第二项漏乘了。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 字母可以表示数;字母确定后,式子的值也确定。\n- 省略乘号:字母×字母直接写;数字×字母数字在前。\n- 系数 1 省略;相同字母相乘写成平方。\n- 数字乘括号,每一项都要乘。\n" + }, + { + "id": "eq-03", + "title": "用字母表示数量关系与等量关系", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "把生活中的数量关系与等量关系写成式子和方程", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学会了含字母式子的简写。本课进一步:把生活里的**数量关系**和**等量关系**用含字母的式子表示出来——这正是列方程解应用题的准备工作。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1:用字母表示数量关系\n读题时抓住\"谁比谁多/少、一共、剩下\"等关键词,把未知量用字母表示,其余量就能用含字母的式子表示。\n\n**例 1(减法关系)** 薇儿要修一条 a 米长的路,还剩 52 米没有修,已经修了多少米?\n【思路】总量-剩下=已修。\n【解答】已修 (a-52) 米。\n【验算/提醒】(a-52)+52=a,与总长相符。注意不要写成 52-a。\n\n**例 2(和与差)** ① 胖机器人数加瘦机器人数和是 b,胖的是 m,瘦的是多少?② 小明共变出 m 名机器人,胖的 230 名,瘦的多少名?③ 搬砖的机器人有 a 人,运沙子的比搬砖的少 b 人,运沙子的有多少人?共有多少人?\n【思路】和-一部分=另一部分;比谁少就用减法。\n【解答】① 瘦机器人 (b-m) 名;② 瘦机器人 (m-230) 名;③ 运沙子 (a-b) 人,共有 a+(a-b)=(2a-b) 人。\n【验算/提醒】③ 的\"共有\"要把两类相加并合并同类项:a+(a-b)=2a-b,不要只写 a+a-b 就不整理。\n\n**例 3(图形与求值)** 一个正方形的周长是 C,它的边长是多少?\n【解答】边长=C÷4。\n**例 4(求值)** 古董店门前栽了梧桐树和雪松各 x 排,梧桐每排 12 棵,雪松每排 14 棵,共多少棵?当 x=20 时,共多少棵?\n【思路】分别表示再合并;求值就是把字母替换成数。\n【解答】梧桐 12x 棵,雪松 14x 棵,共 12x+14x=26x 棵;当 x=20 时,26×20=520 棵。\n【验算/提醒】代入后式子的值就唯一确定了——这正说明\"字母确定,式子的值也确定\"。\n\n### 概念 2:用字母表示等量关系\n题目里如果存在\"相等\"的关系(花掉+剩下=总数、吃掉+剩下=总量……),就可以把它写成一个**等式**,为列方程做准备。\n\n**例 5** 小亮带了 50 元钱去买肉,买了每斤 8 元的羊肉 x 斤后,还剩 2 元钱。\n【思路】花的钱:8x 元;总钱数-花的=剩的。\n【解答】50-8x=2(也可写成 8x+2=50,意思相同)。\n\n**例 6** 小明买来 3 块牛肉,每块 x 千克,吃掉 40 千克后,还剩 38 千克。\n【解答】3x-40=38。\n\n**例 7** 小刚买了 3 筐白菜、2 筐萝卜,共花了 200 元;买了 5 筐白菜、1 筐萝卜,也花了 200 元。\n【思路】有两种蔬菜,就设两个字母;两次购买给出两个相等关系。\n【解答】设白菜每筐 a 元、萝卜每筐 b 元,得:3a+2b=200 和 5a+b=200。两个未知数、两个等式——这正是后面\"二元一次方程组\"的样子。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 减法关系写反:已修 a 米剩 52 米,写成 52-a。\n- 正方形边长写成 C×4(应是 C÷4,周长才是边长×4)。\n- 求\"共有\"时忘记合并同类项。\n- 求值时忘记把字母替换成给定的数,或代入后算错乘法。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"薇儿要修一条 a 米长的路,还剩下 52 米没有修,已经修了多少米?\",\"answers\":[\"a-52\"],\"explain\":\"总长 a 米减去剩下的 52 米,已修 a-52 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"胖机器人数加上瘦机器人数,和是 b,胖机器人数是 m,瘦机器人数是多少?\",\"answers\":[\"b-m\"],\"explain\":\"和减去胖的就是瘦的:b-m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明共变出 m 名机器人,其中胖机器人 230 名,瘦机器人多少名?\",\"answers\":[\"m-230\"],\"explain\":\"总数 m 减去胖的 230,瘦的是 m-230 名。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"搬砖的机器人有 a 人,运沙子的比搬砖的少 b 人,运沙子的有多少人?\",\"answers\":[\"a-b\"],\"explain\":\"比 a 少 b,就是 a-b 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形的周长是 C,它的边长是多少?\",\"answers\":[\"C÷4\",\"C/4\"],\"explain\":\"正方形周长=边长×4,所以边长=周长÷4,即 C÷4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"古董店前栽了梧桐树和雪松各 x 排,梧桐每排 12 棵,雪松每排 14 棵,共有多少棵?(含字母式子)\",\"answers\":[\"26x\"],\"explain\":\"梧桐 12x 棵,雪松 14x 棵,共 12x+14x=26x 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,当 x=20 时,共有多少棵树?\",\"answers\":[\"520\"],\"explain\":\"把 x=20 代入 26x:26×20=520 棵。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小亮带了 50 元去买每斤 8 元的羊肉 x 斤,还剩 2 元。正确的等量关系式是?\",\"options\":[\"50-8x=2\",\"8x=50+2\",\"50+8x=2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"花掉 8x 元,50-8x=2;它和 8x+2=50 是同一个意思,选项中只有第一个正确。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小明买来 3 块牛肉,每块 x 千克,吃掉 40 千克后还剩 38 千克,可列等式 3x-40=38。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。总重 3x 千克,吃掉 40 剩 38,即 3x-40=38。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小刚买 3 筐白菜、2 筐萝卜共花 200 元。设白菜每筐 a 元、萝卜每筐 b 元,正确的式子是?\",\"options\":[\"3a+2b=200\",\"3a×2b=200\",\"2a+3b=200\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 筐白菜 3a 元,2 筐萝卜 2b 元,加起来 200 元:3a+2b=200。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 找关键词(多、少、和、剩),用字母把量表示出来。\n- 总量=部分+部分;比多少用加减;图形公式要记牢。\n- 几个相同字母相加要合并同类项。\n- 找到\"相等关系\"就能写出等式,这是列方程的关键一步。\n" + }, + { + "id": "eq-04", + "title": "认识方程与等式的性质", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解方程的意义,会用等式性质解简单方程", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们把等量关系写成了等式。本课正式认识**方程**,学习等式的两条性质,并用它们解简单的方程。方程是小学数学的重要工具,也是小学向初中过渡的重点。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念 1:方程的定义\n**方程:含有未知数的等式。** 判断要过两关:第一,它必须是等式(有等号);第二,它必须含有未知数。\n- x+5=12:是等式又含未知数,是方程。\n- x+5:没有等号不是等式,不是方程。\n- 5+7=12:是等式但没有未知数,不是方程。\n\n再说两个名词:\n- **元**:方程中未知数的个数。一个未知数叫一元,两个叫二元。\n- **次**:未知数的最高次幂。最高是 1 次叫一次,是 2 次叫二次。\n例如 4x+3=3x+8 是一元一次方程;而 3x²+2y=100 含有 x、y 两个未知数、最高次数是 2,是二元二次方程。\n\n### 概念 2:等式的基本性质\n把等式想象成一架平衡的天平:\n1. **性质一**:等式两边同时加上或减去相同的数,等式仍然成立。\n2. **性质二**:等式两边同时乘或除以一个不是 0 的数,等式仍然成立。\n特别提醒:除以的数**不能是 0**,0 不能作除数。\n\n### 例题 1:两边同减\n解方程:x+5=13。\n【思路】左边多了 +5,两边同时减去 5,把 x 单独留在左边。\n【解答】解:x+5-5=13-5,所以 x=8。\n【验算/提醒】把 x=8 代回:8+5=13,左右相等,正确。\n\n### 例题 2:两边同除\n解方程:3x=18。\n【思路】x 的系数是 3,两边同时除以 3。\n【解答】解:3x÷3=18÷3,所以 x=6。\n【验算/提醒】3×6=18,正确。\n\n### 例题 3:两步解方程\n解方程:4x-6=18。\n【思路】先消掉 -6(两边加 6),再消掉系数 4(两边除以 4)。\n【解答】解:两边加 6 得 4x=24;两边除以 4 得 x=6。\n【验算/提醒】4×6-6=24-6=18,正确。\n\n### 例题 4:解上节课的等量关系\n① 买羊肉:50-8x=2;② 吃牛肉:3x-40=38。\n【思路】① 先把 8x 看成一个整体:50 减去它得 2,所以它等于 48。② 先两边加 40。\n【解答】① 8x=50-2=48,x=48÷8=6(买了 6 斤羊肉)。② 3x=38+40=78,x=78÷3=26(每块牛肉 26 千克)。\n【验算/提醒】① 50-8×6=2,正确。② 3×26-40=38,正确。注意 50-8x=2 中要移的是 8x 这一整项。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把\"含有未知数的式子\"都当方程,忘了必须先是等式。\n- 说\"两边同时除以同一个数\"时漏掉\"0 除外\"。\n- 解 50-8x=2 时,用 50-2 后忘记除以 8,或把减号搞丢。\n- 解完不验算。验算只要把答案代回原方程算一遍。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"含有未知数的式子叫方程。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是含有未知数的等式才叫方程,x+5 不是等式,不是方程。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下列各式中,是方程的是?\",\"options\":[\"x+5=12\",\"x+5\",\"5+7=12\"],\"answer\":0,\"explain\":\"方程要满足两个条件:是等式、含未知数。只有 x+5=12 同时满足。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3x²+2y=100 是几元几次方程?\",\"options\":[\"一元一次\",\"二元二次\",\"二元一次\"],\"answer\":1,\"explain\":\"含 x、y 两个未知数(二元),未知数的最高次数是 2(x²),所以是二元二次方程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"等式两边同时除以同一个数,等式仍然成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。除以的数不能是 0,0 不能作除数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"利用等式性质解方程:x+5=13,x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边同时减去 5:x=13-5=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:3x=18,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边同时除以 3:x=18÷3=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:4x-6=18,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边先加 6:4x=24;再除以 4:x=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:50-8x=2,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"8x=50-2=48,所以 x=48÷8=6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"方程 3x-40=38 的解是 x=26。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。3x=38+40=78,x=78÷3=26;验算 3×26-40=38。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"等式 7+9=16 两边同时加上 10,得到的式子?\",\"options\":[\"仍然成立\",\"不成立\",\"无法判断\"],\"answer\":0,\"explain\":\"等式两边同时加上相同的数,等式仍然成立:17+9=26,即 16+10=26。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 方程=含有未知数的等式;元看未知数个数,次看最高次幂。\n- 性质一:两边同加同减,等式不变。\n- 性质二:两边同乘同除(0 除外),等式不变。\n- 解简单方程:先消加减、再消系数,最后验算。\n" + }, + { + "id": "eq-05", + "title": "解一元一次方程:去括号与移项", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握解方程六步法,会解含括号的一元一次方程", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们用等式性质解了简单方程。本课学习解一元一次方程的完整流程,重点攻克两个易错动作:**去括号**和**移项**。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:解方程的六个步骤\n1. 先写\"解\";\n2. 去分母(有分母时,下节课讲);\n3. 有括号先去括号——利用乘法分配律,特别注意变号;\n4. 移项变号——把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边,移动的项要变号(过桥变号);\n5. 合并同类项——等号对齐书写;\n6. 系数化为 1——两边除以未知数的系数,未知数写在左边。\n\n### 例题 1:移项(两边都有 x)\n解方程:4x+3=3x+8。\n【思路】把含 x 的项都移到左边,常数都移到右边,记住移项要变号。\n【解答】解:移项得 4x-3x=8-3,合并得 x=5。\n【验算/提醒】左边=4×5+3=23,右边=3×5+8=23,相等,正确。\n\n### 例题 2:移项巩固\n解方程:7x-2=4x+13。\n【解答】解:移项得 7x-4x=13+2,合并得 3x=15,系数化为 1 得 x=5。\n【验算/提醒】左边=35-2=33,右边=20+13=33,正确。\n\n### 例题 3:去括号——括号前是减号\n解方程:12-(3x-4)=x。\n【思路】括号前是减号,去掉括号时里面的每一项都要变号:+3x 变 -3x,-4 变 +4。\n【解答】解:去括号得 12-3x+4=x,合并得 16-3x=x;移项得 16=4x,所以 x=4。\n【验算/提醒】左边=12-(12-4)=12-8=4=右边,正确。括号前减号是最容易出错的地方!\n\n### 例题 4:去括号——括号前是加号\n解方程:15x+(30-6x)=39。\n【思路】括号前是加号,直接去括号,各项符号不变。\n【解答】解:去括号得 15x+30-6x=39,合并得 9x+30=39;移项得 9x=9,x=1。\n【验算/提醒】左边=15+(30-6)=15+24=39,正确。\n\n### 例题 5:综合(两边都有括号)\n解方程:2+3(x-26)=42-(x-50)。\n【思路】先分别去括号:左边 3 要用分配律乘两项;右边括号前是减号,里面变号。\n【解答】解:去括号得 2+3x-78=42-x+50,合并得 3x-76=92-x;移项得 3x+x=92+76,合并得 4x=168,x=42。\n【验算/提醒】左边=2+3×16=50;右边=42-(-8)=50,正确。数字大更要一步一步写清楚。\n\n### 例题 6:综合巩固\n解方程:10-2(x-3)=3x+4(x-5)。\n【解答】解:去括号得 10-2x+6=3x+4x-20,合并得 16-2x=7x-20;移项得 16+20=7x+2x,合并得 36=9x,x=4。\n【验算/提醒】左边=10-2×1=8;右边=12+4×(-1)=8,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 括号前是减号时忘记变号:12-(3x-4) 写成 12-3x-4。\n- 分配律漏乘:3(x-26) 写成 3x-26,漏乘了 -26。\n- 移项忘记变号:只移动不变号是最常见的错误。\n- 合并同类项时正负号数错;跳步导致抄错数字。\n- 不写\"解\"、不验算。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:4x+3=3x+8,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:4x-3x=8-3,得 x=5。验算:23=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:7x-2=4x+13,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:7x-4x=13+2,3x=15,x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:12-(3x-4)=x,x=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"去括号(前面是减号,里面变号):12-3x+4=x,16=4x,x=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:15x+(30-6x)=39,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"去括号(前面是加号,不变号):9x+30=39,9x=9,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:5x+7=2x+22,x=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"移项:5x-2x=22-7,3x=15,x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:6(x-1)=4x+8,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"去括号:6x-6=4x+8;移项:2x=14,x=7。验算:36=36。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:20-(2x+6)=8,x=?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"去括号:20-2x-6=8,即 14-2x=8,2x=6,x=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:3(x+4)=2(x+9),x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"去括号:3x+12=2x+18;移项:x=6。验算:30=30。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"12-(3x-4) 去括号后应得 12-3x-4。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。括号前是减号,括号里每一项都要变号:12-(3x-4)=12-3x+4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"由 4x+3=3x+8 移项得 4x-3x=8-3,这一步是正确的。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。移项要变号(过桥变号):+3 移到右边变 -3,3x 移到左边变 -3x。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 六步法:写解→去分母→去括号→移项→合并→系数化为 1。\n- 括号前是减号,去括号时里面每项都变号。\n- 移项必变号;把 x 的项移到一边、常数移到另一边。\n- 一步一写、最后验算,是避免丢分的最好习惯。\n" + }, + { + "id": "eq-06", + "title": "分数系数方程与比例方程", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "会去分母解分数方程,会交叉相乘解比例方程", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课掌握了去括号与移项。本课解决两类常见方程:**分数系数方程**(分母里有数)和**比例方程**(写成比例形式的方程)。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法 1:分数系数方程——去分母\n解法:等号两边同时乘上所有分母的**最小公倍数**,把分数方程变成整数系数方程,再按上节课的步骤解。\n\n**例 1** 解方程:(1/3)(x-5)=3-(2/3)(x-5)。\n【思路】分母都是 3,两边乘 3;也可以把 (x-5) 看成一个整体。\n【解答】解法一(去分母):两边乘 3 得 x-5=9-2(x-5),去括号得 x-5=9-2x+10,即 x-5=19-2x;移项得 3x=24,x=8。解法二(整体):移项得 (1/3)(x-5)+(2/3)(x-5)=3,合并得 x-5=3,x=8。\n【验算/提醒】x=8 时,(1/3)×3=1;3-(2/3)×3=3-2=1,左右相等。整体观察常常更快。\n\n**例 2** 解方程:(2x-14)/10=1+(7x-2)/3。\n【思路】分母是 10 和 3,最小公倍数 30。注意:常数 1 也要乘 30;分数线有括号作用,分子是多项式时要添括号。\n【解答】两边乘 30:3(2x-14)=30+10(7x-2)。去括号:6x-42=30+70x-20,即 6x-42=70x+10。移项:6x-70x=10+42,-64x=52,系数化为 1:x=-13/16。\n【验算/提醒】代入两边都得 -25/16,正确。答案可以是负分数,不要因为\"难看\"就怀疑步骤——只要每步都对,就大胆写。\n\n**例 3** 解方程:(1/3)×[(1/3)(9-x)-x]-x=(1/9)(9-x)。\n【思路】分母有 3 和 9,两边乘 9;中括号里先化简。\n【解答】先算中括号里:(1/3)(9-x)=3-x/3,所以中括号内是 3-x/3-x=3-4x/3。原方程左边=(1/3)(3-4x/3)-x=1-4x/9-x=1-13x/9;右边=(1/9)(9-x)=1-x/9。得 1-13x/9=1-x/9,两边减 1:-13x/9=-x/9,即 -13x=-x,-12x=0,x=0。\n【验算/提醒】x=0 时,左边=(1/3)×[(1/3)×9]-0=1,右边=(1/9)×9=1,正确。x=0 也是合法的答案。\n\n### 方法 2:比例方程——交叉相乘\n比例的基本性质:在 a:b=c:d 中,**内项积=外项积**,即 b×c=a×d。解比例方程就用交叉相乘把它变成普通方程。\n\n**例 4** 解方程:(2x+4):2=(7x-6):3。\n【解答】交叉相乘:3(2x+4)=2(7x-6)。去括号:6x+12=14x-12。移项:12+12=14x-6x,24=8x,x=3。\n【验算/提醒】左边=10:2=5,右边=15:3=5,比值相等,正确。\n\n**例 5** 解方程:((2/5)x+2):3.5=(8/7)x:(1/2)。\n【思路】含小数和分数,先把 3.5 写成 7/2 再交叉相乘。\n【解答】交叉相乘:((2/5)x+2)×(1/2)=(8/7)x×3.5。左边=x/5+1;右边=(8/7)×(7/2)×x=4x。得 x/5+1=4x,移项:1=4x-x/5=19x/5,所以 x=5/19。\n【验算/提醒】代入检验,两边都等于 80/133,正确。小数化分数、分数约分,一步步来。\n\n**例 6** 解方程:5(x-3)/6=2(x+1)/3。\n【思路】它可以看成分数方程(两边乘 6),也可以看成比例(交叉相乘),殊途同归。\n【解答】两边乘 6:5(x-3)=4(x+1)。去括号:5x-15=4x+4。移项:x=19。\n【验算/提醒】左边=5×16/6=40/3,右边=2×20/3=40/3,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 去分母时漏乘不含分母的项(如常数 1)。\n- 分数线当括号用:分子是多项式,去分母后忘记加括号。\n- 交叉相乘时把内项、外项配错对。\n- 小数不化分数直接硬算,容易出错。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:(1/3)(x-5)=3-(2/3)(x-5),x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边乘 3:x-5=9-2(x-5),解得 x=8;也可把 (x-5) 看整体直接合并。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:5(x-3)/6=2(x+1)/3,x=?\",\"answers\":[\"19\"],\"explain\":\"两边乘 6:5(x-3)=4(x+1),5x-15=4x+4,x=19。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解比例方程:(2x+4):2=(7x-6):3,x=?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"交叉相乘:3(2x+4)=2(7x-6),6x+12=14x-12,8x=24,x=3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:x/2+3=7,x=?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两边减 3:x/2=4;两边乘 2:x=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:(x-1)/2=(x+2)/3,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"交叉相乘(或乘 6):3(x-1)=2(x+2),3x-3=2x+4,x=7。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解比例:3:5=x:10,x=?\",\"options\":[\"6\",\"15\",\"3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"内项积=外项积:5x=3×10=30,x=6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"去分母时,不含分母的项(比如常数 1)可以不乘最小公倍数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。等式两边的每一项都要乘,漏乘常数项是最常见的错误。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"在比例 2:3=4:6 中,内项积 3×4=12 等于外项积 2×6=12。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比例的基本性质:内项积等于外项积,这正是交叉相乘的依据。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:2x/3=4,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两边乘 3:2x=12;除以 2:x=6。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"方程 x/4=9/12 的解是?\",\"options\":[\"3\",\"4\",\"9\"],\"answer\":0,\"explain\":\"两边乘 4:x=9×4/12=3。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分数系数方程:两边同乘分母的最小公倍数,每项都要乘。\n- 分数线有括号作用,分子是多项式要添括号。\n- 比例方程:交叉相乘,内项积=外项积。\n- 遇到小数先化分数;解完一定要验算。\n" + }, + { + "id": "eq-07", + "title": "繁分数方程", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "会化简繁分数,会解分子分母中含分数的方程", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了去分母和交叉相乘。本课挑战\"分数里的分数\"——**繁分数**,以及含繁分数的方程。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:繁分数与化简方法\n**繁分数**:分子或分母中还含有分数的分数,形式如 (a/b)/(c/d)。繁分数就像\"俄罗斯套娃\"——分数里面还藏着分数。\n化简口诀:**找准最小公倍数,上下一齐乘,分数变整数。**\n两种化简方法:\n1. **分子分母同乘法**:分子和分母同时乘所有内部分母的最小公倍数,消去内部分数。\n2. **逐步化简法**:先分别化简分子和分母,再做除法(除以一个数等于乘它的倒数)。\n本质:把\"分数中的分数\"变成整数或简单分数。\n\n### 例题 1:同乘法化简\n化简:((1/2)+(1/3))/((1/4)+(1/6))。\n【思路】内部分母是 2、3、4、6,最小公倍数是 12,分子分母同乘 12。\n【解答】分子×12:6+4=10;分母×12:3+2=5。所以原式=10/5=2。\n【验算/提醒】逐步法核对:分子=5/6,分母=5/12,(5/6)÷(5/12)=2,一致。\n\n### 例题 2:含未知数的繁分数方程\n解方程:((x/2)+1)/((x/3)-1)=3。\n【思路】先用同乘法去掉内部分数,再用交叉相乘解方程。\n【解答】分子分母同乘 6:(3x+6)/(2x-6)=3。交叉相乘:3x+6=3(2x-6)=6x-18。移项:6+18=6x-3x,24=3x,x=8。\n【验算/提醒】x=8 时,分子=8/2+1=5,分母=8/3-1=5/3,5÷(5/3)=3,正确。\n\n### 例题 3:多层繁分数\n化简:(1+1/(1+1/2))/(1-1/(1+1/2))。\n【思路】多层繁分数从最内层开始化简。\n【解答】最内层:1+1/2=3/2;于是 1/(3/2)=2/3。代入外层:(1+2/3)/(1-2/3)=(5/3)/(1/3)=(5/3)×3=5。\n【验算/提醒】每化简一层就检查一次,避免抄错。\n\n### 例题 4:先化简再解方程\n解方程:((x+1)/2)/((x-1)/3)=2。\n【思路】繁分数的\"分数线\"就是除法,先把除法写成乘法。\n【解答】((x+1)/2)×(3/(x-1))=2,即 3(x+1)/(2(x-1))=2。交叉相乘:3(x+1)=4(x-1),3x+3=4x-4,x=7。\n【验算/提醒】x=7:分子=(8)/2=4,分母=(6)/3=2,4/2=2,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 同乘法只乘了分子,忘了分母也要同时乘。\n- 最小公倍数找错,内部分数消不干净。\n- 多层繁分数化简顺序搞反,应从最内层开始。\n- 分数除法忘记\"变乘倒数\"。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简繁分数:((2/3)+(1/4))/((5/6)-(1/3))=?\",\"answers\":[\"11/6\"],\"explain\":\"分子=8/12+3/12=11/12,分母=5/6-2/6=1/2,(11/12)÷(1/2)=11/6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:(1-1/3)/(1+1/3)=?\",\"answers\":[\"1/2\",\"0.5\"],\"explain\":\"分子=2/3,分母=4/3,(2/3)÷(4/3)=(2/3)×(3/4)=1/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:((x+1)/2)/((x-1)/3)=2,x=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"除法变乘法:((x+1)/2)×(3/(x-1))=2,即 3(x+1)=4(x-1),3x+3=4x-4,x=7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程:((2x/3)-(1/2))/((x/4)+(1/6))=4,x=?\",\"answers\":[\"-7/2\",\"-3.5\"],\"explain\":\"分子分母同乘 12:(8x-6)/(3x+2)=4,交叉相乘 8x-6=12x+8,-4x=14,x=-7/2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简多层繁分数:(2+1/(3+1/2))/(2-1/(3+1/2))=?\",\"answers\":[\"4/3\"],\"explain\":\"最内层 3+1/2=7/2,1÷(7/2)=2/7,于是 (2+2/7)/(2-2/7)=(16/7)/(12/7)=4/3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 (1/2)/(1/4)=?\",\"options\":[\"2\",\"1/8\",\"8\"],\"answer\":0,\"explain\":\"(1/2)÷(1/4)=(1/2)×4=2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"繁分数的分子和分母同时乘同一个非零数,繁分数的值不变。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这正是“分子分母同乘法”化简繁分数的依据。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"化简 ((1/3)+(1/6))/(1/2)=?\",\"options\":[\"1\",\"1/2\",\"2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"分子=1/3+1/6=1/2,(1/2)÷(1/2)=1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"化简多层繁分数时,应从最外层开始算起。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。应从最内层开始,一层一层向外化简。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"化简:(3/4)/(1/8)=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"(3/4)÷(1/8)=(3/4)×8=6。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 繁分数=分数里还有分数;口诀:找准最小公倍数,上下一齐乘。\n- 两种化简法:同乘法、逐步化简法,本质都是把分数变整数。\n- 多层繁分数从最内层向外化。\n- 含未知数时:先化简繁分数,再交叉相乘解方程。\n" + }, + { + "id": "eq-08", + "title": "二元一次方程组:代入消元法", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "认识方程组,会用代入消元法把二元化为一元", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n前面学的方程都只有一个未知数。从本课起学习**二元一次方程组**:两个未知数、两个方程。核心思想只有一个词——**消元**:把\"二元\"变成我们会解的\"一元\"。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:什么是二元一次方程组\n含有两个未知数、每个未知数的次数都是 1 的方程组,叫二元一次方程组。方程组的解,是**同时**满足两个方程的一组值。一个方程往往有无穷多组解,两个方程联立才能唯一确定。\n\n### 方法:代入消元法四步\n1. 选一个系数比较简单的方程,把其中一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来;\n2. 把这个表达式代入另一个方程,消去一个未知数;\n3. 解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;\n4. 把求得的值代回第 1 步的表达式,求出另一个未知数的值。\n\n### 例题 1:直接代入\n解方程组:y=2x,且 3x+y=5。\n【思路】第一个方程已经把 y 表示成了 2x,直接代入第二个方程。\n【解答】把 y=2x 代入 3x+y=5:3x+2x=5,5x=5,x=1。代回 y=2x 得 y=2。所以 x=1,y=2。\n【验算/提醒】两个方程都要验:3×1+2=5,正确。\n\n### 例题 2:代入含括号的表达式\n解方程组:y=2x-3,且 x+2y=4。\n【思路】把 y=2x-3 整体代入 x+2y=4,注意 2y=2(2x-3),整个表达式要加括号。\n【解答】x+2(2x-3)=4,去括号:x+4x-6=4,5x=10,x=2。代回:y=2×2-3=1。所以 x=2,y=1。\n【验算/提醒】x+2y=2+2=4,正确。代入时忘记加括号是最常见的错误。\n\n### 例题 3:先变形再代入\n解方程组:x-y=2,且 2x+y=7。\n【思路】两个方程都没有现成的\"y=…\"形式,先把简单的变一下:由 x-y=2 得 x=y+2(用 y 表示 x)。\n【解答】把 x=y+2 代入 2x+y=7:2(y+2)+y=7,2y+4+y=7,3y=3,y=1。代回 x=y+2 得 x=3。所以 x=3,y=1。\n【验算/提醒】x-y=3-1=2,2x+y=6+1=7,两个方程都满足。选哪个未知数表示都行,挑系数是 1 或 -1 的那个最省事。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把表达式代回它自己所在的那个方程,得到恒等式,白白绕圈——要代入**另一个**方程。\n- 代入时忘记给整个表达式加括号:x+2(2x-3) 写成 x+2×2x-3。\n- 只求出一个未知数就停,忘了回代求另一个。\n- 检验只验一个方程,要两个都验。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=2x 且 3x+y=5,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"把 y=2x 代入 3x+y=5:3x+2x=5,5x=5,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"把 x=1 代回 y=2x,得 y=2。检验:3×1+2=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=2x-3 且 x+2y=4,x=?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"代入:x+2(2x-3)=4,5x-6=4,x=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"y=2×2-3=1。检验:2+2×1=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:x-y=2 且 2x+y=7,y=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"由第一式 x=y+2,代入第二式:2(y+2)+y=7,3y=3,y=1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"代入消元法的核心思想是?\",\"options\":[\"消元:把二元化为一元\",\"把两个方程相加\",\"给两个方程去分母\"],\"answer\":0,\"explain\":\"通过把一个未知数用另一个表示并代入,消去一个未知数,就回到会解的一元一次方程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把 y=2x 代入 3x+y=5,可以得到 3x+2x=5。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。用 2x 替换 y,方程里就只剩 x 了。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解方程组时求出一个未知数的值,就可以直接作答了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。还要把求得的值代回,求出另一个未知数,两个都求出并检验才能作答。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:y=x+1 且 x+y=9,x=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"代入:x+(x+1)=9,2x=8,x=4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"y=4+1=5。检验:4+5=9。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 二元一次方程组的解,是同时满足两个方程的一组值。\n- 代入消元:表示→代入→解一元方程→回代。\n- 消元是总纲:把二元化为一元。\n- 解完两个方程都要验算。\n" + }, + { + "id": "eq-09", + "title": "二元一次方程组:加减消元法", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "会用加减消元法解方程组,并会整体相加巧解对称方程组", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了代入消元。本课学习另一种消元方式——**加减消元**:把两个方程相加或相减,直接消掉一个未知数。最后再学一招\"整体相加\"巧解对称方程组。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法:加减消元法\n依据是等式性质:两个等式相加或相减,结果仍是等式。\n- 某个未知数系数**相同**:两式相减消它;系数**互为相反数**:两式相加消它。\n- 系数都不同:先给方程两边乘适当的数,把某个未知数的系数\"凑齐\",再加减。\n\n### 例题 1:凑系数后相减\n解方程组:3x+4y=11,且 2x+y=4。\n【思路】y 的系数是 4 和 1,把第二式乘 4,让 y 的系数都变成 4,再相减。\n【解答】第二式×4:8x+4y=16。减去第一式 (8x+4y)-(3x+4y)=16-11,得 5x=5,x=1。把 x=1 代入 2x+y=4:2+y=4,y=2。所以 x=1,y=2。\n【验算/提醒】3×1+4×2=11,正确。x 的系数也不难凑,但挑容易凑的未知数消。\n\n### 例题 2:答案是分数\n解方程组:2x-y=5,且 x+2y=4。\n【思路】y 的系数是 -1 和 2,把第一式乘 2 得 -2y,与第二式的 +2y 相加可消去 y。\n【解答】第一式×2:4x-2y=10。加第二式:5x=14,x=14/5。代入 2x-y=5:y=2x-5=28/5-25/5=3/5。所以 x=14/5,y=3/5。\n【验算/提醒】2×(14/5)-3/5=25/5=5,14/5+2×(3/5)=20/5=4,正确。答案可以是分数,不必怀疑。\n\n### 例题 3:两边都要乘(复杂消元)\n解方程组:2x+5y=31,且 3x+2y=19。\n【思路】消 y:5 和 2 的最小公倍数是 10,第一式乘 2、第二式乘 5,把 y 的系数都凑成 10。\n【解答】第一式×2:4x+10y=62;第二式×5:15x+10y=95。相减:11x=33,x=3。代入 2x+5y=31:6+5y=31,5y=25,y=5。所以 x=3,y=5。\n【验算/提醒】3×3+2×5=19,正确。系数凑齐是加减消元的基本功。\n\n### 延伸:整体相加,巧解对称方程组\n有些方程组里未知数\"轮换出现\"、左右对称,逐元硬消很麻烦,**把所有方程相加**往往一步破题。\n\n**例 4** 解方程组:3a+b+c=69,a+3b+c=75,a+b+3c=81。\n【思路】三式相加,每个未知数都出现 1+1+3=5 次。\n【解答】相加:5(a+b+c)=225,所以 a+b+c=45。把第一式改写成 2a+(a+b+c)=69,得 2a=24,a=12;同理 2b=75-45=30,b=15;2c=81-45=36,c=18。所以 a=12,b=15,c=18。\n【验算/提醒】代入三个原方程都成立。\n\n**例 5** 解方程组:x+y-z=4,x+z-y=6,y+z-x=8。\n【思路】三式相加,正负抵消后正好剩 x+y+z。\n【解答】相加:x+y+z=18。第一式即 (x+y+z)-2z=4,得 18-2z=4,z=7;第二式得 18-2y=6,y=6;第三式得 18-2x=8,x=5。所以 x=5,y=6,z=7。\n【验算/提醒】5+6-7=4,正确。\n\n**例 6** 解方程组:2x+y+z=7,x+2y+z=8,x+y+2z=9。\n【解答】三式相加:4(x+y+z)=24,x+y+z=6。第一式=x+(x+y+z)=7,得 x=1;第二式得 y=2;第三式得 z=3。所以 x=1,y=2,z=3。\n【验算/提醒】每个方程代入检验都成立。方法总结:全部相加求\"和\",再用\"和\"改写每个方程。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 给方程乘数时漏乘常数项。\n- 该加还是该减没想清楚:系数相同用减,互为相反数用加。\n- 求出一个未知数后代入复杂的方程,容易算错,尽量代入简单的原方程。\n- 对称方程组逐个硬消,费时还易错——先观察结构。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:x+y=10 且 x-y=2,x=?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"两式相加:2x=12,x=6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,y=?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"x=6 代入 x+y=10 得 y=4;检验 6-4=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:3x+4y=11 且 2x+y=4,x=?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"第二式乘 4 得 8x+4y=16,减第一式:5x=5,x=1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程组:2x+5y=31 且 3x+2y=19,y=?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"第一式乘 2、第二式乘 5 再相减消去 y,先求得 x=3,再代入得 y=5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解方程组:2x-y=5 且 x+2y=4,x=?\",\"options\":[\"14/5\",\"2\",\"1\"],\"answer\":0,\"explain\":\"第一式乘 2:4x-2y=10,与第二式相加:5x=14,x=14/5(此时 y=3/5)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个方程中某个未知数的系数互为相反数时,把两个方程相加就能消去这个未知数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。例如 +2y 与 -2y 相加得 0,正好消去。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"加减消元时给方程两边乘一个数,只需要乘含未知数的项。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。等式两边每一项都要乘,常数项也不能漏。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"方程组 3a+b+c=69、a+3b+c=75、a+b+3c=81,三个方程相加,可得 a+b+c=?\",\"answers\":[\"45\"],\"explain\":\"相加得 5(a+b+c)=225,所以 a+b+c=45。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的方程组中,a=?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"第一式可写成 2a+(a+b+c)=69,即 2a=69-45=24,a=12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"方程组 x+y-z=4、x+z-y=6、y+z-x=8 中,z=?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"三式相加得 x+y+z=18;第一式即 (x+y+z)-2z=4,18-2z=4,z=7。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 加减消元:凑系数,同号相减、异号相加。\n- 消哪个未知数,看谁的系数好凑。\n- 轮换对称的方程组,把所有方程相加,利用整体求和。\n- 解方程组=消元:二元→一元;解完要验算。\n" + }, + { + "id": "eq-10", + "title": "列一元一次方程解应用题", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "按审设列解答五步法,把实际问题转化为方程求解", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们已经会解各种一元一次方程。本课学习方程最重要的用途——**解应用题**,掌握\"审、设、列、解、答\"五步法。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 方法:五步法\n1. **审**:认真读题,弄清已知量和未知量,找出等量关系(和差、倍比、相等)。\n2. **设**:合理选择未知数。可以直接设元(问什么设什么),也可以间接设元(设小不设大、设分不设总)。\n3. **列**:利用等量关系列出方程。\n4. **解**:求出未知数的值。\n5. **答**:对方程的解进行检查验算,针对问题作答。\n\n### 例题 1:文字翻译题\nA 的 5 倍与 20 的和是 9 的 15 倍,求 A。\n【思路】把中文逐词翻译成数学:\"A 的 5 倍\"=5A,\"与 20 的和\"=+20,\"是\"=等号,\"9 的 15 倍\"=9×15。\n【解答】解:设所求数为 A。5A+20=9×15,即 5A+20=135,5A=115,A=23。\n【验算/提醒】5×23+20=135=9×15,正确。翻译时\"和、差、倍、是\"四个词最关键。\n\n### 例题 2:稍复杂的翻译\n从 50 里面减去 x 的 2 倍的差,与 x 的 3 倍加 5 的和相等,求 x。\n【思路】\"……的差\"指 50-2x;\"……的和\"指 3x+5;两者\"相等\"。\n【解答】解:50-2x=3x+5。移项:50-5=3x+2x,45=5x,x=9。\n【验算/提醒】50-18=32,27+5=32,相等,正确。\n\n### 例题 3:完整五步示范(油桶问题)\n甲乙两桶油质量相等,甲桶取走 16 千克油,乙桶加入 14 千克油后,乙桶油的质量是甲桶油的质量的 4 倍。请问甲桶原来有油多少千克?\n【思路】审:原来两桶相等,变化后乙是甲的 4 倍。设:问什么设什么,设原来各 x 千克。等量关系:变化后的乙=4×变化后的甲。\n【解答】解:设甲桶原来有油 x 千克,则乙桶原来也是 x 千克。列方程:x+14=4(x-16)。去括号:x+14=4x-64。移项:14+64=4x-x,78=3x,x=26。验算:变化后甲 26-16=10 千克,乙 26+14=40 千克,40=4×10,符合题意。答:甲桶原来有油 26 千克。\n【验算/提醒】倍数句\"乙是甲的 4 倍\",标准量是甲,等式是乙=甲×4,千万别写反。\n\n### 例题 4:设未知数的技巧\n爸爸今年 40 岁,儿子 12 岁,几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍?\n【思路】问\"几年后\",就设 x 年后;等量关系:x 年后爸爸的岁数=3×x 年后儿子的岁数。\n【解答】解:设 x 年后爸爸年龄是儿子的 3 倍。40+x=3(12+x),去括号:40+x=36+3x,移项:40-36=3x-x,4=2x,x=2。验算:2 年后爸爸 42 岁、儿子 14 岁,42=3×14,正确。答:2 年后。\n【验算/提醒】年龄问题中两人同时长 1 岁,设\"几年后\"时两边都要加 x。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不认真审题就设未知数,等量关系找错。\n- 倍数关系写反:\"乙是甲的 4 倍\"写成甲=4乙。\n- 设了未知数却忘了单位,作答时漏写单位和\"答\"。\n- 解完不验算,尤其不检查是否符合实际意义。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"A 的 5 倍与 20 的和是 9 的 15 倍,求 A。A=?\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"列方程 5A+20=9×15=135,5A=115,A=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 50 里面减去 x 的 2 倍的差,与 x 的 3 倍加 5 的和相等,求 x。x=?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"列方程 50-2x=3x+5,45=5x,x=9。检验:32=32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两桶油质量相等。甲桶取走 16 千克、乙桶加入 14 千克后,乙桶是甲桶的 4 倍。甲桶原来有油多少千克?\",\"answers\":[\"26\"],\"explain\":\"设原来各 x 千克:x+14=4(x-16),解得 x=26。检验:40=4×10。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"列方程解应用题的五步法,正确顺序是?\",\"options\":[\"审、设、列、解、答\",\"审、列、设、解、答\",\"设、审、列、解、答\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先审题找等量关系,再设未知数、列方程、解方程、验算作答。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"设未知数只能“问什么设什么”,不能间接设。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。可以直接设元,也可以间接设元,比如设小不设大、设分不设总。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"爸爸今年 40 岁,儿子 12 岁。几年后爸爸的年龄是儿子的 3 倍?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"设 x 年后:40+x=3(12+x),40+x=36+3x,2x=4,x=2。检验:42=3×14。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"油桶问题中,设甲桶原来有油 x 千克,正确的方程是?\",\"options\":[\"x+14=4(x-16)\",\"x-16=4(x+14)\",\"x+14=4x-16\"],\"answer\":0,\"explain\":\"乙桶变为 x+14,甲桶变为 x-16,乙是甲的 4 倍:x+14=4(x-16)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解完方程后,要检验结果是否符合题意,再作答。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。“答”之前必须验算:既验方程,也验实际意义。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数的 3 倍减去 7 等于 20,这个数是多少?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"设这个数为 x:3x-7=20,3x=27,x=9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把“乙的质量是甲的 4 倍”写成等式,正确的是?\",\"options\":[\"乙=甲×4\",\"甲=乙×4\",\"乙=甲+4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"是“谁的 4 倍”,谁就是标准量,乙=甲×4。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 五步法:审、设、列、解、答,一步都不能少。\n- 设元灵活:可以直接设,也可以间接设(设小不设大、设分不设总)。\n- 列方程的关键是把中文\"翻译\"成等量关系。\n- 解完必须验算再作答。\n" + }, + { + "id": "eq-11", + "title": "方程组应用:和差倍分与配套", + "grade": "小升初", + "difficulty": 2, + "summary": "找两个等量关系列方程组,解和差倍分与配套问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n会解方程组还不够,要会用它解决实际问题。本课学习两类经典题型:**和差倍分问题**与**配套问题**。记住总原则:两个未知数,就要从题目里找出**两个**等量关系。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:和差倍分问题\n小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯。小锦买了 1 支笔和 2 盒笔芯,用了 18 元;小丽买了 2 支笔和 3 盒笔芯,用了 28 元。每支中性笔和每盒笔芯的价格分别是多少?\n【思路】两个未知数:笔的单价、笔芯的单价;两个等量关系:两人各自的总价。\n【解答】解:设每支中性笔 x 元,每盒笔芯 y 元。列方程组:x+2y=18,2x+3y=28。第一式×2:2x+4y=36;减第二式:y=8。代回:x=18-2×8=2。答:每支中性笔 2 元,每盒笔芯 8 元。\n【验算/提醒】小锦:2+16=18;小丽:4+24=28,都正确。\n\n### 方法:配套问题\n配套问题的关键:找到**配套比例**,写成等式(比例方程可用交叉相乘:内项积=外项积)。例如 1 张桌子配 4 把椅子,就是 椅子数=4×桌子数。\n\n### 例题 2:桌椅配套\n某木工有 22 人,一个工人每天可加工 3 张桌子或 10 只椅子,1 张桌子与 4 只椅子配套,如何安排工作?\n【思路】等量关系一:人数共 22;等量关系二:椅子总数=4×桌子总数。\n【解答】解:设 x 人做桌子,y 人做椅子。x+y=22;桌子共 3x 张,椅子共 10y 只,配套要求 10y=4×3x=12x,即 y=1.2x。代入:x+1.2x=22,2.2x=22,x=10,y=12。答:安排 10 人做桌子、12 人做椅子。\n【验算/提醒】桌子 30 张、椅子 120 只,120=4×30,正好配套。\n\n### 例题 3:植树配套(坑与树配套)\n某小学组织了 170 名学生参加义务植树,每个男生平均每天挖 3 个树坑,每个女生平均每天种 7 棵树,正好每个树坑种上一棵树。男生和女生各有多少人?\n【思路】\"一坑一种\"说明:树坑总数=树的总数。\n【解答】解:设男生 b 人,女生 g 人。b+g=170;3b=7g。由第二式 b=7g/3,代入第一式:7g/3+g=170,10g/3=170,g=51,b=119。答:男生 119 人,女生 51 人。\n【验算/提醒】坑:119×3=357;树:51×7=357,正好一一对应。\n\n### 例题 4:盒身盒底配套\n现有 190 张铁皮做盒子,每张铁皮可做 8 个盒身或 22 个盒底,一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子。问分别用多少张铁皮做盒身和盒底?\n【思路】等量关系一:铁皮共 190 张;等量关系二:盒底数=2×盒身数。\n【解答】解:设 x 张做盒身,y 张做盒底。x+y=190;盒身 8x 个,盒底 22y 个,22y=2×8x=16x,即 8x=11y,y=8x/11。代入:x+8x/11=190,19x/11=190,x=110,y=80。答:110 张做盒身,80 张做盒底。\n【验算/提醒】盒身 880 个,盒底 1760 个,1760=2×880,正好配成 880 个完整盒子。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 只列出一个方程就想解两个未知数。\n- 配套关系写反:椅子是桌子的 4 倍,写成桌子是椅子的 4 倍。\n- 混淆\"每人产量\"与\"总产量\":总产量=人数×每人产量。\n- 求出人数后不检验是否正好配套。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小锦买 1 支中性笔和 2 盒笔芯用了 18 元;小丽买 2 支笔和 3 盒笔芯用了 28 元。每支中性笔多少元?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"设笔 x 元、笔芯 y 元:x+2y=18,2x+3y=28。解得 x=2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,每盒笔芯多少元?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"两式处理得 y=8。检验:2+2×8=18,2×2+3×8=28。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"木工 22 人,每人每天可做 3 张桌子或 10 只椅子,1 张桌子配 4 只椅子。应安排多少人做桌子?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"设 x 人做桌子:y=22-x,配套 4×3x=10y,解得 x=10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,应安排多少人做椅子?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"22-10=12 人。检验:30 张桌子、120 只椅子,正好 1:4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"170 名学生植树,男生每人挖 3 个树坑,女生每人种 7 棵树,正好一坑一种。男生有多少人?\",\"answers\":[\"119\"],\"explain\":\"设男生 b 人、女生 g 人:b+g=170,3b=7g,解得 b=119。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,女生有多少人?\",\"answers\":[\"51\"],\"explain\":\"g=170-119=51。检验:119×3=357 坑,51×7=357 棵。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"190 张铁皮做盒子,每张可做 8 个盒身或 22 个盒底,1 个盒身配 2 个盒底。用多少张做盒身?\",\"answers\":[\"110\"],\"explain\":\"设 x 张做盒身:y=190-x,配套 2×8x=22y,解得 x=110。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,用多少张做盒底?\",\"answers\":[\"80\"],\"explain\":\"190-110=80 张。检验:880 个盒身、1760 个盒底,正好 1:2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"列方程组解应用题,两个未知数一般需要找出两个等量关系。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。一个方程定不了两个未知数,必须有两个独立的等量关系。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 张桌子配 4 把椅子。设做出桌子 x 张、椅子 y 把,配套方程是?\",\"options\":[\"y=4x\",\"x=4y\",\"x+4y=1\"],\"answer\":0,\"explain\":\"椅子数量应是桌子的 4 倍,所以 y=4x。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 两个未知数要找两个等量关系:常常一个管\"总数\",一个管\"比例/相等\"。\n- 配套问题:配套比例写成等式,交叉相乘可解。\n- 总量=人数(或材料数)×单位产量,别忘记乘。\n- 作答前检查是否正好配套、总数是否吻合。\n" + }, + { + "id": "eq-12", + "title": "方程组应用:年龄数字盈不足与几何", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "用方程组解决年龄、数字、盈不足与几何问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课继续方程组应用题,挑战四类更有\"巧劲\"的题型:年龄问题、数字问题、盈不足问题和几何问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:年龄问题\n小明与哥哥的年龄和是 24 岁,小明对哥哥说:\"当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是 24 岁。\"小明和哥哥分别是多少岁?\n【思路】年龄问题的钥匙:**年龄差不变**。设小明 x 岁、哥哥 y 岁,差是 y-x。\"当我的年龄是你现在年龄\"要经过 y-x 年,那时哥哥 y+(y-x) 岁。\n【解答】解:设小明 x 岁,哥哥 y 岁。x+y=24;y+(y-x)=24,即 2y-x=24。由第一式 x=24-y,代入第二式:2y-(24-y)=24,3y=48,y=16,x=8。答:小明 8 岁,哥哥 16 岁。\n【验算/提醒】差 8 岁;再过 8 年小明 16 岁(正是哥哥现在的年龄),哥哥 24 岁,符合题意。\n\n### 例题 2:数字问题(注意条件的\"多余\")\n一个两位数,十位上的数字比个位上的数字大 1,若将个位与十位上的数字对调,得到的新数比原数小 9。这个两位数是多少?\n【思路】设个位数字为 a,则十位数字为 a+1。原数=10×(a+1)+a=11a+10;对调后新数=10a+(a+1)=11a+1。\n【解答】原数-新数=(11a+10)-(11a+1)=9。也就是说:只要十位比个位大 1,对调后**一定**小 9,第二个条件并没有给出新的限制!所以答案不唯一:21、32、43、54、65、76、87、98 都符合。\n【验算/提醒】一般规律:两位数对调数字,新旧两数的差=9×两位数字之差。这道题提醒我们:审题后要判断条件是否足够;遇到\"多余条件\",要把所有情况讨论全。\n\n### 例题 3:盈不足问题\n某班所有学生准备分组展开活动,若每小组 7 人,则余 3 人;若每小组 8 人,则差 5 人。这个班有多少个人?\n【思路】两种分法,人数不变。设组数 g、人数 n:\"余 3\"就是 n=7g+3;\"差 5\"就是 n=8g-5。\n【解答】解:7g+3=8g-5,移项:g=8。所以 n=7×8+3=59。答:这个班有 59 人。\n【验算/提醒】59÷7=8 组余 3 人;59 人按 8 人一组需要 64 人,差 5 人,正确。盈不足问题的关键:同一个总量,两种表达。\n\n### 例题 4:几何问题(剪拼中的等量)\n将边长为 x 厘米的大正方形剪去一个边长为 y 厘米的小正方形,剩余部分的面积为 21 平方厘米;并将剩余部分沿虚线剪开得到两个长方形,再把这两个长方形拼成一个宽为 3 厘米的长方形。求大正方形和小正方形的边长。\n【思路】剩余部分是\"L\"形,面积=x²-y²。沿虚线剪开,得到 x×(x-y) 和 y×(x-y) 两个长方形,拼在一起正好是长 (x+y)、宽 (x-y) 的长方形——新长方形的宽就是 x-y。\n【解答】由面积:x²-y²=21;由宽:x-y=3。因为 x²-y²=(x+y)(x-y),所以 (x+y)×3=21,x+y=7。联立 x-y=3、x+y=7:x=(7+3)÷2=5,y=(7-3)÷2=2。答:大正方形边长 5 厘米,小正方形边长 2 厘米。\n【验算/提醒】25-4=21,正确。几何问题列方程,关键是\"从图中读出等量关系\"——这里的等量是面积不变和边长的对应。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 年龄问题忘记\"年龄差不变\",用现在的年龄硬凑未来。\n- 数字问题忘记十位数字要乘 10:把 10a+b 写成 a+b。\n- 盈不足问题分不清\"余\"(+)与\"差\"(-)。\n- 几何问题找不到等量关系时,多从\"面积不变、周长不变、边长对应\"入手。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明与哥哥的年龄和是 24 岁。“当我的年龄是你现在年龄的时候,你就是 24 岁。”小明多少岁?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"设小明 x、哥哥 y:x+y=24,2y-x=24,解得 x=8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,哥哥多少岁?\",\"answers\":[\"16\"],\"explain\":\"y=16。检验:差 8 岁;小明到 16 岁要过 8 年,那时哥哥 24 岁。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"全班分组活动:每 7 人一组余 3 人,每 8 人一组差 5 人。全班有多少人?\",\"answers\":[\"59\"],\"explain\":\"设 g 组、n 人:n=7g+3,n=8g-5,解得 g=8,n=59。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,共分成多少个小组?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"7×8+3=59,8×8-5=59。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把一个两位数的十位与个位数字对调,得到的新数与原数的差一定是哪个数的倍数?\",\"options\":[\"9\",\"10\",\"11\"],\"answer\":0,\"explain\":\"设十位 a、个位 b:原数 10a+b,新数 10b+a,差=9(a-b),一定是 9 的倍数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"十位数字比个位数字大 1 的两位数,对调数字后一定比原数小 9。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。数字差为 1,对调后的差=9×1=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"边长为 x 的大正方形剪去边长为 y 的小正方形,剩余面积 21 平方厘米;把剩余部分剪拼成一个宽 3 厘米的长方形。大正方形边长 x 是多少厘米?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"x²-y²=21,拼成的长方形宽为 x-y=3、长为 x+y,所以 x+y=7,解得 x=5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,小正方形边长 y 是多少厘米?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"y=7-5=2。检验:25-4=21。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"每 7 人一组余 3 人,设分了 g 组,全班人数应表示为?\",\"options\":[\"7g+3\",\"7g-3\",\"g+3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"7 人一组分 g 组用了 7g 人,还余 3 人,共 7g+3 人。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"年龄问题中,两个人的年龄差会随时间变化。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。两人每年同时长 1 岁,年龄差永远不变——这是年龄问题的钥匙。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 年龄问题抓\"年龄差不变\"。\n- 数字问题用\"十位×10+个位\"表示两位数;对调差=9×数字差。\n- 盈不足问题:同一总量,两种表达,联立求解。\n- 几何问题:从剪拼中找不变量列方程。\n" + }, + { + "id": "eq-13", + "title": "方程组应用:方案利润工程行程", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "用方程组解决方案、利润、工程与行程综合问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课是方程组应用题的综合课:方案问题、利润问题、工程问题、行程问题,还有带\"隐藏未知数\"的水库问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 例题 1:方案问题\n某商店决定购进 A、B 两种纪念品。若购进 A 种 10 件、B 种 5 件,需要 215 元;若购进 A 种 5 件、B 种 10 件,需要 205 元。(1) 求 A、B 两种纪念品的购进单价;(2) 若商店购进两种纪念品共花费 750 元,有几种方案?写出具体购买方案。\n【思路】(1) 两次进货给出两个等量关系。(2) 单价确定后,变成求正整数解的问题。\n【解答】(1) 设 A 单价 a 元,B 单价 b 元:10a+5b=215,5a+10b=205。两式相加:15(a+b)=420,a+b=28;两式相减:5(a-b)=10,a-b=2。所以 a=15,b=13。答:A 每件 15 元,B 每件 13 元。(2) 设购 A 种 m 件、B 种 n 件:15m+13n=750。由 15m=750-13n,要使 m 为正整数,750-13n 必须是 15 的正倍数,逐一试验:n=15 时 m=37;n=30 时 m=24;n=45 时 m=11;n=60 时 m 为负,停止。共 3 种方案:A 37 件 B 15 件;A 24 件 B 30 件;A 11 件 B 45 件。\n【验算/提醒】三种方案逐一验算总价都是 750 元。方案问题=方程(组)+正整数筛选。\n\n### 例题 2:利润问题\n某商场欲购进甲、乙两种商品共 50 件,甲种商品每件进价 35 元、利润率 20%,乙种商品每件进价 20 元、利润率 15%,全部卖出可获利 278 元。甲、乙两种商品各购进多少件?\n【思路】单件利润=进价×利润率:甲 35×20%=7 元,乙 20×15%=3 元。等量:件数和为 50;总利润 278。\n【解答】解:设甲 a 件,乙 b 件。a+b=50;7a+3b=278。由第一式 b=50-a,代入:7a+3(50-a)=278,4a+150=278,4a=128,a=32,b=18。答:甲 32 件,乙 18 件。\n【验算/提醒】7×32+3×18=224+54=278,正确。注意利润是按进价算的,不是按售价。\n\n### 例题 3:工程问题\n加工一批零件,甲先单独做 8 小时,然后又与乙一起加工 5 小时完成任务。已知乙每小时比甲少加工 2 个零件,零件共 350 个。问甲、乙两人每小时各加工多少个零件?\n【思路】甲一共做了 8+5=13 小时,乙做了 5 小时。设甲每小时 x 个,乙就是 x-2 个。\n【解答】解:8x+5(x+x-2)=350,即 8x+10x-10=350,18x=360,x=20。乙:20-2=18。答:甲每小时 20 个,乙每小时 18 个。\n【验算/提醒】甲 13 小时做 260 个,乙 5 小时做 90 个,共 350 个,正确。\n\n### 例题 4:行程问题(顺水逆水)\n甲乙两地相距 360 千米,一轮船往返于甲、乙两地之间,顺水行船用 18 小时,逆水行船用 24 小时。求该轮船在静水中的速度与水流的速度。\n【思路】顺水速度=静水速度+水速,逆水速度=静水速度-水速。先算出顺、逆速度:360÷18=20,360÷24=15。\n【解答】解:设静水速度 v 千米/时,水速 u 千米/时。v+u=20,v-u=15。两式相加:2v=35,v=17.5;两式相减:2u=5,u=2.5。答:静水速度 17.5 千米/时,水流速度 2.5 千米/时。\n【验算/提醒】17.5+2.5=20,17.5-2.5=15,正确。\n\n### 例题 5:有\"隐藏未知数\"的问题\n某镇水库的可用水量为 12000 万立方米,假设年降水量不变,能维持该镇 16 万人 20 年的用水量;实施城市化建设、新迁入 4 万人后,水库只够维持居民 15 年的用水量。每人年平均用水量多少立方米?\n【思路】总供水量=初始可用水+年降水量×年数;总用水量=人数×年数×每人每年用水量。年降水量题目没给,但它不变——就把它也设为未知数。\n【解答】解:设每人年平均用水 x 立方米,年降水量 y 万立方米。迁前:12000+20y=16×20×x,即 12000+20y=320x;迁后:12000+15y=20×15×x,即 12000+15y=300x。两式相减:5y=20x,y=4x。代入:12000+80x=320x,240x=12000,x=50。答:每人年平均用水量 50 立方米。\n【验算/提醒】此时 y=200:12000+20×200=16000=320×50,正确。遇到\"不变量\"(降水量、速度差等),大胆设出来。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 利润问题把利润率乘到售价上;利润率对应的是进价。\n- 方案问题忘记\"两种都买\"或忘记筛正整数解。\n- 工程问题漏算甲\"先单独做\"的时间。\n- 顺逆水公式记反;水库问题漏掉年降水量这一项。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"购进 A 纪念品 10 件、B 种 5 件需 215 元;A 种 5 件、B 种 10 件需 205 元。A 种每件多少元?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"设 A 单价 a 元、B 单价 b 元:10a+5b=215,5a+10b=205,相加得 a+b=28,相减得 a-b=2,a=15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,B 种每件多少元?\",\"answers\":[\"13\"],\"explain\":\"b=28-15=13。检验:150+65=215,75+130=205。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"商店用 750 元购进 A、B 两种纪念品(两种都买),共有几种方案?\",\"options\":[\"2 种\",\"3 种\",\"4 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"15m+13n=750,n 必为 15 的倍数:n=15、30、45 对应 m=37、24、11,共 3 种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"购进甲乙两种商品共 50 件,甲每件进价 35 元、利润率 20%,乙每件进价 20 元、利润率 15%,全部卖出获利 278 元。甲购进多少件?\",\"answers\":[\"32\"],\"explain\":\"每件甲利润 35×20%=7 元,乙利润 3 元。a+b=50,7a+3b=278,解得 a=32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,乙购进多少件?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"b=50-32=18。检验:7×32+3×18=278。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"加工 350 个零件,甲先单独做 8 小时,再与乙合做 5 小时完成,乙每小时比甲少做 2 个。甲每小时做多少个?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"设甲 x 个/时、乙 x-2 个/时:8x+5(2x-2)=350,18x=360,x=20。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,乙每小时做多少个?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"20-2=18。检验:160+5×38=350。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两地相距 360 千米,轮船顺水用 18 小时、逆水用 24 小时。轮船在静水中的速度是多少千米/时?\",\"answers\":[\"17.5\"],\"explain\":\"顺速 20、逆速 15;v+u=20,v-u=15,得 v=17.5。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,水流速度是多少千米/时?\",\"answers\":[\"2.5\"],\"explain\":\"u=(20-15)÷2=2.5。检验:17.5±2.5=20/15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"水库可用水 12000 万立方米,年降水量不变,可供 16 万人用 20 年;新迁入 4 万人后只够用 15 年。每人年平均用水量是多少立方米?\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"设每人每年 x 立方米、年降水 y 万立方米:12000+20y=320x,12000+15y=300x,解得 x=50。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 方案问题:先求单价,再筛正整数方案。\n- 利润=进价×利润率;总利润=单件利润×件数。\n- 工程问题:工作量=效率×时间,分段做要分别算。\n- 行程:顺速=静+水,逆速=静-水。\n- 题目里\"不变的量\"也可以设成未知数。\n" + }, + { + "id": "eq-14", + "title": "不定方程与正整数解", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "会用枚举法和整除法求不定方程的正整数解", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n前面学的方程组,未知数和方程一样多,解是唯一的。本课认识\"答案不止一个的谜题\"——**不定方程**,学习求它的正整数解。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 概念:不定方程\n**不定方程**:未知数的个数**多于**独立方程个数的方程。例如 2x+3y=20,只有一个方程却有两个未知数。\n特点:在实数范围内通常有**无穷多组解**;小学阶段主要求**正整数解**或**非负整数解**,这时解的个数是有限的。\n口诀:**一个方程两个量,先定范围再枚举。**\n常见方法:\n1. **枚举法**:逐个尝试未知数的整数值,代入验证。\n2. **消元+整除法**:用一个未知数表示另一个,再利用整除条件筛选。\n3. **范围缩定法**:先确定取值范围,再逐一检验。\n常见应用:鸡兔同笼、物品分配、方案选择。\n\n### 例题 1:鸡兔同笼型\n鸡兔同笼,共有 35 个头,94 只脚。鸡和兔各有多少只?\n【思路】只数头,得 x+y=35——一个方程定不了两个量;再数脚,得第二个方程,联立求解。\n【解答】解:设鸡 x 只,兔 y 只。x+y=35;2x+4y=94。由第一式 x=35-y,代入第二式:2(35-y)+4y=94,70+2y=94,2y=24,y=12,x=23。答:鸡 23 只,兔 12 只。\n【验算/提醒】脚:23×2+12×4=46+48=94,正确。鸡兔同笼是最经典的不定方程应用场景。\n\n### 例题 2:求所有正整数解\n求不定方程 3x+5y=47 的所有正整数解。\n【思路】用 y 表示 x:x=(47-5y)/3,要求 47-5y 能被 3 整除;再由 x>0 确定 y 的范围:y≤9。\n【解答】逐一检验:y=1,x=42/3=14,可以;y=2,x=37/3,不行;y=3,x=32/3,不行;y=4,x=27/3=9,可以;y=5,不行;y=6,不行;y=7,x=12/3=4,可以;y=8、9 都不行;y≥10 时 x 为负,停止。正整数解共 3 组:x=14、y=1;x=9、y=4;x=4、y=7。\n【验算/提醒】每组代入都等于 47。注意\"范围\":y 最大到 9,枚举要有终点。\n\n### 例题 3:用整除特征加速\n用若干个大盒和小盒装球。大盒装 12 个,小盒装 5 个,共装了 47 个球,每种盒子至少一个。大盒和小盒各用了几个?\n【思路】设大盒 x 个、小盒 y 个:12x+5y=47,即 y=(47-12x)/5。能被 5 整除,个位必须是 0 或 5——用这个特征筛选更快。\n【解答】x=1:47-12=35,35÷5=7,可以,y=7;x=2:47-24=23,不行;x=3:47-36=11,不行;x=4:47-48<0,停止。答:大盒 1 个,小盒 7 个。\n【验算/提醒】12+5×7=12+35=47,正确。利用\"被 5 整除看个位\"这样的整除特征,能少走很多弯路。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找到一组解就停,漏掉其他解。\n- 忘记\"正整数\"的限制,把 0 或负数也算进去。\n- 枚举没有范围,不知道什么时候停。\n- 求出答案不代回原方程检验。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不定方程是指什么样的方程?\",\"options\":[\"未知数个数多于独立方程个数\",\"没有解的方程\",\"未知数只能是负数的方程\"],\"answer\":0,\"explain\":\"例如 2x+3y=20,一个方程却有两个未知数,条件“不够”,所以解不唯一。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2x+3y=20 在实数范围内有无穷多组解。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。但如果只要求正整数解,解的个数就有限了。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"鸡兔同笼:共有 35 个头、94 只脚。鸡有多少只?\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"设鸡 x 兔 y:x+y=35,2x+4y=94,解得 x=23。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,兔有多少只?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"y=12。检验:23×2+12×4=94。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不定方程 3x+5y=47 的正整数解共有几组?\",\"options\":[\"2 组\",\"3 组\",\"4 组\"],\"answer\":1,\"explain\":\"x=(47-5y)/3,逐个试:y=1、4、7 时 x=14、9、4,共 3 组。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"不定方程 4x+3y=31 的正整数解中,x 最大是多少?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"y=1 时 x=(31-3)÷4=7 最大;另外两组是 x=4、y=5 和 x=1、y=9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"划船:大船坐 6 人、小船坐 4 人,共租 8 条船坐了 38 人。大船租了几条?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"设大船 x 小船 y:x+y=8,6x+4y=38,解得 x=3(小船 5 条)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用 1 元和 5 元的纸币凑出 37 元(两种纸币都用),共有几种凑法?\",\"options\":[\"6 种\",\"7 种\",\"8 种\"],\"answer\":1,\"explain\":\"设 5 元 y 张、1 元 x 张:x+5y=37。y 可取 1~7(再多 x 就不够正数了),共 7 种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明买大、小两种笔记本共 10 本,大本每本 15 元、小本每本 8 元,共花 122 元。大本买了几本?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"设大本 x 本:x+y=10,15x+8y=122,解得 x=6(小本 4 本)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求不定方程的正整数解时,找到一组解就可以停止了。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。不定方程可能有多组正整数解,要确定范围后逐一枚举,不能半途而废。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 不定方程:未知数多于方程,解不唯一;小学阶段求正整数解。\n- 三种方法:枚举法、消元+整除法、范围缩定法。\n- 先用范围定枚举的终点,再用整除特征筛选。\n- 鸡兔同笼、分配、凑钱方案都是不定方程的应用。\n" + } + ] +} diff --git a/src/content/math/geo.json b/src/content/math/geo.json new file mode 100644 index 0000000..47127f7 --- /dev/null +++ b/src/content/math/geo.json @@ -0,0 +1,166 @@ +{ + "module": "geo", + "moduleName": "几何", + "points": [ + { + "id": "geo-01", + "title": "位置与顺序:上下前后左右", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会用上下前后左右描述物体的位置关系", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n这是几何的第一课。我们要学会用上、下、前、后、左、右描述物体之间的位置关系,这是以后学习方向与位置的基础。\n\n## ② 知识精讲\n### 方法 1:以自己为中心确定上下前后左右\n- 头顶是“上”,脚底是“下”;\n- 脸朝的是“前”,背对的是“后”;\n- 拿笔的手是“右”,另一只是“左”。\n\n可以和爸爸妈妈玩“老师说”游戏:家长说“摸摸右耳朵”,孩子做相应动作;还可以玩“快乐指路”:闭上眼睛,听指令“向前走三步,向左转”。\n\n**例 1** 填空:太阳在我们的( )面;脚踩的是( )面。\n\n【思路】以自己为中心,联系生活实际想一想了。\n\n【解答】太阳在天上,填“上”;脚踩着地面,填“下”。\n\n【提醒】上下以自己为准:头顶是上,脚底是下。\n\n**例 2** 填空:黑板在老师的( )面,老师在黑板的( )面。(老师面对同学们讲课,黑板在老师身后)\n\n【思路】老师面对学生,背对着黑板。\n\n【解答】黑板在老师的后面;老师在黑板的前面。\n\n【验算】位置关系是相互的:黑板在老师背后,反过来老师就在黑板前面,两空正好对应。\n\n### 方法 2:描述物体之间的位置关系\n\n**例 3** △在○的上面,□在○的下面。三个图形从上到下的顺序是什么?\n\n【解答】从上到下依次是:△、○、□。\n\n【验算】逐个检查:△在○上面 ✓,□在○下面 ✓。\n\n**例 4** 三个小朋友站成一排,从左往右依次是小红、小明、小刚。小明的左边是谁?右边是谁?\n\n【解答】小明的左边是小红,右边是小刚。\n\n【提醒】记住“拿笔的手是右”。位置是相互的:如果小明右边是小红,那么小红的左边就是小明。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 左右分不清:牢记“拿笔的手是右”。\n- 位置是相互的:A 在 B 左边,则 B 在 A 右边;A 在 B 上面,则 B 在 A 下面。\n- 身体转向后,左右对着的方向会跟着变,描述位置前先确定自己面朝哪。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填空:太阳在我们的( )面。\",\"answers\":[\"上\"],\"explain\":\"太阳挂在天上,头顶是“上”,所以太阳在上面。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填空:脚踩的是( )面。\",\"answers\":[\"下\"],\"explain\":\"脚底是“下”,脚踩着的自然是下面。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"我们平时写字拿笔的手是哪只?\",\"options\":[\"左手\",\"右手\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"一般用右手写字,拿笔的手是右手。确定左右最简单的方法就是记住“拿笔的手是右”。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"小明的右边是小红,那么小红的左边就是小明。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。位置关系是相互的:小明在小红右边,反过来小红就在小明左边。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△在○的上面,□在○的下面。三个图形从上到下的顺序是(用“△○□”这样的格式回答)。\",\"answers\":[\"△○□\"],\"explain\":\"△在○上面排最前,□在○下面排最后,所以从上到下是 △○□。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一排小朋友从左往右依次是:小红、小明、小刚。小明的左边是谁?\",\"options\":[\"小红\",\"小刚\",\"小李\"],\"answer\":0,\"explain\":\"从左往右数:小红、小明、小刚。小明左边紧挨着的是小红。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"不管我面朝哪个方向,我的“左边”对着教室的方向都一样。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。左右是以自己为中心的,身体转个方向,左边对着的地方就变了,所以要先弄清自己面朝哪。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"课桌在椅子的前面,那么椅子就在课桌的后面。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。前后也是相互的:A在B前面,B就在A后面。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 头顶是上,脚底是下;脸朝前,背朝后;拿笔的手是右。\n- 位置关系是相互的,描述时要先确定以谁为中心。\n- 转身后左右会变,先弄清面朝的方向再判断。" + }, + { + "id": "geo-02", + "title": "认识立体图形", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识长方体、正方体、圆柱和球,知道它们的特点", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课我们认识了上下前后左右。这一课认识四种常见的立体图形:长方体、正方体、圆柱、球,并记住它们的特点。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:四种立体图形的特点\n- **长方体**:长长方方,6 个面(相对的面一样大),不能滚。生活实例:牙膏盒、字典。\n- **正方体**:四四方方,6 个面一样大,不能滚。生活实例:魔方、骰子。\n- **圆柱**:上下两个圆,可以横着滚。生活实例:水杯、纸巾筒。\n- **球**:圆圆的,到处都能滚。生活实例:篮球、乒乓球。\n\n口诀:长方体长又方,正方体四四方,圆柱上下两个圆,球球滚得最欢畅。\n\n**例 1** 连一连:魔方、篮球、课本、易拉罐,分别属于哪种立体图形?\n\n【解答】魔方→正方体;篮球→球;课本→长方体;易拉罐→圆柱。\n\n【验算】用特征核对:魔方 6 个面一样大 ✓;易拉罐上下两个圆 ✓。\n\n### 概念 2:区分容易混淆的图形\n- 长方体 vs 正方体:正方体 6 个面一样大,长方体只有相对的面一样大。\n- 圆柱 vs 球:圆柱只能朝一个方向滚,球往哪里都能滚。\n\n**例 2** 长方体、正方体、圆柱、球,哪些能滚动?\n\n【解答】圆柱 ✓、球 ✓;长方体和正方体都不能滚。\n\n【提醒】圆柱和球都能滚,但圆柱只能横着朝一个方向滚,球往哪都能滚。\n\n**例 3** 判断对错:(1)正方体的 6 个面都一样大;(2)圆柱不能滚动;(3)球没有平平的面。\n\n【解答】(1) 对;(2) 错,圆柱可以横着滚;(3) 对,球的表面是弯的,没有平平的面。\n\n【提醒】还可以做“摸一摸”游戏:把立体图形放进不透明袋子,伸手摸出“它有 6 个面……”,再猜是什么图形。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把长方体和正方体当成一回事:正方体 6 个面一样大,长方体不是。\n- 认为“圆柱不能滚”:圆柱能横着滚,只是不能像球那样到处滚。\n- 判断图形时,按“面的个数、面是否一样大、能不能滚”三条去想。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"魔方是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"长方体\",\"正方体\",\"圆柱\",\"球\"],\"answer\":1,\"explain\":\"魔方四四方方,6 个面一样大,是正方体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"易拉罐是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"长方体\",\"正方体\",\"圆柱\",\"球\"],\"answer\":2,\"explain\":\"易拉罐上下两个圆,能横着滚,是圆柱。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方体的 6 个面都一样大。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方体四四方方,6 个面完全一样大。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方体可以滚动。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。长方体长长方方,没有能滚动的曲面,不能滚。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"球没有平平的面。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。球圆圆的,表面是弯的,没有平平的面,所以到处都能滚。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"哪种图形能滚动,但只能朝一个方向滚?\",\"options\":[\"球\",\"圆柱\",\"长方体\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱上下两个圆,只能横着滚;球往哪个方向都能滚。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体有( )个面。\",\"answers\":[\"6\",\"六\"],\"explain\":\"长方体有 6 个面,相对的面一样大。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方体的 6 个面都一样大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。长方体只有相对的面一样大;6 个面都一样大的是正方体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"乒乓球是下面哪种立体图形?\",\"options\":[\"圆柱\",\"球\",\"正方体\"],\"answer\":1,\"explain\":\"乒乓球圆圆的,到处都能滚,是球。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上下两个圆、能横着滚的立体图形是( )。\",\"answers\":[\"圆柱\"],\"explain\":\"圆柱的特征就是上下两个圆,可以横着滚。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方体 6 个面相对相等,正方体 6 个面全相等,都不能滚。\n- 圆柱上下两个圆,能横着滚;球没有平平的面,到处能滚。\n- 认图形可以找生活实物:牙膏盒、魔方、易拉罐、篮球。" + }, + { + "id": "geo-03", + "title": "认识平面图形", + "grade": "一年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课认识了立体图形。这一课我们从立体图形上“找到”平面图形——面在体上,认识长方形、正方形、三角形、圆和平行四边形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:五种平面图形\n- **长方形**:对边相等,4 个直角。\n- **正方形**:四条边一样长,4 个直角。\n- **三角形**:3 条边,3 个角。\n- **圆**:没有角,圆圆的。\n- **平行四边形**:对边平行且相等,对角相等。\n\n面在体上:长方体的一个面→长方形;正方体的一个面→正方形;圆柱的一个面→圆;三棱柱的一个面→三角形。把立体图形的一个面蘸上颜料印在纸上,就能“印”出平面图形。\n\n**例 1** 连一连:魔方的面、水杯的盖、书本封面、三角尺,分别是什么图形?\n\n【解答】魔方的面→正方形;水杯的盖→圆;书本封面→长方形;三角尺→三角形。\n\n【验算】正方体每个面都一样大,是正方形;水杯盖圆圆的,是圆 ✓。\n\n**例 2** 分一分:长方形、正方形、三角形、圆、平行四边形,哪些图形对边相等?\n\n【解答】长方形、正方形、平行四边形对边相等。三角形没有“对边”,圆是弯的,也没有对边。\n\n【提醒】正方形四条边都相等,当然也满足“对边相等”。\n\n### 概念 2:正方形是特殊的长方形\n\n**例 3** 判断:正方形是特殊的长方形,对吗?\n\n【解答】对。长方形要求对边相等、有 4 个直角,正方形不仅满足,而且四条边都相等,所以正方形是特殊的长方形。\n\n【提醒】用七巧板拼一拼各种图形,能更好地认识三角形、正方形和平行四边形。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 长方形和正方形混淆:记住正方形是特殊的长方形(四条边都相等)。\n- 球和圆分不清:球是立体的,能拿起来;圆是平面的,扁扁的。\n- 圆柱的侧面展开是长方形:圆柱是立体图形,不要把它和长方形混在一起说。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"四条边一样长、有 4 个直角的图形是?\",\"options\":[\"长方形\",\"正方形\",\"平行四边形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"正方形四条边一样长,有 4 个直角;长方形只是对边相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方形是特殊的长方形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方形满足长方形“对边相等、4 个直角”的条件,而且四条边都相等,所以是特殊的长方形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形有几条边?\",\"options\":[\"2 条\",\"3 条\",\"4 条\"],\"answer\":1,\"explain\":\"三角形有 3 条边、3 个角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆没有角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。圆圆的,没有角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"正方体的一个面是什么图形?\",\"options\":[\"长方形\",\"正方形\",\"圆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"正方体 6 个面都一样大,每个面都是正方形——“面在体上”。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆柱的底面是圆。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。圆柱上下两个面都是圆,水杯的盖就是圆形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"对边平行且相等、对角相等的图形是?\",\"options\":[\"长方形\",\"三角形\",\"平行四边形\"],\"answer\":2,\"explain\":\"平行四边形的特点:对边平行且相等,对角相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"球和圆都是平面图形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。球是立体的,能拿起来;圆是平面的,扁扁的。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方形有( )个直角。\",\"answers\":[\"4\",\"四\"],\"explain\":\"长方形对边相等,有 4 个直角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"玩七巧板时,我们能找到下面哪组图形?\",\"options\":[\"只有三角形\",\"三角形、正方形、平行四边形\",\"只有圆\"],\"answer\":1,\"explain\":\"七巧板里有三角形、正方形和平行四边形,用它们可以拼出各种图案。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方形对边相等 4 个直角;正方形四边相等 4 个直角;三角形 3 边 3 角;圆没有角;平行四边形对边平行且相等。\n- 面在体上:从立体图形的面能“印”出平面图形。\n- 正方形是特殊的长方形。" + }, + { + "id": "geo-04", + "title": "长度单位:厘米和米", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识厘米和米,学会用尺子测量长度", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n认识了图形之后,我们还要会量它们的长短。这一课认识长度单位厘米(cm)和米(m),学会用尺子量长度。想一想:如果每个人用自己的手拃去量课桌,结果一样吗?——不一样,所以需要统一的长度单位。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:厘米和米\n- **厘米(cm)**:用直尺量较短物体的长度。食指的宽度大约 1cm。\n- **米(m)**:量比较长的物体。教室门的宽度大约 1m。\n- 进率:**1m = 100cm**。\n\n常见物体长度参考:铅笔约 15cm,课桌约 60cm,教室门约 2m,数学书约 26cm。\n\n**例 1** 填合适的单位(cm 或 m):教室黑板长 4( );铅笔长 18( );课桌高 70( );楼房高 15( );蚂蚁长约 5( );跳绳长 2( )。\n\n【思路】比较长的物体用米,比较短的物体用厘米,结合生活经验估一估。\n\n【解答】黑板长 4m;铅笔长 18cm;课桌高 70cm;楼房高 15m;蚂蚁长约 5cm;跳绳长 2m。\n\n【验算】想一想:黑板 4cm 只有手指长,太短了,所以必须用米。\n\n### 概念 2:量长度的三个步骤\n1. 把尺子的“0 刻度”对齐物体一端;\n2. 看另一端对着几;\n3. 读出长度。\n\n**例 2** 换算:2m = ( )cm;300cm = ( )m;1m30cm = ( )cm。\n\n【解答】2m = 200cm;300cm = 3m;1m30cm = 130cm。\n\n【提醒】大单位化小单位乘 100,小单位化大单位除以 100。\n\n**例 3** 一根绳子长 1m,用去 30cm,还剩多少 cm?\n\n【思路】先统一单位:1m = 100cm,再做减法。\n\n【解答】100 − 30 = 70cm。答:还剩 70cm。\n\n**例 4** 量物体时,物体左端对着刻度 2,右端对着刻度 9,物体长多少?\n\n【解答】9 − 2 = 7cm。\n\n【提醒】这就是易错点:0 刻度没对齐时,用右端减左端。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 量长度时 0 刻度没对齐,直接读右端刻度 → 应该用右端减左端。\n- 填单位时不联系生活:楼房、黑板用米,铅笔、课桌用厘米。\n- 换算忘记进率:1m = 100cm,不是 10cm。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:2m = ( )cm\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"1m = 100cm,所以 2m = 200cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:300cm = ( )m\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"100cm = 1m,300 里面有 3 个 100,所以是 3m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:1m30cm = ( )cm\",\"answers\":[\"130\"],\"explain\":\"1m = 100cm,再加 30cm,一共 130cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量一支铅笔的长度,用哪个单位合适?\",\"options\":[\"厘米(cm)\",\"米(m)\"],\"answer\":0,\"explain\":\"铅笔比较短,大约 15cm,用厘米作单位;米用来量比较长的物体。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一幢楼房高约 15( ),括号里填什么单位?\",\"options\":[\"cm\",\"m\"],\"answer\":1,\"explain\":\"楼房很高,15cm 只有手掌那么长,显然应该填 m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一根绳子长 1m,用去 30cm,还剩( )cm。\",\"answers\":[\"70\"],\"explain\":\"1m = 100cm,100 − 30 = 70cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量物体时,物体左端对着尺子的刻度 2,右端对着刻度 9,物体长多少?\",\"options\":[\"9cm\",\"7cm\",\"11cm\"],\"answer\":1,\"explain\":\"0 刻度没对齐时,用右端刻度减左端刻度:9 − 2 = 7cm。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"量物体长度时,必须把物体的一端对准尺子的 0 刻度,否则就量不出来。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。最好对准 0 刻度;如果没对准,用右端刻度减左端刻度也能得到长度。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"食指的宽度大约是( )cm。\",\"answers\":[\"1\",\"一\"],\"explain\":\"食指的宽度大约 1cm,这是记住 1 厘米有多长的好参照。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1m = ( )cm\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 米 = 100 厘米,这是米和厘米之间的进率。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 食指宽约 1cm,教室门宽约 1m;1m = 100cm。\n- 量长度三步:对齐 0 刻度 → 看另一端 → 读数。\n- 0 刻度没对齐时,用右端刻度减左端刻度。" + }, + { + "id": "geo-05", + "title": "角的初步认识", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识角,会辨认直角、锐角和钝角", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学会了量长度。这一课认识角:角长什么样,什么是直角、锐角、钝角。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:角的组成\n角有 **1 个顶点**和 **2 条边**。还可以用纸折角:随便折一张纸,能折出大大小小的不同角。\n\n### 概念 2:直角、锐角、钝角\n用三角板上的直角来判断:把三角板的直角和要判断的角对齐——\n- 两边都对齐 → 是**直角**;\n- 比直角小 → 是**锐角**;\n- 比直角大 → 是**钝角**。\n\n**例 1** 数一数:一个长方形中有几个直角?\n\n【解答】长方形的 4 个角都是直角,共 4 个。\n\n【验算】用三角板的直角去比一比每个角,都能对齐。\n\n**例 2** 钟面上 3 点整是什么角?2 点整呢?8 点整呢?\n\n【思路】以直角为标准比较两针夹角的大小。\n\n【解答】3 点整,分针指 12、时针指 3,两针成直角;2 点整夹角比直角小,是锐角;8 点整夹角比直角大,是钝角。\n\n【提醒】判断时可以让三角板的直角顶点与钟面中心对齐,一条边对准分针,再看时针在直角的里面还是外面。\n\n**例 3** 用三角板画一个直角和一个锐角。\n\n【解答】沿着三角板直角的两条边画,就得到直角;画一个张口比直角小的角,就是锐角。\n\n【验算】画完再用三角板的直角比一比验证。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为边越长角越大:角的大小和两条边的长短无关,把边拉长,角不变;角的大小看两边张开多大。\n- 判断直角不用工具凭眼睛看:要用三角板的直角去对齐验证。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"角有 1 个顶点和( )条边。\",\"answers\":[\"2\",\"两\"],\"explain\":\"角由 1 个顶点和 2 条边组成。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 3 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":0,\"explain\":\"3 点整,分针指 12、时针指 3,正好组成直角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 2 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":1,\"explain\":\"2 点整两针的夹角比直角小,是锐角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"钟面上 8 点整,时针和分针组成什么角?\",\"options\":[\"直角\",\"锐角\",\"钝角\"],\"answer\":2,\"explain\":\"8 点整两针的夹角比直角大,是钝角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"角的两条边画得越长,这个角就越大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。角的大小和两条边的长短无关,把边拉长,角不变。角的大小看两边张开的大小。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形中有( )个直角。\",\"answers\":[\"4\",\"四\"],\"explain\":\"长方形 4 个角都是直角,共 4 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比直角小的角是锐角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。以直角为标准:比直角小的是锐角。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"比直角大的角是钝角。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比直角大的是钝角。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"判断一个角是不是直角,可以用什么工具?\",\"options\":[\"直尺\",\"三角板\",\"绳子\"],\"answer\":1,\"explain\":\"用三角板上的直角去比:把三角板的直角和要判断的角对齐,两边都对齐就是直角。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 角有 1 个顶点、2 条边。\n- 用三角板的直角判断:对齐是直角,小的是锐角,大的是钝角。\n- 角的大小与边的长短无关。" + }, + { + "id": "geo-06", + "title": "长度单位换算与周长", + "grade": "二~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握长度单位进率和长方形、正方形的周长计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n二年级我们认识了厘米和米。这一课把长度单位补充完整,并学习“周长”——绕图形一圈有多长,掌握长方形和正方形的周长公式。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长度单位家族\n长度单位:mm(毫米)、cm(厘米)、dm(分米)、m(米)、km(千米)。\n- 相邻单位进率是 **10**:1m = 10dm,1dm = 10cm,1cm = 10mm;\n- km 到 m 的进率是 **1000**:1km = 1000m。\n\n### 概念 2:什么是周长\n周长就是“绕一圈的长度”。可以用绳子沿着图形边缘绕一圈,再量绳子的长度。\n要区分“周长”和“边长”:周长是四条边的总长,边长是每一条边的长度。\n\n### 概念 3:周长公式\n- 长方形周长 = 长 + 宽 + 长 + 宽 = **2 × (长 + 宽)**(两组对边);\n- 正方形周长 = **4 × 边长**(四条边一样长)。\n\n**例 1** 一个长方形长 8cm,宽 5cm,周长是多少?用两种方法计算。\n\n【解答】方法一:8 + 5 + 8 + 5 = 26cm。方法二:2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26cm。\n\n【验算】两种方法结果一致,都是 26cm。\n\n**例 2** 一个正方形边长 6cm,周长是多少?\n\n【解答】4 × 6 = 24cm。\n\n**例 3**(逆向)一个正方形周长是 40cm,它的边长是多少?\n\n【思路】正方形周长 = 4×边长,反过来边长 = 周长÷4。\n\n【解答】40 ÷ 4 = 10cm。\n\n【验算】10 × 4 = 40cm ✓。\n\n**例 4**(应用)一个长方形操场长 80m,宽 50m,小明沿操场跑一圈是多少米?\n\n【思路】跑一圈就是求长方形的周长。\n\n【解答】2 × (80 + 50) = 2 × 130 = 260m。答:跑一圈是 260m。\n\n**例 5**(铁丝问题)用一根铁丝围成一个边长 6cm 的正方形,如果改围成长 8cm 的长方形,宽是多少?\n\n【思路】铁丝的总长不变:先求总长,再除以 2 得长+宽,最后减去长。\n\n【解答】铁丝长 6×4 = 24cm;长+宽 = 24÷2 = 12cm;宽 = 12−8 = 4cm。\n\n【验算】(8+4)×2 = 24cm,和铁丝一样长 ✓。\n\n**例 6**(易错)把两个边长 4cm 的正方形拼成一个长方形,拼成的长方形周长是多少?\n\n【思路】拼成的长方形长是 4+4 = 8cm,宽还是 4cm。\n\n【解答】2 × (8 + 4) = 24cm。\n\n【提醒】不是两个周长相加(16+16 = 32):拼的时候中间两条边重合了,不再算在外面。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 拼图题把两个周长直接相加:重合的边不能算。\n- 已知周长求宽时,忘记先除以 2(长+宽 = 周长÷2)。\n- 铁丝变形题抓住“总长不变”。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 12cm,宽 7cm,它的周长是( )cm。\",\"answers\":[\"38\"],\"explain\":\"2×(12+7) = 2×19 = 38cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形边长 6cm,周长是( )cm。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"正方形周长 = 4×边长 = 4×6 = 24cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形周长是 40cm,它的边长是( )cm。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"边长 = 周长÷4 = 40÷4 = 10cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形花坛周长 36m,长 10m,宽是( )m。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"长+宽 = 36÷2 = 18m,宽 = 18−10 = 8m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形操场长 80m,宽 50m,沿操场跑一圈是( )m。\",\"answers\":[\"260\"],\"explain\":\"跑一圈就是求周长:2×(80+50) = 260m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把两个边长 4cm 的正方形拼成一个长方形,拼成的长方形周长是( )cm。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"拼成的长方形长 8cm、宽 4cm,周长 = 2×(8+4) = 24cm。不能把两个周长直接相加:中间两条边重合了,不算在外面的边上。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"mm、cm、dm、m 相邻两个单位之间的进率是?\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":0,\"explain\":\"相邻长度单位的进率是 10,如 1m = 10dm,1dm = 10cm,1cm = 10mm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1km = ( )m\",\"options\":[\"100\",\"1000\",\"10000\"],\"answer\":1,\"explain\":\"千米到米的进率是 1000,1km = 1000m。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"周长是四条边的总长,边长是每一条边的长度,这是两个不同的概念。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。周长是“绕一圈的长度”,边长只是其中一条边的长度。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用一根铁丝围成边长 6cm 的正方形,再改围成长 8cm 的长方形,宽是( )cm。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"铁丝总长不变:6×4 = 24cm。长方形的长+宽 = 24÷2 = 12cm,宽 = 12−8 = 4cm。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 相邻长度单位进率 10,km 到 m 进率 1000。\n- 周长是绕一圈的长度:长方形 2×(长+宽),正方形 4×边长。\n- 逆向题用除法:边长 = 周长÷4,长+宽 = 周长÷2。" + }, + { + "id": "geo-07", + "title": "面积的含义与面积单位", + "grade": "三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解面积的含义,认识常用面积单位及进率", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们学过周长——绕一圈有多长。这一课认识一个新概念“面积”,并认识面积单位。面积和周长是两回事,千万别混。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:面积的含义\n**面积**是物体表面或封闭图形的大小。\n- 周长是“绕一圈有多长”→ 用手摸图形的边缘;\n- 面积是“面有多大”→ 用手摸整个面。\n\n### 概念 2:面积单位\n- **1 平方厘米(1cm²)** ≈ 大拇指指甲大小;\n- **1 平方分米(1dm²)** ≈ 手掌大小;\n- **1 平方米(1m²)** ≈ 4 张报纸拼起来那么大;\n- 进率:**1m² = 100dm²,1dm² = 100cm²**;\n- 更大的面积(如田地)用**公顷**、**平方千米(km²)**。\n\n**例 1** 换算:2dm² = ( )cm²;300cm² = ( )dm²;5m² = ( )dm²。\n\n【思路】大单位化小单位乘 100,小单位化大单位除以 100。\n\n【解答】2dm² = 200cm²;300cm² = 3dm²;5m² = 500dm²。\n\n【验算】反向验算:200cm² ÷ 100 = 2dm² ✓。\n\n**例 2** 找一找参照:哪个面积单位大约和指甲一样大?和手掌一样大?\n\n【解答】大拇指指甲约 1cm²;手掌约 1dm²;4 张报纸拼起来约 1m²。\n\n**例 3** 分一分:“绕操场跑一圈有多长”和“操场地面有多大”,分别求什么?\n\n【解答】跑一圈求的是周长;地面有多大求的是面积。\n\n【提醒】读题时抓关键词:“一圈”是周长,“大小”是面积。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 把面积和周长混淆:周长摸边缘,面积摸整个面;问“大小”是面积,问“一圈”是周长。\n- 面积单位的进率是 100(不是长度单位的 10)。\n- 面积单位带“平方”:cm²、dm²、m²,别写成 cm、m。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:2dm² = ( )cm²\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"1dm² = 100cm²,所以 2dm² = 200cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:300cm² = ( )dm²\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"100cm² = 1dm²,300 里面有 3 个 100,所以是 3dm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"换算:5m² = ( )dm²\",\"answers\":[\"500\"],\"explain\":\"1m² = 100dm²,所以 5m² = 500dm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个面积单位最接近大拇指指甲的大小?\",\"options\":[\"1cm²\",\"1dm²\",\"1m²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 平方厘米大约是大拇指指甲的大小。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个面积单位大约和手掌一样大?\",\"options\":[\"1cm²\",\"1dm²\",\"1m²\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1 平方分米大约是手掌的大小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"面积就是绕图形一圈的长度。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。绕一圈的长度是周长;面积是物体表面或封闭图形的大小。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1m² = 100dm²。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平方米和平方分米之间的进率是 100。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"量黑板、教室地面这样比较大的面,用哪个单位合适?\",\"options\":[\"cm²\",\"dm²\",\"m²\"],\"answer\":2,\"explain\":\"1m² 大约相当于 4 张报纸拼起来,量较大的面用平方米。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"cm²、dm²、m² 相邻两个面积单位之间的进率是 100。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1m² = 100dm²,1dm² = 100cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"题目问“绕操场跑一圈有多长”,求的是什么?\",\"options\":[\"面积\",\"周长\",\"边长\"],\"answer\":1,\"explain\":\"“一圈”说的是周长;问“面有多大”才是面积。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 面积是物体表面或封闭图形的大小,和周长不同。\n- 指甲约 1cm²,手掌约 1dm²,4 张报纸约 1m²。\n- 相邻面积单位进率 100;更大的面积用公顷、平方千米。" + }, + { + "id": "geo-08", + "title": "长方形与正方形的面积", + "grade": "三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握长方形、正方形面积公式并解决实际问题", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课理解了面积的含义。这一课学长方形和正方形的面积公式,并会用它们解决实际问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长方形面积 = 长 × 宽\n怎么来的?摆一摆:长 5cm 的长方形,一排能摆 5 个 1cm² 的小正方形;宽 3cm,可以摆 3 排。一共 5×3 = 15 个小正方形,面积就是 15cm²。所以 **长方形面积 = 长 × 宽**。\n\n**例 1**(对比)一个长方形长 8cm,宽 5cm,面积是多少?周长呢?\n\n【解答】面积 = 8×5 = 40cm²;周长 = 2×(8+5) = 26cm。\n\n【提醒】对比练习:面积是 40cm²(面有多大),周长是 26cm(一圈多长),单位都不一样。\n\n### 概念 2:正方形面积 = 边长 × 边长\n\n**例 2** 一个正方形边长 6cm,面积是多少?\n\n【解答】6×6 = 36cm²。\n\n【验算】周长是 6×4 = 24cm,别把面积和周长弄混。\n\n### 概念 3:面积的应用\n\n**例 3** 一块长方形菜地长 12m,宽 8m,面积是多少 m²?如果每平方米收菜 5kg,这块地共收菜多少 kg?\n\n【思路】先求面积,再乘每平方米的产量。\n\n【解答】面积 = 12×8 = 96m²;收菜 96×5 = 480kg。\n\n**例 4** 一个长方形长 15cm,宽比长少 6cm,它的周长和面积各是多少?\n\n【思路】先由“宽比长少 6cm”求出宽。\n\n【解答】宽 = 15−6 = 9cm;周长 = 2×(15+9) = 48cm;面积 = 15×9 = 135cm²。\n\n**例 5** 一个正方形周长是 36cm,它的面积是多少 cm²?\n\n【思路】先由周长求边长,再求面积。\n\n【解答】边长 = 36÷4 = 9cm;面积 = 9×9 = 81cm²。\n\n【验算】9×4 = 36cm,周长对上了 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 周长和面积混淆:问“大小”是面积,问“一圈”是周长;公式、单位都不同。\n- 面积单位要带“平方”:40cm² 不能写成 40cm。\n- “宽比长少几”的题,先求宽;已知周长的题,先求边长。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 8cm,宽 5cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"长方形面积 = 长×宽 = 8×5 = 40cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形边长 6cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"正方形面积 = 边长×边长 = 6×6 = 36cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一块长方形菜地长 12m,宽 8m,面积是( )m²。\",\"answers\":[\"96\"],\"explain\":\"12×8 = 96m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的菜地每平方米收菜 5kg,这块地共收菜( )kg。\",\"answers\":[\"480\"],\"explain\":\"96×5 = 480kg。先求面积,再乘每平方米的产量。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个长方形长 15cm,宽比长少 6cm,它的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"135\"],\"explain\":\"宽 = 15−6 = 9cm,面积 = 15×9 = 135cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面这个长方形的周长是( )cm。\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"周长 = 2×(15+9) = 2×24 = 48cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方形周长是 36cm,它的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"81\"],\"explain\":\"先由周长求边长:36÷4 = 9cm;面积 = 9×9 = 81cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方形面积公式“长×宽”是怎么推导出来的?\",\"options\":[\"摆小正方形:一排摆的个数 × 排数\",\"四条边相加\",\"长加宽再乘 2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"长 5cm 一排摆 5 个 1cm² 小正方形,宽 3cm 摆 3 排,一共 5×3 = 15 个,面积就是 15cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一个长方形长 4cm,宽 3cm,它的面积是 12cm。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。面积算得对(4×3 = 12),但单位错了:面积单位是 cm²,不是 cm。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"题目问“这块地一共收多少菜”,一般要先求出菜地的面积。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。总产量 = 面积 × 每平方米产量,所以先求面积。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方形面积 = 长×宽;正方形面积 = 边长×边长。\n- 面积公式来自“摆小正方形”:一排个数 × 排数。\n- 解决问题三步走:读清问的是面积还是周长 → 求必要的边长 → 代公式。" + }, + { + "id": "geo-09", + "title": "平行四边形与三角形的面积", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握平行四边形、三角形面积公式及等积变形", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n长方形、正方形的面积已经会算了。四五年级还要学三角形、平行四边形、梯形和圆的面积,这一课先学平行四边形和三角形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:平行四边形面积 = 底 × 高\n注意:**高是两条底边之间的垂直距离**,不是斜边的长度。\n\n**例 1** 一个平行四边形面积是 72cm²,底是 12cm,高是多少?\n\n【思路】面积 = 底×高,反过来高 = 面积÷底。\n\n【解答】72 ÷ 12 = 6cm。\n\n【验算】12 × 6 = 72cm² ✓。\n\n**例 2** 一个平行四边形底 9cm,高 4cm,面积是多少?\n\n【解答】9 × 4 = 36cm²。\n\n### 概念 2:三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2\n为什么要除以 2?**两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形**,三角形面积 = 拼成的平行四边形面积 ÷ 2。\n\n**例 3** 一块三角形菜地底 12m,高 8m,面积是多少 m²?\n\n【解答】12 × 8 ÷ 2 = 48m²。\n\n【提醒】先乘后除,千万别漏掉“÷2”。\n\n### 概念 3:等积变形(第一次见面)\n**同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。**\n\n**例 4** 两个三角形都以 BC 为底,高的长度也相等,它们的面积相等吗?\n\n【解答】相等。底一样、高一样,按公式 底×高÷2 算出来的面积一定一样。\n\n【提醒】面积相等的三角形,形状不一定相同。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三角形面积忘记除以 2。\n- “高”必须是底边上的垂直距离,不能拿斜边当高。\n- “三角形是平行四边形的一半”只在等底等高时才成立。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一块三角形菜地底 12m,高 8m,面积是( )m²。\",\"answers\":[\"48\"],\"explain\":\"三角形面积 = 底×高÷2 = 12×8÷2 = 48m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形面积是 72cm²,底是 12cm,高是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"高 = 面积÷底 = 72÷12 = 6cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形底 9cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"平行四边形面积 = 底×高 = 9×4 = 36cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个三角形底 10cm,高 6cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"10×6÷2 = 30cm²,别忘了除以 2。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形面积公式里为什么要除以 2?\",\"options\":[\"两个一样的三角形能拼成一个平行四边形,三角形面积是它的一半\",\"规定,没有原因\",\"因为三角形有三条边\"],\"answer\":0,\"explain\":\"两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形,三角形面积 = 拼成的平行四边形面积÷2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平行四边形面积公式里的“高”,可以是它任何一条边的长度。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。高是两条底边之间的垂直距离,必须垂直于底,不是斜边的长度。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等积变形:底一样、高一样,面积就一定一样。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个三角形底 8cm,高 5cm,面积是多少?\",\"options\":[\"40cm²\",\"20cm²\",\"13cm²\"],\"answer\":1,\"explain\":\"8×5÷2 = 20cm²。选 40cm² 是忘了除以 2,选 13cm² 是把边长相加了。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"任何三角形的面积都是平行四边形面积的一半。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。只有和平行四边形等底等高时,三角形面积才是它的一半。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个平行四边形面积 48cm²,高 8cm,底是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"底 = 面积÷高 = 48÷8 = 6cm。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 平行四边形面积 = 底×高;三角形面积 = 底×高÷2。\n- 三角形除以 2 的原因:两个一样的三角形拼成一个平行四边形。\n- 同底等高的三角形面积相等(等积变形)。" + }, + { + "id": "geo-10", + "title": "梯形与圆的面积", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握梯形和圆的面积公式及逆向计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学了平行四边形和三角形的面积。这一课学最后两个面积公式:梯形和圆。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2\n梯形的两条底平行,高是两底之间的垂直距离。\n\n**例 1** 一个梯形上底 4cm,下底 6cm,高 5cm,面积是多少?\n\n【解答】(4 + 6) × 5 ÷ 2 = 10 × 5 ÷ 2 = 25cm²。\n\n【提醒】先算上底+下底的和,再乘高,最后除以 2。\n\n**例 2**(逆向)一个梯形面积是 30cm²,上底 4cm,下底 6cm,高是多少?\n\n【思路】反过来用公式:高 = 面积×2÷(上底+下底)。\n\n【解答】30 × 2 ÷ (4 + 6) = 60 ÷ 10 = 6cm。\n\n【验算】(4+6)×6÷2 = 30cm² ✓。\n\n### 概念 2:圆的面积 = πr²\nr 是半径。\n\n**例 3** 一个圆形花坛半径 3m,面积是多少 m²?\n\n【解答】π × 3² = 9π ≈ 28.26m²(π 取 3.14)。\n\n【提醒】先把半径平方(3×3 = 9),再乘 π;不要把 r² 算成 r×2。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 梯形面积忘记除以 2。\n- 圆面积公式里 r 是半径,题目给直径时要先除以 2。\n- r² 是 r×r,不是 r×2。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形上底 4cm,下底 6cm,高 5cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"(4+6)×5÷2 = 10×5÷2 = 25cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆的半径是 3m,它的面积是( )π m²。\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"圆面积 = πr² = π×3×3 = 9π m²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形上底 3cm,下底 7cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"(3+7)×4÷2 = 10×4÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"梯形的面积公式是?\",\"options\":[\"(上底+下底)×高÷2\",\"上底×下底×高\",\"(上底+下底)×高\"],\"answer\":0,\"explain\":\"梯形面积 = (上底+下底)×高÷2,别忘了除以 2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"梯形公式里的“高”,是上底和下底之间的垂直距离。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。梯形的两条底平行,高就是两底之间的垂直距离。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆的面积公式 πr² 中,r 指的是什么?\",\"options\":[\"直径\",\"半径\",\"周长\"],\"answer\":1,\"explain\":\"r 是半径。如果题目给的是直径,要先除以 2 得到半径。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆的半径是 2cm,它的面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"π×2×2 = 4π cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆的面积 = π × 半径 × 半径。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。r² 就是 r×r,半径乘半径再乘 π。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个梯形面积是 30cm²,上底 4cm,下底 6cm,高是( )cm。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"高 = 面积×2÷(上底+下底) = 30×2÷10 = 6cm。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个梯形上底 2cm,下底 4cm,高 3cm,面积是多少?\",\"options\":[\"9cm²\",\"18cm²\",\"12cm²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"(2+4)×3÷2 = 9cm²。18cm² 是忘了除以 2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 梯形面积 = (上底+下底)×高÷2;圆面积 = πr²。\n- 逆向题:高 = 面积×2÷(上底+下底)。\n- 至此六种图形面积公式全部学完:长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆。" + }, + { + "id": "geo-11", + "title": "体积与体积单位:长方体与正方体", + "grade": "五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "建立体积概念,会算长方体和正方体的体积", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n长度是一维的(一条线),面积是二维的(一个面),体积是三维的——物体占空间的大小。这一课建立体积概念,学长方体和正方体的体积。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:体积单位与容积\n- **1cm³** = 一个骰子大小的方块;\n- **1dm³** = 一个粉笔盒大小;\n- **1m³** = 想象教室里 1m×1m×1m 的空间(能站几个同学?);\n- 相邻体积单位进率 **1000**(cm³、dm³、m³);\n- 容积单位:**1L = 1dm³,1mL = 1cm³**;一瓶矿泉水约 500mL = 500cm³。\n\n### 概念 2:体积公式\n- 长方体体积 = **长 × 宽 × 高**;\n- 正方体体积 = **棱长³**。\n\n口诀:体积就是“数小方块”,表面积就是“数面”。\n\n**例 1** 长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,求体积。\n\n【解答】V = 6 × 4 × 3 = 72cm³。\n\n【验算】交换乘法顺序再算:6×3×4 = 72 ✓。\n\n**例 2** 一个正方体棱长之和是 48cm,求它的体积。\n\n【思路】先由棱长之和求出棱长。正方体有 12 条棱!\n\n【解答】棱长 = 48 ÷ 12 = 4cm;体积 = 4³ = 64cm³。\n\n【提醒】正方体有 12 条棱(不是 6 条),求棱长要用棱长之和÷12。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为正方体有 6 条棱:是 12 条,棱长之和÷12 才是棱长。\n- 相邻体积单位进率是 1000,别和长度(10)、面积(100)搞混。\n- 题目里 mL 和 cm³ 混着出现时,记住 1mL = 1cm³,1L = 1dm³。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"72\"],\"explain\":\"V = 长×宽×高 = 6×4×3 = 72cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长 5cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"125\"],\"explain\":\"V = 棱长³ = 5×5×5 = 125cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长之和是 48cm,它的体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"64\"],\"explain\":\"正方体有 12 条棱,棱长 = 48÷12 = 4cm;体积 = 4³ = 64cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"正方体一共有几条棱?\",\"options\":[\"6 条\",\"8 条\",\"12 条\"],\"answer\":2,\"explain\":\"正方体有 12 条棱(不是 6 条),求棱长要用棱长之和÷12。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"cm³、dm³、m³ 相邻两个体积单位之间的进率是?\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":2,\"explain\":\"相邻体积单位进率是 1000,如 1dm³ = 1000cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1L = ( )dm³\",\"options\":[\"1\",\"10\",\"1000\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 升 = 1 立方分米,这是容积单位和体积单位的对应关系。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1mL = 1cm³。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1 毫升 = 1 立方厘米,所以 500mL 的水就是 500cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一瓶矿泉水约 500mL,也就是约( )cm³。\",\"answers\":[\"500\"],\"explain\":\"1mL = 1cm³,所以 500mL = 500cm³。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1dm³ 的大小最接近下面哪个?\",\"options\":[\"一个骰子\",\"一个粉笔盒\",\"整个教室\"],\"answer\":1,\"explain\":\"1cm³ 约一个骰子大小,1dm³ 约一个粉笔盒大小,1m³ 才是教室里的一个大空间。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 5cm、宽 3cm、高 2cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"5×3×2 = 30cm³。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 体积是物体占空间的大小,单位 cm³、dm³、m³,相邻进率 1000。\n- 1L = 1dm³,1mL = 1cm³。\n- 长方体体积 = 长×宽×高;正方体体积 = 棱长³;正方体有 12 条棱。" + }, + { + "id": "geo-12", + "title": "圆柱与圆锥的体积", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握圆柱、圆锥体积公式及相关应用", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学了长方体、正方体的体积。这一课学圆柱和圆锥的体积,它们是立体图形的最后一块。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:圆柱体积 = 底面积 × 高 = πr²h\n\n**例 1** 一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,求体积。\n\n【解答】V = π × 2² × 5 = 20π ≈ 62.8cm³(π 取 3.14)。\n\n【提醒】精确值是 20π cm³;计算时 r 一定要先平方。\n\n### 概念 2:圆锥体积 = 底面积 × 高 ÷ 3\n做实验:3 个圆锥的水正好倒满 1 个和它**等底等高**的圆柱 → 圆锥体积是同底同高圆柱的 1/3。\n\n口诀:圆柱体积底面积×高,圆锥体积底面积×高÷3。\n\n**例 2** 一个圆锥与圆柱等底等高,圆柱体积是 12cm³,圆锥体积是多少?\n\n【解答】12 ÷ 3 = 4cm³。\n\n【提醒】“三分之一”的前提是等底等高,缺一个条件都不行。\n\n**例 3**(流水问题)一根自来水管内直径 2cm,水流速度每秒 50cm,1 分钟流出多少 mL 水?\n\n【思路】把流出的水想象成一个圆柱体:底面是水管的横截面(半径 1cm),高就是 1 秒内水流的长度 50cm。\n\n【解答】每秒流出:π × 1² × 50 = 50π ≈ 157cm³;1 分钟 = 60 秒:157 × 60 = 9420cm³ = 9420mL。\n\n【验算】1mL = 1cm³,所以 cm³ 可以直接写成 mL。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 圆柱体积忘记把 r 平方(V = πr²h,不是 πrh)。\n- 圆锥体积忘记除以 3。\n- “圆锥是圆柱的 1/3”只在等底等高时成立。\n- 单位不统一时记住 1mL = 1cm³,1L = 1dm³。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,体积是( )π cm³。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"V = πr²h = π×2²×5 = 20π cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的圆柱,取 π≈3.14,体积约是( )cm³。\",\"answers\":[\"62.8\"],\"explain\":\"20×3.14 = 62.8cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆锥与圆柱等底等高,圆柱体积是 12cm³,圆锥体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"等底等高时,圆锥体积 = 圆柱体积÷3 = 12÷3 = 4cm³。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆锥的体积总是圆柱体积的三分之一。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是等底等高的圆锥和圆柱,圆锥体积才是圆柱的 1/3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆柱的体积公式是哪个?\",\"options\":[\"πrh\",\"πr²h\",\"2πrh\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h。πrh 忘了把半径平方,2πrh 是侧面积。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面积 10cm²,高 6cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"体积 = 底面积×高 = 10×6 = 60cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆锥底面积 9cm²,高 4cm,体积是( )cm³。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"体积 = 底面积×高÷3 = 9×4÷3 = 12cm³。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一根自来水管内直径 2cm,水流速度每秒 50cm。1 分钟约流出( )mL 水。(π取3.14)\",\"answers\":[\"9420\"],\"explain\":\"半径 1cm。每秒流出的水是一个圆柱:π×1²×50 ≈ 157cm³。1 分钟 = 60 秒:157×60 = 9420cm³ = 9420mL。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个圆锥的水正好倒满 1 个圆柱,这个圆柱和圆锥要满足什么条件?\",\"options\":[\"随便什么圆柱圆锥都行\",\"等底等高\",\"只是等高就行\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3 个圆锥的水倒满 1 个圆柱,前提是它们等底等高,所以圆锥体积 = 底面积×高÷3。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"圆柱的体积 V = π × r × h。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。半径要平方:V = π × r² × h。忘了平方是常见错误。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 圆柱体积 = 底面积×高 = πr²h。\n- 圆锥体积 = 底面积×高÷3,前提是等底等高。\n- 流水、倒水问题:把水想象成圆柱,底面是容器横截面,高是水面高度或水流长度。" + }, + { + "id": "geo-13", + "title": "长方体、正方体与圆柱的表面积", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握长方体、正方体、圆柱的表面积计算", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n体积是“数小方块”,表面积是“数面”——把立体图形的所有面加起来。这一课学长方体、正方体和圆柱的表面积。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:长方体表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×高)\n把纸盒剪开铺平,能看到 6 个面,分成 3 组对面(上下、前后、左右),每组面积相同,所以每种面算一次再乘 2。\n\n**例 1** 长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,求表面积。\n\n【解答】2 × (6×4 + 6×3 + 4×3) = 2 × (24 + 18 + 12) = 2 × 54 = 108cm²。\n\n【提醒】同一个长方体,体积是 6×4×3 = 72cm³,表面积是 108cm²——单位一个是 cm³,一个是 cm²,别混。\n\n### 概念 2:正方体表面积 = 6 × 棱长²\n\n**例 2** 一个正方体棱长 4cm,表面积是多少?\n\n【解答】6 × 4 × 4 = 96cm²。\n\n【验算】一个面 4×4 = 16cm²,6 个面 16×6 = 96cm² ✓。\n\n### 概念 3:圆柱表面积 = 侧面积 + 2 × 底面积 = 2πrh + 2πr²\n圆柱展开 = 两个圆(底面)+ 一个长方形(侧面)。长方形的长 = 底面周长 2πr,宽 = 圆柱的高 h,所以侧面积 = 2πr × h。\n\n**例 3** 一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,求侧面积和表面积。\n\n【解答】侧面积 = 2π × 2 × 5 = 20π ≈ 62.8cm²;两个底面 = 2 × π × 2² = 8π;表面积 = 20π + 8π = 28π ≈ 87.92cm²。\n\n【验算】侧面积的“长”2πr 正好是底面圆的周长 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 表面积和体积的单位混淆(cm² vs cm³),千万别把面积写成立方。\n- 长方体 3 组对面,每组乘 2 别忘记。\n- 圆柱侧面展开的长方形,长是底面周长 2πr,不是直径。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 6cm、宽 4cm、高 3cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"108\"],\"explain\":\"2×(6×4 + 6×3 + 4×3) = 2×(24+18+12) = 2×54 = 108cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个正方体棱长 4cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"96\"],\"explain\":\"6×4×4 = 96cm²。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方体展开后,相同的对面一共有几组?\",\"options\":[\"2 组\",\"3 组\",\"6 组\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3 组对面:上下、前后、左右,每组两个面面积相同。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"圆柱的侧面展开是什么图形?\",\"options\":[\"圆\",\"长方形\",\"三角形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱展开 = 两个圆(底面)+ 一个长方形(侧面)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个圆柱底面半径 2cm,高 5cm,侧面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"侧面积 = 2πr×h = 2π×2×5 = 20π cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面这个圆柱的表面积是( )π cm²。\",\"answers\":[\"28\"],\"explain\":\"表面积 = 侧面积 + 2×底面积 = 20π + 2×π×2² = 20π + 8π = 28π cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"表面积用平方单位(如 cm²),体积用立方单位(如 cm³),不能混。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。表面积数的是“面”,体积数的是“小方块”,单位完全不同,千万别把面积写成立方。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"长方体表面积公式 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高) 是什么意思?\",\"options\":[\"3 组对面,每组面积算一次再乘 2\",\"6 个面都一样大\",\"长宽高的和乘 2\"],\"answer\":0,\"explain\":\"长方体有 3 组对面(上下、前后、左右),每组两个面面积相同,所以把三种面的面积加起来再乘 2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方体的长 5cm、宽 3cm、高 2cm,表面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"62\"],\"explain\":\"2×(5×3 + 5×2 + 3×2) = 2×(15+10+6) = 2×31 = 62cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"正方体的表面积 = 6 × 棱长 × 棱长。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。正方体 6 个面都是边长×边长的正方形,表面积 = 6×棱长²。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 长方体表面积 = 2×(长×宽 + 长×高 + 宽×高);正方体 = 6×棱长²。\n- 圆柱表面积 = 2πrh + 2πr²,侧面积展开是长 2πr、宽 h 的长方形。\n- 表面积用平方单位,体积用立方单位。" + }, + { + "id": "geo-14", + "title": "位置与方向:八个方向", + "grade": "三年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识八个方向,会用方向和距离描述路线", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一年级我们学过上下前后左右。这一课学习八个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北,并会用方向和距离描述路线。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:八个方向与地图\n八个方向:东、南、西、北、东南、东北、西南、西北。\n地图上的方向:**上北下南左西右东**。\n\n### 概念 2:辨认方向的方法\n看太阳:早上太阳升起的方向是东(东升西落)。早上面朝太阳(东),背后是西,左边是北,右边是南。还可以用指南针辨认方向。\n\n**例 1** 面向北站立,你的后面是什么方向?左面呢?右面呢?\n\n【思路】先想北的对面,再想面向北时左右各是什么方向。\n\n【解答】后面是南;左面是西;右面是东。\n\n【验算】画个十字:上北下南左西右东,面朝上(北),左手自然指着西 ✓。\n\n**例 2** 学校东边是公园,南边是超市。超市在学校的哪一面?\n\n【解答】南面。\n\n### 概念 3:用方向和距离描述路线\n\n**例 3** 从学校出发,向东走 100m 到邮局,再向北走 50m 到公园。你能描述公园相对学校的位置吗?\n\n【解答】先向东再向北,公园在学校的东北方向(从学校出发,先向东走 100m,再向北走 50m)。\n\n**例 4** 小明从家出发向东走 200m 到图书馆,再向南走 150m 到学校。请说出路线。\n\n【解答】路线:家 →(向东 200m)→ 图书馆 →(向南 150m)→ 学校。画图时从“家”出发先向右(东)画一段标 200m,再向下(南)画一段标 150m。\n\n【提醒】描述路线要把每一段的“方向 + 距离”都说清楚。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- “左西右东”只在面对北时成立:面对不同方向,左右会变(面对南时,左东右西)。\n- 地图方向记牢:上北下南左西右东。\n- 描述路线漏掉距离或方向。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的后面是( )方。\",\"answers\":[\"南\"],\"explain\":\"北的对面是南,面向北,背后就是南。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的左面是( )方。\",\"answers\":[\"西\"],\"explain\":\"面向北时,左手边是西,右手边是东。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"面向北站立,你的右面是( )方。\",\"answers\":[\"东\"],\"explain\":\"面向北时,右手边是东。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"太阳从( )方升起。\",\"answers\":[\"东\"],\"explain\":\"早上太阳从东方升起,这是辨认方向的好办法。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"太阳从( )方落下。\",\"answers\":[\"西\"],\"explain\":\"傍晚太阳从西方落下——东升西落。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"看地图时,图的上方是什么方向?\",\"options\":[\"东\",\"南\",\"西\",\"北\"],\"answer\":3,\"explain\":\"地图的方向是上北下南左西右东。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"面朝东站立时,左手边是北。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。早上面朝太阳(东),背后是西,左边是北,右边是南。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"“左西右东”这句话不管面朝哪个方向都成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。左西右东只在面对北时成立;面对南时正好相反,左边是东,右边是西。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"东和北之间的方向叫什么?\",\"options\":[\"东南\",\"东北\",\"西北\"],\"answer\":1,\"explain\":\"东和北之间是东北;同理还有东南、西南、西北,一共八个方向。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从学校向东走 100m 到邮局,再向北走 50m 到公园。公园在学校的哪个方向?\",\"options\":[\"东北\",\"东南\",\"西北\"],\"answer\":0,\"explain\":\"先往东再往北,公园在学校的东北方向。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 八个方向:东西南北 + 东南、东北、西南、西北。\n- 地图:上北下南左西右东;辨认方向可以看太阳(东升西落)或用指南针。\n- 描述路线 = 方向 + 距离;“左西右东”只适用于面朝北。" + }, + { + "id": "geo-15", + "title": "对称、平移与旋转", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识轴对称、平移、旋转三种图形运动", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n二年级要学三种图形运动:轴对称、平移、旋转。这一课把它们一次认全,并学会区分。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:轴对称\n对折后两边完全重合的图形,叫**轴对称图形**,折痕就是**对称轴**。常见的轴对称图形:长方形、正方形、圆、蝴蝶、人脸。可以玩对折剪纸:折一折再剪出一个爱心,展开后两边完全一样。\n\n**例 1** 判断哪些是轴对称图形:正方形、三角形、平行四边形、圆、五角星。\n\n【解答】正方形 ✓、圆 ✓、五角星 ✓;一般的三角形 ✗、平行四边形 ✗。\n\n【提醒】判断标准只有一个:能不能对折后两边完全重合。\n\n### 概念 2:平移\n沿直线方向移动(左右、上下),**形状和大小不变,位置变了**。生活中的平移:抽屉推拉、电梯升降、滑滑梯。\n格子纸上的平移:把△向右平移 3 格,就是图形的每个点都向右移 3 格。\n\n**例 2** 判断哪些运动是平移:电梯升降、风扇转动、抽屉推拉、汽车直行。\n\n【解答】电梯升降 ✓、抽屉推拉 ✓、汽车直行 ✓;风扇转动 ✗(是旋转)。\n\n### 概念 3:旋转\n绕一个点或轴转动,**形状和大小不变,方向变了**。生活中的旋转:风车、钟表指针、旋转木马。\n用笔尖按住纸上的一个点转动纸,笔尖的位置就是旋转中心。\n\n**例 3** 判断哪些运动是旋转:风车转动、滑滑梯、开门、火车直行。\n\n【解答】风车转动 ✓、开门 ✓(门绕门轴转);滑滑梯 ✗、火车直行 ✗(都是平移)。\n\n**例 4** 钟面上指针从 3 转到 5,旋转了多少度?\n\n【思路】钟面一圈 360°,共 12 个大格,每个大格 30°。\n\n【解答】从 3 到 5 转过 2 个大格:30 × 2 = 60°。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 平移和旋转分不清:平移是“滑过去”,方向不变;旋转是“转圈”,方向变了。\n- 平移、旋转都不改变图形的形状和大小。\n- 判断轴对称只认“对折后完全重合”这一条标准。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"对折后两边完全重合的图形,是轴对称图形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。折痕就是对称轴。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个图形不是轴对称图形?\",\"options\":[\"正方形\",\"圆\",\"平行四边形\",\"五角星\"],\"answer\":2,\"explain\":\"正方形、圆、五角星对折后两边都能完全重合;平行四边形对折后两边不能重合,不是轴对称图形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"长方形和正方形都是轴对称图形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。它们对折后两边都能完全重合。常见的轴对称图形还有圆、蝴蝶、人脸等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种运动是平移?\",\"options\":[\"风扇转动\",\"电梯升降\",\"风车转动\"],\"answer\":1,\"explain\":\"电梯沿直线上下移动,是平移;风扇、风车都是绕着中心转,是旋转。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平移后的图形,形状和大小都不变,只是位置变了。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平移是沿直线方向移动,形状大小不变。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪种运动是旋转?\",\"options\":[\"滑滑梯\",\"抽屉推拉\",\"钟表指针走动\"],\"answer\":2,\"explain\":\"钟表指针绕着中心点转动,是旋转;滑滑梯、抽屉推拉都是平移。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"钟面上指针从 3 转到 5,旋转了( )度。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"钟面一圈 360° 分成 12 个大格,每格 30°。从 3 到 5 转过 2 个大格:30×2 = 60°。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"旋转后的图形形状会发生改变。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。旋转只是绕一个点或轴转动,形状和大小不变,变的是方向。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"打开房门是平移现象。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。房门绕着门轴转动,是旋转。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"轴对称图形的对称轴是什么?\",\"options\":[\"对折时的折痕\",\"图形的边\",\"任意一条线段\"],\"answer\":0,\"explain\":\"把图形对折,折痕所在的直线就是对称轴。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 轴对称:对折后两边完全重合,折痕是对称轴。\n- 平移:直直地滑过去,形状大小不变,位置变。\n- 旋转:绕点或轴转圈,形状大小不变,方向变。" + }, + { + "id": "geo-16", + "title": "观察物体", + "grade": "二年级", + "difficulty": 1, + "summary": "学会从不同方向观察物体并辨认看到的形状", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n同一个物体,从不同方向看,看到的样子一样吗?这一课学习从正面、侧面、背面、上面观察物体。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:从不同方向观察同一物体\n同一物体从不同方向看,形状可能不同。从一个方向看,不能看到物体的全部;要综合多个方向才能了解全貌。\n可以做个游戏:摆放一个玩偶,从 4 个方向观察并画下来,会发现每个方向看到的不一样。\n\n**例 1** 观察一个水杯:从正面、上面、侧面分别看到什么?\n\n【解答】从正面看,看到杯身和把手;从上面看,看到圆形杯口;从侧面看,看到杯子的侧面形状。\n\n【验算】想一想自己平时喝水:低头看杯口是圆的,平着看是长长的杯身 ✓。\n\n**例 2** 一个圆柱:从上面看是什么形状?从前面看呢?\n\n【解答】从上面看是圆(看到的是顶面);从前面看是长方形。\n\n【提醒】圆柱和长方体一样,从不同方向看到的形状可能不一样。\n\n### 概念 2:观察正方体搭成的立体\n\n**例 3** 把 3 个正方体排成一行放在桌上,再把第 4 个正方体放在中间那个的上面。从前面、左面、上面分别看到什么?\n\n【思路】逐个方向想:这个方向上哪些面能被看到,哪些被挡住了。\n\n【解答】从前面看:下面一行 3 个正方形,中间上面还有 1 个,像“山”字;从左面看:一行 3 个被压成 1 个宽,中间上面的那个叠在它上面,看到竖着的 2 个正方形;从上面看:最上面的正方体在中间正方体的正上方,加左右两个的顶面,还是一行 3 个正方形。\n\n【验算】从上面看时,上层正方体没有多露出新的顶面,所以仍是 3 个 ✓。\n\n### 提醒:长方体的侧视图\n从侧面看长方体,可能看到长方形,也可能看到正方形——取决于对着我们的是哪个面。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 以为从一个方向看到的形状就是物体的全部。\n- 忘记长方体从侧面看也可能是正方形。\n- 数正方体搭成的图形时,注意被挡住的正方体仍然存在。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从上面看一个水杯,看到的形状是?\",\"options\":[\"长方形\",\"圆形\",\"三角形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从上面看水杯,看到的是圆形的杯口。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"从前面看一个圆柱,看到的形状是?\",\"options\":[\"圆\",\"长方形\",\"球\"],\"answer\":1,\"explain\":\"圆柱从上面看是圆,从前面看是长方形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同一个物体,从不同方向看,看到的形状可能不同。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。比如水杯:正面看有杯身和把手,上面看是圆形杯口。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从一个方向观察物体,就能看到物体的全部。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从一个方向只能看到一部分,要综合多个方向才能了解全貌。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3 个正方体排成一行,第 4 个放在中间那个的上面。从前面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"下面 3 个、上面 1 个的形状\",\"竖着 2 个正方形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从前面看:底层一行 3 个,中间上面还有 1 个,像一座小山。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上面这个立体图形,从左面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"竖着 2 个正方形\",\"1 个正方形\"],\"answer\":1,\"explain\":\"从左面看:一行的 3 个正方体重叠成 1 个的宽度,中间上面的那个在它上面,所以看到竖着叠起来的 2 个正方形。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上面这个立体图形,从上面看,看到什么?\",\"options\":[\"一行 3 个正方形\",\"竖着 2 个正方形\",\"田字形 4 个正方形\"],\"answer\":0,\"explain\":\"从上面看:最上面的正方体正好在中间那个的正上方,加上左右两个的顶面,看到的还是一行 3 个正方形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"从侧面看长方体,一定看到长方形,不可能看到正方形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。从侧面看长方体,可能看到长方形,也可能看到正方形(如果对着我们的那个面恰好是正方形)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"想了解一个物体的全貌,需要从多个方向观察,再综合起来。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。每个方向看到的只是一部分,综合多个方向才能了解全貌。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 同一物体从不同方向看,形状可能不同。\n- 圆柱:上面看是圆,前面看是长方形。\n- 观察立体要一个方向一个方向地想:能看到什么、被挡住什么。" + }, + { + "id": "geo-17", + "title": "几何基础回顾:面积与等积变换", + "grade": "五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "梳理面积公式,掌握比例与面积、等积变换性质", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n从这一课开始进入奥数几何模型。先把面积公式和几个关键性质整理清楚,后面的“等高模型”“鸟头模型”“风筝模型”都要用它们。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:面积公式速查表\n- 长方形 = 长 × 宽(对边相等);\n- 正方形 = 边长²(四边相等);\n- 三角形 = 底 × 高 ÷ 2(高必须垂直于底);\n- 平行四边形 = 底 × 高(高是两底间的垂直距离);\n- 梯形 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2(两底平行);\n- 圆 = πr²(r 是半径)。\n\n### 概念 2:比例与面积的关系\n- 底变为原来的 a 倍,高不变 → 面积变为原来的 **a 倍**;\n- 底不变,高变为原来的 b 倍 → 面积变为原来的 **b 倍**;\n- 底变为 a 倍,高变为 b 倍 → 面积变为原来的 **a×b 倍**;\n- 相似图形:边长比为 k,面积比为 **k²**。\n\n**例 1** 一个三角形底 6cm,高 4cm,面积是多少?底不变,高扩大到原来的 2 倍,面积变成多少?\n\n【解答】原面积 = 6×4÷2 = 12cm²。高变为 8cm 后,面积 = 6×8÷2 = 24cm²。\n\n【验算】24 ÷ 12 = 2,面积正好变为 2 倍,和“高 2 倍 → 面积 2 倍”一致 ✓。\n\n**例 2** 两个相似三角形边长比是 1:2,面积比是多少?如果小三角形面积是 10cm²,大三角形是多少?\n\n【解答】面积比 = 1²:2² = 1:4。大三角形面积 = 10×4 = 40cm²。\n\n【提醒】边长比是 k,面积比是 k²,不是 k。\n\n### 概念 3:等积变换的三个核心性质\n1. **同底等高(或等底同高)的两个三角形面积相等。**\n2. 平行线间的距离处处相等 → 在两条平行线之间,所有等底的三角形面积相等。\n3. 三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。\n\n**例 3** 两条平行线之间,△ABC 和△DBC 共用底边 BC,顶点 A、D 都在另一条平行线上。这两个三角形面积相等吗?\n\n【解答】相等。它们底都是 BC,高都是两条平行线间的距离,等底等高,面积相等。\n\n**例 4** △ABC 中,D 是 BC 的中点,连接 AD。△ABD 和△ADC 面积相等吗?\n\n【解答】相等。BD = DC,两个小三角形共用顶点 A、底在同一直线 BC 上,高相同,所以 S△ABD = S△ADC。\n\n【提醒】这条性质就是“中线平分面积”,后面的等高模型会反复用到。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三角形、梯形公式忘记除以 2。\n- “高”必须是垂直距离,不是斜边。\n- 倍数关系是相乘(a×b),不是相加。\n- 相似图形面积比是边长比的平方 k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形的面积公式是?\",\"options\":[\"底×高\",\"底×高÷2\",\"(上底+下底)×高÷2\"],\"answer\":1,\"explain\":\"三角形面积 = 底×高÷2,高必须垂直于底。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"平行四边形面积公式里的“高”是指?\",\"options\":[\"一条斜边的长\",\"两底之间的垂直距离\",\"任意一条线段\"],\"answer\":1,\"explain\":\"高是两条底边之间的垂直距离,不是斜边。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个三角形底 6cm,高 4cm,面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"6×4÷2 = 12cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上面的三角形,底不变,高扩大到原来的 2 倍(8cm),面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"6×8÷2 = 24cm²,正好是原来的 2 倍:高变为 2 倍,面积就变为 2 倍。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"三角形的高不变,底变为原来的 3 倍,面积变为原来的几倍?\",\"options\":[\"不变\",\"3 倍\",\"9 倍\"],\"answer\":1,\"explain\":\"底变为原来的 a 倍、高不变,面积就变为原来的 a 倍,所以是 3 倍。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"底变为原来的 2 倍,高变为原来的 3 倍,面积变为原来的几倍?\",\"options\":[\"5 倍\",\"6 倍\",\"23 倍\"],\"answer\":1,\"explain\":\"底 a 倍、高 b 倍,面积就是 a×b = 2×3 = 6 倍。是相乘,不是相加。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两个相似图形边长比是 1:2,它们的面积比是?\",\"options\":[\"1:2\",\"1:4\",\"1:8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"相似图形:边长比为 k,面积比为 k²。k = 1/2,面积比 = 1:4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同底等高(或等底同高)的两个三角形,面积一定相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等积变形的核心性质。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。中线把底边平分,两个小三角形等高(共用顶点、底在同一直线上),所以面积相等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两条平行线之间,△ABC 和△DBC 共用底边 BC,顶点 A、D 都在另一条平行线上。它们的面积关系是?\",\"options\":[\"相等\",\"△ABC 更大\",\"△DBC 更大\"],\"answer\":0,\"explain\":\"平行线间的距离处处相等,两个三角形等底等高,面积相等。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 六个面积公式要熟,注意“高”必须垂直于底。\n- 底 a 倍、高 b 倍 → 面积 a×b 倍;相似图形边长比 k → 面积比 k²。\n- 等积变换:同底等高面积相等;平行线间等底三角形面积相等;中线平分面积。" + }, + { + "id": "geo-18", + "title": "等高模型", + "grade": "五年级", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握等高模型:高相等时面积比等于底边比", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课我们知道了“同底等高的三角形面积相等”。这一课把它升级成等高模型:**高相等时,面积比 = 底边比**。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:等高模型的核心原理\n两个三角形如果高相等,那么 S₁ : S₂ = a₁ : a₂(面积比 = 底边比)。\n道理很简单:面积 = 底×高÷2,高一样,面积就只随底变化。\n\n三种常见的等高情形:\n1. **同顶点三角形**:从同一顶点向底边所在直线上的不同线段作三角形,高相同;\n2. **平行线间的三角形**:底在一条平行线上,顶点在另一条平行线上;\n3. **共边三角形**:两个三角形共用一条边,该边上的高分别对应。\n\n典型图形:△ABC 中,D 在 BC 上,连接 AD → △ABD 和△ADC 共用顶点 A,底都在直线 BC 上,高相同(A 到 BC 的距离),所以 **S△ABD : S△ADC = BD : DC**。\n\n做题步骤:找到(或构造)等高的三角形 → 用虚线标出高 → 在底边上标出长度或比例 → 写出面积比 = 底边比。\n\n**例 1**(基础)△ABC 的面积是 24cm²,D 是 BC 的中点,连接 AD。求△ABD 的面积。\n\n【思路】D 是中点 → BD = DC;两个三角形共顶点 A,底在同一直线上,等高。\n\n【解答】S△ABD : S△ADC = BD : DC = 1:1,所以 S△ABD = 24 ÷ 2 = 12cm²。\n\n【验算】12 + 12 = 24 ✓。\n\n**例 2**(进阶)长方形 ABCD 的面积是 60cm²,E 是 BC 边上的点,且 BE:EC = 2:3。连接 AE 和 DE,求△AED 的面积。\n\n【思路】以 AD 为底看△AED:E 在 BC 上,顶点 E 到 AD 的距离就是长方形的宽 AB。\n\n【解答】S△AED = AD × AB ÷ 2,而 AD × AB 正好是长方形面积 60,所以 S△AED = 60 ÷ 2 = 30cm²。\n\n【提醒】有意思的是:E 在 BC 上任何位置,△AED 的面积都等于长方形面积的一半(因为等底等高)。BE:EC = 2:3 这个条件其实用不上。\n\n**例 3**(综合)梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 4,BC = 6。对角线 AC 和 BD 交于点 O。已知 S△BOC = 12,求梯形 ABCD 的面积。\n\n【思路】AD∥BC → △AOD ∽ △BOC,AO:OC = DO:OB = AD:BC = 4:6 = 2:3。再用等高模型逐个求四个小三角形。\n\n【解答】\n- 在△ABC 中,△AOB 和△BOC 共顶点 B,底都在 AC 上 → 等高,S△AOB : S△BOC = AO : OC = 2:3 → S△AOB = 12 × 2/3 = 8;\n- 因为 AD∥BC,S△ABD = S△ACD(共底 AD、等高),两边同时减去公共部分 S△AOD,得 S△AOB = S△DOC = 8;\n- △AOD 和△DOC 共顶点 D,底在 AC 上 → S△AOD : S△DOC = AO : OC = 2:3 → S△AOD = 8 × 2/3 = 16/3;\n- 梯形面积 = 8 + 12 + 8 + 16/3 = 100/3。\n\n【验算】S△AOD × S△BOC = 16/3 × 12 = 64;S△AOB × S△DOC = 8 × 8 = 64,交叉乘积相等 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 高必须是从顶点到底边(或其延长线)的垂直距离,不是底边上的随便一条线段。\n- 忘记先验证等高条件:必须是共顶点且底在同一直线上(或在平行线之间)。\n- 底边比不等于面积比——只有在等高时才成立。\n- 不会画辅助线时,试试连接顶点和对边上的点,构造等高三角形。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 的面积是 30cm²,D 在 BC 上,BD:DC = 1:2。连接 AD,S△ABD 是( )cm²。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"△ABD 和△ADC 等高,面积比 = 底边比 = 1:2。S△ABD = 30×1/(1+2) = 10cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,S△ADC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"S△ADC = 30×2/3 = 20cm²。验算:10+20 = 30 ✓。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方形 ABCD 面积 48cm²,E、F 分别是 AB、CD 的中点。连接 DE、BF,四边形 DEBF 的面积是( )cm²。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"EB 平行且等于 DF(都是对应边的一半),所以 DEBF 是平行四边形。它以 EB(=AB的一半)为底,高等于长方形的宽,面积 = 长方形面积的一半 = 24cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 面积 40cm²,E 是 BC 中点,连接 AE。S△AEC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"E 是中点,BE = EC,△ABE 和△AEC 等高,面积相等,各占一半:40÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 3,BC = 7,面积 50cm²,对角线交于 O。S△AOB 是( )cm²。\",\"answers\":[\"10.5\"],\"explain\":\"梯形高 H:50 = (3+7)×H÷2,H = 10。△AOD∽△BOC,高的比 = 3:7,所以△AOD 的高 3、△BOC 的高 7。S△ABD = 3×10÷2 = 15,S△AOD = 3×3÷2 = 4.5,S△AOB = 15−4.5 = 10.5cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 BC 上且 BD = 2DC,E 是 AC 中点,F 在 AB 上且 AF = 2FB。若 S△ABC = 90cm²,S△DEF 是( )cm²。\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"用鸟头/等高思想算三个角上的三角形:S△BDF = 90×(2/3)×(1/3) = 20;S△CDE = 90×(1/3)×(1/2) = 15;S△AEF = 90×(1/2)×(2/3) = 30。S△DEF = 90−20−15−30 = 25cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个三角形高相等时,面积比等于底边比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是等高模型的核心:面积 = 底×高÷2,高相同,面积就随底成比例。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"任意两个三角形,只要底边比是 1:2,面积比就一定是 1:2。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是在高相等的前提下,底边比才等于面积比。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 BC 上,BD:DC = 2:3,S△ABC = 20cm²。S△ABD 是多少?\",\"options\":[\"8cm²\",\"12cm²\",\"10cm²\"],\"answer\":0,\"explain\":\"S△ABD : S△ADC = BD : DC = 2:3,所以 S△ABD = 20×2/5 = 8cm²。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"连接三角形一边的中点与对角顶点,得到的两个小三角形面积相等。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。中点把底边平分,两个小三角形等高,面积比 1:1。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 等高模型:高相等 → 面积比 = 底边比。\n- 中点平分面积:S△ABD : S△ADC = BD : DC。\n- 梯形对角线问题:相似 + 等高组合使用。" + }, + { + "id": "geo-19", + "title": "鸟头模型(共角模型)", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握鸟头模型:共角三角形面积比等于夹边乘积之比", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n等高模型处理“高相等”的三角形。这一课学鸟头模型(共角模型),处理“有一个角相等或互补”的两个三角形。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:鸟头模型的核心原理\n两个三角形有一个角相等(或两个角互补,即相加 180°),则:\n**面积比 = 夹这个角的两边乘积之比**。\n\n即:若∠A = ∠A'(或∠A + ∠A' = 180°),则 S△ABC : S△A'B'C' = (AB × AC) : (A'B' × A'C')。\n\n为什么叫“鸟头”?两个共角三角形重叠时,尖角处共角,形状像一只鸟的头部。\n\n三种常见图形:\n1. **共角重叠**:一个三角形套在另一个里面,共一个角;\n2. **共角相邻**:共一个顶点,向不同方向延伸;\n3. **补角情形**:两个角互为补角,公式同样适用。\n\n解题步骤:① 识别共角或互补角;② 找出夹该角的两条边,确定比例;③ 代入公式求面积比。\n\n验证方法:取特殊值(如直角三角形),用底×高÷2 验证,明白这不是“魔法公式”,而是可以推导的。\n\n**例 1**(基础)△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:3,AE:AC = 1:2。已知 S△ABC = 36cm²,求 S△ADE。\n\n【思路】△ADE 和△ABC 共角 A(∠A 是公共角)。\n\n【解答】S△ADE : S△ABC = (AD×AE) : (AB×AC) = (1×1) : (3×2) = 1:6。S△ADE = 36 × 1/6 = 6cm²。\n\n【验算】特殊化验证:设∠A 是直角,AB = 3、AC = 2,则 S△ABC = 3×2÷2 = 3;AD = 1、AE = 1,S△ADE = 1×1÷2 = 0.5;0.5:3 = 1:6 ✓。\n\n**例 2**(进阶)△ABC 中,D 在 AB 的延长线上,E 在 AC 上,AB:BD = 2:1,AE:EC = 3:1。已知 S△ABC = 24cm²,求 S△BDE。\n\n【思路】∠DBE 和∠ABC 是邻补角,可以用鸟头模型;分两步走,先求 S△ABE。\n\n【解答】第一步:△ABE 和△ABC 共角 A,夹边 AE:AC = 3:4 → S△ABE = 24 × 3/4 = 18cm²。第二步:△BDE 和△ABE 中,∠DBE 与∠ABE 互补,夹边 BE 相同,BD:AB = 1:2 → S△BDE = 18 × 1/2 = 9cm²。\n\n【提醒】补角情形公式照样用,别忘了这一点。\n\n**例 3**(综合)正方形 ABCD 边长为 6,E 是 BC 中点,F 在 CD 上且 CF:FD = 1:2。连接 AE 和 AF,求△AEF 的面积。\n\n【思路】直接求△AEF 不方便,用正方形减去三个角上的直角三角形。\n\n【解答】S正方形 = 36。CF = 2,FD = 4。S△ABE = 6×3÷2 = 9;S△ADF = 6×4÷2 = 12;S△ECF = 3×2÷2 = 3。S△AEF = 36 − 9 − 12 − 3 = 12cm²。\n\n【验算】用鸟头模型核对 S△ABE:△ABE 和△ABC 共角 B(直角),面积比 = (AB×BE):(AB×BC) = BE:BC = 3:6 = 1:2,S△ABE = 18÷2 = 9 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 找错共角:必须是两个三角形真正的公共角(或互补角),不能是看起来像的角。\n- 夹边搞混:夹边是夹住该角的两条边,不是对边。\n- 补角情形忘记公式同样适用。\n- 比例方向搞反:大三角形面积 : 小三角形面积 = 大夹边乘积 : 小夹边乘积。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:3,AE:AC = 1:2。已知 S△ABC = 36cm²,S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"△ADE 和△ABC 共角 A,面积比 = (1×1):(3×2) = 1:6,所以 S△ADE = 36÷6 = 6cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 AC 上,AD:AB = 1:4,AE:AC = 1:3,S△ABC = 60cm²。S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"面积比 = (1×1):(4×3) = 1:12,S△ADE = 60÷12 = 5cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 中,D 在 AB 上,E 在 BC 上,AD:DB = 1:2,BE:EC = 1:1,S△ABC = 54cm²。S△BDE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"D 在 AB 上且 AD:DB = 1:2 → BD:BA = 2:3;E 是 BC 中点 → BE:BC = 1:2。△BDE 和△ABC 共角 B,面积比 = (2×1):(3×2) = 1:3,所以 S△BDE = 54÷3 = 18cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个三角形共一个角,面积分别是 18cm² 和 48cm²。小三角形夹该角的两边分别是 3cm 和 4cm,大三角形夹该角的一边是 8cm,另一边是( )cm。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"面积比 18:48 = 3:8,夹边乘积之比也应是 3:8。小三角形乘积 3×4 = 12,大三角形乘积 = 12×8÷3 = 32,所以另一边 = 32÷8 = 4cm。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"△ABC 面积 40cm²,D 在 AB 延长线上,BD = AB,E 在 AC 上,AE = AC/4。S△ADE 是( )cm²。\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"D 在 AB 延长线上,∠DAE 就是∠BAC(同角)。AD = AB+BD = 2AB,AE = AC/4。面积比 = (2×1/4):1 = 1:2,S△ADE = 40÷2 = 20cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平行四边形 ABCD 面积 80cm²,E 是 AB 上一点。连接 DE 和 CE,S△DEC 是( )cm²。\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"△DEC 以 DC 为底,高等于平行四边形的高(因为 E 在对边 AB 上),面积 = DC×高÷2 = 80÷2 = 40cm²。E 在 AB 上任何位置都一样。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型中,如果两个三角形的角互补(两个角相加等于 180°),面积比仍然等于夹边乘积之比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。共角或互补角,公式都适用,这是鸟头模型的重要情形。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型中,面积比等于夹该角的两条边的比(不用相乘)。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。是夹该角的两边“乘积”之比,不是单边之比。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"△ADE 和△ABC 共角 A,AD:AB = 1:2,AE:AC = 1:2,那么 S△ADE : S△ABC = ?\",\"options\":[\"1:2\",\"1:4\",\"1:8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"面积比 = (1×1):(2×2) = 1:4。两边各缩一半,面积缩为四分之一。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"鸟头模型里的“夹边”,必须是夹住那个角的两条边,不能是对边。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。找错夹边是最常见的错误,一定要认准从角的顶点出发的两条边。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 鸟头模型:共角(或互补角)→ 面积比 = 夹边乘积之比。\n- 三步走:找共角 → 标夹边比例 → 算面积比。\n- “减去角上的三角形”是正方形/长方形里求面积的常用招。" + }, + { + "id": "geo-20", + "title": "风筝模型", + "grade": "六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握风筝模型:四边形对角线分出的四个三角形面积关系", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n这一课学风筝模型:任意四边形两条对角线分出的四个三角形之间的比例关系。它是等高模型在四边形上的综合应用。\n\n## ② 知识精讲\n### 概念 1:风筝模型的核心结论\n在四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O,把四边形分成四个三角形。按顺时针编号:\n① S△AOB,② S△BOC,③ S△COD,④ S△DOA。\n\n核心结论:\n1. **交叉乘积相等:① × ③ = ② × ④**;\n2. 面积比与对角线比的关系:AO:OC = (①+④):(②+③);BO:OD = (①+②):(③+④);\n3. 相邻三角形面积比:**① : ② = AO : OC = ④ : ③**。\n\n为什么?① 和②共用顶点 B,底都在 AC 上 → 等高 → ①:② = AO:OC;同理④:③ = AO:OC。所以 ①:② = ④:③,交叉相乘就得到 ①×③ = ②×④。\n\n为什么叫“风筝”?对角线像风筝的骨架,四个三角形像风筝的四个部分。\n\n做题口诀:**知三求一**(知道三个面积,用交叉乘积求第四个);**知比求面**(知道对角线比例,可以求面积比)。\n\n特殊情形:\n- 平行四边形:四个三角形面积相等;\n- 梯形(AD∥BC):夹着两腰 AB、CD 的两个三角形面积相等,即 S△AOB = S△COD。\n\n**例 1**(基础)四边形 ABCD 中,对角线交于 O。S△AOB = 6,S△BOC = 9,S△COD = 12。求 S△DOA。\n\n【解答】由 ①×③ = ②×④:6 × 12 = 9 × S△DOA,S△DOA = 72 ÷ 9 = 8。\n\n【验算】AO:OC = ①:② = 6:9 = 2:3;④:③ = 8:12 = 2:3 ✓。\n\n**例 2**(进阶)梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD = 3,BC = 5。对角线交于 O,已知 S△BOC = 15。求梯形面积。\n\n【思路】AD∥BC → △AOD ∽ △COB,再用等高模型求两侧三角形。\n\n【解答】相似比 AO:OC = AD:BC = 3:5,面积比 = 9:25 → S△AOD = 15 × 9/25 = 27/5。由 AO:OC = 3:5,① 和②等高 → S△AOB = 15 × 3/5 = 9;梯形中 S△DOC = S△AOB = 9。梯形面积 = 9 + 9 + 27/5 + 15 = 192/5 = 38.4。\n\n【验算】交叉乘积:S△AOB×S△COD = 9×9 = 81;S△AOD×S△BOC = 27/5×15 = 81 ✓。\n\n**例 3**(综合)四边形 ABCD 中,AO:OC = 2:3,BO:OD = 1:4。已知四边形面积是 100,求四个三角形的面积。\n\n【思路】用对角线比设份数。\n\n【解答】由 AO:OC = 2:3:设 S△AOB = 2a,S△BOC = 3a;S△AOD = 2b,S△DOC = 3b。由 BO:OD = 1:4:①:④ = 1:4,即 2a:2b = 1:4 → b = 4a。四个三角形:2a、3a、2b = 8a、3b = 12a。总面积 2a+3a+8a+12a = 25a = 100 → a = 4。所以 S△AOB = 8,S△BOC = 12,S△AOD = 32,S△DOC = 48。\n\n【验算】8×48 = 384;12×32 = 384,交叉乘积相等 ✓;8+12+32+48 = 100 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 编号搞混:必须按顺时针(或固定顺序)标注四个三角形,“交叉”是指 ①③ 对角、②④ 对角。\n- 忘记前提:必须是凸四边形,对角线在内部相交。\n- 面积比和对角线比的关系搞反:①:② = AO:OC(不是 OC:AO)。\n- 梯形中记得用 S△AOB = S△COD 这个特殊性质。\n- 相似比和面积比混淆:相似比是边长比 k,面积比是 k²。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,对角线交于 O。S△AOB = 6,S△BOC = 9,S△COD = 12。S△DOA = ( )。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"由 ①×③ = ②×④:6×12 = 9×S△DOA,S△DOA = 72÷9 = 8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,S△AOB = 10,S△BOC = 15,S△COD = 20。S△DOA = ( )(用分数表示)。\",\"answers\":[\"40/3\",\"13.3\",\"13.33\"],\"explain\":\"①×③ = ②×④:10×20 = 15×S△DOA,S△DOA = 200÷15 = 40/3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"平行四边形 ABCD 面积是 120cm²,对角线交于 O。S△AOB 是( )cm²。\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"平行四边形对角线分出的四个三角形面积相等,各占 120÷4 = 30cm²。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD:BC = 2:5,S△BOC = 25。S△AOD = ( )。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"△AOD∽△COB,相似比 2:5,面积比 4:25,S△AOD = 25×4/25 = 4。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题的梯形中,S△AOB = ( )。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"AO:OC = AD:BC = 2:5,△AOB 和△BOC 等高,S△AOB = 25×2/5 = 10。(S△DOC 也等于 10。)\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,AO:OC = 1:2,BO:OD = 3:1,S△AOB = 6。四边形总面积是( )。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"AO:OC = 1:2 → S△BOC = 6×2 = 12;BO:OD = 3:1 → S△AOD = 6÷3 = 2;S△AOD:S△DOC = AO:OC = 1:2 → S△DOC = 4。总面积 = 6+12+2+4 = 24。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四边形 ABCD 中,S△AOB = 4,S△COD = 9,且 S△BOC = S△AOD。S△BOC = ( )。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"由 ①×③ = ②×④:4×9 = S²,S = 6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"风筝模型中,①×③ = ②×④(①③是对顶的两个三角形,②④是另一对对顶的三角形)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是风筝模型的核心结论:交叉乘积相等。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"风筝模型对任何四边形都适用,包括对角线不在内部相交的凹四边形。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须是凸四边形,对角线在内部相交,模型才成立。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"风筝模型中,① : ② 等于什么?\",\"options\":[\"AO : OC\",\"BO : OD\",\"③ : ④\"],\"answer\":0,\"explain\":\"① 和② 共顶点 B、底在 AC 上,等高,所以 ①:② = AO:OC。注意方向不要搞反。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 风筝模型:①×③ = ②×④;①:② = AO:OC = ④:③。\n- 知三求一,知比求面。\n- 特殊情形:平行四边形四块相等;梯形两腰上的三角形相等。" + } + ] +} diff --git a/src/content/math/num-a.json b/src/content/math/num-a.json new file mode 100644 index 0000000..7d60442 --- /dev/null +++ b/src/content/math/num-a.json @@ -0,0 +1,118 @@ +{ + "module": "num", + "moduleName": "数论", + "points": [ + { + "id": "num-01", + "title": "自然数与整数:数位与计数单位", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识自然数与整数,区分数位与计数单位。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n低年级我们已经会认数、读写数。本课把「自然数、整数、数位、计数单位」这些概念系统梳理清楚,为后面学习倍数因数等数论知识打基础。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 自然数与整数\n- 自然数:0, 1, 2, 3, 4, …,用来表示物体个数的数。自然数的基本单位是 1,任何自然数都是由若干个 1 组成的。\n- 整数:…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …,包括正整数、零和负整数。小学阶段主要研究自然数(非负整数)。\n- 特别提醒:0 是最小的自然数(部分旧教材不含 0,要注意)。0 是自然数、也是整数,但 0 不是正整数;0 是偶数。\n\n### 2. 数位与计数单位\n- 数位:个位、十位、百位、千位、万位……指的是「位置」;\n- 计数单位:个、十、百、千、万……指的是该位置代表的值;\n- 十进制计数法:满十进一的计数方法,每相邻两个计数单位之间的进率是 10;\n- 一个数在某个数位上的数字,就表示有几个这样的计数单位。\n\n**例1** 写出下列各数中数字「5」所表示的含义:(1) 523 (2) 356 (3) 105\n【思路】先看数字在哪个数位上,再说它表示几个这样的计数单位。\n【解答】523 中的 5 在百位上,表示 5 个百,即 500;356 中的 5 在十位上,表示 5 个十,即 50;105 中的 5 在个位上,表示 5 个一,即 5。\n【提醒】同一个数字在不同数位上表示的值不同,这正是十进制计数法的核心。\n\n**例2** 一个三位数,百位上是 4,十位上是 0,个位上是 7,这个数是多少?\n【思路】把每个数位代表的值加起来。\n【解答】百位 4 表示 400,十位 0 表示 0,个位 7 表示 7,这个数 = 400 + 0 + 7 = 407。\n【验算】407 读作四百零七,百位是 4、十位是 0、个位是 7,符合题意。\n\n**例3** 用 3、0、7 这三个数字组成三位数,最大是多少?最小是多少?\n【思路】0 不能放在最高位(百位);要最大就把大的数字往前放,要最小就把小的数字往前放。\n【解答】可以组成的三位数有:307、370、703、730。最大的是 730,最小的是 307。\n【提醒】组数时先确定百位只能是 3 或 7,这样不重不漏,避免漏掉或多算。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 0 的属性混淆:0 是自然数、是偶数,但 0 不是正整数。\n- 数位是「位置」(个位、十位),计数单位是「名称」(一、十),两者不是同一个概念。\n- 「三位数」指最高位不为 0 的自然数,012 不算三位数。\n- 用含 0 的数字组数时,0 不能在最高位,容易漏掉或多算。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在数字 80356 中,数字 8 在哪一位上?\",\"answers\":[\"万位\",\"万\"],\"explain\":\"从右往左依次是个、十、百、千、万位,8 在右起第五位,即万位。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在数字 80356 中,数字 3 表示多少?\",\"answers\":[\"300\",\"3个百\"],\"explain\":\"3 在百位上,表示 3 个百,即 300。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用 5、0、8 三个数字组成三位数,最大的是多少?\",\"options\":[\"805\",\"850\",\"580\"],\"answer\":1,\"explain\":\"把最大的数字 8 放百位、5 放十位、0 放个位,得 850。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用 5、0、8 三个数字组成三位数,最小的是多少?\",\"options\":[\"508\",\"580\",\"805\"],\"answer\":0,\"explain\":\"百位不能是 0,百位取较小的 5,十位放 0,个位放 8,得 508。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数由 6 个千、3 个百和 8 个一组成,这个数是多少?\",\"answers\":[\"6308\"],\"explain\":\"6000 + 300 + 8 = 6308,注意十位上一个计数单位也没有,要写 0 占位。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"6308 读作什么?\",\"answers\":[\"六千三百零八\"],\"explain\":\"从高位读起,中间有 0 要读出来:六千三百零八。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"0 是最小的自然数,也是偶数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。0 是自然数中最小的,且 0 = 2×0 能被 2 整除,所以是偶数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"数位和计数单位是同一个概念。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。数位是位置(如个位、十位),计数单位是该位置代表的值(如一、十)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"012 是一个三位数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。几位数要求最高位不为 0,012 实际上就是 12,是两位数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一万里面有多少个一千?\",\"options\":[\"10\",\"100\",\"1000\"],\"answer\":0,\"explain\":\"相邻两个计数单位之间的进率是 10,万位相邻千位,所以一万 = 10 个一千。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 自然数是 0, 1, 2, 3, …,0 是最小的自然数;\n- 数位是位置,计数单位是位置代表的值,相邻单位进率是 10;\n- 同一个数字在不同数位上表示的值不同;\n- 组数时 0 不能在最高位。" + }, + { + "id": "num-02", + "title": "奇数与偶数:奇偶性的判断", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "认识奇数偶数,用运算规律快速判断和与积的奇偶性。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课我们认识了自然数。本课按「能否被 2 整除」把自然数分成奇数和偶数两类,并学会不计算就直接判断运算结果的奇偶性。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 奇数与偶数的定义\n- 偶数:能被 2 整除的整数,即除以 2 余数为 0 的数。偶数的个位是 0、2、4、6、8,如 0, 2, 4, 6, 8, 10, …\n- 奇数:不能被 2 整除的整数,即除以 2 余数为 1 的数。奇数的个位是 1、3、5、7、9,如 1, 3, 5, 7, 9, 11, …\n- 通式:偶数可写成 2n,奇数可写成 2n+1 或 2n-1(n 为自然数)。\n- 快速判断方法:只需看个位数字即可判断奇偶性。注意 0 是偶数。\n\n### 2. 奇偶性运算规律\n- 加减法:奇数 ± 奇数 = 偶数;偶数 ± 偶数 = 偶数;奇数 ± 偶数 = 奇数。\n- 口诀(加减):「同奇偶,异奇」——两个数奇偶性相同,和(差)为偶数;奇偶性不同,和(差)为奇数。\n- 乘法:奇数 × 奇数 = 奇数;奇数 × 偶数 = 偶数;偶数 × 偶数 = 偶数。\n- 口诀(乘法):「见偶得偶」——乘法中只要有一个偶数,结果一定是偶数。\n\n**例1** 判断 347 + 856 的结果是奇数还是偶数?\n【思路】先看两个加数的奇偶性,再用加减法规律。\n【解答】347 个位是 7,是奇数;856 个位是 6,是偶数。奇数 + 偶数 = 奇数,所以结果是奇数。\n【验算】347 + 856 = 1203,个位是 3,确实是奇数。\n\n**例2** 1×2×3×4×…×10 的结果是奇数还是偶数?\n【思路】检查因数中有没有偶数。\n【解答】这 10 个数中有偶数(2、4、6、8、10),根据「见偶得偶」,乘积一定是偶数。\n【提醒】完全不必算出真实乘积,奇偶判断一步到位。\n\n**例3** 从 1 到 100 这 100 个自然数中,奇数多还是偶数多?多几个?\n【思路】分别数出奇数、偶数的个数再比较。\n【解答】奇数有 1, 3, 5, …, 99 共 50 个;偶数有 2, 4, 6, …, 100 共 50 个。奇数和偶数一样多,各 50 个。\n【提醒】从 1 数到偶数,奇偶各一半;如果数到奇数结尾(如 1~99),奇数会比偶数多 1 个。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 0 是偶数:0 能被 2 整除(0 = 2×0),所以 0 是偶数,不是奇数。\n- 「非奇即偶」:整数要么是奇数,要么是偶数,没有第三种情况。\n- 奇数加 1 后变成偶数,注意 1 本身是奇数不是偶数。\n- 乘法「见偶得偶」:只要有一个因数是偶数,积就是偶数,不需要所有因数都是偶数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个数是偶数?\",\"options\":[\"37\",\"84\",\"101\"],\"answer\":1,\"explain\":\"84 个位是 4,能被 2 整除,是偶数;37、101 个位是奇数数字,是奇数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个数是奇数?\",\"options\":[\"256\",\"999\",\"1000\"],\"answer\":1,\"explain\":\"999 个位是 9,是奇数;256、1000 个位是 6、0,都是偶数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1000 是奇数还是偶数?\",\"answers\":[\"偶数\",\"偶\"],\"explain\":\"1000 个位是 0,能被 2 整除,是偶数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不计算,23 + 45 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"奇数 + 奇数 = 偶数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不计算,78 - 36 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"偶数 - 偶数 = 偶数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不计算,17 × 9 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"奇数 × 奇数 = 奇数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"不计算,24 × 15 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"有偶数因数 24,见偶得偶,积是偶数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"三个连续自然数的和一定是奇数、偶数,还是无法确定?\",\"answers\":[\"无法确定\"],\"explain\":\"如 1+2+3=6 是偶数,2+3+4=9 是奇数。设中间数为 n,三数之和 = 3n,n 为偶数和就为偶,n 为奇数和就为奇。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个奇数的和一定是偶数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。奇数 + 奇数 = 偶数,如 3+5=8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分成两组,可以使两组的和都是偶数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。九个数的总和 1+2+…+9 = 45 是奇数;若两组和都是偶数,则总和 = 偶数+偶数 = 偶数,与 45 是奇数矛盾。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 看个位即可判断奇偶:个位 0、2、4、6、8 是偶数,1、3、5、7、9 是奇数;\n- 加减法:同奇偶得偶,一奇一偶得奇;\n- 乘法:见偶得偶,全奇才奇;\n- 0 是偶数,整数非奇即偶。" + }, + { + "id": "num-03", + "title": "倍数与因数", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "理解倍数与因数,会用配对法有序找出全部因数。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n奇偶性是按「能否被 2 整除」分类。本课研究更一般的「整除」关系,认识倍数与因数这两个相互依存的概念。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 倍数\n- 如果 a = b × n(n 为自然数,n ≠ 0),则 a 是 b 的倍数。例如 12 = 3×4,所以 12 是 3 的倍数。\n- 一个数的倍数有无数个,最小倍数是它本身,没有最大倍数。\n\n### 2. 因数\n- 如果 a ÷ b = c(a、b、c 均为自然数,且余数为 0),则 b 和 c 都是 a 的因数。例如 12 的因数有 1、2、3、4、6、12。\n- 一个数的因数个数是有限的,最小因数是 1,最大因数是它本身。\n- 倍数和因数相互依存:如果 a 是 b 的倍数,那么 b 是 a 的因数。\n\n### 3. 配对法找因数\n从小到大找,成对出现,不重不漏。如找 36 的因数:1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。\n\n**例1** 找出 36 的所有因数。\n【思路】用配对法,从 1 开始一对一对地找。\n【解答】1×36 = 36,2×18 = 36,3×12 = 36,4×9 = 36,6×6 = 36。所以 36 的因数是 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36,共 9 个。\n【验算】一对一对数:5 对里最后一对 6×6 两个数相同,只算 1 个,共 4×2 + 1 = 9 个。\n\n**例2** 写出 50 以内 7 的所有倍数。\n【思路】用 7 依次乘 1、2、3……直到超过 50。\n【解答】7×1=7,7×2=14,7×3=21,7×4=28,7×5=35,7×6=42,7×7=49。50 以内 7 的倍数是 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49,共 7 个。\n【提醒】「50 以内」包括 50 本身,但 50 不是 7 的倍数;下一个倍数 56 已超出。\n\n**例3** 一个数的最大因数和最小倍数之和是 36,这个数是多少?\n【思路】想清楚最大因数和最小倍数分别是什么。\n【解答】一个数的最大因数 = 它本身,最小倍数 = 它本身。设这个数为 n,则 n + n = 36,2n = 36,n = 18。\n【验算】18 的最大因数是 18,最小倍数是 18,18+18 = 36,符合题意。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 倍数和因数不能孤立地说:不能说「6 是因数」「12 是倍数」,必须说「6 是 12 的因数」「12 是 6 的倍数」。\n- 因数个数是有限的,倍数个数是无限的,这两者容易混淆。\n- 整除的含义:a÷b=c 要求 a、b、c 都是自然数且余数为 0,15÷4 = 3…3 不叫整除。\n- 1 的特殊性:1 是任何自然数的因数,任何自然数都是 1 的倍数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"24 的所有因数一共有几个?\",\"answers\":[\"8个\",\"8\"],\"explain\":\"24 = 1×24 = 2×12 = 3×8 = 4×6,因数有 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24,共 8 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"24 的最大因数是多少?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"一个数的最大因数是它本身。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"36 的最小因数是多少?\",\"options\":[\"1\",\"2\",\"3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1 是任何自然数的因数,最小因数总是 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数的最大因数和最小倍数之和是 50,这个数是多少?\",\"answers\":[\"25\"],\"explain\":\"最大因数、最小倍数都是它本身,n + n = 50,n = 25。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"15 是 3 的倍数,所以 3 是 15 的因数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。倍数和因数相互依存:15 = 3×5,所以 3 是 15 的因数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"「6 是因数,12 是倍数」这种说法是准确的。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须说清「谁是谁的因数/倍数」,不能孤立地说。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"50 以内 7 的倍数有几个?\",\"options\":[\"6\",\"7\",\"8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"7×1 到 7×7 = 49 都在 50 以内,共 7 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一个数的因数个数是无限的。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。因数个数是有限的,倍数个数才是无限的。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"8 的最小倍数是多少?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"一个数的最小倍数是它本身。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"80 以内 8 的倍数有几个?\",\"options\":[\"8\",\"9\",\"10\"],\"answer\":2,\"explain\":\"8×1=8 到 8×10=80,共 10 个。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 倍数和因数相互依存,不能孤立地说;\n- 最小因数是 1,最大因数是本身;最小倍数是本身,倍数有无数个;\n- 找因数用配对法,从小到大、成对出现;\n- 整除要求商是自然数且余数为 0。" + }, + { + "id": "num-04", + "title": "2、3、5 的倍数特征", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握 2、3、5 的倍数特征并能灵活组合判断。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课认识了倍数与因数。本课学习 2、3、5 的倍数特征——不用做除法,看数字本身就能判断。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 2 和 5 的倍数特征(看个位)\n- 2 的倍数:个位上是 0、2、4、6、8 的数(即偶数)。\n- 5 的倍数:个位上是 0 或 5 的数。\n- 同时是 2 和 5 的倍数:个位上是 0 的数。\n\n### 2. 3 的倍数特征(看各位数字之和)\n- 各位数字之和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍数。例如 126:1+2+6 = 9,9 是 3 的倍数,所以 126 是 3 的倍数。\n- 为什么看数字和?用位置原理解释:123 = 100+20+3 = (99+1)+(18+2)+3 = (99+18)+(1+2+3)。前面的 99+18 一定是 3 的倍数,所以只需看数字之和。\n- 同时是 2 和 3 的倍数:既是偶数,各位数字之和又是 3 的倍数。\n\n**例1** 在 □ 里填上一个数字,使三位数 4□2 是 3 的倍数,□ 可以填几?\n【思路】3 的倍数看各位数字之和:4 + □ + 2 = 6 + □,要让和是 3 的倍数。\n【解答】□ 可以填 0(和为 6)、3(和为 9)、6(和为 12)、9(和为 15)。\n【验算】402、432、462、492 的数字和分别是 6、9、12、15,都是 3 的倍数,正确。\n\n**例2** 一个两位数既是 2 的倍数又是 5 的倍数,这样的两位数最小是多少?最大是多少?\n【思路】同时是 2 和 5 的倍数,个位必须是 0。\n【解答】个位是 0 的两位数,最小是 10,最大是 90。\n【提醒】先把条件翻译成「个位是 0」,再讨论范围,就不容易漏。\n\n**例3** 用 0、3、5 这三个数字组成的三位数中,哪些是 5 的倍数?哪些是 3 的倍数?\n【思路】先列出所有能组成的三位数(0 不能在百位),再分别用特征判断。\n【解答】可组成 305、350、503、530。5 的倍数看个位是 0 或 5:305、350、530 是 5 的倍数。3 的倍数看数字和:0+3+5 = 8 不是 3 的倍数,所以这四个三位数中没有 3 的倍数。\n【提醒】数字和与数字顺序无关,因此只要 0+3+5 不是 3 的倍数,怎么排都不是 3 的倍数。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 判断 3 的倍数只看个位是错的:要看各位数字之和。个位是 3、6、9 的数不一定是 3 的倍数(如 13、16、19)。\n- 分清「看个位」和「看数字和」:判断 2、5 的倍数只看个位,判断 3 的倍数看各位数字之和。\n- 「2 的倍数」与「偶数」是同一个意思。\n- 同时满足多个条件要逐一核对:同时是 2 和 5 的倍数 → 个位是 0。\n- 0 也是 2、3、5 的倍数(0 = n×0),容易忽略。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个数既是 2 的倍数又是 3 的倍数?\",\"options\":[\"36\",\"45\",\"105\"],\"answer\":0,\"explain\":\"36 是偶数且 3+6=9 是 3 的倍数;45、105 都是奇数,不是 2 的倍数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在 36、45、78、105、120、255 中,是 3 的倍数的有几个?\",\"options\":[\"4\",\"5\",\"6\"],\"answer\":2,\"explain\":\"数字和分别是 9、9、15、6、3、12,全都是 3 的倍数,共 6 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在 □ 里填上合适的数字,使 2□8 同时是 2 和 3 的倍数,□ 最小可以填几?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"个位 8 已满足 2 的倍数;还需 2+□+8 = 10+□ 是 3 的倍数,□ 可填 2、5、8,最小是 2。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个三位数既是 2 的倍数,又是 3 的倍数,还是 5 的倍数,这个三位数最小是多少?\",\"options\":[\"30\",\"60\",\"120\"],\"answer\":2,\"explain\":\"同时是 2、3、5 的倍数就是 30 的倍数,30×1、30×2、30×3 都不是三位数,30×4 = 120 才是最小的三位数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"个位是 3、6、9 的数一定是 3 的倍数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。如 13、16、19 都不是 3 的倍数,3 的倍数要看各位数字之和。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"既是 2 的倍数又是 5 的倍数的两位数,最大是多少?\",\"answers\":[\"90\"],\"explain\":\"个位必须是 0,最大的两位数是 90。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用 0、3、5 组成的三位数中,哪个不是 5 的倍数?\",\"options\":[\"305\",\"350\",\"503\",\"530\"],\"answer\":2,\"explain\":\"5 的倍数个位是 0 或 5,503 个位是 3,不是 5 的倍数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"2 的倍数就是偶数,两种说法意思相同。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。能被 2 整除的整数就是偶数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"0 是 2、3、5 的倍数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。0 = 2×0 = 3×0 = 5×0,0 是它们每一个的倍数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"255 的各位数字之和是 12,12 是 3 的倍数,所以 255 是哪个数的倍数?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"各位数字之和是 3 的倍数,这个数就是 3 的倍数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 2、5 的倍数看个位:2 看 0、2、4、6、8,5 看 0 或 5;\n- 3 的倍数看各位数字之和;\n- 同时是 2 和 5 的倍数 → 个位是 0;\n- 同时是 2、3、5 的倍数就是 30 的倍数。" + }, + { + "id": "num-05", + "title": "质数与合数", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 1, + "summary": "按因数个数分类,记住 100 以内质数,会用试除法判断。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了因数。本课按「因数个数」给自然数分类,认识质数与合数,并学会判断一个数是不是质数。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 按因数个数分类\n- 质数(素数):一个大于 1 的自然数,如果只有 1 和它本身两个因数,称为质数。如 2, 3, 5, 7, 11, 13, …\n- 合数:一个大于 1 的自然数,除了 1 和它本身还有其他因数,称为合数。如 4, 6, 8, 9, 10, 12, …\n- 1 只有 1 个因数,既不是质数也不是合数(特殊情况,务必牢记)。\n- 2 是唯一的偶质数,其余质数都是奇数。\n\n### 2. 100 以内的质数(共 25 个)\n2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。\n记忆技巧:分段记,一位质数 4 个(2、3、5、7),两位质数 21 个。\n\n### 3. 试除法判断质数\n用不大于 √n 的质数依次试除,都不能整除则为质数。如判断 47:√47 ≈ 6.86,只需用 2、3、5 试除即可。\n\n**例1** 判断下列各数是质数还是合数:31、51、73、91。\n【思路】用试除法,从小到大用质数去试除。\n【解答】31:用 2、3、5 试除都不能整除 → 质数;51:51÷3 = 17,能被 3 整除 → 合数;73:√73 ≈ 8.5,用 2、3、5、7 试除都不能整除 → 质数;91:91÷7 = 13,能被 7 整除 → 合数。\n【提醒】51、91 这类「长得像质数」的数最容易误判,一定要动手试除。\n\n**例2** 两个质数的和是 15,这两个质数的积是多少?\n【思路】15 是奇数 = 奇数 + 偶数,而质数中唯一的偶数是 2。\n【解答】一个质数是 2,另一个是 15 - 2 = 13。验证 13 也是质数。积 = 2 × 13 = 26。\n【提醒】「两个质数的和是奇数」时,其中必有一个是 2,这是常用结论。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 1 既不是质数也不是合数:质数有 2 个因数,合数有 3 个或以上因数,1 只有 1 个因数。这是最常犯的错误。\n- 2 是唯一的偶质数,不能因为「是偶数」就认为它是合数。\n- 看似质数的合数:9 = 3×3、51 = 3×17、87 = 3×29、91 = 7×13,容易误判。\n- 并非所有奇数都是质数:9、15、21、25、27、33、35 都是奇数但也是合数。\n- 质数和奇数是两个不同维度的分类,不要混淆:2 是质数但不是奇数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在 1~20 的自然数中,质数有几个?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"质数是 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,共 8 个。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个数是合数?\",\"options\":[\"23\",\"57\",\"79\"],\"answer\":1,\"explain\":\"57 = 3×19,是合数;23、79 用质数试除都不能整除,是质数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"所有的偶数都是合数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。2 是偶数,但 2 是质数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"所有的奇数都是质数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。如 9 = 3×3 是奇数但是合数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个质数的积一定是合数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。积至少有 4 个因数:1、两个质数、积本身,所以是合数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"三个连续质数的乘积是 385,其中最大的质数是多少?\",\"answers\":[\"11\"],\"explain\":\"385 = 5×77 = 5×7×11,三个连续质数是 5、7、11,最大是 11。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个质数的和是 20,这两个质数的积最大是多少?\",\"answers\":[\"91\"],\"explain\":\"和为 20 的质数组合:3+17 积 51;7+13 积 91(9 不是质数,11+9 不行)。最大积是 7×13 = 91。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1 既不是质数也不是合数,原因是什么?\",\"options\":[\"1 太小了\",\"1 只有 1 个因数\",\"1 是奇数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"质数要有 2 个因数,合数要有 3 个及以上因数,而 1 只有 1 个因数,单独一类。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"唯一的偶质数是多少?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"大于 2 的偶数都能被 2 整除,至少有 1、2、本身三个因数,是合数;只有 2 是偶质数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"91 看起来像质数,但它其实是合数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。91 = 7×13,是容易误判的典型合数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 质数恰有 2 个因数,合数有 3 个及以上因数,1 单独一类;\n- 2 是唯一的偶质数;\n- 记住 100 以内 25 个质数;\n- 判断质数用试除法:用不大于 √n 的质数试除。" + }, + { + "id": "num-06", + "title": "最大公因数与最小公倍数:短除法", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "理解 GCD 与 LCM,掌握短除法和乘积公式。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n有了因数与倍数的基础,本课研究两个数「公有」的部分:公因数、最大公因数(GCD)与公倍数、最小公倍数(LCM),并掌握核心方法——短除法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 概念\n- 公因数:两个或多个数共有的因数。如 12 和 18 的公因数有 1, 2, 3, 6。\n- 最大公因数(GCD):公因数中最大的一个。如 12 和 18 的最大公因数是 6,记作 (12, 18) = 6。\n- 公倍数:两个或多个数共有的倍数。如 4 和 6 的公倍数有 12, 24, 36, …\n- 最小公倍数(LCM):公倍数中最小的一个。如 4 和 6 的最小公倍数是 12,记作 [4, 6] = 12。\n- 互质:两个数的最大公因数是 1,就称它们互质。如 (8, 9) = 1,8 和 9 互质。常见互质关系:相邻自然数互质、1 和任何数互质、两个不同质数互质。\n\n### 2. 求法\n- 列举法:分别列出因数/倍数,找公共部分,适合较小的数。\n- 短除法:用公有的质因数连续除,直到商互质。所有除数之积 = 最大公因数;所有除数与最后商之积 = 最小公倍数。\n- 重要公式:a × b = (a, b) × [a, b](两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数)。\n\n**例1** 用列举法求 12 和 18 的最大公因数。\n【思路】分别列出两个数的因数,找公共部分里最大的。\n【解答】12 的因数:1, 2, 3, 4, 6, 12;18 的因数:1, 2, 3, 6, 9, 18。公因数是 1, 2, 3, 6,最大公因数是 6。\n【提醒】列举法适合小数,数大了要用短除法。\n\n**例2** 用短除法求 24 和 36 的最大公因数和最小公倍数。\n【思路】用公有的质因数连续除,直到两个商互质。\n【解答】先用 2 除:24, 36 → 12, 18;再用 2 除:→ 6, 9;再用 3 除:→ 2, 3。商 2 和 3 互质,停止。\n最大公因数 = 2×2×3 = 12;最小公倍数 = 2×2×3×2×3 = 72。\n【验算】24 = 12×2,36 = 12×3;72÷24 = 3,72÷36 = 2。再用公式核对:24×36 = 864 = 12×72,正确。\n\n**例3** 快速求互质两数的 GCD 和 LCM:16 和 25。\n【思路】先判断是否互质。16 = 2^4,25 = 5^2,没有公有质因数。\n【解答】16 和 25 互质,最大公因数 = 1,最小公倍数 = 16×25 = 400。\n【提醒】互质不要求两个数都是质数,16 和 25 都是合数但照样互质。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 短除法没除到商互质就停,会导致结果错误。\n- GCD 与 LCM 计算混淆:GCD = 所有左侧除数之积;LCM = 所有左侧除数 × 最终两个商,不要漏乘最后的商。\n- 倍数关系的特殊情况:如果 a 是 b 的倍数(如 12 和 36),则 GCD = 12(较小数),LCM = 36(较大数)。\n- 互质不要求都是质数:8 和 9 互质,但它们都不是质数。\n- 公式 a×b = GCD×LCM 只适用于两个数,三个数时不成立。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用短除法求 18 和 24 的最大公因数。\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"18, 24 先除以 2 得 9, 12,再除以 3 得 3, 4(互质)。GCD = 2×3 = 6。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"18 和 24 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"72\"],\"explain\":\"LCM = 2×3×3×4 = 72。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"30 和 45 的最大公因数是多少?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"先除以 3 得 10, 15,再除以 5 得 2, 3。GCD = 3×5 = 15。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"30 和 45 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"90\"],\"explain\":\"LCM = 3×5×2×3 = 90。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"9 和 16 的最大公因数是多少?\",\"options\":[\"1\",\"3\",\"4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"9 = 3^2,16 = 2^4,没有公有因数,两数互质,GCD = 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"9 和 16 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"144\"],\"explain\":\"互质的两个数,LCM 等于它们的乘积:9×16 = 144。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"8 和 9 互质,所以 8 和 9 都是质数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。互质只是说最大公因数是 1,不要求每个数本身是质数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"36 是 12 的倍数,那么 12 和 36 的最大公因数是多少?\",\"options\":[\"12\",\"36\",\"6\"],\"answer\":0,\"explain\":\"倍数关系中,较小数就是最大公因数,即 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个数的最大公因数是 6,最小公倍数是 36,其中一个数是 12,另一个数是多少?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"由公式 a×b = GCD×LCM:12×另一个 = 6×36 = 216,另一个 = 216÷12 = 18。验证 (12, 18) = 6,[12, 18] = 36,正确。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"公式「两数乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数」对三个数也成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。该公式只适用于两个数,三个数时不成立。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- GCD 是公有因数中最大的,LCM 是公有倍数中最小的;\n- 短除法:除到商互质为止,GCD 乘左边,LCM 左边乘下边;\n- 互质两数 GCD = 1,LCM = 乘积;\n- 公式 a×b = GCD×LCM 只对两个数成立。" + }, + { + "id": "num-07", + "title": "最大公因数与最小公倍数应用题", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "分清「最大分段」与「最少再遇」两类场景并解题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n会求 GCD 和 LCM 之后,本课学习把它们用到实际问题里:什么时候求最大公因数,什么时候求最小公倍数。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 两类典型场景\n- 「分/剪成同样多、每份尽可能大」→ 一般求最大公因数;\n- 「至少再过多久再次相遇/同时发生」→ 一般求最小公倍数。\n\n**例1** 两根绳子分别长 24 厘米和 36 厘米,要把它们剪成同样长的小段且没有剩余,每段最长是多少厘米?一共能剪多少段?\n【思路】每段长必须同时是 24 和 36 的因数,「最长」就是求最大公因数。\n【解答】(24, 36) = 12,每段最长 12 厘米。段数:24÷12 + 36÷12 = 2 + 3 = 5 段。\n【验算】2×12 = 24,3×12 = 36,共 5 段,正好没有剩余,正确。\n\n**例2** 一排电线杆,原来每两根之间相距 30 米,现在要改成每两根之间相距 45 米。如果起点的一根电线杆不需要移动,那么至少再隔多少米又有一根电线杆不需要移动?\n【思路】不用移动的电线杆位置,既是 30 的倍数又是 45 的倍数,即 30 和 45 的公倍数;「至少」就是求最小公倍数。\n【解答】[30, 45] = 90。至少再隔 90 米。\n【验算】90 = 30×3 = 45×2,这个位置原来和现在都立着电线杆,不用移动。\n\n**例3** 甲每 3 天去一次图书馆,乙每 5 天去一次图书馆。今天他们在图书馆相遇,至少再过多少天他们再次在图书馆相遇?\n【思路】再次相遇的天数要同时是 3 和 5 的倍数,求最小公倍数。\n【解答】[3, 5] = 15。至少再过 15 天再次相遇。\n【提醒】3 和 5 互质,LCM 直接等于乘积 15。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 分不清该求 GCD 还是 LCM:抓住关键词「最大/最长/分」对应 GCD,「至少/再次相遇/同时」对应 LCM。\n- 多人相遇问题要求三个数的最小公倍数,不是两两求完就结束。\n- 铺正方形问题:边长必须同时整除长和宽,即求长和宽的公因数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两根绳子分别长 18 厘米和 24 厘米,剪成同样长的小段且没有剩余,每段最长多少厘米?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"(18, 24) = 6,每段最长 6 厘米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题一共能剪多少段?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"18÷6 + 24÷6 = 3 + 4 = 7 段。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一排电线杆原来每两根相距 40 米,改成相距 60 米,起点一根不动,至少再隔多少米又有一根不用移动?\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"不用移动的位置是 40 和 60 的公倍数,[40, 60] = 120。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"长方形长 12 厘米、宽 8 厘米,用边长为整厘米数的正方形正好铺满,正方形边长最大是多少厘米?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"边长必须同时整除 12 和 8,最大边长 = (12, 8) = 4 厘米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲每 4 天去一次图书馆,乙每 6 天去一次,今天两人相遇,至少再过多少天再次相遇?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"[4, 6] = 12,至少再过 12 天。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲每 4 天去一次健身房,乙每 6 天,丙每 8 天,某天三人同去,至少再过多少天三人再次同去?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"求三个数的最小公倍数,[4, 6, 8] = 24,至少再过 24 天。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"「剪成同样长的小段,每段最长多少」这类问题一般求什么?\",\"options\":[\"最大公因数\",\"最小公倍数\",\"两数之和\"],\"answer\":0,\"explain\":\"段长要同时是两个长度的因数且尽可能大,所以求最大公因数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"「至少再过多少天再次相遇」的问题一般求最小公倍数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。再次相遇的天数要同时是各自周期的倍数,取最小公倍数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两根绳子分别长 20 厘米和 30 厘米,剪成同样长的小段且没有剩余,每段最长多少厘米?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"(20, 30) = 10,每段最长 10 厘米。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。倍数关系时 LCM 等于较大数,如 12 和 36 的最小公倍数是 36,与较大数相等。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 「最大、最长、正好分完」类问题求最大公因数;\n- 「至少、再次相遇、同时发生」类问题求最小公倍数;\n- 三个数的相遇问题求三个数的 LCM;\n- 解完要回到题目情境验证是否合理。" + }, + { + "id": "num-08", + "title": "奇偶性:加减与乘法的性质", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握奇偶性加减乘法的性质与推论,会数奇数个数定奇偶。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n基础课我们学过奇偶性的运算规律。本课以奥数进阶的视角把它们总结成「性质 + 推论」,能处理多个数的连加连乘。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义(通式)\n- 偶数:能被 2 整除的数。0, 2, 4, 6, 8, …,通式 2n。\n- 奇数:不能被 2 整除的数。1, 3, 5, 7, 9, …,通式 2n-1。\n\n### 2. 奇偶性加减法性质\n- 奇数 ± 奇数 = 偶数;偶数 ± 偶数 = 偶数;偶数 ± 奇数 = 奇数。\n- 推论 1:奇数个奇数的和为奇数。\n- 推论 2:偶数个奇数的和为偶数。\n- 推论 3:加减号互相替换,不影响结果的奇偶性。\n\n### 3. 奇偶性乘法性质\n- 奇数 × 奇数 = 奇数;奇数 × 偶数 = 偶数;偶数 × 偶数 = 偶数。\n- 推论 1:做乘法时,见偶得偶。\n- 推论 2:做乘法时,全奇才奇。\n\n**例1** 判断下面各式结果的奇偶性:(1) 57+91 (2) 35+49+11 (3) 70+122+84+52 (4) 184-48+20\n【思路】数一数式子里有几个奇数,用加减法推论。\n【解答】(1) 两个奇数相加(偶数个奇数)→ 偶数;(2) 三个奇数相加(奇数个奇数)→ 奇数;(3) 全是偶数 → 偶数;(4) 全是偶数,加减号替换不影响奇偶 → 偶数。\n【验算】57+91 = 148(偶数);35+49+11 = 95(奇数);184-48+20 = 156(偶数),全部符合。\n\n**例2** 判断下面各式结果的奇偶性:(1) 11×35×51 (2) 21×37 (3) 16×32×48 (4) 15×12×20\n【思路】看因数中有没有偶数:见偶得偶,全奇才奇。\n【解答】(1) 全是奇数 → 奇数;(2) 奇数×奇数 → 奇数;(3) 有偶数 → 偶数;(4) 有偶数 → 偶数。\n【验算】11×35×51 = 19635,个位 5 是奇数,符合。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 判断和的奇偶不是看「加数的个数」,而是看「奇数加数的个数」。\n- 奇数 ± 奇数 = 偶数、偶数 ± 偶数 = 偶数:奇偶性相同的两个数相加减得偶数。\n- 乘法见偶得偶:只要有一个偶数因数就够了。\n- 推论 3 常被忽略:把式子里的减号都看成加号判断奇偶,结果不变。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"0 是奇数还是偶数?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\",\"都不是\"],\"answer\":1,\"explain\":\"0 能被 2 整除(0 = 2×0),是偶数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"8898 是奇数还是偶数?\",\"answers\":[\"偶数\",\"偶\"],\"explain\":\"看个位:8 是偶数数字,所以 8898 是偶数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"123456785 是奇数还是偶数?\",\"answers\":[\"奇数\",\"奇\"],\"explain\":\"个位是 5,是奇数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"63 + 79 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"奇数 + 奇数 = 偶数(两个奇数相加)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"41 + 53 + 27 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"三个奇数相加,奇数个奇数的和为奇数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"205 - 87 + 42 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"奇数 - 奇数 + 偶数,加减号替换不影响奇偶,相当于奇数+奇数+偶数 = 偶数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"13 × 29 × 47 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"因数全是奇数,全奇才奇。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"22 × 31 × 55 的结果是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\"],\"answer\":1,\"explain\":\"有偶数因数 22,见偶得偶。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"把算式中的加号、减号互相替换,不影响结果的奇偶性。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是加减法推论 3,因为奇数±奇数、偶数±偶数结果都是偶数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"偶数个奇数的和是奇数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。偶数个奇数的和是偶数(推论 2),如 3+5 = 8。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 加减法:看式子中奇数的个数,奇数个奇数得奇,偶数个奇数得偶;\n- 加减号互换不影响奇偶;\n- 乘法:见偶得偶,全奇才奇;\n- 判断多位数奇偶只看个位。" + }, + { + "id": "num-09", + "title": "奇偶分析:用奇偶性解题", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "用奇偶性不变量与反证法解决存在性与操作类问题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课把奇偶性当作解题工具:通过分析「某个量的奇偶性」来证明做得到或做不到。这是奥数中常用的「奇偶分析」方法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 奇偶分析的常用模型\n- 开关问题:按一次开关改变一次灯的状态,按奇数次状态改变,按偶数次状态复原;\n- 存在性问题:推出「结果必须是偶数(或奇数)」,与目标奇偶矛盾,说明做不到;\n- 操作不变量:某些操作前后,总量的奇偶性保持不变。\n\n**例1** 一天小明正在写作业(灯亮着),突然停电了,由于着急他按了 7 次开关。来电时灯是亮还是不亮?想保证来电时灯亮,应该按奇数次还是偶数次?\n【思路】每按一次开关,灯的亮灭状态改变一次。\n【解答】灯原来是亮的,按 7(奇数)次后状态变为灭,来电时灯不亮。要保证来电时灯亮,应按偶数次开关。\n【提醒】关键是「起点状态 + 按的次数」:奇数次改变,偶数次复原。\n\n**例2** 试找出两个整数,使得它们的和减去它们的差(大数减小数)结果为 999,这样的两个数是否存在?\n【思路】设较大数为 a、较小数为 b,先化简「和 - 差」。\n【解答】和 = a+b,差 = a-b,和 - 差 = (a+b) - (a-b) = 2b,一定是偶数。而 999 是奇数,矛盾,所以这样的两个整数不存在。\n【验算】举例感受:5 和 3,(5+3)-(5-3) = 8-2 = 6(偶数);10 和 4,14-6 = 8(偶数)。永远是偶数。\n\n**例3** 能否从四个 3、三个 5、两个 7 中选出 5 个数,使这 5 个数的和等于 22?\n【思路】3、5、7 全是奇数,用「奇数个奇数的和为奇数」。\n【解答】选出的 5 个数都是奇数,5 个奇数的和是奇数;而 22 是偶数,矛盾。所以不能。\n\n**例4** 有一本 500 页的书,任意撕下 33 张纸,这 33 张纸上的所有页码之和能否是 2020?\n【思路】先分析一张纸上两个页码之和的奇偶性。\n【解答】每张纸有正反两页,页码是相邻的一奇一偶(如第 k 张纸是 2k-1 和 2k),和 = (2k-1) + 2k = 4k-1,是奇数。33 张纸就是 33 个奇数相加,奇数个奇数的和为奇数;而 2020 是偶数,矛盾,不可能是 2020。\n【提醒】「每张纸页码和为奇数」是这类撕书问题的关键观察。\n\n**例5** 在黑板上写 1~2020 这 2020 个自然数,每次任意擦去两个数,然后写上它们的和或者差。经过若干次后黑板上只剩一个数,结果是奇数还是偶数?\n【思路】寻找操作前后不变的东西——黑板上所有数的和的奇偶性。\n【解答】设擦去的两个数是 a、b。擦掉它们总和减少 a+b,写上的 a+b 或 a-b 与 a+b 奇偶性相同(a+b 和 a-b 同奇偶),所以黑板上总和的奇偶性始终不变。一开始的总和 = 1+2+…+2020 = 2020×2021÷2 = 2041210,是偶数。因此最后剩下的那个数必须是偶数。\n【提醒】找到「不变量」(总和奇偶不变)是操作类问题的通用思路。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 开关问题忘记初始状态(灯原来亮着),或把「按了 7 次」误当成状态不变。\n- 存在性问题只试几个例子就下结论,应该从奇偶性上严格说明。\n- 操作问题找不到不变量:记住 a+b 和 a-b 奇偶性相同,总和奇偶往往不变。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"灯原来是亮的,停电时按了 7 次开关,来电时灯是亮的。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。按奇数次状态改变,灯变为不亮。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"灯原来亮着,停电期间想保证来电时灯仍亮,按开关的次数应该是?\",\"options\":[\"奇数次\",\"偶数次\",\"随便几次\"],\"answer\":1,\"explain\":\"按偶数次状态复原,灯仍亮。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个整数的和减去它们的差(大减小),结果等于较小数的几倍?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"(a+b) - (a-b) = 2b,等于较小数的 2 倍,所以一定是偶数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"存在两个整数,它们的和减去它们的差等于 998。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。和减差 = 2×较小数,998 = 2×499,如取较小数 499、较大数 500:(999) - (1) = 998。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"5 个奇数的和是?\",\"options\":[\"奇数\",\"偶数\",\"无法确定\"],\"answer\":0,\"explain\":\"奇数个奇数的和为奇数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"能从三个 2、三个 4、三个 6 中选出 5 个数,使它们的和等于 21。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。2、4、6 都是偶数,任意个偶数的和仍是偶数,不可能是奇数 21。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"书的一张纸(正反两页)上的两个页码之和是奇数还是偶数?\",\"answers\":[\"奇数\",\"奇\"],\"explain\":\"一张纸的两页页码是相邻的一奇一偶,(2k-1) + 2k = 4k-1,是奇数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"撕下 20 张纸,这些纸上的页码之和可以是 2021。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。每张纸页码和是奇数,20 个奇数的和是偶数,而 2021 是奇数,矛盾。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"黑板上擦去两个数、写上它们的和或差,黑板上所有数的总和的奇偶性会怎样?\",\"options\":[\"改变\",\"不变\",\"无法确定\"],\"answer\":1,\"explain\":\"写上的数与擦去两数之和奇偶相同,总和奇偶不变。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 + 2 + 3 + … + 2020 的和是奇数还是偶数?\",\"answers\":[\"偶数\",\"偶\"],\"explain\":\"和 = 2020×2021÷2 = 1010×2021,含偶数因数 1010,结果是偶数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 开关问题:奇数次改变状态,偶数次复原;\n- 「和 - 差 = 2×较小数」恒为偶数;\n- 奇数个奇数之和为奇,常用它制造矛盾证明「不能」;\n- 操作问题找不变量:总和的奇偶往往不变。" + }, + { + "id": "num-10", + "title": "带余除法:四量关系", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握 a = b×q + r 且 0 ≤ r < b,会由三量求第四量。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n除法有两种结果:整除和有余数。本课系统学习带余除法的定义与四个量(被除数、除数、商、余数)之间的关系,做到「四量知三可求一」。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 核心定义\n对于任意正整数 a(被除数)和 b(除数,b > 0),存在唯一的整数 q(商)和 r(余数)满足:a = b × q + r,0 ≤ r < b。\n\n### 2. 四量关系\n- 被除数 a:正整数;除数 b:b > 0;商 q:整数;余数 r:0 ≤ r < b。\n- 基本关系式:\n 1. 被除数 = 除数 × 商 + 余数,即 a = b×q + r;\n 2. 商 = (被除数 - 余数) ÷ 除数;\n 3. 余数 = 被除数 - 除数 × 商。\n\n### 3. 解题顺序\n定位(确认已知哪三个量)→ 选公式 → 计算 → 验证(检查余数是否小于除数)。\n\n**例1** 某数被 13 除,商是 9,余数是 8,求某数。\n【思路】已知除数、商、余数,用 a = b×q + r。\n【解答】某数 = 13×9 + 8 = 117 + 8 = 125。\n【验算】125 ÷ 13 = 9…8(13×9 = 117,125 - 117 = 8 < 13),正确。\n\n**例2** 两数相除,商是 20,余数是 8,被除数最小是多少?\n【思路】被除数 = 除数×20 + 8,要让被除数最小,除数就要尽可能小;同时余数必须小于除数。\n【解答】余数 8 < 除数,所以除数至少是 9。除数最小取 9,被除数 = 9×20 + 8 = 188。\n【验算】188 ÷ 9 = 20…8,商和余数都符合题意。\n\n**例3** 一个三位数除以 36,余数是 8,这样的三位数中最大的是多少?\n【思路】这个数 = 36×q + 8,要 ≤ 999,找最大的商 q。\n【解答】36×q + 8 ≤ 999 → 36×q ≤ 991 → q 最大取 27。这个数 = 36×27 + 8 = 972 + 8 = 980。\n【验算】980 ÷ 36 = 27…8;再大一个是 36×28 + 8 = 1016,已是四位数,所以 980 最大。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 余数必须满足 0 ≤ r < b;如果算出 r ≥ b,说明商取小了。\n- 「求最小被除数」类问题,容易忘记除数必须大于余数这个条件。\n- 算完必须验算:被除数 = 除数×商 + 余数,且余数 < 除数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"23 ÷ 4 = 5……?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"4×5 = 20,23 - 20 = 3,余数是 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某数被 17 除,商是 6,余数是 5,某数是多少?\",\"answers\":[\"107\"],\"explain\":\"某数 = 17×6 + 5 = 102 + 5 = 107。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两数相除,商是 30,余数是 6,被除数最小是多少?\",\"answers\":[\"216\"],\"explain\":\"除数必须大于余数 6,最小取 7,被除数 = 7×30 + 6 = 216。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个三位数除以 24,余数是 5,这样的三位数最大是多少?\",\"answers\":[\"989\"],\"explain\":\"24×q + 5 ≤ 999 → q 最大 41(24×41 = 984),这个数 = 984 + 5 = 989。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"除数是 9 时,余数最大可能是多少?\",\"options\":[\"8\",\"9\",\"10\"],\"answer\":0,\"explain\":\"余数必须小于除数,最大是 9 - 1 = 8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"余数可以等于除数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。余数必须小于除数(0 ≤ r < b),否则说明还能再商 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在 a = b×q + r 中,a = 47,b = 6,那么 r 是多少?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"47 = 6×7 + 5,商 7、余数 5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"除数是 8,商是 5,余数是 3,被除数是多少?\",\"options\":[\"43\",\"40\",\"38\"],\"answer\":0,\"explain\":\"被除数 = 8×5 + 3 = 43。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"带余除法中,余数一定比除数小。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是带余除法定义的核心约束:0 ≤ r < b。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数除以 5,商是 7,当余数最大时,被除数是多少?\",\"answers\":[\"39\"],\"explain\":\"余数最大为 4,被除数 = 5×7 + 4 = 39。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 核心公式:a = b×q + r,且 0 ≤ r < b;\n- 四量知三可求一,先定位再选公式;\n- 除数必须大于余数;\n- 口诀:一除一乘加一余,余数要比除数小,四量知三可求一,先算后验不能少。" + }, + { + "id": "num-11", + "title": "余数的性质与运算规律", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "掌握余数四性质与加、减、乘、幂的余数运算规律。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了带余除法的四量关系。本课研究余数本身的性质,以及加、减、乘、幂运算后余数如何变化——这是解决大数余数问题的钥匙。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 余数的四个性质\n- 非负性:r ≥ 0,余数不能是负数;\n- 有界性:0 ≤ r < b,余数小于除数;\n- 确定性:给定 a、b,余数 r 唯一;\n- 连续性:被除数递增时,余数按 0, 1, …, b-1 循环,周期为 b。\n\n### 2. 运算性质(设 a1 ÷ b 余 r1,a2 ÷ b 余 r2)\n- 加法:(a1 + a2) ÷ b 的余数 = (r1 + r2) ÷ b 的余数;\n- 减法:(a1 - a2) ÷ b 的余数 = (r1 - r2) ÷ b 的余数(为负数时加 b 调整);\n- 乘法:(a1 × a2) ÷ b 的余数 = (r1 × r2) ÷ b 的余数;\n- 幂运算:a^n ÷ b 的余数 = r^n ÷ b 的余数。\n\n**例1** 38 ÷ 5 余 3,47 ÷ 5 余 2,求 (38 + 47) ÷ 5 的余数。\n【思路】用加法性质:余数相加,若达到除数再除一次。\n【解答】(3 + 2) ÷ 5 = 5 ÷ 5 余 0,所以余数是 0。\n【验算】38 + 47 = 85,85 ÷ 5 = 17,确实余 0。\n\n**例2** 11 ÷ 3 余 2,14 ÷ 3 余 2,求 (11 × 14) ÷ 3 的余数。\n【思路】用乘法性质:余数相乘后再对除数取余。\n【解答】2×2 = 4,4 ÷ 3 余 1,所以余数是 1。\n【验算】11×14 = 154,154 = 3×51 + 1,余 1,正确。\n\n**例3** 求 3^4 ÷ 5 的余数。\n【思路】幂运算性质:3 ÷ 5 余 3,所以 3^4 ÷ 5 的余数等于 3^4 ÷ 5 的余数,即算 81 ÷ 5。\n【解答】3^4 = 81,81 ÷ 5 = 16…1,所以余数是 1。\n【提醒】幂很大时,可以每乘一次就取一次余数,把数始终控制得很小。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 余数相加后忘记再取余:r1 + r2 可能 ≥ b,要再除一次。\n- 减法中 r1 - r2 为负数时,要加 b 调整成 0 到 b-1 之间的余数。\n- 运算性质要求是同一个除数 b,不同除数不能混用。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"36 ÷ 7 余 1,43 ÷ 7 余 1,那么 (36 + 43) ÷ 7 的余数是多少?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"1 + 1 = 2 < 7,余数就是 2。验算:79 = 7×11 + 2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"25 ÷ 6 余 1,31 ÷ 6 余 1,那么 (25 × 31) ÷ 6 的余数是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"1×1 = 1,余数是 1。验算:25×31 = 775 = 6×129 + 1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"17 ÷ 5 余 2,23 ÷ 5 余 3,那么 (17 + 23) ÷ 5 的余数是多少?\",\"options\":[\"0\",\"1\",\"5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"2 + 3 = 5,5 ÷ 5 余 0。验算:40 ÷ 5 = 8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"14 ÷ 5 余 4,9 ÷ 5 余 4,那么 (14 - 9) ÷ 5 的余数是多少?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"4 - 4 = 0,余数是 0。验算:14 - 9 = 5,5 ÷ 5 余 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2^5 ÷ 7 的余数是多少?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"2^5 = 32,32 ÷ 7 = 4…4,余数是 4。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"余数可以大于除数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。余数必须满足 0 ≤ r < b。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"已知 a ÷ 7 余 5,那么 (a + 3) ÷ 7 的余数是多少?\",\"options\":[\"2\",\"1\",\"8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"5 + 3 = 8,8 ÷ 7 余 1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"若 a ÷ b 余 r,则 a^n ÷ b 的余数等于 r^n ÷ b 的余数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是幂运算性质,逐次相乘取余即可。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"50 ÷ 8 余 2,30 ÷ 8 余 6,那么 (50 + 30) ÷ 8 的余数是多少?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"2 + 6 = 8,8 ÷ 8 余 0。验算:80 ÷ 8 = 10。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"被除数每次增加 1,余数就按 0, 1, …, b-1 循环出现,周期是除数 b。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是余数的连续性(周期性)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 余数四性质:非负、有界、确定、连续(周期循环);\n- 和、差、积、幂的余数,可以先算各部分余数再组合;\n- 组合后记得再取一次余数,负数加 b 调整;\n- 口诀:余数要比除数小,加减乘除余可调,特殊除数看末位,循环周期要知道。" + }, + { + "id": "num-12", + "title": "特殊除数的余数规律", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会用 2、3、9、4、5、10 的规律快速求余数。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n求余数不一定要列竖式。对 2、3、9、4、5、10 这些特殊除数,看数字的某些位就能直接读出余数。\n\n## ② 知识精讲\n### 特殊除数的余数规律表\n- 除以 2:余数为 0 ⇔ 偶数;余数为 1 ⇔ 奇数(看个位的奇偶);\n- 除以 3 或 9:余数 = 各位数字之和 ÷ 3(或 ÷ 9)的余数;\n- 除以 4:余数 = 末两位数 ÷ 4 的余数;\n- 除以 5:余数 = 个位数字 ÷ 5 的余数;\n- 除以 10:余数 = 个位数字。\n\n**例1** 求 1234 ÷ 4 的余数。\n【思路】除以 4 只看末两位。\n【解答】末两位是 34,34 ÷ 4 = 8…2,所以 1234 ÷ 4 余 2。\n【验算】1234 = 4×308 + 2,正确。\n\n**例2** 求 258 ÷ 9 的余数。\n【思路】除以 9 看各位数字之和。\n【解答】2 + 5 + 8 = 15,15 ÷ 9 = 1…6,所以余数是 6。\n【验算】258 = 9×28 + 6,正确。\n\n**例3** 求 476 ÷ 5 的余数。\n【思路】除以 5 只看个位。\n【解答】个位是 6,6 ÷ 5 = 1…1,所以余数是 1。\n【验算】476 = 5×95 + 1,正确。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 除以 4 要看末两位,不能只看个位(如 34 和 14 除以 4 余数不同)。\n- 除以 3 和除以 9 都看各位数字之和,但最后分别是除以 3、除以 9 取余,别混。\n- 除以 10 的余数就是个位数字;除以 5 的余数是个位 ÷ 5 的余数(个位 ≥ 5 时要减 5)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2356 ÷ 4 的余数是多少?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"看末两位 56,56 ÷ 4 = 14,整除,余数是 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"476 ÷ 9 的余数是多少?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"各位数字之和 4+7+6 = 17,17 ÷ 9 余 8。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"476 ÷ 5 的余数是多少?\",\"options\":[\"1\",\"4\",\"0\"],\"answer\":0,\"explain\":\"个位是 6,6 ÷ 5 余 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"389 ÷ 10 的余数是多少?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"除以 10 的余数就是个位数字 9。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"725 ÷ 3 的余数是多少?\",\"options\":[\"0\",\"1\",\"2\"],\"answer\":2,\"explain\":\"各位数字之和 7+2+5 = 14,14 ÷ 3 余 2。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一个数除以 4 的余数,等于它个位数字除以 4 的余数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。应该看末两位数除以 4 的余数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"任意一个奇数除以 2 的余数是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"奇数除以 2 余 1,偶数除以 2 余 0。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1000 ÷ 9 的余数是多少?\",\"options\":[\"0\",\"1\",\"9\"],\"answer\":1,\"explain\":\"各位数字之和 1+0+0+0 = 1,1 ÷ 9 余 1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"一个数除以 10 的余数就是它的个位数字。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。如 389 ÷ 10 = 38…9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"562 ÷ 5 的余数是多少?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"个位是 2,2 ÷ 5 余 2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 除以 2 看奇偶,除以 5、10 看个位;\n- 除以 4 看末两位;\n- 除以 3、9 看各位数字之和;\n- 用规律口算余数,比列竖式快得多。" + }, + { + "id": "num-13", + "title": "带余除法应用题", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "用 a = b×q + r 结合和、差条件列式求被除数与除数。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n本课综合运用带余除法的四量关系和余数性质,解决「已知商、余数与和(差)的条件,求被除数、除数」这类典型问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 解题要点\n1. 先确定除数和余数的取值范围(余数 < 除数);\n2. 用核心公式 a = b×q + r 建立等式;\n3. 复杂计算先算各部分余数,再用运算性质组合;\n4. 按余数可能值分类讨论。\n\n**例1** 两数相除,商 5 余 6,被除数、除数两数之和等于 84。求被除数、除数各是多少?\n【思路】设除数为 d,用公式把被除数表示出来,代入和的条件。\n【解答】被除数 = 5d + 6,所以 (5d + 6) + d = 84 → 6d = 78 → d = 13。被除数 = 5×13 + 6 = 71。\n【验算】71 ÷ 13 = 5…6;71 + 13 = 84,两个条件都满足。\n\n**例2** 两数相除,商 4 余 8,被除数、除数、商、余数四数之和等于 415,被除数是多少?\n【思路】同样设除数为 d,注意四个数都要加进去。\n【解答】被除数 = 4d + 8。四数之和:(4d + 8) + d + 4 + 8 = 415 → 5d + 20 = 415 → 5d = 395 → d = 79。被除数 = 4×79 + 8 = 324。\n【验算】324 ÷ 79 = 4…8;324 + 79 + 4 + 8 = 415,正确。\n\n**例3** 523 除以一个数所得的商是 10,并且除数和余数的差是 5,求除数和余数。\n【思路】两个条件列两个等式:523 = 除数×10 + 余数;除数 - 余数 = 5(余数比除数小,差只能是除数减余数)。\n【解答】由除数 - 余数 = 5 得 余数 = 除数 - 5,代入:10×除数 + (除数 - 5) = 523 → 11×除数 = 528 → 除数 = 48,余数 = 48 - 5 = 43。\n【验算】48×10 + 43 = 523;余数 43 < 除数 48;48 - 43 = 5,全部符合。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 设未知数后忘记「余数 < 除数」这一隐含条件,最后必须核对。\n- 四数之和问题容易漏加商和余数。\n- 解出结果必须代回原题逐条验证。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两数相除,商 4 余 5,被除数与除数之和是 65,除数是多少?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"设除数 d,被除数 = 4d + 5,则 4d + 5 + d = 65 → 5d = 60 → d = 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中被除数是多少?\",\"answers\":[\"53\"],\"explain\":\"4×12 + 5 = 53。验算:53 ÷ 12 = 4…5,53 + 12 = 65。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两数相除,商 4 余 6,被除数、除数、商、余数四数之和是 186,被除数是多少?\",\"answers\":[\"142\"],\"explain\":\"设除数 d,被除数 = 4d + 6。(4d + 6) + d + 4 + 6 = 186 → 5d + 16 = 186 → d = 34,被除数 = 4×34 + 6 = 142。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"445 除以一个数,商是 9,并且除数与余数的差是 5,除数是多少?\",\"answers\":[\"45\"],\"explain\":\"设除数 d,余数 = d - 5。9d + (d - 5) = 445 → 10d = 450 → d = 45。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中余数是多少?\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"余数 = 45 - 5 = 40。验算:45×9 + 40 = 445,40 < 45。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解「商、余数已知,被除数与除数之和已知」这类题,关键的第一步是什么?\",\"options\":[\"把被除数表示成 商×除数+余数,再列方程\",\"直接逐个试数\",\"把和除以商\"],\"answer\":0,\"explain\":\"设除数为未知数,用 a = b×q + r 把被除数表示出来,代入和的条件即可求解。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两数相除,商 3 余 5,被除数与除数之和是 45,除数是多少?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"3d + 5 + d = 45 → 4d = 40 → d = 10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中被除数是多少?\",\"answers\":[\"35\"],\"explain\":\"3×10 + 5 = 35。验算:35 ÷ 10 = 3…5,35 + 10 = 45。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解带余除法问题后,应该验算余数是否小于除数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。0 ≤ r < b 是必须满足的条件,验算能防止增解。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"口诀「四量知三可求一」是什么意思?\",\"options\":[\"被除数、除数、商、余数中已知任意三个,就能求出第四个\",\"只能求被除数\",\"只能求商\"],\"answer\":0,\"explain\":\"四个量由 a = b×q + r 联系,知道其中三个,第四个就能算出来。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 设除数为未知数,用 a = b×q + r 表示被除数,是这类题的通用入口;\n- 「两数和」「四数和」「除数与余数的差」都是用来列等式的条件;\n- 余数 < 除数 必须验算;\n- 带余除法口诀:一除一乘加一余,余数要比除数小,四量知三可求一,先算后验不能少。" + }, + { + "id": "num-14", + "title": "余数的周期性", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "利用余数的周期性解决数列与循环问题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n余数有一个重要性质——连续性:被除数递增时,余数按 0, 1, …, b-1 循环出现,周期就是除数 b。本课用它解决「第 2020 个数除以几余几」这类问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 余数的周期性\n把自然数 1, 2, 3, 4, … 依次除以 4,余数依次是 1, 2, 3, 0, 1, 2, 3, 0, …,每 4 个数一循环。\n一般地:连续整数除以 b,余数以 b 为周期循环。要找第 n 个数的余数,先算 n ÷ b 的余数,再对应到循环里的位置(余 0 对应最后一个)。\n\n**例1** 把自然数从 1 开始依次除以 4,第 30 个数的余数是多少?\n【思路】第 30 个数就是 30,求 30 ÷ 4 的余数即可;也可以看成 30 在周期(1, 2, 3, 0)里的位置。\n【解答】30 ÷ 4 = 7…2,对应循环的第 2 个位置,余数是 2。\n【验算】30 = 4×7 + 2,直接算也是余 2。\n\n**例2** 有一列数:1, 1, 2, 3, 5, 8, …,从第三个数起,每个数都是前两个数之和。这列数的第 2020 个数除以 3 的余数是多少?\n【思路】第 2020 个数大得无法写出,改用「每个数除以 3 的余数」组成的数列找循环。\n【解答】逐个求余数(利用和的余数 = 余数的和再取余):1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, 1, …。可见从第 9 个起余数重复前 8 个,循环节是 (1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0),周期为 8。2020 ÷ 8 = 252…4,第 2020 个数对应循环节的第 4 个,余数是 0。\n【验算】循环节第 4 个是 0,对应原数列第 4 个数 3,3 ÷ 3 余 0,吻合。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 没有把完整的循环节找出来就开始数位置。\n- 位置换算:n ÷ 周期 余 0 时,对应的是循环节的最后一个,不是第 0 个。\n- 斐波那契型数列要足够多地写出余数,确认循环真的重新开始。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把自然数从 1 开始依次除以 4,第 47 个数的余数是多少?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"47 ÷ 4 = 11…3,对应循环 (1, 2, 3, 0) 的第 3 个,余数是 3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"把自然数从 1 开始依次除以 3,第 20 个数的余数是多少?\",\"options\":[\"1\",\"2\",\"0\"],\"answer\":1,\"explain\":\"余数循环是 (1, 2, 0),20 ÷ 3 = 6…2,对应第 2 个,余数是 2。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"数列 1, 1, 2, 3, 5, 8, … 中,第 8 个数除以 3 的余数是多少?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"第 8 个数是 21,21 ÷ 3 余 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"这个数列中,第 10 个数除以 3 的余数是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"第 10 个数是 55,55 ÷ 3 = 18…1,余 1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"这个数列的每一项除以 3 的余数,周期是多少?\",\"options\":[\"6\",\"7\",\"8\"],\"answer\":2,\"explain\":\"余数列 (1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0) 每 8 个一循环,周期为 8。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"这个数列中,第 2026 个数除以 3 的余数是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"2026 ÷ 8 = 253…2,对应循环节第 2 个,余数是 1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"被除数每次增加 1,余数也每次增加 1,一直增大下去。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。余数增大到 b-1 之后,下一个就回到 0,循环往复。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"连续整数除以 b,余数循环的周期就是除数 b。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。余数按 0, 1, …, b-1 循环,周期为 b。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"把自然数从 1 开始依次除以 5,第 57 个数的余数是多少?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"57 ÷ 5 = 11…2,余数是 2。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"数列余数循环节为 (1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0),2020 ÷ 8 = 252…4,第 2020 个数对应循环节的第几个?\",\"options\":[\"第 2 个\",\"第 4 个\",\"第 6 个\",\"第 8 个\"],\"answer\":1,\"explain\":\"余数是 4 就对应循环节第 4 个;若余数是 0 才对应最后一个(第 8 个)。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 连续整数除以 b,余数以 b 为周期循环;\n- 找第 n 项的余数:先找循环节,再用 n ÷ 周期 定位;\n- 余数为 0 对应循环节的最后一项;\n- 大数列问题(如斐波那契数列)用「余数数列」找循环。" + } + ] +} diff --git a/src/content/math/num-b.json b/src/content/math/num-b.json new file mode 100644 index 0000000..74413e4 --- /dev/null +++ b/src/content/math/num-b.json @@ -0,0 +1,142 @@ +{ + "module": "num", + "moduleName": "数论", + "points": [ + { + "id": "num-50", + "title": "位值原理:数的表示与拆分", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "用位值原理把多位数拆成“数字×计数单位”,会写任意数的位值分解式。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们已经认识数位(个位、十位、百位……)。本课学习位值原理:把任意一个多位数拆成\"数字 × 计数单位\"的形式。它是后面数字谜、不定方程等地基性工具。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 什么是位值原理\n同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个\"位置值\":例如\"2\",写在个位上就表示 2 个一,写在百位上就表示 2 个百。这种把数字和数位结合起来表示数的原则,称为位值原理。\n\n### 2. 数位与计数单位\n十进制下,从右往左的数位依次是:个位、十位、百位、千位……对应的计数单位分别是 1(即 10^0)、10(10^1)、100(10^2)、1000(10^3)……\n\n【例 1】写出 56 和 348 的位值分解式。\n【思路】每个数字乘上它所在数位的计数单位,再相加。\n【解答】56 = 5×10 + 6;348 = 3×100 + 4×10 + 8。\n【提醒】个位乘计数单位 1,十位乘 10,百位乘 100,不要错位。\n\n### 3. 两位数、三位数与 n 位数的一般公式\n设两位数的十位数字为 a、个位数字为 b(a 是 1~9 的整数,b 是 0~9 的整数),则:两位数 ab = a×10 + b。\n设三位数的百位、十位、个位数字为 a、b、c,则:abc = a×100 + b×10 + c。例如 348 = 3×100 + 4×10 + 8。\nn 位数 a1a2…an(a1 ≠ 0)的位值分解式为:a1×10^(n-1) + a2×10^(n-2) + … + a(n-1)×10 + an。\n\n【例 2】已知 A = 4×1000 + 3×100 + 2×10 + 1×1,写出这个数 A。\n【思路】每个乘积的系数,就是对应数位上的数字。\n【解答】千位是 4、百位是 3、十位是 2、个位是 1,所以 A = 4321。\n【提醒】如果分解式里缺某一项,说明该数位是 0。例如 20220 = 2×10000 + 2×100 + 2×10,千位是 0。\n\n### 4. 完全拆分与整体拆分\n六位数 abcdef 有两种拆法:\n- 完全拆分:abcdef = a×100000 + b×10000 + c×1000 + d×100 + e×10 + f;\n- 整体拆分:abcdef = abc×1000 + def,也可以 = abcd×100 + ef。\n\n【例 3】把六位数 ab1234 作两种拆分。\n【解答】完全拆分:ab1234 = a×100000 + b×10000 + 1×1000 + 2×100 + 3×10 + 4;整体拆分:ab1234 = ab×10000 + 12×100 + 34。\n【提醒】整体拆分是把连续的几个数位当作一个整体,别忘乘它对应的计数单位(这里是 10000、100、1)。\n\n### 5. 周期性重复问题\n【例 4】计算 1234 + 2341 + 3412 + 4123。\n【思路】不要硬加。观察:这 4 个数里,数字 1、2、3、4 在千位、百位、十位、个位上各恰好出现一次。\n【解答】和 = (1+2+3+4)×1000 + (1+2+3+4)×100 + (1+2+3+4)×10 + (1+2+3+4)×1 = 10×(1000+100+10+1) = 10×1111 = 11110。\n【验算】逐位相加:每一位都是 1+2+3+4 = 10,进位后得 11110,一致。\n\n### 6. 交换位置的数与相同数字组成的数\n- 两位数 ab 交换十位与个位得 ba = b×10 + a。例:23 交换后是 32 = 3×10 + 2。\n- 三位数 abc 交换十位与个位得 acb = a×100 + c×10 + b。\n- 相同数字组成的两位数:aa = 10a + a = 11a;三位数:aaa = 100a + 10a + a = 111a。一般地,n 个 a 组成的多位数 = a×(n 个 1 组成的数)。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 数位的计数单位容易混淆,比如把三位数十位上的计数单位写成 1 而不是 10。\n- 设未知数时要注意数字的取值范围:最高位数字不能为 0,其他位数字是 0~9 的整数。\n- 多位数的位值分解要写全每一项,不能遗漏某一个数位。例如 20220 的千位是 0,不能当成没有这一位。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 A = 4×1000 + 3×100 + 2×10 + 1×1,请写出这个数 A。\",\"answers\":[\"4321\"],\"explain\":\"每个乘积的系数就是对应数位上的数字:千位 4、百位 3、十位 2、个位 1,所以 A = 4321。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"20220 的位值分解式是:\",\"options\":[\"2×10000 + 2×1000 + 2×10\",\"2×10000 + 2×100 + 2×10\",\"2×1000 + 2×100 + 2×10\",\"2×10000 + 2×10\"],\"answer\":1,\"explain\":\"20220 的万位是 2、千位是 0、百位是 2、十位是 2、个位是 0,所以 20220 = 2×10000 + 2×100 + 2×10。注意千位是 0,不能漏。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"348 = 3×100 + 4×10 + 8,其中数字 4 对应的计数单位是多少?\",\"answers\":[\"10\",\"十\"],\"explain\":\"4 在十位上,十位的计数单位是 10,所以 4 表示 4 个十。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"由同一个数字 a 组成的三位数 aaa,等于 a×? (填数字)\",\"answers\":[\"111\"],\"explain\":\"aaa = 100a + 10a + a = 111a。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"四位数 aabb 用位值原理表示为:\",\"options\":[\"1100×a + 11×b\",\"110×a + 11×b\",\"1000×a + 10×b\",\"11×a + 11×b\"],\"answer\":0,\"explain\":\"aabb = 1000a + 100a + 10b + b = 1100a + 11b。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 9a8b7 = 90807 + a×□ + b×10,□ 里应填多少?\",\"answers\":[\"1000\"],\"explain\":\"9a8b7 = 90000 + 1000a + 800 + 10b + 7 = 90807 + 1000a + 10b,所以 a 要乘 1000(千位的计数单位)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:1234 + 2341 + 3412 + 4123 = ?\",\"answers\":[\"11110\"],\"explain\":\"数字 1、2、3、4 在每个数位上各出现一次:和 = (1+2+3+4)×(1000+100+10+1) = 10×1111 = 11110。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同一个数字无论写在哪个数位上,表示的大小都一样。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。同一个数字在不同数位上表示的值不同:'2'在个位表示 2,在百位表示 200。这正是位值原理。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两位数的十位数字不能是 0。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。最高位不能为 0,否则就不是两位数了。十位数字取 1~9,个位数字可以取 0~9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数千位上是 3、百位上是 0、十位上是 5、个位上是 0,这个数是多少?\",\"answers\":[\"3050\"],\"explain\":\"按数位依次写出数字:3050。数字为 0 的数位也要占位,不能写成 35。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 位值原理:同一个数字,位置不同,表示的值不同。\n- 两位数 ab = a×10 + b;三位数 abc = a×100 + b×10 + c;最高位不能为 0。\n- 拆分有两种:完全拆分(每个数字×计数单位)和整体拆分(把连续几位当作一个整体)。\n- aa = 11a,aaa = 111a。\n- 周期性重复的求和,可先数每个数字在每个数位出现的次数,再整体计算。" + }, + { + "id": "num-51", + "title": "位值原理的应用:数字交换与数字谜", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "用位值原理解决数字交换、组数求和与数字谜(方程)问题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课学会了用位值原理拆分多位数。本课把它用起来:解决数字交换、组数求和与数字谜(列方程)三类问题。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 数的表示与计算:把未知数字设成未知数\n【例 1】一个两位数,十位数字比个位数字大 3。将十位和个位交换后,得到的新数比原数小 27。求原数。\n【思路】设个位数字为 x,则十位数字为 x+3;用位值原理分别表示原数和新数。\n【解答】原数 = 10(x+3) + x = 11x + 30;新数 = 10x + (x+3) = 11x + 3。两式相减:(11x+30) - (11x+3) = 27,恒成立。也就是说,只要十位数字比个位数字大 3 就满足条件,如 41、52、63 等。\n【提醒】本题的答案不唯一。当列出的等式是恒等式时,所有满足数字条件的数都是答案。\n\n### 2. 数字交换后的和与差\n两位数 ab 与交换后的 ba:\n- 和:ab + ba = (10a+b) + (10b+a) = 11(a+b) → 和一定是 11 的倍数;\n- 差(a>b):ab - ba = (10a+b) - (10b+a) = 9(a-b) → 差一定是 9 的倍数。\n\n【例 2】说明:任意一个两位数与它交换数位后得到的数之和,一定是 11 的倍数。\n【解答】设原数为 ab = 10a + b,则 ba = 10b + a。和 = 11a + 11b = 11(a+b),是 11 的倍数。\n【提醒】差的结论要求 a>b;若 a ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n我们平时用的十进制是\"满十进一\"。本课认识进位制的一般概念,重点学会二进制与十进制的互相转化。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 进位制的概念\n进位制是人们为了计数和运算而约定的记数方法,\"满几进一\"就称为几进制。\n- 十进制:使用数字 0~9,满十进一,位权是 10 的幂;\n- 二进制:使用数字 0、1,满二进一,位权是 2 的幂。\n生活中处处有进制:钟表\"满 60 进一\"(60 秒 = 1 分),星期\"满 7 进一\"(7 天 = 1 周),计算机内部则使用二进制。\n\n### 2. 二进制 → 十进制:位权展开法\n把 k 进制数转成十进制的通用方法:每一位数字乘上该位的位权,再相加。\n\n【例 1】将二进制数 1101(2) 转化为十进制数。\n【思路】从右往左,位权依次是 2^0、2^1、2^2、2^3。\n【解答】1101(2) = 1×2^3 + 1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。\n【提醒】最右边一位的位权是 2^0 = 1,不是 2。\n\n### 3. 十进制 → 二进制:除二取余法\n1. 用 2 连续去除该十进制数,记录每次的余数;2. 直到商为 0 为止;3. 将所有余数从下往上(逆序)排列,即为二进制结果。\n\n【例 2】将十进制数 29 转化为二进制数。\n【解答】29÷2 = 14 余 1;14÷2 = 7 余 0;7÷2 = 3 余 1;3÷2 = 1 余 1;1÷2 = 0 余 1。把余数从下往上排列得 11101,所以 29 = 11101(2)。\n【验算】反向按位权展开:16 + 8 + 4 + 0 + 1 = 29 ✓。做完转换要养成用反向运算验证的习惯。\n\n### 4. 二进制下的运算\n【例 3】计算 101(2) + 110(2),结果用二进制表示。\n【思路】先转为十进制运算,再转回二进制。\n【解答】101(2) = 5,110(2) = 6,5 + 6 = 11,11 = 1011(2)。所以 101(2) + 110(2) = 1011(2)。\n【提醒】也可以直接在二进制下竖式相加:1+1 = 10(2),逢二进一。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 余数排列顺序错误:除二取余后必须从下往上(逆序)读,不能从上往下读。\n- 位权搞错:最低位(最右边)的位权是 2^0 = 1,不是 2^1;从右往左依次递增。\n- 混淆进制标记:书写时务必标注进制,如 101(2) 和 101 大小完全不同。\n- 二进制加法进位:1+1 = 10(2),不是 2,注意逢二进一。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将二进制数 1010 转化为十进制数。\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"1010(2) = 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1 = 10。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将二进制数 11111 转化为十进制数。\",\"answers\":[\"31\"],\"explain\":\"11111(2) = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将二进制数 100000 转化为十进制数。\",\"answers\":[\"32\"],\"explain\":\"100000(2) = 1×2^5 = 32。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 18 转化为二进制数。\",\"answers\":[\"10010\"],\"explain\":\"18÷2=9 余 0,9÷2=4 余 1,4÷2=2 余 0,2÷2=1 余 0,1÷2=0 余 1。余数逆序排列得 10010。验算:16+2 = 18 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 45 转化为二进制数。\",\"answers\":[\"101101\"],\"explain\":\"45 = 32+8+4+1,所以 45 = 101101(2)。验算:32+8+4+1 = 45 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 100 转化为二进制数。\",\"answers\":[\"1100100\"],\"explain\":\"100 = 64+32+4,所以 100 = 1100100(2)。验算:64+32+4 = 100 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在二进制中计算:101(2) + 110(2) = ?(结果用二进制表示)\",\"answers\":[\"1100\"],\"explain\":\"101(2) = 5,110(2) = 6,5+6 = 11 = 1100(2)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"二进制数 10110 是十进制中的多少?\",\"answers\":[\"22\"],\"explain\":\"10110(2) = 16 + 4 + 2 = 22。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"二进制数 10110 加上 3 后,再用二进制表示是:\",\"options\":[\"11001\",\"10111\",\"11010\",\"10001\"],\"answer\":0,\"explain\":\"10110(2) = 22,22+3 = 25 = 16+8+1 = 11001(2)。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明写了二进制数 1101,小红写了二进制数 1011。谁写的数更大?大多少(用十进制回答)?\",\"options\":[\"小明的大,大 2\",\"小红的大,大 2\",\"一样大\",\"小明的大,大 20\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1101(2) = 13,1011(2) = 11。13-11 = 2,小明的大,大 2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 进位制:\"满几进一\"就是几进制。\n- k 进制 → 十进制:按位权展开求和。\n- 十进制 → k 进制:除 k 取余,余数逆序排列。\n- 转换后要用反向运算验证。" + }, + { + "id": "num-53", + "title": "进位制进阶:任意进制转化与运算", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "把转化方法推广到三、五、八、十六等任意进制,会在 n 进制下运算。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上一课熟练了二进制与十进制的互化。本课把方法推广到任意进制(三进制、五进制、八进制、十六进制等),并学习在 n 进制下直接做四则运算。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. n 进制的一般定义\nn 进制使用 0、1、2、…、n-1 这 n 个数字符号,满 n 进一。每个数位上的数字必须小于 n。\n常见进制:二进制(0、1,计算机科学)、八进制(0~7,编程、权限系统)、十六进制(0~9 加 A~F,颜色编码、内存地址)。\n\n### 2. 十进制 → n 进制:除 n 取余法\n【例 1】将十进制数 58 转化为五进制数。\n【思路】把\"除二取余\"推广为\"除五取余\"。\n【解答】58÷5 = 11 余 3;11÷5 = 2 余 1;2÷5 = 0 余 2。余数逆序排列得 213,所以 58 = 213(5)。\n【验算】213(5) = 2×25 + 1×5 + 3 = 50 + 5 + 3 = 58 ✓\n\n### 3. n 进制 → 十进制:位权展开\n【例 2】将八进制数 327(8) 转化为十进制数。\n【解答】327(8) = 3×8^2 + 2×8 + 7 = 3×64 + 16 + 7 = 192 + 16 + 7 = 215。\n\n十六进制中,字母 A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15,计算时按对应数值代入即可。\n\n### 4. n 进制下的四则运算\n运算法则与十进制相同,只是进位和借位的标准从\"满十\"变为\"满 n\":加法满 n 进一,减法借一当 n。\n\n【例 3】在六进制中计算 45(6) + 34(6)。\n【解答】个位:5+4 = 9,9÷6 = 1 余 3,写 3 进 1;十位:4+3+1 = 8,8÷6 = 1 余 2,写 2 进 1;百位写 1。所以 45(6) + 34(6) = 123(6)。\n【验算】45(6) = 29,34(6) = 22,29+22 = 51;123(6) = 36+12+3 = 51 ✓\n\n### 5. 进制互化的桥梁\n任意两个非常用进制之间互转,通常以十进制作为中转站:先转为十进制,再转为目标进制。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 数字超出范围:n 进制中每个数位上的数字必须小于 n,如五进制中不能出现数字 5。\n- n 进制加法的进位是\"满 n 进一\",不是满十进一;减法借位是\"借一当 n\",不是当十。\n- 十六进制字母不要混淆:A=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15。\n- 两个非常用进制互转时,忘记用十进制作中转站,容易出错。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将 234(5) 转化为十进制数。\",\"answers\":[\"69\"],\"explain\":\"2×25 + 3×5 + 4 = 50 + 15 + 4 = 69。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将 1021(3) 转化为十进制数。\",\"answers\":[\"34\"],\"explain\":\"1×27 + 0×9 + 2×3 + 1 = 27 + 6 + 1 = 34。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将 1A3(16) 转化为十进制数(其中 A = 10)。\",\"answers\":[\"419\"],\"explain\":\"1×256 + 10×16 + 3 = 256 + 160 + 3 = 419。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 100 转化为三进制数。\",\"answers\":[\"10201\"],\"explain\":\"100÷3=33 余 1,33÷3=11 余 0,11÷3=3 余 2,3÷3=1 余 0,1÷3=0 余 1。逆序排列得 10201。验算:81+18+1 = 100 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 100 转化为八进制数。\",\"answers\":[\"144\"],\"explain\":\"100÷8=12 余 4,12÷8=1 余 4,1÷8=0 余 1。逆序得 144。验算:64+32+4 = 100 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将十进制数 100 转化为十六进制数。\",\"answers\":[\"64\"],\"explain\":\"100÷16=6 余 4,6÷16=0 余 6。逆序得 64。验算:6×16+4 = 100 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在八进制中计算:56(8) + 47(8) = ?(结果用八进制表示)\",\"answers\":[\"125\"],\"explain\":\"个位 6+7 = 13,13÷8 = 1 余 5,写 5 进 1;十位 5+4+1 = 10,10÷8 = 1 余 2,写 2 进 1;百位写 1。结果 125(8)。验算:46+39 = 85 = 125(8) ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在五进制中计算:43(5) × 2(5) = ?(结果用五进制表示)\",\"answers\":[\"141\"],\"explain\":\"43(5) = 23,23×2 = 46 = 25+20+1 = 141(5)。也可直接算:2×3 = 6,6÷5 = 1 余 1;2×4+1 = 9,9÷5 = 1 余 4,得 141(5)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个 n 进制数 32(n) 等于十进制的 26,求 n。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"32(n) = 3×n + 2 = 26,解得 3n = 24,n = 8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"五进制中,某一位上的数字可以是 5。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。n 进制中每一位的数字必须小于 n,五进制只用 0、1、2、3、4,满五就要进一。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- n 进制用 0 ~ n-1 共 n 个数字,满 n 进一;每位数字必须小于 n。\n- n 进制 → 十进制:按位权展开;十进制 → n 进制:除 n 取余、逆序排列。\n- n 进制加减法:满 n 进一、借一当 n。\n- 非常用进制互转,以十进制为中转站。" + }, + { + "id": "num-54", + "title": "整除特征:2、5、4、8、3、9 的判定", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握 2、5、4、25、8、125、3、9 的整除特征,能又快又准地判断。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n判断一个数能否被某数整除,不必硬除。本课总结 2、5、4、25、8、125、3、9 的整除特征,做到一眼快速判断。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 整除的定义\n整数 a 除以正整数 b,如果商是整数且余数为零,就说 b 整除 a(或 a 能被 b 整除),记作 b | a。\n\n### 2. 看末位、看末几位的特征\n- 能被 2 整除:末位是 0、2、4、6、8。例:356 末位是 6,能被 2 整除。\n- 能被 5 整除:末位是 0 或 5。例:235 能被 5 整除。\n- 能被 4 整除:末两位组成的数能被 4 整除。例:1312 末两位是 12,4 | 12,所以 4 | 1312。\n- 能被 25 整除:末两位组成的数能被 25 整除。例:1350 末两位是 50。\n- 能被 8 整除:末三位组成的数能被 8 整除。例:5128 末三位是 128。\n- 能被 125 整除:末三位组成的数能被 125 整除。例:2375 末三位是 375。\n\n规律:判断 2^k 或 5^k 的整除性,看末 k 位。4 和 25 都看末两位(因为 4×25 = 100);8 和 125 都看末三位(因为 8×125 = 1000)。\n\n【例 1】为什么判断能否被 4 整除只要看末两位?\n【思路】任何整数 N 都可以写成 N = 100×q + r(r 是末两位组成的数)。\n【解答】因为 100 = 4×25 能被 4 整除,所以 N 能否被 4 整除,完全取决于 r 能否被 4 整除。\n【提醒】同样的道理可解释 8 和 125 看末三位(1000 = 8×125)。\n\n### 3. 看数字和的特征:3 和 9\n- 能被 3 整除:各位数字之和能被 3 整除。例:123,1+2+3 = 6,所以 3 | 123。\n- 能被 9 整除:各位数字之和能被 9 整除。例:288,2+8+8 = 18,所以 9 | 288。\n能被 9 整除的数一定能被 3 整除;反过来不一定成立。\n\n【例 2】判断 34572 能否被 2、3、4、5、9 整除。\n【解答】末位是 2:能被 2 整除,不能被 5 整除。末两位 72÷4 = 18:能被 4 整除。数字和 3+4+5+7+2 = 21:21 能被 3 整除、不能被 9 整除,所以 34572 能被 3 整除、不能被 9 整除。\n\n【例 3】四位数 2a93 能被 3 整除,a 可以取哪些值?\n【思路】数字和必须是 3 的倍数。\n【解答】2 + a + 9 + 3 = 14 + a。a 是一位数字(0~9),14+a 的取值范围是 14~23。其中 3 的倍数有 15、18、21,对应 a = 1、4、7。\n【提醒】先定出数字和的范围,再在范围里找倍数,比逐个试 a 更快、不漏。\n\n【例 4】在 □ 中填上一个数字,使六位数 7□2□84 能同时被 4 和 9 整除。\n【解答】被 4 整除:末两位是 84,84÷4 = 21,已经满足,对 □ 无额外限制。被 9 整除:数字和 7+a+2+b+8+4 = 21+a+b 必须是 9 的倍数。a+b 的范围是 0~18,所以 21+a+b 的范围是 21~39,其中 9 的倍数有 27 和 36,即 a+b = 6 或 a+b = 15。例如 a=0、b=6 得 702684;a=6、b=9 得 762984。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 混淆 4 和 8 的判定:4 看末两位,8 看末三位,不要搞混位数。\n- 多位数各位数字求和时容易漏位或算错,要仔细。\n- 0 能被任何非零整数整除(0 = n×0);末位是 0 的数同时能被 2 和 5 整除。\n- 混淆 3 和 9:数字和被 3 整除,不代表被 9 整除(反过来,被 9 整除一定被 3 整除)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"50624 能被 2 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"末位是 4,是偶数,所以能被 2 整除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"50624 能被 3 整除。\",\"answer\":1,\"explain\":\"数字和 5+0+6+2+4 = 17,17 不能被 3 整除,所以 50624 不能被 3 整除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"50624 能被 8 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"看末三位 624。624÷8 = 78,能被 8 整除,所以 50624 能被 8 整除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"50624 能被 25 整除。\",\"answer\":1,\"explain\":\"看末两位 24。24 不能被 25 整除,所以 50624 不能被 25 整除。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"五位数 3a75b 能同时被 2 和 5 整除,b 是多少?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"同时被 2 和 5 整除,末位必须既是偶数又是 0 或 5,只能是 0。所以 b = 0。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"五位数 3a75b 能同时被 2 和 5 整除(此时 b = 0)。若还要求能被 3 整除,a 可以取哪些值?\",\"options\":[\"0、3、6、9\",\"1、4、7\",\"0、5\",\"2、5、8\"],\"answer\":0,\"explain\":\"数字和 3+a+7+5+0 = 15+a 要被 3 整除。a 取 0~9 时 15+a 取 15~24,其中 3 的倍数是 15、18、21、24,对应 a = 0、3、6、9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 0、1、2、3、4、5 中选出三个不同数字,组成一个能被 4 整除的最大三位数是多少?\",\"answers\":[\"540\"],\"explain\":\"要最大,百位取 5、十位取 4;再看末两位 40÷4 = 10 能被 4 整除,所以最大三位数是 540。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"四位数 a2b8 能被 8 整除,b 可以取哪些值?(从小到大、用逗号分隔)\",\"answers\":[\"0,4,8\",\"0, 4, 8\",\"0、4、8\"],\"explain\":\"被 8 整除看末三位 2b8:b=0 时 208 = 8×26 ✓;b=4 时 248 = 8×31 ✓;b=8 时 288 = 8×36 ✓。其余 b 值逐一验证都不行,所以 b = 0、4、8。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在 1□2□ 的两个方框中填入数字,使这个四位数能同时被 3 和 4 整除。下列哪个数可能?\",\"options\":[\"1020\",\"1024\",\"1026\",\"1022\"],\"answer\":0,\"explain\":\"被 4 整除要求末两位被 4 整除:20 ✓、24 ✓、26 ✗、22 ✗;被 3 整除要求数字和被 3 整除:1020 数字和 3 ✓,1024 数字和 7 ✗。所以选 1020(1224、1128 等也满足)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"能被 9 整除的数一定也能被 3 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。数字和能被 9 整除,必然能被 3 整除;反过来不一定,如 12 能被 3 整除但不能被 9 整除。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 2、5 看末位;4、25 看末两位;8、125 看末三位。\n- 3、9 看各位数字之和;能被 9 整除必能被 3 整除。\n- 原理:100 = 4×25、1000 = 8×125,所以只看末几位即可。\n- 含字母的整除问题:先定数字和的范围,再在范围里找倍数。" + }, + { + "id": "num-55", + "title": "整除特征进阶:7、11、13 的判定", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "学会截三法、割尾法、奇偶位差法,判定 7、11、13 的整除。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n2、3、5、9 的整除特征看末位或数字和就行,7、11、13 却没那么直观。本课学习它们的判定方法:截三法、割尾法、奇偶位差法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 核心工具:1001 = 7×11×13\n7×11×13 = 1001。这个等式把 7、11、13 的判定统一到一起来。\n\n### 2. 截三法(对 7、11、13 都适用)\n从右向左每三位分一段。如果\"奇数段之和 - 偶数段之和\"的差能被 7(或 11、13)整除,那么原数也能被 7(或 11、13)整除。\n\n【例 1】判断 2835196 能否被 7 整除。\n【思路】从右向左每三位分一段:2 | 835 | 196。\n【解答】奇数段(第 1、3 段)之和 = 196 + 2 = 198;偶数段(第 2 段)之和 = 835。差 = 198 - 835 = -637,看绝对值 637。637÷7 = 91,整除。所以 2835196 能被 7 整除。\n【提醒】分段方向必须从右向左;差为负数不影响判断,看绝对值即可。\n\n### 3. 奇偶位差法(判 11)\n奇数位数字之和 - 偶数位数字之和 = 0 或 11 的倍数,则原数能被 11 整除。\n注意:奇数位、偶数位要从右往左数,个位是第 1 位(奇数位)。\n\n【例 2】判断 81708 能否被 11 整除。\n【解答】从右往左编号:第 1 位 8、第 2 位 0、第 3 位 7、第 4 位 1、第 5 位 8。奇数位之和 = 8+7+8 = 23;偶数位之和 = 0+1 = 1。差 = 23-1 = 22,是 11 的倍数。所以 81708 能被 11 整除。\n\n### 4. 割尾法(判 7 减 2 倍末位,判 13 加 4 倍末位)\n- 判 7:去掉末位,用剩下的数减去末位的 2 倍,反复进行。例:294 → 29 - 4×2 = 21,7 | 21,所以 294 能被 7 整除。\n- 判 13:去掉末位,用剩下的数加上末位的 4 倍,反复进行。\n\n【例 3】判断 13026 能否被 13 整除。\n【解答】1302 + 6×4 = 1326;132 + 6×4 = 156;15 + 6×4 = 39。39÷13 = 3,整除。所以 13026 能被 13 整除。\n【提醒】7 用\"减\"、13 用\"加\",符号和倍数都不同,千万别记反。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 奇数位、偶数位从右往左数,不是从左往右——这是最常见的错误。\n- 割尾法符号混淆:判 7 是减末位×2,判 13 是加末位×4,搞反会得出错误结论。\n- 截三段方向错误:要从右向左分段。如 12345678 应分为 12 | 345 | 678。\n- 截三法的差为负数不影响整除判断,看绝对值即可。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"填空:7×11×13 = ?\",\"answers\":[\"1001\"],\"explain\":\"7×11×13 = 77×13 = 1001。这个式子是判定 7、11、13 整除的核心工具。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"469 能被 7 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"割尾法:46 - 9×2 = 46-18 = 28,28 能被 7 整除,所以 469 能被 7 整除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"572341 能被 11 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"奇偶位差法(从右往左数):奇数位 1+3+7 = 11,偶数位 4+2+5 = 11,差为 0,所以能被 11 整除。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用截三法判断 3528924,正确的结论是:\",\"options\":[\"能被 7 整除,不能被 13 整除\",\"能被 13 整除,不能被 7 整除\",\"能同时被 7 和 13 整除\",\"既不能被 7 也不能被 13 整除\"],\"answer\":0,\"explain\":\"分段 3 | 528 | 924:奇数段和 = 924+3 = 927,偶数段和 = 528,差 = 399。399÷7 = 57 整除 ✓;399÷13 = 30 余 9 ✗。所以能被 7 整除,不能被 13 整除。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"六位数 20a91b 能被 11 整除,且能被 5 整除。当 b = 0 时,a 是多少?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"被 11 整除:(b+9+0) - (1+a+2) = b-a+6 必须是 0 或 ±11。代入 b = 0:6-a = 0,得 a = 6。(另有 b = 5、a = 0 一组解。)\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1001001 能被 7 整除。\",\"answer\":1,\"explain\":\"分段 1 | 001 | 001:奇数段和 = 1+1 = 2,偶数段和 = 1,差 = 1。1 不能被 7、11、13 中任何一个整除,所以 1001001 不能被 7 整除。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"割尾法判断能否被 7 整除的规则是:\",\"options\":[\"去掉末位,用剩下的数减去末位的 2 倍\",\"去掉末位,用剩下的数加上末位的 2 倍\",\"去掉末位,用剩下的数减去末位的 4 倍\",\"去掉末位,用剩下的数加上末位的 4 倍\"],\"answer\":0,\"explain\":\"判 7 用“减末位×2”,判 13 用“加末位×4”,注意区分符号和倍数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"奇偶位差法判 11 的整除时,数位是从左往右编号的。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。奇数位、偶数位要从右往左编号,个位是第 1 位(奇数位)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"299 能被 13 整除。\",\"answer\":0,\"explain\":\"割尾法(判 13 加末位的 4 倍):29 + 9×4 = 65,65 = 13×5,所以 299 能被 13 整除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"截三法分段时,应从左向右每三位一段。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须从右向左每三位一段,最左边一段可以不足三位。如 12345678 应分为 12 | 345 | 678。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 1001 = 7×11×13,是判定 7、11、13 的核心。\n- 截三法:从右向左每三位一段,奇数段和减偶数段和,对 7、11、13 都适用。\n- 判 11 还可用奇偶位差法(从右往左编号)。\n- 割尾法:判 7 减末位×2,判 13 加末位×4。" + }, + { + "id": "num-56", + "title": "质数与合数:试除法", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "熟记 100 以内 25 个质数,会用试除法判断质数与合数。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n因数与倍数之后,我们把自然数按因数个数分类:质数与合数。本课还要学会用试除法判断一个数是不是质数。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义\n- 质数:大于 1 的自然数中,只有 1 和它本身两个因数的数(因数恰好 2 个)。\n- 合数:大于 1 的自然数中,除了 1 和它本身还有其他因数的数(因数至少 3 个)。\n- 1 的因数恰好 1 个,所以 1 既不是质数也不是合数。\n\n### 2. 100 以内的 25 个质数\n2、3、5、7;11、13、17、19;23、29;31、37;41、43、47;53、59;61、67;71、73、79;83、89;97。\n这 25 个质数要背熟——它们是后面试除、分解质因数的基础工具。\n\n### 3. 试除法\n要判断 n 是否为质数,只需用不超过 √n 的所有质数去试除 n。如果都不能整除,n 就是质数。\n原理:因数是成对出现的。如果 n 有大于 √n 的因数 d,那么 n/d 就是小于 √n 的因数。所以只需检查到 √n。\n\n【例 1】判断 97 是否为质数。\n【思路】√97 ≈ 9.8,只需用不超过 9 的质数 2、3、5、7 试除。\n【解答】97÷2 = 48 余 1;97÷3 = 32 余 1;97÷5 = 19 余 2;97÷7 = 13 余 6。都不能整除,所以 97 是质数。\n\n【例 2】判断 119 是否为质数。\n【解答】√119 ≈ 10.9,用 2、3、5、7 试除:末位是 9,不能被 2 整除;数字和 1+1+9 = 11,不能被 3 整除;末位不是 0 或 5,不能被 5 整除;但 119 = 7×17,能被 7 整除!所以 119 是合数。\n\n### 4. 质数的重要性质\n- 2 是唯一的偶质数;所有大于 2 的偶数都是合数。\n- 质数有无穷多个。\n- 任何大于 1 的整数都可以写成质数的乘积(下一课的分解质因数)。\n\n【例 3】两个质数的和是 33,求这两个质数的积。\n【思路】33 是奇数。两个数的和为奇数,说明一奇一偶。\n【解答】质数中唯一的偶数是 2,所以其中一个质数是 2,另一个是 33-2 = 31(31 是质数 ✓)。两质数之积 = 2×31 = 62。\n【提醒】看到\"两个质数的和是奇数\",立刻想到其中一个是 2。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 1 不是质数——质数必须大于 1,这是最容易忘的规则。\n- 91 的陷阱:91 = 7×13 是合数,但它不满足 2、3、5 的整除特征,很容易被误认为质数。\n- 2 是偶数但它是质数,不能说\"偶数都是合数\"。\n- 试除法只需用质数去试除,不需要用合数试除(能被合数整除,必然能被它的质因数整除)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用试除法判断:89 是质数还是合数?\",\"answers\":[\"质数\",\"质\"],\"explain\":\"√89 ≈ 9.4,用 2、3、5、7 试除都不能整除,所以 89 是质数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"111 = 3 × ? (填另一个因数)\",\"answers\":[\"37\"],\"explain\":\"数字和 1+1+1 = 3,能被 3 整除:111 = 3×37,所以 111 是合数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"143 = 11 × ? (填另一个因数)\",\"answers\":[\"13\"],\"explain\":\"√143 ≈ 11.9,用 2、3、5、7、11 试除:143÷11 = 13,所以 143 = 11×13 是合数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两个质数的和是 51,这两个质数的积:\",\"options\":[\"不存在这样的两个质数\",\"98\",\"58\",\"147\"],\"answer\":0,\"explain\":\"51 是奇数,两个质数必须一奇一偶,偶质数只能是 2。但 51-2 = 49 = 7×7 不是质数,所以不存在和为 51 的两个质数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"在 101、103、107、109、111 中,正确的判断是:\",\"options\":[\"只有 111 是合数,其余都是质数\",\"101 和 111 是合数,其余是质数\",\"五个都是质数\",\"109 和 111 是合数,其余是质数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"101、103、107、109 用不超过其平方根的质数 2、3、5、7 试除都不能整除,都是质数;111 = 3×37 是合数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 p 和 q 都是质数,且 p + q = 15,p×q 等于多少?\",\"answers\":[\"26\"],\"explain\":\"15 是奇数,必有一个是 2,另一个是 13(13 是质数)。p×q = 2×13 = 26。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"91 是质数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。91 = 7×13,是合数。91 不满足 2、3、5 的整除特征,容易误判,试除时别忘 7。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1 既不是质数也不是合数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1 只有 1 个因数(它本身);质数要求恰好 2 个因数,合数要求至少 3 个。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"所有的偶数都是合数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。2 是偶数,但 2 是质数——2 是唯一的偶质数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"写出三个连续的自然数,使它们都是合数且都小于 30。(用逗号分隔,写出一组即可)\",\"answers\":[\"24,25,26\",\"8,9,10\",\"14,15,16\",\"20,21,22\",\"25,26,27\",\"26,27,28\",\"24、25、26\",\"8、9、10\",\"14、15、16\",\"20、21、22\",\"25、26、27\",\"26、27、28\"],\"explain\":\"如 24 = 2^3×3、25 = 5^2、26 = 2×13,都是合数。8、9、10,14、15、16,20、21、22 等也都满足。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 质数恰好 2 个因数,合数至少 3 个因数,1 既不是质数也不是合数。\n- 100 以内共 25 个质数,要背熟。\n- 试除法:用不超过 √n 的质数试除,都不能整除则 n 是质数。\n- 2 是唯一的偶质数;\"两质数和为奇数\"必含 2。" + }, + { + "id": "num-57", + "title": "分解质因数", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会用短除法把合数分解成质数的乘积,理解分解的唯一性。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课认识了质数。本课学习把一个合数写成质数相乘的形式——分解质因数,它是求最大公因数、最小公倍数、因数个数的基础。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义与算术基本定理\n把一个合数写成若干个质数相乘的形式,叫作分解质因数;这些质数叫作这个合数的质因数。例如 60 = 2×2×3×5 = 2^2×3×5。\n算术基本定理(唯一分解定理):任何大于 1 的正整数都可以唯一地分解为质数的乘积(不考虑质因数的排列顺序)。标准形式把相同质因数合并成幂:n = p1^a1 × p2^a2 × …(p1 < p2 < …)。\n\n### 2. 短除法\n1. 用最小的质数 2 去除,能整除就除,写下商;2. 对商继续用质数从小到大试除;3. 直到商本身为质数时停止;4. 把所有除数和最后的商乘起来,就是分解式。\n\n【例 1】将 180 分解质因数。\n【思路】依次用 2、2、3、3、5 短除。\n【解答】180÷2 = 90,90÷2 = 45,45÷3 = 15,15÷3 = 5,商 5 是质数停止。180 = 2×2×3×3×5 = 2^2×3^2×5。\n【验算】2^2×3^2×5 = 4×9×5 = 180 ✓。分解完毕一定把质因数乘回去检验。\n\n【例 2】将 1001 分解质因数。\n【思路】1001 末位是 1,不能被 2 整除;数字和 1+0+0+1 = 2,不能被 3 整除;末位不是 0 或 5,不能被 5 整除。用 7 的割尾法:100 - 1×2 = 98,98÷7 = 14,能被 7 整除!\n【解答】1001÷7 = 143;143 = 11×13。所以 1001 = 7×11×13。\n【提醒】这是经典分解,牢记 1001 = 7×11×13——它正是\"7、11、13 整除判定\"那一课的依据。\n\n【例 3】求最小的自然数 n,使得 n 同时是 2、3、5 的倍数,且 n 的质因数分解中 2 的指数恰好是 3 的指数的 2 倍。\n【思路】设 n = 2^a×3^b×5^c×…,其中 a、b、c 都至少是 1;条件是 a = 2b。\n【解答】要 n 最小,取 b = 1,则 a = 2,c = 1,不再含其他质因数:n = 2^2×3×5 = 4×3×5 = 60。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 漏除或多除:短除法必须从最小的质数开始依次试除,不能跳过某个质数。\n- 商还不是质数就停止:必须除到商为质数才停。如 12÷2 = 6,6 不是质数,还要继续除。\n- 忘记验证:分解完后要把所有质因数乘回去检验。\n- 标准形式要合并相同质因数:12 = 2×2×3 应写成 12 = 2^2×3。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"120 分解质因数是:\",\"options\":[\"2^3×3×5\",\"2^2×3×5\",\"2^3×3^2×5\",\"2×3×5\"],\"answer\":0,\"explain\":\"120÷2 = 60,60÷2 = 30,30÷2 = 15,15÷3 = 5。所以 120 = 2×2×2×3×5 = 2^3×3×5。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"252 分解质因数是:\",\"options\":[\"2^2×3^2×7\",\"2^2×3×7\",\"2×3^2×7\",\"2^2×3^2×11\"],\"answer\":0,\"explain\":\"252÷2 = 126,126÷2 = 63,63÷3 = 21,21÷3 = 7。所以 252 = 2^2×3^2×7。验算:4×9×7 = 252 ✓\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"1000 分解质因数是:\",\"options\":[\"2^3×5^3\",\"2^3×5^2\",\"2×5^3\",\"2^2×5^3\"],\"answer\":0,\"explain\":\"1000 = 8×125 = 2^3×5^3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2023 = 7×17^2。2023 的最小质因数是多少?\",\"answers\":[\"7\"],\"explain\":\"2023÷7 = 289 = 17×17,所以 2023 = 7×17^2,最小质因数是 7。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知 n = 2^3×3^2×5,求 n 的值。\",\"answers\":[\"360\"],\"explain\":\"n = 8×9×5 = 360。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个数的质因数分解式为 2^a×3^b(a、b 为正整数),且这个数在 50 到 100 之间。下列哪个数不可能?\",\"options\":[\"80\",\"54\",\"72\",\"96\"],\"answer\":0,\"explain\":\"54 = 2×3^3、72 = 2^3×3^2、96 = 2^5×3 都只含质因数 2 和 3,都在 50~100 之间;80 = 2^4×5 含质因数 5,不是 2^a×3^b 的形式。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两个质数的积是 143,求这两个质数的和。\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"143 = 11×13,和 = 11+13 = 24。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"不管用什么顺序分解,同一个数的质因数分解结果都是唯一的(不计质因数排列顺序)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这就是算术基本定理(唯一分解定理)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"180 = 2^2×3^2×5。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。180 = 2×2×3×3×5 = 2^2×3^2×5。验算:4×9×5 = 180 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求最小的自然数 n,使 n 同时是 2、3、5 的倍数,且 n 的质因数分解中 2 的指数恰好是 3 的指数的 2 倍。\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"n 必含质因数 2、3、5。设 n = 2^a×3^b×5^c,a = 2b。取 b=1、a=2、c=1 最小:n = 4×3×5 = 60。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分解质因数:把合数写成质数相乘;分解结果唯一(算术基本定理)。\n- 短除法:除数从小到大,除到商为质数为止。\n- 分解后必须乘回验证。\n- 牢记经典分解 1001 = 7×11×13。" + }, + { + "id": "num-58", + "title": "公因数与公倍数:GCD 与 LCM", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "会用辗转相除法、短除法、公式法求最大公因数和最小公倍数,并解决应用题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n有了分解质因数的工具,本课系统学习两个数的最大公因数(GCD)与最小公倍数(LCM):怎么求、有什么关系、怎么用。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义\n- 公因数:两个或多个数共有的因数;其中最大的叫最大公因数,记作 (a, b)。\n- 公倍数:两个或多个数共有的倍数;其中最小的叫最小公倍数,记作 [a, b]。\n- 互质:两个数的最大公因数为 1,记作 (a, b) = 1。\n\n### 2. 关系公式\na×b = (a,b) × [a,b],即 [a,b] = a×b ÷ (a,b)。\n注意:这个公式只对两个数成立,三个及以上不成立。\n\n### 3. 辗转相除法(求 GCD,适合大数)\n大数 ÷ 小数 → 小数 ÷ 余数 → 余数 ÷ 新余数 → ……直到余数为 0,此时的除数就是 GCD。\n\n【例 1】用辗转相除法求 (168, 105)。\n【解答】168÷105 = 1 余 63;105÷63 = 1 余 42;63÷42 = 1 余 21;42÷21 = 2 余 0。余数为 0 时的除数是 21,所以 (168,105) = 21。\n再用公式求 LCM:[168,105] = 168×105÷21 = 840。\n\n### 4. 短除法\n用公有质因数连续除,直到商互质。所有除数之积就是 GCD;所有除数与最后各商之积就是 LCM。\n\n【例 2】用短除法求 (60, 84) 和 [60, 84]。\n【解答】60、84 依次除以 2、2、3,得到商 5、7;5 和 7 互质,停止。GCD = 2×2×3 = 12(左边除数之积);LCM = 2×2×3×5×7 = 420(除数 × 各商)。\n【验算】60×84 = 5040 = 12×420 ✓\n\n### 5. 用质因数分解求 GCD 和 LCM\n设 a、b 的质因数分解已知:GCD 取每个公共质因数的较小指数;LCM 取每个质因数的较大指数。\n\n### 6. 应用题建模\n\"最大、最多、最长\" → 求 GCD;\"最少、最小、最早重合\" → 求 LCM。\n\n【例 3】学校买来 48 个苹果和 72 个橘子,要分给一些同学,每人分到的苹果数相同、橘子数也相同。最多能分给多少个同学?每人各分到多少?\n【思路】\"最多分给多少人\" → 求 (48, 72)。\n【解答】72÷48 = 1 余 24;48÷24 = 2 余 0。所以 (48,72) = 24。最多分给 24 个同学;每人苹果 48÷24 = 2 个,橘子 72÷24 = 3 个。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 短除法求 LCM 时漏乘最后的商:LCM 不仅要乘左边的除数,还要乘最后各商。这是最常见的错误。\n- 辗转相除把角色搞反:每一步是\"大数 ÷ 小数\",下一步用\"上一步的除数 ÷ 上一步的余数\"。\n- 公式 a×b = GCD×LCM 只对两个数成立,三个及以上不成立。\n- 应用题分不清用 GCD 还是 LCM:\"最大/最多/最长\"→ GCD,\"最少/最小/第一次重合\"→ LCM。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用辗转相除法求 252 和 198 的最大公因数。\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"252÷198 = 1 余 54;198÷54 = 3 余 36;54÷36 = 1 余 18;36÷18 = 2 余 0。最大公因数是 18。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"用辗转相除法求 385 和 275 的最大公因数。\",\"answers\":[\"55\"],\"explain\":\"385÷275 = 1 余 110;275÷110 = 2 余 55;110÷55 = 2 余 0。最大公因数是 55。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"120 和 180 的最大公因数是多少?\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"120 = 2^3×3×5,180 = 2^2×3^2×5,公共质因数取较小指数:2^2×3×5 = 60。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"120 和 180 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"360\"],\"explain\":\"各质因数取较大指数:2^3×3^2×5 = 360。也可用公式:120×180÷60 = 360。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知两个数的最大公因数是 12,最小公倍数是 180,其中一个数是 36,另一个数是多少?\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"两数之积 = GCD×LCM = 12×180 = 2160。另一个数 = 2160÷36 = 60。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一排电线杆每隔 45 米立一根,现在要改成每隔 60 米立一根,起点的那根不动。下一根不需要移动的电线杆离起点多少米?\",\"answers\":[\"180\",\"180米\"],\"explain\":\"不用移动的电线杆位于 45 和 60 的公倍数处。[45,60] = 180,所以下一根离起点 180 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲、乙两人同时从 A 地出发,甲每 6 天回 A 地一次,乙每 8 天回 A 地一次。他们至少经过多少天会在 A 地再次相遇?\",\"answers\":[\"24\",\"24天\"],\"explain\":\"再次相遇要求两人同时回到 A 地:[6,8] = 24,至少经过 24 天。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"用辗转相除法求 (168, 105),结果是:\",\"options\":[\"21\",\"12\",\"42\",\"7\"],\"answer\":0,\"explain\":\"168÷105 = 1 余 63;105÷63 = 1 余 42;63÷42 = 1 余 21;42÷21 = 2 余 0。所以 (168,105) = 21。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"a×b = GCD×LCM 这个关系对任意三个数都成立。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。该公式只对两个数成立;三个及以上数一般不成立,不能随意推广。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"应用题中,“最多、最大、最长”通常求最大公因数;“最少、最小、第一次重合”通常求最小公倍数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是 GCD/LCM 应用题建模的关键词口诀。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 辗转相除法:大数除以小数、除数除以余数,余数为 0 时除数即 GCD。\n- 短除法:GCD 只乘除数;LCM 乘除数和最后的商。\n- a×b = (a,b)×[a,b],只对两个数成立。\n- 应用题:\"最大/最多\"→ GCD,\"最少/重合\"→ LCM。" + }, + { + "id": "num-59", + "title": "因数个数定理", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "用质因数分解快速计算因数个数,掌握完全平方数的因数个数特征。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n一个数有多少个因数,逐个去数太慢。本课学习因数个数公式,以及\"因数个数是奇数\"背后的完全平方数性质。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 因数个数公式\n设 n = p1^a1 × p2^a2 × … × pk^ak,则 n 的因数个数为 (a1+1)(a2+1)…(ak+1)。\n原理:n 的每个因数都可以写成 p1^b1×p2^b2×…×pk^bk,其中每个 bi 可以取 0 到 ai 共 ai+1 种选法。由乘法原理,因数总数就是各 (ai+1) 的乘积。\n\n例如:60 = 2^2×3×5,因数个数 = (2+1)(1+1)(1+1) = 3×2×2 = 12。这 12 个因数是:1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60。\n\n【例 1】求 360 的因数个数。\n【解答】先分解:360 = 2^3×3^2×5。因数个数 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24。\n\n### 2. 完全平方数的因数个数\n- 完全平方数的因数个数是奇数:它分解后各指数都是偶数,每个 (指数+1) 都是奇数,乘积是奇数。\n- 逆命题也成立:因数个数是奇数的正整数一定是完全平方数。\n- 用\"因数配对\"理解:非完全平方数的因数可两两配对(d 与 n/d),个数是偶数;完全平方数中 √n 与自身配对,多出一个不成对的因数。\n\n【例 2】在 1 到 100 中,因数个数为奇数的数有哪些?\n【解答】因数个数为奇数 ⟺ 完全平方数。1 到 100 中的完全平方数:1、4、9、16、25、36、49、64、81、100,共 10 个。\n\n### 3. 已知因数个数反求数\n【例 3】求因数个数恰好为 10 的最小正整数。\n【思路】把 10 作全部分解:10 = 10,或 10 = 5×2。每种分解对应一种质因数幂的形式。\n【解答】10 = 10 → 形式 p^9,最小取 2^9 = 512;10 = 5×2 → 形式 p^4×q,最小取 2^4×3 = 48。比较取最小:48。\n【验算】48 = 2^4×3,因数个数 = (4+1)(1+1) = 10 ✓\n【提醒】要把因数个数的所有分解方式都枚举出来再比较;大指数配小质数,数才小。\n\n因数个数与数的分类对照:因数个数为 1 的只有 1;恰好 2 个的是质数;恰好 3 个的是质数的平方(4、9、25…);恰好 4 个的是 p^3 或 p×q 型;奇数个的是完全平方数。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 忘记加 1:公式里每个指数都要 +1(因为指数可以取 0),不能直接用指数相乘。\n- 分解不彻底就套公式,结果必然错误。先确保质因数分解完整。\n- 反向求数不全面:给定因数个数求最小数时,要枚举所有分解方式(如 12 = 12、6×2、4×3、3×2×2)再比较。\n- \"因数个数为奇数 ⟺ 完全平方数\"是充要条件,双向都成立,注意区分方向。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"72 的因数个数是多少?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"72 = 2^3×3^2,因数个数 = (3+1)(2+1) = 4×3 = 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"100 的因数个数是多少?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"100 = 2^2×5^2,因数个数 = (2+1)(2+1) = 9。100 = 10^2 是完全平方数,因数个数是奇数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1000 的因数个数是多少?\",\"answers\":[\"16\"],\"explain\":\"1000 = 2^3×5^3,因数个数 = (3+1)(3+1) = 16。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"因数个数恰好为 6 的最小正整数是多少?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"6 = 6 → p^5 型,最小 2^5 = 32;6 = 3×2 → p^2×q 型,最小 2^2×3 = 12。12 < 32,所以最小是 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数的质因数分解式为 2^a×3^2,且它的因数个数为 12。求 a。\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"(a+1)×(2+1) = 12,a+1 = 4,a = 3。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下列哪个数的因数个数恰好是 4?\",\"options\":[\"27\",\"25\",\"49\",\"36\"],\"answer\":0,\"explain\":\"27 = 3^3,因数个数 3+1 = 4;25 = 5^2、49 = 7^2 因数个数都是 3;36 = 2^2×3^2 因数个数是 9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知正整数 n 的因数个数为 8,且 n 是 12 的倍数。满足条件的最小 n 是多少?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"12 的倍数从小到大:12、24、36……12 = 2^2×3 因数个数 6,不是 8;24 = 2^3×3 因数个数 (3+1)(1+1) = 8 ✓。最小 n = 24。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"因数个数是奇数的正整数,一定是完全平方数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。“因数个数为奇数 ⟺ 完全平方数”是充要条件:因数成对出现,只有完全平方数的 √n 不成对。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"360 的因数个数是多少?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"360 = 2^3×3^2×5,因数个数 = (3+1)(2+1)(1+1) = 4×3×2 = 24。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"60 恰好有 10 个因数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。60 = 2^2×3×5,因数个数 = (2+1)(1+1)(1+1) = 12。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- n = p1^a1×p2^a2×…,因数个数 = (a1+1)(a2+1)…,每个指数都要加 1。\n- 因数个数为奇数 ⟺ 完全平方数。\n- 已知因数个数反求最小数:枚举所有分解方式,大指数配小质数。\n- 因数个数 2 → 质数;3 → 质数的平方;4 → p^3 或 p×q。" + }, + { + "id": "num-60", + "title": "短除模型:三个数的 GCD 与 LCM", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握三个数的短除法,分清求 GCD 与 LCM 时停止条件的区别。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n两个数的短除法大家已经会了。本课重点:三个数的短除法,以及求 GCD 与求 LCM 在\"除到什么时候停\"上的关键区别。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 回顾:两个数的短除法\n【例 1】用短除法求 36 和 48 的最大公因数和最小公倍数。\n【解答】36、48 依次除以 2、2、3,得到 3、4;3 和 4 互质,停止。GCD = 2×2×3 = 12;LCM = 2×2×3×3×4 = 144。\n【提醒】GCD 只乘左边的除数;LCM 要乘左边除数和最后的两个商。\n\n### 2. 三个数的短除法:两种操作对比\n求三个数的 GCD:\n- 除数要求:每次必须是三个数的公因数;\n- 停止条件:除到三个商互质(即三者的 GCD 为 1);\n- 结果:所有左侧除数之积。\n求三个数的 LCM:\n- 除数要求:每次可以用两个或三个数的公因数;\n- 停止条件:除到三个商两两互质;\n- 结果:所有左侧除数与最终各商之积。\n\n【例 2】用短除法求 12、18、30 的最小公倍数。\n【解答】12、18、30 除以 2 得 6、9、15;再除以 3 得 2、3、5;2、3、5 两两互质,停止。LCM = 2×3×2×3×5 = 180。\n\n【例 3】三个班分别有 36 人、48 人、60 人,要分成人数相同的小组且每组人数尽量多。每组多少人?三个班各分几组?\n【思路】求 gcd(36, 48, 60)。\n【解答】36、48、60 依次除以 2、2、3,得到 3、4、5,互质,停止。GCD = 2×2×3 = 12,每组 12 人。各班分组:36÷12 = 3 组,48÷12 = 4 组,60÷12 = 5 组。\n\n### 3. 关系公式的适用范围\n对两个数 a、b,有 a×b = gcd(a,b)×lcm(a,b)。注意:此公式仅对两个数成立,三个数时不成立,不要套用。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 三个数求 LCM 时,除到三个商互质就停了——正确应除到两两互质。\n- 三个数求 LCM 时,只用三个数的公因数做除数——其实两个数的公因数也可以做除数。\n- 混淆 GCD 和 LCM 的计算:把 LCM 误算成只有除数之积(漏乘最终商)。\n- 把 a×b = gcd×lcm 错误推广到三个数。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"84 和 108 的最大公因数是多少?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"84、108 依次除以 2、2、3 得 7、9,互质。GCD = 2×2×3 = 12。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"84 和 108 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"756\"],\"explain\":\"LCM = 2×2×3×7×9 = 756。验算:84×108÷12 = 756 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"24、36、54 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"216\"],\"explain\":\"24 = 2^3×3,36 = 2^2×3^2,54 = 2×3^3,各质因数取较大指数:LCM = 2^3×3^3 = 8×27 = 216。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一块长方形地长 120 米、宽 80 米,要分成面积相同的正方形地块且地块尽量大。正方形边长多少米?\",\"answers\":[\"40\",\"40米\"],\"explain\":\"边长 = gcd(120, 80) = 40 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,共能分成多少块正方形?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"(120÷40)×(80÷40) = 3×2 = 6 块。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"三个数 120、180、300 的最大公因数是多少?\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"用三个数的公因数依次短除:除以 2、2、3、5 得 1、3、5,互质。GCD = 2×2×3×5 = 60。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"三个数 120、180、300 的最小公倍数是多少?\",\"answers\":[\"1800\"],\"explain\":\"120 = 2^3×3×5,180 = 2^2×3^2×5,300 = 2^2×3×5^2,各质因数取较大指数:2^3×3^2×5^2 = 8×9×25 = 1800。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将 96 支铅笔和 72 块橡皮平均分给若干名学生,每人都得到相同数量的铅笔和橡皮。最多分给多少名学生?\",\"answers\":[\"24\",\"24名\",\"24名学生\"],\"explain\":\"人数 = gcd(96, 72) = 24 名。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用短除法求三个数的最小公倍数时,除到三个商互质就可以停止。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须除到三个商两两互质。例如商 2、2、3 虽整体互质,但 2 与 2 还有公因数 2,要继续除。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用短除法求三个数的最小公倍数时,除数可以是其中两个数的公因数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。求 LCM 时,任意两个数的公因数都可作除数;只有求 GCD 时,除数才必须是三个数的公因数。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 三个数求 GCD:除数必须是三数公因数,除到三商互质,只乘除数。\n- 三个数求 LCM:除数可以是两数公因数,除到两两互质,乘除数和所有最终商。\n- a×b = gcd×lcm 只对两个数成立。" + }, + { + "id": "num-61", + "title": "弃九法:巧验算", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "理解弃九数与数字根,会用弃九法验算加、减、乘法。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课知道:一个数能否被 9 整除,看数字和。本课把这个性质变成验算工具——弃九法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 核心原理与数字根\n一个自然数除以 9 的余数,等于它各位数字之和除以 9 的余数。\n反复把各位数字相加,直到得到一位数,这个一位数叫作该数的数字根(弃九数):数字根为 1~8 时,等于原数除以 9 的余数;数字根为 9 时,原数是 9 的倍数(余数为 0)。\n快速求法:把数字中能凑成 9 的数字(或组合)划去,剩下的相加,超过 9 就再求一次数字根。\n\n### 2. 加法与乘法的验算\n【例 1】用弃九法验算 3478 + 5629 = 9107 是否正确。\n【解答】3478 的弃九数:3+4+7+8 = 22 → 2+2 = 4;5629 的弃九数:5+6+2+9 = 22 → 4。左侧:4+4 = 8。9107 的弃九数:9+1+0+7 = 17 → 8。8 = 8,验算通过 ✓\n\n【例 2】用弃九法验算 2356 × 43 = 101308 是否正确。\n【解答】2356 → 2+3+5+6 = 16 → 7;43 → 4+3 = 7。左侧:7×7 = 49 → 13 → 4。101308 → 1+0+1+3+0+8 = 13 → 4。4 = 4,验算通过 ✓\n\n【例 3】小明计算 234 × 56 = 13114,用弃九法检查。\n【解答】234 → 2+3+4 = 9(弃九数为 9,即 0);56 → 5+6 = 11 → 2。左侧:0×2 = 0。13114 → 1+3+1+1+4 = 10 → 1。0 ≠ 1,验算不通过,计算有误!正确答案是 234×56 = 13104(它的弃九数为 9,通过)。\n\n### 3. 验算规则汇总\n- 加法 a+b=c:a 的弃九数 + b 的弃九数,其弃九数应等于 c 的弃九数;\n- 减法 a-b=c:c 的弃九数 + b 的弃九数,其弃九数应等于 a 的弃九数;\n- 乘法 a×b=c:a 的弃九数 × b 的弃九数,其弃九数应等于 c 的弃九数。\n\n### 4. 用弃九法求未知数字\n【例 4】3☆8 × 7 = 2716,利用弃九法求 ☆ 代表的数字。\n【解答】2716 的弃九数:2+7+1+6 = 16 → 7;7 的弃九数是 7。设 3☆8 的弃九数为 d,需要 d×7 除以 9 余 7,解得 d = 1(因为 1×7 = 7)。于是 3+☆+8 = 11+☆ 的弃九数为 1,即 11+☆ 除以 9 余 1:☆ = 8(2+8 = 10,10÷9 余 1)。\n【验算】388×7 = 2716 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 弃九法验算通过不能保证答案正确:若算错的差恰好是 9 的倍数,弃九法查不出来。\n- 弃九法只是必要条件,不是充分条件——它是排错工具(只能证伪),不是百分百的验算工具。\n- 减法验算时数字不够减要加 9 调整,不能出现负的弃九数。\n- 弃九法不直接适用于除法,需转化为乘法验算(被除数 = 除数×商 + 余数)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"84736 的弃九数(数字根)是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"8+4+7+3+6 = 28 → 2+8 = 10 → 1+0 = 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"199827 的弃九数(数字根)是多少?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"1+9+9+8+2+7 = 36 → 3+6 = 9。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"505050 的弃九数(数字根)是多少?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"5+0+5+0+5+0 = 15 → 1+5 = 6。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"4567 + 8934 = 13501,用弃九法验算能通过。\",\"answer\":0,\"explain\":\"4567 → 4,8934 → 6,4+6 = 10 → 1;13501 → 1+3+5+0+1 = 10 → 1。1 = 1,通过。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"678 × 34 = 23052,用弃九法验算能通过。\",\"answer\":0,\"explain\":\"678 → 3,34 → 7,3×7 = 21 → 3;23052 → 2+3+0+5+2 = 12 → 3。3 = 3,通过。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"六位数 2A6B9C 是 9 的倍数,A、B、C 均为一位数字。A+B+C 最小是多少?\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"2+A+6+B+9+C = 17+A+B+C 必须是 9 的倍数。A+B+C 最大 27,所以 17+A+B+C 可以是 18、27、36,即 A+B+C = 1、10、19,最小为 1。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"3☆8 × 7 = 2716,用弃九法可求得 ☆ 代表的数字是:\",\"options\":[\"8\",\"7\",\"6\",\"9\"],\"answer\":0,\"explain\":\"2716 弃九数为 7,7 的弃九数为 7。3☆8 的弃九数 d 需满足 d×7 ≡ 7 (mod 9),得 d = 1。11+☆ 除以 9 余 1,☆ = 8。验算:388×7 = 2716 ✓\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"弃九法验算通过,说明计算结果一定正确。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。弃九法只是必要条件:如果算错的部分恰好是 9 的倍数,就查不出来。它只能证伪,不能证实。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"123456789 × 9 = 1111111101,用弃九法验算能通过。\",\"answer\":0,\"explain\":\"左侧:123456789 → 45 → 9,9×9 = 81 → 9;右侧:1+1+1+1+1+1+1+1+0+1 = 9。9 = 9,通过(实算结果也确实正确)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明算 234 × 56 = 13114。13114 的弃九数是多少?(据此可发现验算不通过)\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"1+3+1+1+4 = 10 → 1。而 234 弃九数为 9(即 0),56 弃九数为 2,0×2 = 0 ≠ 1,验算不通过。正确答案是 13104。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 数字根(弃九数)= 反复求数字和直到一位数;等于原数除以 9 的余数(9 对应余 0)。\n- 加、减、乘法都可以用弃九数对应验算。\n- 弃九法只能证伪,不能证实:通过≠正确,不通过一定错。" + }, + { + "id": "num-62", + "title": "同余初步", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "理解同余及其运算性质,会用同余简化大数的余数计算。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n带余除法告诉我们\"除以几余几\"。本课把\"余数相同\"这件事符号化,引入同余,学会用同余性质简化大数运算。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义与等价条件\n若整数 a 和 b 除以正整数 m 的余数相同,则称 a 与 b 模 m 同余,记作 a ≡ b (mod m)。\n等价条件:a ≡ b (mod m) ⟺ m 能整除 (a-b)。\n直观例子:钟表就是模 12 的世界,13 点就是 1 点:13 ≡ 1 (mod 12)。\n基本性质:反身性 a ≡ a;对称性 a ≡ b 则 b ≡ a;传递性 a ≡ b、b ≡ c 则 a ≡ c。\n\n### 2. 运算性质\n设 a ≡ b (mod m),c ≡ d (mod m),则:\n- 加法:a+c ≡ b+d (mod m);减法:a-c ≡ b-d (mod m);\n- 乘法:a×c ≡ b×d (mod m);幂运算:a^n ≡ b^n (mod m)。\n意义:可以把大数换成与它同余的小数再运算。\n\n【例 1】求 7^2023 ÷ 5 的余数。\n【思路】利用幂的同余性质,先把底数换小(7 ≡ 2 (mod 5)),再找幂的周期。\n【解答】7 ≡ 2,7^2 ≡ 4,7^3 ≡ 8 ≡ 3,7^4 ≡ 16 ≡ 1 (mod 15)?不,是 (mod 5)。周期为 4。2023÷4 = 505 余 3,所以 7^2023 ≡ 7^3 ≡ 3 (mod 5)。余数为 3。\n【提醒】指数不能对 5 取余!指数是用来除以\"周期\"的。\n\n【例 2】已知 N ÷ 7 余 3,求 N^2 + 2N + 1 ÷ 7 的余数。\n【解答】N ≡ 3 (mod 7)。N^2 ≡ 9 ≡ 2;2N ≡ 6;1 ≡ 1。所以 N^2+2N+1 ≡ 2+6+1 = 9 ≡ 2 (mod 7)。余数为 2。\n\n【例 3】求 2023×2024×2025 ÷ 11 的余数。\n【解答】2023 = 11×183 + 10 ≡ -1 (mod 11);2024 = 11×184 ≡ 0 (mod 11)。有一个因数是 11 的倍数,整个乘积就是 11 的倍数:余数为 0。\n【提醒】连乘中只要有一个因数 ≡ 0 (mod m),乘积就 ≡ 0。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 同余符号 ≡ 不是等号 =,不能混用。\n- 减法同余可能出现负数,需加 m 调整到 0 ~ m-1 范围。\n- 做幂运算时,底数可以换成同余的数,但指数不变——不能把指数也取余。\n- 多个同余条件联立时,周期(模数)应取各模数的最小公倍数,不一定是乘积(模数不互质时)。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求 3^100 ÷ 7 的余数。\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"3 的幂模 7:3、2、6、4、5、1,周期 6。100÷6 = 16 余 4,所以 3^100 ≡ 3^4 = 81 ≡ 4 (mod 7)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"若 a ≡ 4 (mod 9),b ≡ 7 (mod 9),求 (a+b)×(a-b) ÷ 9 的余数。\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"a+b ≡ 11 ≡ 2 (mod 9);a-b ≡ 4-7 = -3 ≡ 6 (mod 9)。2×6 = 12 ≡ 3 (mod 9)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个自然数除以 5 余 2,除以 7 余 3。这个数最小是多少?\",\"answers\":[\"17\"],\"explain\":\"除以 5 余 2 的数:2、7、12、17……其中 17÷7 = 2 余 3 满足。最小是 17(它除以 35 的余数也是 17)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求 1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 10^2 除以 4 的余数。\",\"answers\":[\"1\"],\"explain\":\"1^2+2^2+…+10^2 = 10×11×21÷6 = 385。385÷4 = 96 余 1,余数是 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"已知正整数 n 满足 n ≡ 2 (mod 3) 且 n ≡ 3 (mod 5),求 n 的最小值。\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"设 n = 3k+2。代入 mod 5:3k+2 ≡ 3,即 3k ≡ 1 (mod 5)。3×2 = 6 ≡ 1,所以 k ≡ 2 (mod 5)。最小 k = 2,n = 3×2+2 = 8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"13 ≡ 1 (mod 12)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。13÷12 = 1 余 1;也可看 13-1 = 12 能被 12 整除。就像钟表上 13 点就是 1 点。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"若 a ≡ b (mod m),则 m 能整除 a-b。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是同余的等价条件:两数除以 m 余数相同 ⟺ 两数之差是 m 的倍数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"求 7^2023 ÷ 5 的余数时,可以先把指数 2023 除以 5 取余。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。指数不能对模数取余。正确做法是找幂的周期(7 的幂模 5 周期为 4),再把指数除以周期:2023÷4 = 505 余 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"求 2023×2024×2025 ÷ 11 的余数。\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"2024 = 11×184 能被 11 整除,所以整个乘积能被 11 整除,余数为 0。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"若 a ≡ b (mod m) 且 b ≡ c (mod m),则 a ≡ c (mod m)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是同余的传递性。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- a ≡ b (mod m) ⟺ m | (a-b)。\n- 同余可以相加、相减、相乘、取幂,大数换小数算。\n- 幂的余数:找周期,指数除以周期。\n- 连乘中有一个因数 ≡ 0,乘积 ≡ 0。" + }, + { + "id": "num-63", + "title": "不定方程:二元一次方程的整数解", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "会用枚举法、整除性与同余,求出二元一次不定方程的全部正整数解。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\"买铅笔和钢笔共花 58 元,各买几支?\"这类问题列出的方程未知数多、条件少,叫不定方程。本课学习求二元一次不定方程的正整数解。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义与有解条件\n未知数个数多于独立方程个数的方程,称为不定方程。小学竞赛常见 ax + by = c,要求正整数解或非负整数解。\n有整数解的充要条件:gcd(a,b) 能整除 c。特别地,a、b 互质时,对任意正整数 c 都有解。\n解题方法:枚举法(系数较小)、同余缩范围(系数较大)、整除性判断(某项系数能整除两端)。\n\n### 2. 枚举与整除性\n【例 1】求方程 5x + 3y = 100 的正整数解。\n【思路】把 y 用 x 表示:y = (100-5x)/3 = 5(20-x)/3。y 要为正整数,需 3 能整除 5(20-x)。\n【解答】因为 gcd(3,5) = 1,需 3 能整除 20-x。设 20-x = 3k,则 x = 20-3k,y = 5k。要求 x ≥ 1 得 k ≤ 6;y ≥ 1 得 k ≥ 1。所以 k = 1、2、3、4、5、6,对应解 (17,5)、(14,10)、(11,15)、(8,20)、(5,25)、(2,30),共 6 组。\n【提醒】正整数解要求 x、y 都 ≥ 1,不含取 0 的情形。\n\n### 3. 同余缩范围\n【例 2】求方程 7x + 11y = 89 的正整数解。\n【思路】两边对 7 取余,把 x 消掉。\n【解答】11y ≡ 89 (mod 7),即 4y ≡ 5 (mod 7)。逐个试:4×1 = 4,4×2 = 8 ≡ 1,4×3 = 12 ≡ 5 ✓,所以 y ≡ 3 (mod 7),即 y = 3、10、17……又 11y < 89,得 y < 8.1,只能 y = 3。代入:7x = 89-33 = 56,x = 8。唯一正整数解 (8, 3)。\n【验算】7×8 + 11×3 = 56+33 = 89 ✓\n\n### 4. 生活应用\n【例 3】小明买了若干支单价 3 元的铅笔和单价 5 元的钢笔,共花了 58 元。铅笔和钢笔各买了几支?(每种至少 1 支)\n【解答】设铅笔 x 支、钢笔 y 支:3x + 5y = 58。y ≤ 11 且需 3 能整除 58-5y。58÷3 余 1,按 y 除以 3 的余数分类:y ≡ 0 时 58-5y ≡ 1 ✗;y ≡ 1 时 ≡ 2 ✗;y ≡ 2 时 ≡ 0 ✓。所以 y = 2、5、8、11,对应 x = 16、11、6、1。共 4 种买法,逐一验证:48+10 = 58 ✓、33+25 = 58 ✓、18+40 = 58 ✓、3+55 = 58 ✓。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 求正整数解时,忘记排除 x = 0 或 y = 0 的情况。\n- 用同余缩范围后,忘记代回原方程验证。\n- 枚举时不确定上限,导致遗漏或重复。\n- 化简方程(如两边同除公因数)时,忘记对解的范围做相应调整。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2x + 5y = 31 的正整数解共有多少组?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"x = (31-5y)/2 要为正整数,y 必须为奇数:y = 1 → x = 13;y = 3 → x = 8;y = 5 → x = 3。共 3 组。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班用 100 元购买单价 6 元和 8 元的奖品若干件(每种至少一件),有多少种购买方案?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"6x+8y = 100,化简 3x+4y = 50。y = 2 → x = 14;y = 5 → x = 10;y = 8 → x = 6;y = 11 → x = 2。共 4 种。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"3x + 5y = 58 的正整数解共有多少组?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"需 3 | (58-5y),即 y ≡ 2 (mod 3):y = 2、5、8、11,对应 x = 16、11、6、1。共 4 组。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两位数 ab 满足 7a + 3b = 53(a 是十位数字,b 是个位数字),求这个两位数。\",\"answers\":[\"56\"],\"explain\":\"b = (53-7a)/3 须为 0~9 的整数,a 取 1~9 逐一试:只有 a = 5 时 b = 18÷3 = 6 成立。所以两位数是 56。验算:7×5+3×6 = 35+18 = 53 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"将 46 拆成若干个 3 和若干个 5 的和(3 和 5 至少各一个),有多少种拆法?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"3x+5y = 46。y = 2 → x = 12;y = 5 → x = 7;y = 8 → x = 2。共 3 种。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"ax + by = c(a、b、c 为正整数)有整数解的条件是:\",\"options\":[\"gcd(a,b) 能整除 c\",\"c 能整除 gcd(a,b)\",\"a 能整除 c\",\"b 能整除 c\"],\"answer\":0,\"explain\":\"充要条件:gcd(a,b) | c。特别地,a、b 互质时对任意 c 都有解。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"(x=8, y=3) 是 7x + 11y = 89 的一组正整数解。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。7×8 + 11×3 = 56+33 = 89 ✓\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"5x + 3y = 100 的正整数解共有多少组?\",\"options\":[\"6\",\"5\",\"7\",\"4\"],\"answer\":0,\"explain\":\"设 20-x = 3k:k = 1~6 对应 x = 17、14、11、8、5、2,y = 5、10、15、20、25、30。共 6 组。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"不定方程的正整数解中,允许 x = 0 或 y = 0。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。正整数解要求两个未知数都取正整数(≥1);x = 0 或 y = 0 属于非负整数解。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用同余缩小解的范围后,不必再代回原方程验证。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。缩范围后必须逐一验算,防止计算失误或多解、漏解。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- ax+by = c 有整数解 ⟺ gcd(a,b) | c。\n- 三种方法:枚举法、同余缩范围、整除性判断。\n- 正整数解要求 x、y ≥ 1。\n- 求出候选解后必须代回原方程验算。" + }, + { + "id": "num-64", + "title": "剩余问题:中国剩余定理初步", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "会用逐级满足法和口诀法解“除以几余几”的剩余问题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n\"一个数除以 3 余 2、除以 5 余 3、除以 7 余 2,求这个数\"——这就是著名的韩信点兵问题(剩余问题)。本课学习逐级满足法与口诀法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 问题模型\n一个数除以 a 余 r1,除以 b 余 r2,除以 c 余 r3,求这个数。即联立的同余条件。所有答案之间相差 lcm(a,b,c) 的整数倍,所以通常求最小正整数。\n\n### 2. 逐级满足法(通用方法)\n1. 先写出满足第一个条件的通解;2. 代入第二个条件求解,得到新通解(模数变为 lcm);3. 再代入第三个条件……直到全部满足。\n\n【例 1】(韩信点兵)一个数除以 3 余 2,除以 5 余 3,除以 7 余 2。求最小正整数。\n【解答(逐级满足法)】由第一个条件:N = 3k+2。代入第二个条件:3k+2 ≡ 3 (mod 5),即 3k ≡ 1 (mod 5),得 k ≡ 2 (mod 5)(因为 3×2 = 6 ≡ 1),k = 5m+2,所以 N = 15m+8。代入第三个条件:15m+8 ≡ 2 (mod 7),即 m+1 ≡ 2,得 m ≡ 1 (mod 7),m = 7t+1,所以 N = 105t+23。最小正整数 N = 23。\n【验算】23÷3 = 7 余 2 ✓;23÷5 = 4 余 3 ✓;23÷7 = 3 余 2 ✓\n\n### 3. 口诀法(仅适用于模 3、5、7)\n\"三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆正半月,除百零五便得知。\"\n含义:70 除以 3 余 1,且是 5、7 的倍数;21 除以 5 余 1,且是 3、7 的倍数;15 除以 7 余 1,且是 3、5 的倍数;105 = 3×5×7。\n公式:N = 70×r1 + 21×r2 + 15×r3,再对 105 取余得最小正整数。\n用口诀法解例 1:N = 70×2 + 21×3 + 15×2 = 140+63+30 = 233;233÷105 = 2 余 23。答案同样是 23。\n\n【例 2】一个数除以 4 余 3,除以 5 余 4,除以 7 余 2。求最小正整数。\n【解答】N = 4k+3。代入 mod 5:4k+3 ≡ 4,即 4k ≡ 1 (mod 5),k ≡ 4 (mod 5),k = 5m+4,N = 20m+19。代入 mod 7:20m+19 ≡ 2,即 6m+5 ≡ 2,6m ≡ 4 (mod 7),试得 m ≡ 3 (mod 7)(6×3 = 18 ≡ 4),m = 7t+3,N = 140t+79。最小正整数 N = 79。\n【验算】79÷4 = 19 余 3 ✓;79÷5 = 15 余 4 ✓;79÷7 = 11 余 2 ✓\n\n【例 3】一筐鸡蛋,两个两个数余 1 个,三个三个数正好数完,四个四个数余 1 个,五个五个数余 4 个。这筐鸡蛋至少有多少个?\n【思路】\"除以 4 余 1\"已经包含\"除以 2 余 1\",第一个条件可以不管。\n【解答】N 是 3 的倍数:N = 3k。代入 mod 4:3k ≡ 1 (mod 4),k ≡ 3 (mod 4),k = 4m+3,N = 12m+9。代入 mod 5:12m+9 ≡ 4,即 2m+4 ≡ 4,2m ≡ 0 (mod 5),m ≡ 0 (mod 5),m = 5t,N = 60t+9。最小正整数 N = 9。\n【验算】9÷2 = 4 余 1 ✓;9÷3 = 3 ✓;9÷4 = 2 余 1 ✓;9÷5 = 1 余 4 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 逐级满足法中,每合并一个条件,模数要变为已合并模数的最小公倍数,容易算错。\n- 口诀法只适用于模 3、5、7,其他模数不能直接套用 70、21、15。\n- 口诀法要求模数两两互质;不互质时要用逐级满足法或先化简。\n- 最终答案要对模数乘积(或最小公倍数)取余,得到最小正整数。\n- 有的条件包含在其他条件中(如例 3 的\"除以 2 余 1\"),要识别并化简。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数除以 3 余 1,除以 5 余 2,除以 7 余 4。这个数最小是多少?\",\"answers\":[\"67\"],\"explain\":\"口诀法:N = 70×1 + 21×2 + 15×4 = 70+42+60 = 172;172÷105 = 1 余 67。验算:67÷3 = 22 余 1 ✓;67÷5 = 13 余 2 ✓;67÷7 = 9 余 4 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个数除以 3 余 2,除以 7 余 3,除以 11 余 4。这个数最小是多少?\",\"answers\":[\"59\"],\"explain\":\"逐级满足:N = 3k+2;代入 mod 7:3k ≡ 1 → k ≡ 5 (mod 7),N = 21m+17;代入 mod 11:10m+6 ≡ 4,即 10m ≡ 9 (mod 11),m ≡ 2 (mod 11)(10×2 = 20 ≡ 9),N = 231t+59。最小为 59。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一筐鸡蛋(超过 1 个),两个两个数余 1 个,三个三个数余 1 个,四个四个数余 1 个,五个五个数还余 1 个。这筐鸡蛋至少有多少个?\",\"answers\":[\"61\"],\"explain\":\"N-1 是 2、3、4、5 的公倍数。lcm(2,3,4,5) = 60,N = 60t+1。因为超过 1 个,最小为 61。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某班学生排队,每行 5 人余 2 人,每行 7 人余 3 人,每行 9 人余 4 人。该班最少有多少名学生?\",\"answers\":[\"157\"],\"explain\":\"N = 5k+2;代入 mod 7:5k ≡ 1 → k ≡ 3 (mod 7),N = 35m+17;代入 mod 9:8m+8 ≡ 4,即 8m ≡ 5 (mod 9),m ≡ 4 (mod 9)(8×4 = 32 ≡ 5),N = 315t+157。最少 157 人。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"有一个三位数满足:除以 5 余 1,除以 7 余 3,除以 11 余 7。求满足条件的最小三位数。\",\"answers\":[\"381\"],\"explain\":\"N = 5k+1;代入 mod 7:5k ≡ 2 → k ≡ 6 (mod 7),N = 35m+31;代入 mod 11:2m+9 ≡ 7,即 2m ≡ 9 (mod 11),m ≡ 10 (mod 11)(2×10 = 20 ≡ 9),N = 385t+381。最小三位数是 381。验算:381÷5 = 76 余 1 ✓;381÷7 = 54 余 3 ✓;381÷11 = 34 余 7 ✓\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"口诀“三人同行七十稀”中,数 70 的性质是:\",\"options\":[\"是 5、7 的倍数,且除以 3 余 1\",\"是 3、5 的倍数,且除以 7 余 1\",\"是 3、7 的倍数,且除以 5 余 1\",\"是 3、5、7 的公倍数\"],\"answer\":0,\"explain\":\"70 = 2×5×7:70÷3 = 23 余 1,且能被 5、7 整除。用 70×r1 就带上了“除以 3 余 r1”的信息,又不影响除以 5、7 的余数。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"口诀法(70、21、15、105)对任意三个模数的剩余问题都适用。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。口诀法只适用于模数为 3、5、7 的特殊情形,且要求模数两两互质;其他模数要用逐级满足法。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同一个剩余问题的任意两个答案之差,一定是各模数最小公倍数的整数倍。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是答案的周期性:所有答案都形如“最小正整数 + k×lcm”。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"韩信点兵:三个三个数余 2,五个五个数余 3,七个七个数余 2。士兵至少有多少人?\",\"answers\":[\"23\"],\"explain\":\"N = 70×2 + 21×3 + 15×2 = 233;233÷105 = 2 余 23。验算:23÷3 = 7 余 2;23÷5 = 4 余 3;23÷7 = 3 余 2,全部 ✓\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"逐级满足法中,每合并一个条件,模数(周期)就变为已合并各模数的最小公倍数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。例如先满足 mod 3,周期是 3;再满足 mod 5,周期变为 lcm(3,5) = 15;再满足 mod 7,周期变为 105。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 剩余问题:已知除以几个数的余数,反求这个数。\n- 逐级满足法:从第一个条件出发,逐个代入合并,周期取 lcm。\n- 口诀法:N = 70r1+21r2+15r3,再对 105 取余(仅限模 3、5、7)。\n- 答案具有周期性:所有解相差 lcm 的整数倍。" + }, + { + "id": "num-65", + "title": "完全平方数", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "掌握完全平方数的个位、质因数、因数个数等性质与判断方法。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n因数个数定理告诉我们:因数个数是奇数的数是完全平方数。本课系统整理完全平方数的各种性质与判断方法。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义\n如果一个自然数能写成某个整数的平方,即 n = k^2,就称 n 为完全平方数。前几个:0、1、4、9、16、25、36、49、64、81、100、121、144……\n\n### 2. 重要性质\n- 个位数字只能是 0、1、4、5、6、9(不能是 2、3、7、8)。\n- 末尾零的个数必须是偶数(如 100、10000 可以,10、1000 不行)。\n- 十位与个位的关系:个位是 6 时十位一定是奇数;个位是 0 或 4 时十位是偶数。\n- 质因数分解中,所有质因数的指数都是偶数。\n- 因数个数是奇数。\n- 相邻完全平方数 k^2 与 (k+1)^2 之间没有其他完全平方数,且差 (k+1)^2 - k^2 = 2k+1(奇数)。\n\n### 3. 判断方法\n1. 看个位:个位是 2、3、7、8 的一定不是;2. 分解质因数:检查所有指数是否都是偶数;3. 对大数用开方法估算范围。\n\n【例 1】判断 324 是否为完全平方数。\n【思路】分解质因数,看指数。\n【解答】324 = 4×81 = 2^2×3^4。指数 2 和 4 都是偶数,所以 324 是完全平方数:324 = (2×3^2)^2 = 18^2。\n【提醒】分解要彻底,每个质因数的指数都要检查到。\n\n【例 2】N = 2×3×4×5×n,要使 N 是完全平方数,n 的最小正整数值是多少?\n【思路】先化简 2×3×4×5 = 120 = 2^3×3×5;要让所有指数变偶数,缺什么补什么。\n【解答】2 的指数 3,还差 1 个;3、5 的指数都是 1,各差 1 个。所以 n 最小 = 2×3×5 = 30。\n【验算】120×30 = 3600 = 60^2 ✓\n\n【例 3】求最小的完全平方数,使得它的因数个数恰好为 5。\n【思路】因数个数 5 = 5。5 是质数,只能是一种形式 p^4。\n【解答】n = p^4;取 p = 2 最小,n = 16。\n【验算】16 的因数:1、2、4、8、16,共 5 个 ✓;16 = 4^2 是完全平方数 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 完全平方数的个位不是任意的:2、3、7、8 结尾的一定不是。\n- 末尾有奇数个 0 的数(如 10、1000)不是完全平方数。\n- \"因数个数是奇数\"和\"完全平方数\"互为充要条件,注意区分使用方向。\n- 分解质因数时漏掉指数为 1 的质因数,会导致判断错误。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"441 是完全平方数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"441 = 21×21 = 21^2,是完全平方数。(也可看分解:441 = 3^2×7^2,指数都是偶数。)\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"512 是完全平方数。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。512 = 2^9,指数 9 是奇数,不是完全平方数。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下列哪个数是完全平方数?\",\"options\":[\"784\",\"200\",\"512\",\"300\"],\"answer\":0,\"explain\":\"784 = 28^2 ✓。200 = 2^3×5^2(2 的指数是奇数)、512 = 2^9、300 = 2^2×3×5^2(3 的指数是奇数),都不是。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"120×n 是完全平方数,n 的最小正整数值是多少?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"120 = 2^3×3×5。要让所有指数变偶数,需补 2×3×5 = 30。验算:120×30 = 3600 = 60^2 ✓\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一个完全平方数除以 4 的余数只能是多少?\",\"answers\":[\"0或1\",\"0 或 1\",\"0,1\",\"0和1\",\"0 和 1\"],\"explain\":\"偶数的平方 (2k)^2 = 4k^2,除以 4 余 0;奇数的平方 (2k+1)^2 = 4k^2+4k+1,除以 4 余 1。所以只能是 0 或 1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"1 + 2 + 3 + … + n 是完全平方数时,n 的最小值是多少(n > 1)?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"1+2+…+n = n(n+1)/2。n=8 时,8×9/2 = 36 = 6^2 ✓。n=2~7 时依次为 3、6、10、15、21、28,都不是完全平方数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"完全平方数的个位数字最多有几种不同的取值?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"个位只能是 0、1、4、5、6、9,共 6 种;且都能取到:0^2=0、1^2=1、2^2=4、5^2=25、4^2=16、3^2=9。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"个位是 7 的数一定不是完全平方数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。完全平方数的个位只能是 0、1、4、5、6、9,不可能是 2、3、7、8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1000 末尾有三个 0,所以它不是完全平方数。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。完全平方数末尾零的个数必须是偶数:100 ✓、10000 ✓;奇数个零的 10、1000 一定不是。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"324 是完全平方数,它是哪个整数的平方?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"324 = 2^2×3^4 = (2×3^2)^2 = 18^2。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 完全平方数 n = k^2;个位只能是 0、1、4、5、6、9。\n- 质因数分解的所有指数都是偶数 ⟺ 完全平方数。\n- 完全平方数有奇数个因数;反之亦然。\n- 末尾零的个数必须是偶数。" + }, + { + "id": "num-66", + "title": "高斯记号:取整函数", + "grade": "小升初", + "difficulty": 3, + "summary": "理解取整 [x] 与小数部分 {x},会算取整求和、解取整方程。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n电梯的\"3.7 楼\"其实就是 3 楼——这就是取整。本课学习高斯记号 [x](不超过 x 的最大整数)的性质、求和与方程。\n\n## ② 知识精讲\n### 1. 定义\n[x] 表示不超过 x 的最大整数(向下取整函数)。小数部分 {x} = x - [x]。\n例子:[3.7] = 3;[5] = 5;[-1.5] = -2(不是 -1!不超过 -1.5 的最大整数是 -2);{3.7} = 0.7;{-1.5} = -1.5 - (-2) = 0.5。\n\n### 2. 基本性质\n- 夹逼性:[x] ≤ x < [x]+1;小数部分 0 ≤ {x} < 1。\n- [x] = x ⟺ x 是整数。\n- n 为整数时,[x+n] = [x]+n。\n- 和的下界:[x]+[y] ≤ [x+y] ≤ [x]+[y]+1。注意 [x+y] 不一定等于 [x]+[y]:例如 [1.5+1.5] = 3,而 [1.5]+[1.5] = 2。\n\n### 3. 取整求和:分段计算\n[k/m] = j 的范围是 jm ≤ k < (j+1)m,每段有 m 个 k(最后一段可能不足)。\n\n【例 1】计算 [√1] + [√2] + [√3] + … + [√50]。\n【思路】[√k] = n ⟺ n^2 ≤ k < (n+1)^2,统计每个取值对应多少个 k。\n【解答】[√k]=1:k=1~3,3 个;=2:k=4~8,5 个;=3:9~15,7 个;=4:16~24,9 个;=5:25~35,11 个;=6:36~48,13 个;=7:k=49、50,2 个。总和 = 1×3 + 2×5 + 3×7 + 4×9 + 5×11 + 6×13 + 7×2 = 3+10+21+36+55+78+14 = 217。\n【提醒】段的边界要逐一核对,防止多算或少算一个。\n\n【例 2】求方程 [x/2] = 5 的所有整数解。\n【解答】由定义,5 ≤ x/2 < 6,即 10 ≤ x < 12。x 为整数,所以 x = 10 或 x = 11。\n【验算】[10/2] = [5] = 5 ✓;[11/2] = [5.5] = 5 ✓\n\n【例 3】计算 [1/3] + [2/3] + … + [100/3](即 k 从 1 到 100 的 [k/3] 之和)。\n【解答】分段:[k/3]=0:k=1、2,2 个;=1~32:每段 3 个(k=3~98);=33:k=99、100,2 个。总和 = 0×2 + 3×(1+2+…+32) + 33×2 = 3×528 + 66 = 1584 + 66 = 1650。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- [-1.5] = -2 而不是 -1——取整是向下取整,不是\"去掉小数部分\"。\n- {-1.5} = -1.5-(-2) = 0.5:小数部分始终 ≥ 0。\n- 解取整方程时,不能把 [x] 当普通未知数,必须转化为不等式 n ≤ x < n+1。\n- 求和时分段的边界容易多算或少算一个,务必逐一核对。\n- [x+y] 不一定等于 [x]+[y]。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"[3.7] = ?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"[x] 是不超过 x 的最大整数,不超过 3.7 的最大整数是 3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"[-1.5] = ?\",\"answers\":[\"-2\"],\"explain\":\"取整是向下取整:-2 < -1.5 < -1,不超过 -1.5 的最大整数是 -2,不是 -1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"{-1.5} = ?(小数部分)\",\"answers\":[\"0.5\"],\"explain\":\"{x} = x - [x] = -1.5 - (-2) = 0.5。小数部分始终 ≥ 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:[2.9] + [-2.9] + {2.9} + {-2.9} = ?\",\"answers\":[\"0\"],\"explain\":\"[2.9] = 2,[-2.9] = -3,{2.9} = 0.9,{-2.9} = 0.1。总和 = 2-3+0.9+0.1 = 0。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"计算:k 从 1 到 100,[k/7] 的总和。\",\"answers\":[\"679\"],\"explain\":\"分段:[k/7]=0 有 6 个(k=1~6);j=1~13 每段 7 个;14 有 3 个(k=98、99、100)。总和 = 7×(1+2+…+13) + 14×3 = 7×91 + 42 = 679。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"解方程 [x] + {x} = 3.7,x = ?\",\"answers\":[\"3.7\"],\"explain\":\"任何实数都满足 x = [x]+{x},所以方程就是 x = 3.7。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"已知 [x] = 3,[2x] 的可能取值是:\",\"options\":[\"6 或 7\",\"只能是 6\",\"只能是 7\",\"6、7 或 8\"],\"answer\":0,\"explain\":\"[x] = 3 表示 3 ≤ x < 4,所以 6 ≤ 2x < 8。当 3 ≤ x < 3.5 时 [2x] = 6;当 3.5 ≤ x < 4 时 [2x] = 7。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"对任意 x、y,都有 [x+y] = [x] + [y]。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。例如 [1.5+1.5] = [3] = 3,而 [1.5]+[1.5] = 1+1 = 2。正确的结论是 [x]+[y] ≤ [x+y] ≤ [x]+[y]+1。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"若 x 不是整数,则 [x] + [-x] = -1。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。设 x = n+α(n 为整数,0 < α < 1),则 [x] = n;而 -x = -n-α 介于 -n-1 与 -n 之间,所以 [-x] = -n-1。相加得 -1。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"方程 [x/2] = 5 的所有整数解 x 的和是多少?\",\"answers\":[\"21\"],\"explain\":\"5 ≤ x/2 < 6 → 10 ≤ x < 12,整数解为 x = 10、11,和为 21。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- [x] = 不超过 x 的最大整数;{x} = x-[x],且 0 ≤ {x} < 1。\n- 负数取整向下:[-1.5] = -2。\n- 取整求和:按取值分段,数清每段的个数。\n- 取整方程:转化为不等式 n ≤ x < n+1 再解。" + } + ] +} \ No newline at end of file diff --git a/src/content/math/travel.json b/src/content/math/travel.json new file mode 100644 index 0000000..600c1e3 --- /dev/null +++ b/src/content/math/travel.json @@ -0,0 +1,134 @@ +{ + "module": "travel", + "moduleName": "行程", + "points": [ + { + "id": "travel-01", + "title": "行程三量:路程、速度、时间", + "grade": "三~四年级", + "difficulty": 1, + "summary": "掌握路程、速度、时间三量关系与速度单位换算。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n从本课起进入「行程」模块。本课要建立行程中最基本的关系:路程 = 速度 × 时间,并学会速度单位的换算,为后面所有行程问题打基础。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 核心公式与三角记忆\n- 路程 = 速度 × 时间\n- 速度 = 路程 ÷ 时间\n- 时间 = 路程 ÷ 速度\n\n记忆方法:把「路程」放在三角形顶端,「速度」「时间」放在底下两个角。求路程用乘法,求速度或时间用除法。\n\n先建立一些速度感:\n- 走路速度 ≈ 60米/分(约 1m/s)\n- 自行车速度 ≈ 250米/分\n- 汽车速度 ≈ 60km/h\n\n**例1**:小明每分钟走 60 米,走了 15 分钟,走了多少米?\n【思路】已知速度和时间,求路程,用 路程 = 速度 × 时间。\n【解答】60 × 15 = 900(米)。答:走了 900 米。\n【验算】900 ÷ 15 = 60 米/分,与题意一致 ✓\n\n**例2**:甲乙两地相距 240km,汽车以 80km/h 的速度行驶,需要几小时?\n【思路】已知路程和速度,求时间,用 时间 = 路程 ÷ 速度。\n【解答】240 ÷ 80 = 3(小时)。答:需要 3 小时。\n【提醒】单位要配套:路程用 km、速度用 km/h,时间自然就是小时。\n\n**例3**:小亮步行了 2000 米,用了 25 分钟,他的速度是多少?\n【思路】已知路程和时间,求速度,用 速度 = 路程 ÷ 时间。\n【解答】2000 ÷ 25 = 80(米/分)。答:他的速度是 80 米/分。\n【提醒】80米/分比正常走路(60米/分)快一些,符合「快步走」的感觉,答案合理。\n\n### 2. 速度单位与换算\n常用速度单位:km/h(千米每时)、m/s(米每秒)、m/min(米每分)。\n\n换算规则:\n- km/h → m/s:除以 3.6(如 72km/h = 20m/s)\n- m/s → km/h:乘以 3.6(如 5m/s = 18km/h),即 1m/s = 3.6km/h\n- km/h → m/min:乘以 1000 ÷ 60(如 72km/h = 1200m/min)\n\n建议记住这组速记:36km/h = 10m/s,54km/h = 15m/s,72km/h = 20m/s,108km/h = 30m/s。\n\n**例4**:一列火车的速度是 72km/h,合多少 m/s?合多少 m/min?\n【思路】按定义换算:1km = 1000m,1小时 = 3600秒 = 60分钟。\n【解答】72km/h = 72 × 1000m ÷ 3600s = 20m/s;72km/h = 72 × 1000m ÷ 60min = 1200m/min。答:合 20m/s,合 1200m/min。\n【提醒】单位换算是高频考点,牢记 1m/s = 3.6km/h。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 乘除搞混:求路程用乘法,求速度、时间用除法,先想清楚求哪个量。\n- 单位不统一:计算前先把单位统一(都用 km 和 h,或都用 m 和 s/m 和 min)。\n- km/h 与 m/s 换算方向弄反:km/h → m/s 除以 3.6,m/s → km/h 乘以 3.6。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明每分钟走 60 米,走了 15 分钟,共走了多少米?\",\"answers\":[\"900\"],\"explain\":\"路程 = 速度 × 时间:60 × 15 = 900 米。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙两地相距 240km,汽车以 80km/h 的速度行驶,需要几小时?\",\"options\":[\"2\",\"3\",\"4\"],\"answer\":1,\"explain\":\"时间 = 路程 ÷ 速度 = 240 ÷ 80 = 3 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小亮步行了 2000 米,用了 25 分钟,他的速度是多少米/分?\",\"answers\":[\"80\"],\"explain\":\"速度 = 路程 ÷ 时间 = 2000 ÷ 25 = 80 米/分。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"72km/h 合多少 m/s?\",\"options\":[\"12\",\"20\",\"36\"],\"answer\":1,\"explain\":\"72 ÷ 3.6 = 20m/s(即 72 × 1000 ÷ 3600 = 20)。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"5m/s 合多少 km/h?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"m/s → km/h 乘以 3.6:5 × 3.6 = 18km/h。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"1m/s = 3.6km/h。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。1m/s 即 3600米/时 = 3.6km/h。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"下面哪个最接近正常人走路的速度?\",\"options\":[\"60米/分\",\"250米/分\",\"60km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"走路约 60米/分(约 1m/s);250米/分约是自行车速度;60km/h 约是汽车速度。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一辆汽车以 60km/h 的速度行驶了 4 小时,共行驶多少千米?\",\"options\":[\"120km\",\"240km\",\"300km\"],\"answer\":1,\"explain\":\"路程 = 速度 × 时间 = 60 × 4 = 240km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"108km/h 合多少 m/s?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"108 ÷ 3.6 = 30m/s。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"路程 ÷ 时间 = 速度。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是基本公式 路程 = 速度 × 时间 的变形。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 路程 = 速度 × 时间;速度 = 路程 ÷ 时间;时间 = 路程 ÷ 速度。\n- 三角记忆:求顶端的路程用乘法,求底下的速度或时间用除法。\n- 1m/s = 3.6km/h;72km/h = 20m/s = 1200m/min。\n- 计算前先统一单位,算完用生活经验检验答案是否合理。\n" + }, + { + "id": "travel-02", + "title": "分段行程与平均速度", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "分段行程各段求和,平均速度用总路程除以总时间。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学会了行程基本公式。本课处理两种复杂情形:一段路分成几段、每段速度不同(分段行程),以及往返全程的平均速度——这里藏着一个最常见的陷阱。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 分段行程:各段求和\n- 总路程 = 各段路程之和\n- 总时间 = 各段时间之和\n\n方法:画一条时间轴,标注每段的速度和时间,分段算出路程再相加。\n\n**例1**:小明从家去学校,先以 80m/min 的速度走了 5 分钟,再以 60m/min 的速度走了 8 分钟到达学校。家到学校有多远?\n【思路】两段路程分别算,再相加。\n【解答】第一段:80 × 5 = 400m;第二段:60 × 8 = 480m;总路程:400 + 480 = 880m。答:家到学校 880m。\n【验算】每段都用「路程 = 速度 × 时间」,两段相加即全程,思路没有遗漏。\n\n### 2. 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间\n- 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间\n- 常见陷阱:平均速度 ≠ (速度1 + 速度2) ÷ 2\n\n**例2**:上山速度 2km/h,下山速度 6km/h,往返的平均速度是多少?\n【思路】错解 (2+6)÷2 = 4km/h ❌。平均速度必须用总路程 ÷ 总时间。题目没给路程,可以假设一个数(往返路程相同,假设的数最后会约掉)。\n【解答】假设单程 6km。总路程 = 6 + 6 = 12km;总时间 = 6÷2 + 6÷6 = 3 + 1 = 4小时;平均速度 = 12 ÷ 4 = 3km/h。答:平均速度 3km/h。\n【提醒】为什么是 3 不是 4?因为上山慢、花的时间长,平均速度被「拉向」慢的那一段。\n\n**例3**:一辆汽车从甲地去乙地,去时速度 80km/h,返回时速度 60km/h。求往返的平均速度。\n【思路】设单程为 S km,用 S 表示总时间,S 最后会约掉。\n【解答】去时时间 S÷80,返回时间 S÷60;总路程 2S;总时间 S/80 + S/60 = 3S/240 + 4S/240 = 7S/240;平均速度 = 2S ÷ 7S/240 = 480/7 ≈ 68.6km/h。答:往返平均速度约为 68.6km/h。\n【提醒】常见错误 (80+60)÷2 = 70km/h ❌;正确答案 68.6 比 70 小,因为去时(慢的一段)花的时间更长。\n\n**例4**:一段路全长 6km,先以 4km/h 的速度走了一半(路程的一半),再以 6km/h 的速度走完另一半,全程用了多少时间?\n【思路】「一半」指路程的一半,各 3km,分别求时间再相加。\n【解答】前半段 3km,用时 3 ÷ 4 = 0.75小时;后半段 3km,用时 3 ÷ 6 = 0.5小时;共 0.75 + 0.5 = 1.25小时。答:全程用了 1.25 小时。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 平均速度陷阱:平均速度 ≠ (v1+v2)÷2,必须用总路程 ÷ 总时间。\n- 单位不统一:计算前先把所有单位统一(都用 km 和 h,或都用 m 和 s)。\n- 分段行程各段的「速度 × 时间」要对应清楚,别把这一段时间乘到那一段速度上。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一段路去时速度 40km/h,回时速度 60km/h,往返的平均速度是多少?\",\"options\":[\"48km/h\",\"50km/h\",\"52km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"设单程 120km:总路程 240km,总时间 3 + 2 = 5 小时,平均速度 240 ÷ 5 = 48km/h。注意 (40+60)÷2 = 50 是错的。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明从家到学校走路用了 15 分钟,速度 60米/分;从学校回家骑自行车用了 5 分钟。全程平均速度是多少米/分?\",\"answers\":[\"90\"],\"explain\":\"单程 60 × 15 = 900米;总路程 900 × 2 = 1800米,总时间 15 + 5 = 20 分钟;平均速度 1800 ÷ 20 = 90米/分。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"平均速度就是 (速度1 + 速度2) ÷ 2。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。平均速度 = 总路程 ÷ 总时间,一般不等于两个速度的算术平均值。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"先以 80米/分 走 5 分钟,再以 60米/分 走 8 分钟,总路程是多少米?\",\"answers\":[\"880\"],\"explain\":\"80×5 + 60×8 = 400 + 480 = 880米。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"全程 6km,前半段路程以 4km/h 走,后半段以 6km/h 走,全程共用几小时?\",\"options\":[\"1\",\"1.25\",\"1.5\"],\"answer\":1,\"explain\":\"3÷4 = 0.75 小时,3÷6 = 0.5 小时,合计 1.25 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明去图书馆速度 50米/分,走了 30 分钟到达;返回时用了 15 分钟,返回速度是多少米/分?\",\"answers\":[\"100\"],\"explain\":\"去时路程 50 × 30 = 1500米;返回速度 1500 ÷ 15 = 100米/分。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"上下山走同一条路,平均速度要用总路程除以总时间来算。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。平均速度永远用总路程 ÷ 总时间。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"去时 80km/h、回时 60km/h,往返平均速度最接近下面哪个?\",\"options\":[\"68.6km/h\",\"70km/h\",\"72km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"2S ÷ (S/80 + S/60) = 480/7 ≈ 68.6km/h,比算术平均 70 略小。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上山速度 2km/h,下山速度 6km/h(单程按 6km 算),往返平均速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"总路程 12km,总时间 3 + 1 = 4 小时,12 ÷ 4 = 3km/h。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一辆汽车前 2 小时以 50km/h 行驶,后 3 小时以 60km/h 行驶,全程平均速度是多少?\",\"options\":[\"55km/h\",\"56km/h\",\"58km/h\"],\"answer\":1,\"explain\":\"总路程 50×2 + 60×3 = 280km,总时间 5 小时,280 ÷ 5 = 56km/h。这里恰好接近两速平均,只是因为各段时间接近,并非普遍规律。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分段行程:总路程 = 各段路程之和,总时间 = 各段时间之和;画时间轴分段计算。\n- 平均速度 = 总路程 ÷ 总时间,永远不等于两个速度的算术平均。\n- 往返平均速度没给路程时,可设单程为 S(或假设具体数),S 会在计算中约掉。\n- 慢的一段花的时间更长,所以平均速度总是偏向较慢的速度。\n" + }, + { + "id": "travel-03", + "title": "相遇问题", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "速度和×时间=总路程,会处理不同时出发与路程比。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n相遇问题是行程的第一大模型:两人从两地同时出发、相向而行。本课学会核心公式,处理「不同时出发」的变形,并掌握「路程比 = 速度比」这个性质。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 核心公式:总路程 = 速度和 × 相遇时间\n两人从两地同时出发、相向而行时,每分钟两人合走一个「速度和」。\n- 相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和\n- 速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间\n\n画线段图是解决行程问题的关键:相向而行的两人,每分钟共走的就是两人速度之和。\n\n**例1**:甲乙两地相距 300km,A 车从甲地以 60km/h 开往乙地,B 车从乙地以 40km/h 开往甲地,两车同时出发,几小时后相遇?\n【思路】相向而行,每小时合走 60+40 = 100km,总路程除以速度和。\n【解答】300 ÷ (60+40) = 300 ÷ 100 = 3(小时)。答:3 小时后相遇。\n【验算】3 小时 A 走 180km,B 走 120km,180 + 120 = 300 ✓\n\n**例2**:小明和小红同时从相距 1200 米的两地相向而行,小明每分钟走 65 米,小红每分钟走 55 米,相遇时他们走了几分钟?\n【解答】1200 ÷ (65+55) = 1200 ÷ 120 = 10(分钟)。答:走了 10 分钟。\n【验算】小明走 650 米,小红走 550 米,合计 1200 米 ✓\n\n**例3**:甲乙两人同时从两地相向而行,甲每分走 70m,乙每分走 50m,15 分钟后相遇,两地相距多少米?\n【思路】已知速度和与相遇时间,求总路程,用乘法。\n【解答】(70+50) × 15 = 120 × 15 = 1800(米)。答:两地相距 1800 米。\n\n### 2. 不同时出发:先减去先走的路程\n一方先出发,要先算出他先走的路程,从总路程里减去,剩下的再按「同时出发」处理。\n\n**例4**:甲乙两地相距 420km,A 车从甲地以 80km/h 开往乙地,出发 1 小时后,B 车从乙地以 60km/h 开往甲地。B 车出发后几小时与 A 车相遇?\n【思路】A 先单独走 1 小时,先扣掉这段,剩余路程两人相向合走。\n【解答】A 先走:80 × 1 = 80km;剩余路程:420 - 80 = 340km;相遇时间:340 ÷ (80+60) = 340 ÷ 140 ≈ 2.43小时。答:B 车出发约 2.43 小时(约 2 小时 26 分钟)后相遇。\n【提醒】最容易错的就是忘记减去先走的 80km,直接拿 420 除以速度和。\n\n### 3. 同时出发时,路程比 = 速度比\n两人同时出发,到任意时刻用时都相同,所以走的路程之比 = 速度之比。这个性质非常有用。\n\n**例5**:甲乙两人同时从 A 地出发去 B 地,甲的速度与乙的速度之比为 3:2。AB 两地相距 600km,甲到达 B 地后立即返回,途中与乙相遇。相遇时甲比乙多走了多少千米?\n【思路】相遇时两人用时相同,路程比 = 速度比 = 3:2。设相遇点距 A 地 x km(即乙走的路程),用比例列方程。\n【解答】甲走的路程 = 600 + (600-x) = 1200-x(到 B 再折返),乙走的路程 = x。(1200-x):x = 3:2,即 2(1200-x) = 3x,2400 - 2x = 3x,5x = 2400,x = 480。甲走 720km,乙走 480km。720 - 480 = 240km。答:相遇时甲比乙多走了 240km。\n【验算】720:480 = 3:2 ✓;甲走 720 = 600 + 120,即折返了 120km,此时乙距 B 还有 120km,位置吻合。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 不同时出发:忘记减去先走的路程,直接用总路程除以速度和。\n- 「相向」与「同向」混淆:相向而行用速度和,同向追及才用速度差。\n- 计算前检查单位:路程 km 配速度 km/h,路程 m 配速度米/分。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两地相距 300km,A 车以 60km/h 从甲地开往乙地,B 车以 40km/h 从乙地开往甲地,同时出发,几小时后相遇?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"300 ÷ (60+40) = 3 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明和小红同时从相距 1200 米的两地相向而行,小明每分钟走 65 米,小红每分钟走 55 米,相遇时走了几分钟?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"1200 ÷ (65+55) = 1200 ÷ 120 = 10 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两人同时从两地相向而行,甲每分走 70m,乙每分走 50m,15 分钟后相遇,两地相距多少米?\",\"answers\":[\"1800\"],\"explain\":\"(70+50) × 15 = 120 × 15 = 1800 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两人从相距 900m 的两地同时相向而行,甲速 55米/分,乙速 45米/分,几分钟后相遇?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"900 ÷ (55+45) = 900 ÷ 100 = 9 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙两车分别从相距 480km 的两地同时相向出发,5 小时后相遇。甲车速度 56km/h,乙车速度是多少?\",\"options\":[\"40km/h\",\"44km/h\",\"96km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"速度和 = 480 ÷ 5 = 96km/h,乙速 = 96 - 56 = 40km/h。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙两车从相距 240km 的两地同时出发相向而行,甲速 60km/h,乙速 40km/h。相遇之前,出发后几小时两车相距 40km?\",\"options\":[\"1\",\"2\",\"2.8\"],\"answer\":1,\"explain\":\"相遇前相距 40km:(240-40) ÷ 100 = 2 小时。注意 2.8 小时是相遇之后又拉开 40km 的情形:(240+40) ÷ 100 = 2.8。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两人同时出发相向而行,相遇时所走路程的比等于两人的速度比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。同时出发则用时相同,路程 = 速度 × 时间,所以路程比 = 速度比。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙两地相距 420km,A 车以 80km/h 从甲地出发,1 小时后 B 车以 60km/h 从乙地出发相向而行,B 车出发约几小时后两车相遇?(保留两位小数)\",\"answers\":[\"2.43\",\"2.4\",\"17/7\"],\"explain\":\"A 先走 80km,剩余 340km,340 ÷ 140 ≈ 2.43 小时。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 地去 B 地,速度比 3:2,AB 相距 600km,甲到 B 后立即返回,途中与乙相遇。相遇时甲走了多少千米?\",\"options\":[\"480\",\"600\",\"720\"],\"answer\":2,\"explain\":\"用时相同,路程比 = 速度比 = 3:2;设乙走 x,则 (1200-x):x = 3:2,解得 x = 480,甲走 720km。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"相遇问题中,两人所走路程之和等于两地之间的总路程。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。相向而行直到相遇,两人的路程加起来正好是两地总路程。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 相遇问题:总路程 = 速度和 × 相遇时间。\n- 不同时出发:先减去先走的路程,再按同时出发处理。\n- 同时出发时,路程比 = 速度比。\n- 画线段图标出相遇点,是避免出错的好习惯。\n" + }, + { + "id": "travel-04", + "title": "追及问题", + "grade": "四~五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "路程差=速度差×追及时间,会处理先出发与变速追及。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n上节课学了相遇问题(相向而行,用速度和)。本课学行程的另一大模型——追及问题:两人同向而行,快者追慢者,用的是速度差。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 核心公式:路程差 = 速度差 × 追及时间\n题眼词:「追上」「快者追慢者」「相差」。\n- 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差\n- 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间\n\n**例1**:快者每分钟走 100 米,慢者每分钟走 60 米,快者在慢者后面 200 米处,几分钟追上?\n【思路】每分钟快者比慢者多走 100-60 = 40 米,也就是差距每分钟缩小 40 米。\n【解答】200 ÷ (100-60) = 200 ÷ 40 = 5(分钟)。答:5 分钟追上。\n【验算】5 分钟快者走 500 米,慢者走 300 米,500 - 300 = 200 米 = 初始差距 ✓\n【提醒】追上时:快者路程 - 慢者路程 = 初始差距。\n\n### 2. 先出发的追及:先算「领先距离」\n慢者先出发,领先距离 = 先出发速度 × 提前时间。\n\n**例2**:弟弟以 80米/分 的速度去学校,走了 10 分钟后哥哥发现弟弟忘带课本,以 120米/分 的速度骑车去追。哥哥几分钟追上弟弟?\n【解答】弟弟领先距离:80 × 10 = 800m;速度差:120 - 80 = 40米/分;追及时间:800 ÷ 40 = 20 分钟。答:哥哥出发 20 分钟后追上弟弟。\n【提醒】千万别忘了先算先出发者已经走的路程。\n\n**例3**:小明以 80米/分 的速度步行回家,走了 4 分钟后爸爸发现他忘带东西,骑自行车以 280米/分 去追,几分钟追上?\n【解答】小明先走:80 × 4 = 320m;速度差:280 - 80 = 200米/分;320 ÷ 200 = 1.6 分钟。答:爸爸出发 1.6 分钟后追上。\n\n**例4**:小兔和小猫从同一地点出发去学校,小猫每分钟走 50 米,先走了 10 分钟,小兔骑自行车每分钟 150 米,几分钟追上小猫?\n【解答】领先:50 × 10 = 500m;速度差:150 - 50 = 100米/分;500 ÷ 100 = 5 分钟。答:5 分钟追上。\n\n### 3. 变速追及:分段分析\n有人中途变速时,要分段:先算出前一段结束时的差距,再用新的速度差去追。\n\n**例5**:小明以 120米/分 跑了 3 分钟后减速为 80米/分 继续跑。小红从同一地点同时出发,以 100米/分 匀速跑。小红出发后几分钟追上小明?\n【思路】前 3 分钟小明比小红快,先算 3 分钟时小明领先多少;之后小红更快,用速度差 100-80 = 20 去追。\n【解答】前 3 分钟:小明跑 120×3 = 360m,小红跑 100×3 = 300m,小明领先 360-300 = 60m;此后速度差:100 - 80 = 20米/分;追及时间:60 ÷ 20 = 3 分钟;总时间:3 + 3 = 6 分钟。答:小红出发 6 分钟后追上小明。\n【验算】6 分钟时小红走 100×6 = 600m;小明走 360 + 80×3 = 600m,恰好追上 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 领先距离计算:忘记先算先出发者已经走的路程,直接用速度差去除。\n- 变速追及:忘记分段处理,前一段的差距会影响后一段的追及计算。\n- 方向分不清:追及(同向)用速度差,相遇(相向)用速度和,不要混。\n- 快者在前面、慢者在后面是追不上的,只有快者在后面才存在追及。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"追及问题中,路程差 = 速度差 × 追及时间。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是追及问题的核心公式。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"弟弟以 80米/分 走了 5 分钟后,哥哥以 200米/分 骑车追,几分钟追上?(可用分数)\",\"answers\":[\"10/3\",\"3.3\",\"3.33\"],\"explain\":\"领先 80×5 = 400m,速度差 200-80 = 120米/分,400 ÷ 120 = 10/3 ≈ 3.3 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明步行上学速度 60米/分,出发 8 分钟后爸爸骑车以 240米/分 追。爸爸追上小明时,小明离家多远?(米)\",\"answers\":[\"640\"],\"explain\":\"领先 60×8 = 480m,速度差 240-60 = 180米/分,追及时间 480 ÷ 180 = 8/3 分钟;小明共走 8 + 8/3 = 32/3 分钟,离家 60 × 32/3 = 640 米。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小明先以 80米/分 步行 4 分钟,爸爸骑车以 280米/分 追,几分钟追上?\",\"options\":[\"1.2\",\"1.6\",\"2\"],\"answer\":1,\"explain\":\"领先 80×4 = 320m,速度差 280-80 = 200,320 ÷ 200 = 1.6 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"小猫每分钟走 50 米,先走 10 分钟,小兔骑车每分钟 150 米去追,几分钟追上?\",\"options\":[\"4\",\"5\",\"6\"],\"answer\":1,\"explain\":\"领先 50×10 = 500m,速度差 150-50 = 100,500 ÷ 100 = 5 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"追及问题中,追上时两人走的路程满足什么关系?\",\"options\":[\"快者路程 = 慢者路程\",\"快者路程 - 慢者路程 = 初始差距\",\"快者路程 + 慢者路程 = 初始差距\"],\"answer\":1,\"explain\":\"追上时,快者多走的部分正好等于初始差距。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明以 120米/分 跑 3 分钟后减速为 80米/分;小红同时同地以 100米/分 匀速跑。小红出发后几分钟追上小明?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"前 3 分钟小明领先 60m,之后速度差 20米/分,60 ÷ 20 = 3 分钟,共 3 + 3 = 6 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"甲比乙走得快,甲又先出发,乙最终能追上甲。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。快的还在前面,差距只会越来越大,永远追不上;能追上要求快者在后面。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"追及时间 = 路程差 ÷ ?\",\"options\":[\"速度和\",\"速度差\",\"路程和\"],\"answer\":1,\"explain\":\"追及时间 = 路程差 ÷ 速度差。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"快者在慢者后面 200 米,两人同向而行,快者速度 100米/分,慢者速度 60米/分,几分钟追上?\",\"answers\":[\"5\"],\"explain\":\"200 ÷ (100-60) = 200 ÷ 40 = 5 分钟。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 追及问题:路程差 = 速度差 × 追及时间。\n- 先出发:领先距离 = 先出发速度 × 提前时间。\n- 变速追及:分段分析,先算当前差距,再追。\n- 追上时:快者路程 - 慢者路程 = 初始差距。\n" + }, + { + "id": "travel-05", + "title": "行程综合:往返与多人", + "grade": "五年级", + "difficulty": 3, + "summary": "相遇追及综合、多人行程,画图分段找等量关系。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n相遇和追及是基本模型,实际问题常常组合出现:甲到终点后返回,原来的追及变成了相遇;或者三人同时运动。本课学会「画图、分段、列式、验证」四步,处理综合行程问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 综合行程问题的解题步骤\n1. 画图:画出所有人的运动路线,标注方向和速度;\n2. 分段:按时间或事件将过程分成几段;\n3. 列式:每段分别用公式计算;\n4. 验证:用不同路径验证答案是否一致。\n\n常见综合模式:\n- 甲到终点返回 → 变为与乙相向(相遇问题);\n- 甲到终点返回追上乙 → 追及问题;\n- 三人同行 → 找两两之间的速度和或速度差。\n\n### 2. 例题精讲\n\n**例1**:甲乙同时从 A 地去 B 地,甲骑车速度 20km/h,乙步行速度 5km/h。甲到 B 地后立即返回,在距 B 地 15km 处与乙相遇。AB 相距多远?\n【思路】设 AB 相距 S km。相遇时两人用时相同,用「路程 ÷ 速度」表示各自时间,列方程。\n【解答】甲走 S + 15(到 B 再返回 15km),乙走 S - 15(距 B 还有 15km)。(S+15)/20 = (S-15)/5;交叉相乘:5(S+15) = 20(S-15);5S + 75 = 20S - 300;15S = 375;S = 25。答:AB 相距 25km。\n【验算】甲走 40km 用时 2h,乙走 10km 用时 2h,时间相等 ✓\n\n**例2**:甲乙丙三人同时从 A 地去 B 地,甲速 100米/分,乙速 80米/分,丙速 60米/分。甲到达 B 地后立即返回,在途中先遇到乙,再遇到丙。若 AB 相距 900m,甲遇到乙和丙的时间间隔是多少?\n【思路】先算甲到 B 的时刻,看此刻乙、丙各在哪里,再分别算甲返回后与两人的相遇时间。\n【解答】甲到 B 用时:900 ÷ 100 = 9 分钟。此时乙距起点 80×9 = 720m,距 B 还有 180m;甲返回与乙相向:相遇时间 = 180 ÷ (100+80) = 1 分钟。此时丙距起点 60×9 = 540m,距 B 还有 360m;甲返回与丙相向:相遇时间 = 360 ÷ (100+60) = 2.25 分钟。时间间隔:2.25 - 1 = 1.25 分钟。答:甲遇到乙和丙的时间间隔是 1.25 分钟。\n【提醒】两个「相遇时间」都从甲返回的时刻算起,时间起点要统一。\n\n**例3**:甲从 A 地出发 1 小时后,乙从 B 地出发,两人相向而行。甲速 6km/h,乙速 9km/h,AB 相距 54km。甲出发后几小时与乙相遇?\n【解答】甲先走:6 × 1 = 6km;剩余路程:54 - 6 = 48km;相遇时间:48 ÷ (6+9) = 3.2 小时;甲出发后总时间:1 + 3.2 = 4.2 小时。答:甲出发 4.2 小时(4 小时 12 分钟)后与乙相遇。\n【提醒】题目问的是「甲出发后」几小时,要把甲先走的 1 小时加回去。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 返回方向:到达终点返回后运动方向改变,原来的追及可能变成相遇。\n- 时间基准:注意「从出发算」还是「从某个事件算」,时间起点要统一。\n- 多人行程要两两处理,不要想把三个人塞进一个算式。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 地去 B 地,甲骑车 15km/h,乙步行 5km/h。甲到 B 后立即返回,在距 B 地 10km 处与乙相遇。AB 相距多少千米?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"设 AB = S。(S+10)/15 = (S-10)/5 → 5(S+10) = 15(S-10) → 10S = 200 → S = 20km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙丙三人从 A 去 B(相距 12km),甲骑车 24km/h,乙步行 6km/h,丙步行 4km/h。甲到 B 后返回,先遇乙再遇丙,两次相遇间隔约多少分钟?\",\"answers\":[\"3.4\",\"24/7\",\"3.43\"],\"explain\":\"甲到 B 用时 0.5h = 30min,此时乙距 B 12-6×0.5 = 9km,丙距 B 12-4×0.5 = 10km。甲遇乙:9÷(24+6) = 0.3h = 18min;甲遇丙:10÷(24+4) = 10/28h ≈ 21.4min。间隔 ≈ 21.4 - 18 = 3.4min。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"快慢两车同时从甲乙两地相向出发,快车 80km/h,慢车 40km/h。相遇后快车继续走 2 小时到达乙地,慢车还要走几小时到达甲地?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"相遇后快车走的是相遇前慢车走的那段:80×2 = 160km,即慢车相遇前走了 160km,相遇用时 160÷40 = 4h;快车相遇前走 80×4 = 320km,慢车还要 320÷40 = 8 小时。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 地去 B 地,甲骑车 20km/h,乙步行 5km/h,甲到 B 后返回,在距 B 15km 处遇乙。AB 相距?\",\"options\":[\"20km\",\"25km\",\"30km\"],\"answer\":1,\"explain\":\"(S+15)/20 = (S-15)/5,解得 S = 25km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲从 A 出发 1 小时后乙从 B 出发相向而行,甲速 6km/h,乙速 9km/h,AB 相距 54km,甲出发后几小时相遇?\",\"options\":[\"3.2小时\",\"4.2小时\",\"5.2小时\"],\"answer\":1,\"explain\":\"甲先走 6km,剩余 48km,48 ÷ 15 = 3.2 小时,共 1 + 3.2 = 4.2 小时。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"甲到达终点返回后,原来的同向追及可能变成相向相遇。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。返回后方向改变,与另一人相向而行,就是相遇问题。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"多人行程问题,可以拆成两两之间的关系来分析。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。三人问题拆成甲乙、甲丙两两关系分别处理。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"例2 中(AB 相距 900m,甲 100、乙 80、丙 60 米/分),甲到 B 返回后,遇到乙和遇到丙的时间(从返回时刻算)分别是?\",\"options\":[\"1分钟和2.25分钟\",\"2分钟和3分钟\",\"0.5分钟和1分钟\"],\"answer\":0,\"explain\":\"遇乙:180 ÷ (100+80) = 1 分钟;遇丙:360 ÷ (100+60) = 2.25 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"例1 中(AB 相距 25km),相遇时乙走了多少千米?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"乙走 S - 15 = 25 - 15 = 10km。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解综合行程题时,统一时间起点(都从出发算或都从某事件算)非常重要。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。时间起点混乱会列错方程。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 综合行程四步:画图、分段、列式、验证。\n- 到终点返回后方向改变,常转化为相遇问题。\n- 多人行程:拆成两两关系分别处理。\n- 统一时间起点,分清「从出发算」与「从返回算」。\n" + }, + { + "id": "travel-06", + "title": "火车过桥", + "grade": "五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "火车有长度:过桥加车长,错车路程是两车长之和。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n之前的行程问题都把人和车看成一个点。但火车很长,不能看成点——本课研究火车长度对「路程」的影响,这是火车过桥问题的关键。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 关键:火车有长度\n五种情形对应的路程:\n- 火车完全过桥(从车头上桥到车尾离桥):路程 = 桥长 + 车长,过桥时间 = (桥长+车长) ÷ 车速\n- 火车完全在桥上(从车尾上桥到车头离桥):路程 = 桥长 - 车长,时间 = (桥长-车长) ÷ 车速\n- 火车通过行人/电线杆:行人看作一个点,路程 = 车长,时间 = 车长 ÷ 车速\n- 两列火车相向错车:路程 = 两车长之和,时间 = (车长1+车长2) ÷ 速度和\n- 两列火车同向追及(超车):路程 = 两车长之和,时间 = (车长1+车长2) ÷ 速度差\n\n**例1**:一列火车长 200m,以 20m/s 的速度完全通过一座 800m 长的桥,需要多少秒?\n【思路】完全通过 = 从车头上桥到车尾离桥,车头要走「桥长 + 车长」。\n【解答】路程 = 800 + 200 = 1000m;时间 = 1000 ÷ 20 = 50 秒。答:需要 50 秒。\n【提醒】最容易错的就是漏加车长。\n\n**例2**:一列火车通过一座 250m 的桥用了 25 秒,通过一条 400m 的隧道用了 35 秒。求火车的速度和长度。\n【思路】两次「完全通过」给出两个等式,相减消去车长。\n【解答】设火车速度 v m/s,车长 L m。过桥:L + 250 = 25v ①;过隧道:L + 400 = 35v ②。②-①:150 = 10v,v = 15m/s;L = 25×15 - 250 = 125m。答:火车速度 15m/s(合 54km/h),车长 125m。\n【验算】过隧道:125 + 400 = 525 = 15×35 ✓\n\n**例3**:甲火车长 150m,速度 20m/s;乙火车长 100m,速度 15m/s。两车相向而行,从车头相遇到车尾离开需要多少秒?\n【思路】错车路程 = 两车长之和,相向用速度和。\n【解答】错车路程 = 150 + 100 = 250m;速度和 = 20 + 15 = 35m/s;错车时间 = 250 ÷ 35 = 50/7 ≈ 7.1 秒。答:约需 7.1 秒。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 漏加/漏减车长:过桥是「桥长 + 车长」,完全在桥上是「桥长 - 车长」,不能混淆。\n- 错车路程:两列火车错车或追及超车,路程都是「两车长之和」,不是单车长。\n- 火车过人、过树、过电线杆,路程都是车长。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"火车长 180m,速度 15m/s,完全通过 520m 的桥约需多少秒?(保留一位小数)\",\"answers\":[\"46.7\",\"46.67\",\"700/15\"],\"explain\":\"(180+520) ÷ 15 = 700 ÷ 15 ≈ 46.7 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"火车完全在 800m 桥上的时间是 40 秒,火车速度 18m/s,火车长多少米?\",\"answers\":[\"80\"],\"explain\":\"(800-L) ÷ 18 = 40 → 800-L = 720 → L = 80m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两列火车同向行驶,快车长 120m 速度 25m/s,慢车长 80m 速度 15m/s。快车从车头追上慢车到完全超过需要多少秒?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"(120+80) ÷ (25-15) = 200 ÷ 10 = 20 秒。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一列火车通过 600m 的桥用 40 秒,通过 800m 的桥用 50 秒。火车速度是多少?\",\"options\":[\"15m/s\",\"20m/s\",\"25m/s\"],\"answer\":1,\"explain\":\"设速度 v、车长 L:L+600 = 40v,L+800 = 50v,两式相减 200 = 10v,v = 20m/s。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,火车长度是多少米?\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"L = 40×20 - 600 = 200m。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一列火车长 200m,以 20m/s 完全通过 800m 的桥,需要多少秒?\",\"options\":[\"40秒\",\"50秒\",\"60秒\"],\"answer\":1,\"explain\":\"(800+200) ÷ 20 = 1000 ÷ 20 = 50 秒。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"火车完全通过一座桥,行驶的路程等于桥长。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。完全通过的路程 = 桥长 + 车长。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"两列火车错车时,两车行驶的路程之和等于两车长之和。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。从车头相遇到车尾离开,两车合走两个车长。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲火车长 150m 速度 20m/s,乙火车长 100m 速度 15m/s,相向错车约需多少秒?\",\"options\":[\"5秒\",\"7.1秒\",\"10秒\"],\"answer\":1,\"explain\":\"250 ÷ 35 = 50/7 ≈ 7.1 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"火车通过路旁一棵大树用 10 秒,火车速度 20m/s,火车长多少米?\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"过树的路程 = 车长:20 × 10 = 200m。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 火车过桥:路程 = 桥长 + 车长。\n- 完全在桥上:路程 = 桥长 - 车长。\n- 过人、过树、过杆:路程 = 车长。\n- 两车错车/超车:路程 = 两车长之和;相向除以速度和,同向除以速度差。\n" + }, + { + "id": "travel-07", + "title": "环形跑道", + "grade": "五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "同向用速度差(多跑一圈),反向用速度和(合跑一圈)。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n环形跑道是「周期性」的行程:同向追及每追上一次多跑一圈,反向相遇每碰一次合跑一圈。本课建立这两个公式,并推广到第 n 次。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 同向追及:每追上一次多跑一圈\n- 快者比慢者多跑一圈就追上一次:路程差 = 一圈周长\n- 追及时间 = 跑道周长 ÷ 速度差\n- 第 n 次追上:多跑 n 圈,时间 = n × 周长 ÷ 速度差\n\n**例1**:甲乙在 400m 环形跑道上同时同地同向出发,甲速 6m/s,乙速 4m/s。甲第一次追上乙需要多少秒?此时甲跑了多少米?\n【思路】追上意味着甲比乙多跑一整圈,即路程差 400m。\n【解答】追及时间 = 400 ÷ (6-4) = 200 秒;甲跑的距离 = 6 × 200 = 1200m = 3 圈。答:200 秒后甲追上乙,甲跑了 1200m(3 圈)。\n【验算】乙跑 4×200 = 800m = 2 圈,甲正好多一圈 ✓\n\n### 2. 反向相遇:每相遇一次合跑一圈\n- 相遇时间 = 跑道周长 ÷ 速度和\n- 第 n 次相遇:合跑 n 圈\n\n**例2**:甲乙在 400m 环形跑道上同时同地反向出发,甲速 6m/s,乙速 4m/s。10 分钟内两人相遇几次?\n【解答】每次相遇间隔:400 ÷ (6+4) = 40 秒;10 分钟 = 600 秒;相遇次数:600 ÷ 40 = 15 次。答:10 分钟内两人相遇 15 次。\n【提醒】别忘了把 10 分钟换算成 600 秒。\n\n**例3**:甲乙在 300m 环形跑道上同时同地反向出发,30 秒后首次相遇。甲速 8m/s,求乙的速度。\n【解答】相遇时合跑一圈:(8+v) × 30 = 300;8 + v = 10;v = 2m/s。答:乙的速度是 2m/s。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 同向与反向混淆:同向用速度差(追及),反向用速度和(相遇)。\n- 追及圈数:每追上一次多跑一圈,第 n 次追上多跑 n 圈(不是 n-1 圈)。\n- 单位要统一:分钟与秒要先换算。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙在 400m 环形跑道同时同地同向出发,甲速 5m/s,乙速 3m/s,首次追及需多少秒?\",\"answers\":[\"200\"],\"explain\":\"400 ÷ (5-3) = 200 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙在 300m 环形跑道同时同地反向出发,甲速 4m/s,乙速 6m/s,每多少秒相遇一次?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"300 ÷ (4+6) = 30 秒相遇一次。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,5 分钟内两人相遇几次?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"5 分钟 = 300 秒,300 ÷ 30 = 10 次。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"环形跑道周长 200m,甲乙同地同向出发,甲速 8m/s,乙速 3m/s。甲第一次追上乙时,甲跑了几圈?\",\"options\":[\"1圈\",\"1.6圈\",\"2圈\"],\"answer\":1,\"explain\":\"追及时间 200 ÷ (8-3) = 40 秒,甲跑 8×40 = 320m = 1.6 圈。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙在 240m 环形跑道上同时同地反向出发,每 20 秒相遇一次。甲速是乙速的 2 倍,甲的速度是多少?\",\"options\":[\"4m/s\",\"8m/s\",\"12m/s\"],\"answer\":1,\"explain\":\"速度和 = 240 ÷ 20 = 12m/s;乙速 12 ÷ 3 = 4m/s,甲速 8m/s。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙在 400m 环形跑道上同时同地反向出发,甲速 6m/s,乙速 4m/s,出发后多少秒首次相遇?\",\"answers\":[\"40\"],\"explain\":\"400 ÷ (6+4) = 40 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙在 300m 环形跑道上同时同地同向出发,甲速 5m/s,乙速 3m/s,甲第一次追上乙需要多少秒?\",\"answers\":[\"150\"],\"explain\":\"300 ÷ (5-3) = 150 秒。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙在 400m 环形跑道上同时同地同向出发,甲速 7m/s,乙速 5m/s。甲第二次追上乙时,甲共跑了多少米?\",\"options\":[\"1400m\",\"2000m\",\"2800m\"],\"answer\":2,\"explain\":\"每追上一次多跑 400m,第二次追上多跑 800m。时间 800 ÷ (7-5) = 400 秒,甲跑 7×400 = 2800m。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"环形跑道上同向而行用速度差,反向而行用速度和。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。同向是追及用速度差,反向是相遇用速度和。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"环形跑道第一次追上时,快者恰好比慢者多跑一圈。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。这是环形追及的核心:路程差 = 一圈周长。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 同向追及:追及时间 = 周长 ÷ 速度差;第 n 次追上多跑 n 圈。\n- 反向相遇:相遇时间 = 周长 ÷ 速度和;第 n 次相遇合跑 n 圈。\n- 画图时标出起点、方向、速度,先判断是同向还是反向。\n" + }, + { + "id": "travel-08", + "title": "流水行船", + "grade": "五年级", + "difficulty": 2, + "summary": "顺水=静水+水速,逆水=静水-水速,和差公式互求。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n船在流水里,顺水被水「推着走」,逆水被水「拖着走」。本课认识顺水、逆水、静水、水流四个速度,学会它们之间的互求——本质是速度叠加。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 四个速度公式\n- 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度(船自己走 + 水帮忙推)\n- 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度(船自己走 - 水拖后腿)\n- 静水速度 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2\n- 水流速度 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2\n\n后两个就是「和差问题」公式:大数 = (和+差)÷2,小数 = (和-差)÷2。\n\n类比理解:静水速度 = 你在平地跑步的速度;顺水 = 下坡跑(更快);逆水 = 上坡跑(更慢)。\n\n**例1**:一艘船顺水速度 30km/h,逆水速度 20km/h。求静水速度和水流速度。\n【解答】静水速度 = (30+20) ÷ 2 = 25km/h;水流速度 = (30-20) ÷ 2 = 5km/h。答:静水速度 25km/h,水流速度 5km/h。\n【验算】25 + 5 = 30,25 - 5 = 20 ✓\n\n### 2. 往返问题:路程不变\n路程 = 顺水速度 × 顺水时间 = 逆水速度 × 逆水时间。\n\n**例2**:一艘船在静水中速度 24km/h,水流速度 6km/h。从甲码头到乙码头顺水需要 2 小时,从乙码头返回甲码头需要多少小时?\n【解答】顺水速度:24 + 6 = 30km/h;距离:30 × 2 = 60km;逆水速度:24 - 6 = 18km/h;返回时间:60 ÷ 18 = 10/3 小时 ≈ 3 小时 20 分钟。答:返回需要 10/3 小时。\n【提醒】顺水快、用时短;逆水慢、用时长,别弄反。\n\n**例3**:一艘船顺水航行 4 小时到达目的地,逆水返回需要 6 小时。已知航程 180km,求静水速度和水流速度。\n【解答】顺水速度:180 ÷ 4 = 45km/h;逆水速度:180 ÷ 6 = 30km/h;静水速度:(45+30) ÷ 2 = 37.5km/h;水流速度:(45-30) ÷ 2 = 7.5km/h。答:静水速度 37.5km/h,水流速度 7.5km/h。\n\n### 3. 特殊:木筏漂流\n木筏顺水漂流没有自己的动力,速度就等于水流速度,不要再加「静水速度」。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 混淆顺水逆水:顺水速度大、时间短;逆水速度小、时间长。不要用反。\n- 木筏/漂流物:速度就等于水流速度。\n- 和差公式别写反:静水速度 = (顺+逆)÷2,水流速度 = (顺-逆)÷2。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"静水速度 20km/h,水流速度 4km/h。顺水速度和逆水速度分别是?\",\"options\":[\"24km/h 和 16km/h\",\"16km/h 和 24km/h\",\"24km/h 和 12km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"顺水:20+4 = 24km/h;逆水:20-4 = 16km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"顺水速度 36km/h,逆水速度 24km/h。静水速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"(36+24) ÷ 2 = 30km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,水流速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"6\"],\"explain\":\"(36-24) ÷ 2 = 6km/h。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"船在静水中速度 24km/h,水流速度 6km/h,顺水从甲到乙要 2 小时,返回需要多久?\",\"options\":[\"2小时\",\"10/3小时\",\"4小时\"],\"answer\":1,\"explain\":\"距离 (24+6)×2 = 60km,返回 60 ÷ (24-6) = 60 ÷ 18 = 10/3 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一艘船顺水航行 4 小时到达目的地,逆水返回需 6 小时,航程 180km。水流速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"7.5\"],\"explain\":\"顺水速度 45km/h,逆水速度 30km/h,水流速度 (45-30) ÷ 2 = 7.5km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"一只木筏顺水漂流,水流速度 5km/h,漂 75km 需要多少小时?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"木筏速度 = 水流速度:75 ÷ 5 = 15 小时。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"木筏顺水漂流的速度等于水流速度。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。木筏没有自己的动力,只随水流动。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"顺水速度大,所以逆水航行用的时间更少。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。逆水速度小,同样的路程用时更长。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"船在静水中速度 18km/h,水流速度 3km/h,逆水速度是多少?\",\"options\":[\"15km/h\",\"21km/h\",\"12km/h\"],\"answer\":0,\"explain\":\"逆水 = 18 - 3 = 15km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"船在静水中速度 18km/h,水流速度 3km/h。往返一次共用 7 小时,两地相距多少千米?\",\"answers\":[\"61.25\"],\"explain\":\"顺水 21km/h,逆水 15km/h。设距离 S:S/21 + S/15 = 7,通分 105:5S + 7S = 7×105,12S = 735,S = 61.25km。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 顺水速度 = 静水 + 水流;逆水速度 = 静水 - 水流。\n- 静水速度 = (顺+逆)÷2;水流速度 = (顺-逆)÷2。\n- 往返路程不变:顺水速度 × 顺水时间 = 逆水速度 × 逆水时间。\n- 木筏漂流速度 = 水流速度。\n" + }, + { + "id": "travel-09", + "title": "扶梯问题", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "扶梯是竖着的河流:可见级数=(人速±梯速)×时间。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n扶梯问题与流水行船是完全相同的模型:人速相当于静水速度,梯速相当于水流速度,扶梯可见级数相当于路程。学会这个对应关系,扶梯问题就转化为和差问题。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 模型对应\n扶梯 = 竖着的「河流」:\n- 扶梯可见级数 ↔ 路程\n- 人走的速度 ↔ 静水速度\n- 扶梯运行速度 ↔ 水流速度\n\n在向上运行的扶梯上:\n- 人往上走(顺行,= 顺水):N = (人速 + 梯速) × 时间 = 人走的级数 + 扶梯运行的级数\n- 人往下走(逆行,= 逆水):N = (人速 - 梯速) × 时间 = 人走的级数 - 扶梯抵消的级数\n\n解题套路:设人速 a、梯速 v、可见级数 N,用两种情形列出两个 N 的表达式,联立解方程。\n\n**例1**:在向上运行的扶梯上,甲每分钟走 40 级,3 分钟到达顶部;乙每分钟走 20 级,4 分钟到达顶部。扶梯可见多少级?\n【思路】两人走完的可见级数 N 相同,用「人走的 + 扶梯帮着走的」分别表示 N。\n【解答】设扶梯可见 N 级,扶梯速度 v 级/分。甲:N = 40×3 + 3v = 120 + 3v;乙:N = 20×4 + 4v = 80 + 4v。联立:120 + 3v = 80 + 4v,v = 40;N = 120 + 3×40 = 240 级。答:扶梯可见 240 级。\n【验算】甲自己走 120 级、扶梯动 120 级;乙自己走 80 级、扶梯动 160 级,都等于 240 ✓\n\n**例2**:在下行扶梯上(扶梯向下运行),人顺着扶梯方向往下走用 30 秒到达底部,逆着扶梯方向往上走用 60 秒到达顶部。如果人站着不动,扶梯把人送到底部需要多少秒?\n【解答】设可见 N 级,人速 a 级/秒,梯速 v 级/秒。顺行(人往下、梯往下):N = (a+v) × 30;逆行(人往上、梯往下):N = (a-v) × 60。联立:30a + 30v = 60a - 60v,90v = 30a,a = 3v。N = (3v+v) × 30 = 120v。人站着不动,靠扶梯送到底部:N ÷ v = 120v ÷ v = 120 秒。答:需要 120 秒(2 分钟)。\n\n**例3**:在向上运行的扶梯上,甲每分钟走 80 级,2 分钟到顶;乙每分钟走 25 级,4 分钟到顶。扶梯可见多少级?\n【解答】甲:N = 80×2 + 2v = 160 + 2v;乙:N = 25×4 + 4v = 100 + 4v。联立:160 + 2v = 100 + 4v,2v = 60,v = 30。N = 160 + 60 = 220 级。答:扶梯可见 220 级。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 方向搞反:上行扶梯上,人往上走是「顺行」(= 顺水),人往下走是「逆行」(= 逆水),不要用反。\n- 数据合理性:走得快的人用时短、自己走的级数多(扶梯帮忙少),注意检验答案是否合理。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上行扶梯,甲每分钟走 50 级用 4 分钟到顶,乙每分钟走 30 级用 6 分钟到顶。扶梯可见多少级?\",\"answers\":[\"240\"],\"explain\":\"N = 50×4 + 4v = 30×6 + 6v → 200 + 4v = 180 + 6v → 2v = 20,v = 10。N = 200 + 40 = 240 级。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"下行扶梯,人顺行走到底用 20 秒,逆行走上去用 60 秒。人站着不动,扶梯送到底要多少秒?\",\"answers\":[\"60\"],\"explain\":\"N = (a+v)×20 = (a-v)×60 → 20a + 20v = 60a - 60v → 80v = 40a,a = 2v。N = 3v×20 = 60v,N ÷ v = 60 秒。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上行扶梯可见 120 级,扶梯速度 10 级/分。甲每分钟走 30 级,到达顶部需要多少分钟?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"120 = (30+10) × t → t = 3 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"在向上扶梯上,甲走 40 级用了 2 分钟到顶,乙走 30 级用了 4 分钟到顶。扶梯可见几级?\",\"answers\":[\"50\"],\"explain\":\"甲速 40÷2 = 20级/分,乙速 30÷4 = 7.5级/分。N = 40 + 2v = 30 + 4v → 2v = 10,v = 5。N = 40 + 10 = 50 级。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"向上运行的扶梯上,甲每分钟走 40 级 3 分钟到顶,乙每分钟走 20 级 4 分钟到顶。扶梯运行速度是多少?\",\"options\":[\"20级/分\",\"30级/分\",\"40级/分\"],\"answer\":2,\"explain\":\"120 + 3v = 80 + 4v → v = 40 级/分。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上一题中,扶梯可见多少级?\",\"options\":[\"200级\",\"240级\",\"280级\"],\"answer\":1,\"explain\":\"N = 120 + 3×40 = 240 级。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"上行扶梯上,人往上走是顺行,人往下走是逆行。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。与扶梯同向是顺行(相当于顺水),反向是逆行(相当于逆水)。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"人站在扶梯上不动时,到达的时间 = 可见级数 ÷ 扶梯速度。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。此时级数全部由扶梯运行提供。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"扶梯问题的本质与哪种模型相同?\",\"options\":[\"相遇问题\",\"流水行船\",\"火车过桥\"],\"answer\":1,\"explain\":\"人速 ↔ 静水速度,梯速 ↔ 水流速度,可见级数 ↔ 路程。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"下行扶梯问题中,若人速是梯速的 3 倍(人速 = 3v),顺行 30 秒走完,则可见级数 N = ? × v(填系数)。\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"N = (3v+v) × 30 = 120v,系数为 120。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 扶梯问题 = 流水行船模型:可见级数 = (人速 ± 梯速) × 时间。\n- 顺行(同向)用加,逆行(反向)用减。\n- 两人(或两种情形)给出两个 N 的表达式,联立求解。\n- 人站着不动:时间 = 可见级数 ÷ 梯速。\n" + }, + { + "id": "travel-10", + "title": "发车问题", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "相邻车距不变:迎面(人+车)×间隔、背后(车-人)×间隔。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n公交车按固定间隔发车,路上相邻两车的距离是固定的。人在路上走:迎着车走,遇到车的间隔变短;顺着车走,被追上的间隔变长。本课抓住「相邻车距不变」这个等量。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 核心:相邻两车距离不变\n- 发车间隔:相邻两车距离 d = 车速 × 发车间隔时间\n- 迎面相遇(人与车相向而行):(人速 + 车速) × 迎面间隔时间 = d\n- 背后追及(车从后面追上人):(车速 - 人速) × 追及间隔时间 = d\n- 两种情况算出的 d 相等,这是列方程的等量。\n\n**例1**:某人以 5km/h 的速度在路上行走,发现每隔 6 分钟有一辆公交车迎面开来,每隔 12 分钟有一辆公交车从背后追上。求公交车速度和发车间隔。\n【思路】迎面与追及各给出一个 d 的表达式,联立。\n【解答】设公交车速度 v km/h,发车间隔 T 分钟,d = v × T/60。迎面:(v+5) × 6/60 = d,即 (v+5)×0.1 = d;追及:(v-5) × 12/60 = d,即 (v-5)×0.2 = d。联立:0.1v + 0.5 = 0.2v - 1,0.1v = 1.5,v = 15km/h。d = (15+5) × 0.1 = 2km。T = d ÷ v × 60 = 2 ÷ 15 × 60 = 8 分钟。答:公交车速度 15km/h,发车间隔 8 分钟。\n【验算】用追及验证:(15-5) × 0.2 = 2km ✓\n\n**例2**:公交车站每隔 10 分钟发一辆车,车速 60km/h。一个人站在路上不动,每几分钟有一辆车经过他?如果人以 4km/h 的速度向前走,迎面每几分钟遇到一辆车?\n【解答】人不动:每 10 分钟一辆车经过(= 发车间隔)。相邻两车距离:60 × 10/60 = 10km。人向前走、迎面来车:相对速度 60 + 4 = 64km/h;间隔时间 10 ÷ 64 = 10/64 小时 ≈ 9.375 分钟。答:人不动每 10 分钟一辆;向前走迎面约 9.4 分钟遇到一辆。\n\n**例3**:小明沿公路骑车,速度 15km/h,发现每隔 6 分钟有一辆公交车迎面开来。公交车速度 45km/h,求发车间隔。\n【解答】迎面间隔 6 分钟 = 0.1 小时;相邻两车距离:(45+15) × 0.1 = 6km;发车间隔:6 ÷ 45 = 2/15 小时 = 8 分钟。答:发车间隔 8 分钟。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 单位混乱:发车间隔是分钟,车速是 km/h,计算时务必统一单位(分钟化成小时)。\n- 方向判断:迎面用速度和,追及用速度差,不要混淆两种情况。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"人在路上以 4km/h 行走,每隔 8 分钟迎面来一辆车,每隔 12 分钟被后面一辆车追上。车速是多少 km/h?\",\"answers\":[\"20\"],\"explain\":\"(v+4)×8/60 = (v-4)×12/60 → 8(v+4) = 12(v-4) → 8v+32 = 12v-48 → 4v = 80,v = 20km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,发车间隔是多少分钟?\",\"answers\":[\"9.6\"],\"explain\":\"d = (20+4)×8/60 = 3.2km,T = 3.2 ÷ 20 × 60 = 9.6 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"公交车每 6 分钟发一辆,车速 30km/h。人以 6km/h 同向行走,每隔几分钟被后面一辆车追上?\",\"answers\":[\"7.5\"],\"explain\":\"相邻车距 30×6/60 = 3km;追及间隔 3 ÷ (30-6) = 3/24 小时 = 7.5 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明以 12km/h 骑车,每隔 5 分钟迎面遇到一辆公交车,每隔 15 分钟被一辆公交车追上。公交车速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"(v+12)×5/60 = (v-12)×15/60,即 (v+12)/12 = (v-12)/4 → 4(v+12) = 12(v-12) → 4v+48 = 12v-144 → 8v = 192,v = 24km/h。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"发车间隔 8 分钟,车速 50km/h,人以 5km/h 行走。迎面相遇的间隔约是多少分钟?\",\"options\":[\"7.3分钟\",\"8分钟\",\"8.9分钟\"],\"answer\":0,\"explain\":\"车距 50×8/60 = 20/3 km;迎面:(20/3) ÷ (50+5) × 60 = 20/(3×55)×60 ≈ 7.3 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"上一题中,从背后追上的间隔约是多少分钟?\",\"options\":[\"7.3分钟\",\"8分钟\",\"8.9分钟\"],\"answer\":2,\"explain\":\"(20/3) ÷ (50-5) × 60 = 20/(3×45)×60 ≈ 8.9 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"无论迎面还是追及,相邻两车的距离都不变。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。d = 车速 × 发车间隔,与行人怎么运动无关。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"人站在路上不动时,连续两辆车经过他的时间间隔等于发车间隔。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。人不动,相邻车距 d 以车速通过,间隔恰为发车间隔。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"发车问题中列方程用的等量是什么?\",\"options\":[\"人速 = 车速\",\"迎面与追及算出的相邻车距 d 相等\",\"迎面间隔 = 追及间隔\"],\"answer\":1,\"explain\":\"两种情形下的 d 是同一个量,都等于车速 × 发车间隔。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某人以 5km/h 行走,每隔 6 分钟迎面来一辆公交车,每隔 12 分钟被追上。公交车速度是多少 km/h?\",\"answers\":[\"15\"],\"explain\":\"(v+5)×0.1 = (v-5)×0.2 → 0.1v + 0.5 = 0.2v - 1 → v = 15km/h。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 相邻两车距离 d = 车速 × 发车间隔,是不变的等量。\n- 迎面:(人速 + 车速) × 间隔 = d。\n- 背后追及:(车速 - 人速) × 间隔 = d。\n- 统一单位(分钟化小时)再解方程。\n" + }, + { + "id": "travel-11", + "title": "时钟问题", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "分针6°/分、时针0.5°/分,时钟是缩小版追及问题。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n时钟问题其实就是环形跑道上的追及问题:分针是快者,时针是慢者,在表盘上追逐。本课学会两针的速度、夹角公式和追及计算。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 两针的速度\n- 分针速度:6°/分钟(360° ÷ 60分钟)\n- 时针速度:0.5°/分钟(360° ÷ 12小时 ÷ 60分钟,即 30°/小时)\n- 速度差:6 - 0.5 = 5.5°/分钟\n\n关键角度数据:12点整两针重合(0°);3点整夹角 90°;6点整夹角 180°;9点整夹角 90°(或 270°)。\n\n### 2. 夹角公式(h 点 m 分)\n- 时针角度 = 30h + 0.5m(注意:时针每分钟也在动!)\n- 分针角度 = 6m\n- 夹角 = |30h + 0.5m - 6m| = |30h - 5.5m|;若结果大于 180°,夹角 = 360° - 上述结果。\n\n**例1**:4 点 20 分时,时针与分针的夹角是多少度?\n【解答】时针角度:30×4 + 0.5×20 = 120 + 10 = 130°;分针角度:6×20 = 120°;夹角:|130 - 120| = 10°。答:夹角 10°。\n【提醒】不能以为时针停在「4」的位置,20 分钟里时针又走了 10°。\n\n### 3. 两针追及:时间 = 角度差 ÷ 5.5\n\n**例2**:3 点整后多少分钟,分针与时针首次重合?\n【解答】3 点整:时针在 90°,分针在 0°,分针需追 90°。追及时间:90 ÷ 5.5 = 180/11 ≈ 16.36 分钟。答:约 3 点 16 分 22 秒两针重合。\n\n**例3**:从 6 点整开始,分针与时针首次垂直(夹角 90°)是在几分钟之后?\n【解答】6 点整夹角 180°,分针追时针,夹角从 180° 逐渐减小。首次垂直时夹角 90°:180 - 5.5t = 90,t = 90 ÷ 5.5 = 180/11 ≈ 16.36 分钟。答:约 6 点 16 分 22 秒首次垂直。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 夹角取小:两针夹角有两个(互补),一般取较小角(不超过 180°)。\n- 时针也在动:不能只看整点位置,时针每分钟走 0.5°,计算时针角度要加上分钟的贡献。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"8 点整时,时针与分针的夹角是多少度?\",\"options\":[\"90°\",\"120°\",\"240°\"],\"answer\":1,\"explain\":\"|30×8 - 5.5×0| = 240°,取较小角:360 - 240 = 120°。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"2 点整后多少分钟,分针与时针首次重合?(可用分数)\",\"answers\":[\"120/11\",\"10.9\",\"10.91\"],\"explain\":\"2 点整夹角 60°,追及时间 60 ÷ 5.5 = 120/11 ≈ 10.9 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"从 3 点整开始,经过多少分钟两针首次成 180°(一条直线)?(可用分数)\",\"answers\":[\"540/11\",\"49.1\",\"49.09\"],\"explain\":\"3 点整夹角 90°,分针要追上并拉开到 180°,共追 90 + 180 = 270°。5.5t = 270,t = 540/11 ≈ 49.1 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"10 点整时两针夹角 60°,经过多少分钟两针再次成 60°?\",\"options\":[\"120/11分钟\",\"240/11分钟\",\"360/11分钟\"],\"answer\":1,\"explain\":\"夹角从 60° 减小到 0° 再增大到 60°,需追过 60° 后再拉开 60°,共追 120°。t = 120 ÷ 5.5 = 240/11 ≈ 21.8 分钟。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"分针与时针的速度差是多少?\",\"options\":[\"5°/分钟\",\"5.5°/分钟\",\"6°/分钟\"],\"answer\":1,\"explain\":\"6 - 0.5 = 5.5°/分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"4 点 20 分时,时针与分针的夹角是多少度?\",\"answers\":[\"10\"],\"explain\":\"时针 130°,分针 120°,夹角 10°。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"时针每分钟走 0.5°。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。时针 30°/小时 = 0.5°/分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"6 点整时,时针与分针的夹角是 90°。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。6 点整两针成一条直线,夹角是 180°。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"一个坏钟每小时慢 2 分钟(标准时间过 1 小时,坏钟只走 58 分钟)。早上 8 点对准后,坏钟显示晚上 8 点时,标准时间大约是?\",\"options\":[\"晚上8点20分\",\"晚上8点25分\",\"晚上8点30分\"],\"answer\":1,\"explain\":\"坏钟走了 12 小时 = 720 分钟。坏钟 58 分钟 = 标准 60 分钟,标准时间 720×60/58 ≈ 744.8 分钟 ≈ 12 小时 24.8 分钟,即约晚上 8 点 25 分。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"3 点整后多少分钟两针首次重合?(可用分数)\",\"answers\":[\"180/11\",\"16.4\",\"16.36\"],\"explain\":\"3 点整夹角 90°,90 ÷ 5.5 = 180/11 ≈ 16.4 分钟。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 分针 6°/分钟,时针 0.5°/分钟,速度差 5.5°/分钟。\n- 夹角公式:|30h - 5.5m|,超过 180° 取 360° 减去它。\n- 重合、垂直、成直线都用追及思想:时间 = 角度差 ÷ 5.5。\n- 算时针角度别忘了加上 0.5m。\n" + }, + { + "id": "travel-12", + "title": "接送问题", + "grade": "六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "车送甲再返回接乙,同时到达即各批总时间相等。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n接送问题是相遇与追及的综合应用:车载甲走一段、甲下车步行,车返回接乙,最终所有人同时到达。列方程的关键条件:每批人的总时间相等。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 模型与等量\n- 基本模型:车载一批人到某处,放下后返回接另一批人,最终所有人同时到达目的地。\n- 同时到达条件:每批人的总时间相等 = 坐车时间 + 步行时间。\n- 行程图:甲「坐车—步行」到达;乙「步行—坐车」到达;车「送甲—返回—送乙」。\n\n解题关键:1. 设车送甲的距离为 x;2. 甲的时间 = 乙的时间(同时到达);3. 列方程求解。\n\n**例1**:校车载学生去 10km 外的博物馆,车速 40km/h,学生步行 5km/h。两组学生同时出发,车先送甲组到某处,甲组步行到博物馆;车返回接乙组,再送乙组到博物馆,两组同时到达。求车先送甲组多远?\n【思路】由对称性,两组步行速度相同、同时出发同时到达,所以步行距离相等。车接到乙的时刻 = 乙步行到接人点的时刻。\n【解答】设车送甲组 x km,甲组步行 (10-x) km。由对称性乙组也步行 10-x km,乙组在距起点 (10-x) km 处被接上。车送甲后返回的距离 = x - (10-x) = 2x-10 km。车接到乙的时刻 = x/40 + (2x-10)/40 = (3x-10)/40 小时;乙步行到 (10-x) km 处的时间 = (10-x)/5 小时。(3x-10)/40 = (10-x)/5;两边乘 40:3x - 10 = 8(10-x) = 80 - 8x;11x = 90;x = 90/11 ≈ 8.18km。答:车先送甲组约 8.18km。\n\n**例2**:爸爸骑车送小明去学校,速度 400米/分,小明步行速度 80米/分。家距学校 3000m,爸爸送小明一段后返回,小明继续步行到校,总共用时 10 分钟。爸爸送小明多远?\n【思路】小明的总时间 = 坐车时间 + 步行时间 = 10 分钟。\n【解答】设爸爸送小明 x 米。坐车时间 x/400 分钟;步行距离 3000-x 米,步行时间 (3000-x)/80 分钟。x/400 + (3000-x)/80 = 10;通分 400:x + 5(3000-x) = 4000;x + 15000 - 5x = 4000;4x = 11000;x = 2750。答:爸爸送小明 2750 米。\n【验算】坐车 2750÷400 = 6.875 分钟,步行 250÷80 = 3.125 分钟,合计 10 分钟 ✓\n\n**例3**:一辆校车接送学生,单程 6km,车速 60km/h。校车从学校出发去接小明,再送小明到学校。整个过程需要多少分钟?\n【解答】去程:6 ÷ 60 = 0.1 小时 = 6 分钟;返回:6 分钟;总时间 6 + 6 = 12 分钟。答:需要 12 分钟。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 返回距离:车返回时不是回到起点,而是回到人步行到的位置,注意计算返回距离。\n- 同时到达:这是列方程的关键条件,不要忘记各批人的总时间相等。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"妈妈开车送小明上学,单程 5km,车速 50km/h。妈妈往返共需多少分钟?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"往返 10km,10 ÷ 50 = 0.2h = 12 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"校车送学生去 12km 外的公园,车速 40km/h,学生步行 4km/h。车先送甲组再返回接乙组,两组同时到达。车送甲组约多少千米?(保留两位小数)\",\"answers\":[\"10.15\",\"132/13\"],\"explain\":\"对称性:乙步行距离 = 甲步行距离 = 12-x。车返回距离 = 2x-12。车接乙时刻 (3x-12)/40 = (12-x)/4 → 3x-12 = 10(12-x) → 13x = 132 → x ≈ 10.15km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 地去 8km 外的 B 地,甲骑车 16km/h,乙步行 4km/h。甲到 B 后返回接乙,与乙相遇在距 A 多远的地方?(千米)\",\"answers\":[\"3.2\"],\"explain\":\"甲到 B 用时 0.5h,此时乙走了 4×0.5 = 2km;甲返回与乙相向:(8-2) ÷ (16+4) = 0.3h;相遇点距 A:2 + 4×0.3 = 3.2km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"例1 中(全程 10km、车速 40、步行 5),车先送甲组约多远?\",\"options\":[\"7.5km\",\"8.18km\",\"9km\"],\"answer\":1,\"explain\":\"11x = 90,x = 90/11 ≈ 8.18km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"爸爸骑车 400米/分 送小明去 3000m 外的学校,小明步行 80米/分,总用时 10 分钟。爸爸送小明多少米?\",\"answers\":[\"2750\"],\"explain\":\"x/400 + (3000-x)/80 = 10 → x + 5(3000-x) = 4000 → 4x = 11000 → x = 2750 米。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"校车单程 6km,车速 60km/h,往返接送小明共需多少分钟?\",\"answers\":[\"12\"],\"explain\":\"去 6 分钟 + 回 6 分钟 = 12 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"接送问题列方程的关键条件是各批人的总时间相等(同时到达)。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。同时到达 ⇒ 甲的时间 = 乙的时间,这是列方程的等量。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"车返回接乙组时,要一直返回到出发点。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。乙组一直在向前走,车返回到乙组所在位置即可,不是回到出发点。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"例1 中「乙组步行距离 = 甲组步行距离」用到了什么条件?\",\"options\":[\"两组同时出发、同时到达且步行速度相同,由对称性\",\"车速恒定\",\"总路程是 10km\"],\"answer\":0,\"explain\":\"同时出发同时到达、步行速度相同,由对称性知步行距离相等。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"例2 中,小明的步行时间是下面哪个式子?\",\"options\":[\"(3000-x)/80 分钟\",\"x/400 分钟\",\"3000/80 分钟\"],\"answer\":0,\"explain\":\"步行距离 3000-x,速度 80米/分,时间 (3000-x)/80 分钟。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 接送问题:车送甲 → 返回接乙 → 同时到达。\n- 同时到达 ⇒ 各批人总时间相等(坐车 + 步行)。\n- 两组步行速度相同且同时到达时,步行距离相等(对称性)。\n- 设车送的距离为 x,用时间相等列方程。\n" + }, + { + "id": "travel-13", + "title": "多次相遇问题", + "grade": "六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "第n次相遇合走(2n-1)个全程,用mod 2S定位。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n两人在两地之间往返跑步,会一次次相遇。本课发现多次相遇的规律:第 n 次相遇时两人合走了几个全程,以及如何确定相遇点的位置。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 核心规律(直线上两端出发)\n- 第 1 次相遇:两人合走 1 个全程\n- 第 2 次相遇:合走 3 个全程\n- 第 3 次相遇:合走 5 个全程\n- 第 n 次相遇:合走 (2n-1) 个全程\n- 从出发到第 n 次相遇,每人走的路程都是他第 1 次相遇时所走路程的 (2n-1) 倍。\n\n### 2. 位置确定:mod 2S 法\n设全程为 S,甲共走了 d,求相遇点距 A 地多远:\n1. 算 d 除以 2S 的余数 r;\n2. r 不超过 S:距 A 地 r(甲正朝 B 走);\n3. r 大于 S:距 A 地 2S - r(甲已折返、正朝 A 走)。\n\n**例1**:甲乙从相距 500m 的 A、B 两地同时出发,往返跑步。甲速 60米/分,乙速 40米/分。第二次迎面相遇时距 A 地多远?\n【解答】第一次相遇:合走 500m,甲走 500×60/100 = 300m。第二次相遇:合走 3×500 = 1500m,甲走 3×300 = 900m。甲的位置:900 mod 1000 = 900,900 > 500 → 距 A 地 1000-900 = 100m(甲已折返)。答:第二次相遇距 A 地 100m。\n【验算】用乙验证:乙走 3×200 = 600m,600 mod 1000 = 600 > 500 → 距 B 地 1000-600 = 400m = 距 A 地 100m ✓\n\n**例2**:甲乙从相距 300m 的 A、B 两地同时出发往返跑步。甲速 6m/s,乙速 4m/s。第 5 次相遇在何处?\n【解答】第一次相遇:甲走 300×6/10 = 180m。第 5 次相遇:甲走 (2×5-1)×180 = 9×180 = 1620m。位置:1620 mod 600 = 420,420 > 300 → 距 A 地 600-420 = 180m。答:第 5 次相遇在距 A 地 180m 处(恰好是第一次相遇的地点)。\n【验算】乙走 9×120 = 1080m,1080 mod 600 = 480 > 300 → 距 B 地 600-480 = 120m = 距 A 地 180m ✓\n\n### 3. 环形跑道上的多次相遇\n- 反向第 n 次相遇:合走 n 圈\n- 同向第 n 次追及:快者多走 n 圈\n\n**例3**:甲乙在周长 240m 的环形跑道上从同一地点反向出发,甲速 5m/s,乙速 3m/s。第 4 次相遇时,甲跑了多少米?\n【解答】反向相遇:每次相遇合走一圈。第 4 次相遇合走 4×240 = 960m。甲走:960 × 5/8 = 600m。答:甲跑了 600m(2.5 圈)。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 合走全程数:第 n 次相遇合走 (2n-1) 个全程,不是 n 个全程。\n- 折返方向:用 mod 2S 确定位置时,余数大于 S 意味着已经折返。\n- 直线规律 (2n-1) 与环形规律 n 不要混用。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两人从直线两端同时出发相向而行、往返运动,第 3 次相遇时两人合走了几个全程?\",\"options\":[\"3\",\"5\",\"6\"],\"answer\":1,\"explain\":\"第 n 次相遇合走 (2n-1) 个全程,n=3 时为 5 个。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙从相距 600m 的 A、B 两地同时出发往返跑步,甲速 8m/s,乙速 4m/s。第 3 次相遇距 A 地多少米?\",\"answers\":[\"400\"],\"explain\":\"第一次甲走 600×8/12 = 400m;第 3 次甲走 5×400 = 2000m;2000 mod 1200 = 800 > 600 → 距 A 地 1200-800 = 400m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"AB 相距 200m,甲从 A 速度 3m/s,乙从 B 速度 2m/s,往返跑步。第 4 次相遇距 B 地多少米?\",\"answers\":[\"160\"],\"explain\":\"第一次甲走 200×3/5 = 120m;第 4 次甲走 7×120 = 840m;840 mod 400 = 40 → 距 A 地 40m,即距 B 地 200-40 = 160m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"环形跑道周长 300m,甲速 4m/s、乙速 2m/s,同地反向出发。第 6 次相遇时甲跑了多少圈?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"第 6 次合走 6×300 = 1800m,甲走 1800×4/6 = 1200m = 4 圈。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙在 400m 直线上往返跑步,甲速 5m/s、乙速 3m/s。前 5 次相遇中,有几次恰好发生在 A 地或 B 地?\",\"options\":[\"0次\",\"1次\",\"2次\"],\"answer\":0,\"explain\":\"第一次相遇甲走 400×5/8 = 250m;第 n 次甲走 (2n-1)×250m,对 800 取余依次是 250、750、450、150、650,都不是 0 或 400,所以都不在端点,共 0 次。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙从相距 500m 的 A、B 两地同时出发往返跑步,甲速 60米/分、乙速 40米/分。第二次相遇距 A 地多少米?\",\"answers\":[\"100\"],\"explain\":\"甲走 3×300 = 900m,900 mod 1000 = 900 > 500,距 A 地 1000-900 = 100m。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"环形跑道周长 240m,甲速 5m/s、乙速 3m/s,反向出发。第 4 次相遇时甲跑了多少米?\",\"options\":[\"480m\",\"600m\",\"960m\"],\"answer\":1,\"explain\":\"合走 4×240 = 960m,甲走 960×5/8 = 600m。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"第 n 次相遇时,两人合走了 n 个全程。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。直线上两端出发,第 n 次相遇合走 (2n-1) 个全程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"用 mod 2S 确定位置时,余数大于 S 说明该人已经折返。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。此时位置用 2S 减去余数。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"两人从两端出发相向而行、往返运动,第 5 次相遇时两人合走了几个全程?\",\"answers\":[\"9\"],\"explain\":\"2×5-1 = 9 个全程。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 直线两端出发:第 n 次相遇合走 (2n-1) 个全程;每人走的路程也是第一次的 (2n-1) 倍。\n- 位置确定:d 对 2S 取余,余数不超过 S 直接取,大于 S 用 2S 减。\n- 环形反向第 n 次相遇合走 n 圈;同向第 n 次追及多走 n 圈。\n" + }, + { + "id": "travel-14", + "title": "方程法解行程", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "设时间为x,找等量关系列方程,解完要检验。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n行程关系复杂、算术法理不清时,就该用方程了。本课学习方程法解行程的完整流程:设、列、找、解、验。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 方程法的步骤\n什么时候用:1. 关系复杂,算术方法理不清;2. 涉及多个未知量;3. 需要利用「相等关系」(同时到达、距离相等等)。\n\n列方程步骤:\n1. 设:选一个关键量为 x(通常设时间最方便);\n2. 列:用 x 表示各段路程或时间;\n3. 找:找到等量关系(路程相等、时间相等、和差关系);\n4. 解:解方程;\n5. 验:代入原题验证答案。\n\n常用等量:相遇问题 → 路程之和 = 总距离;追及问题 → 路程之差 = 初始差距;同时出发同时到达 → 时间相等;到达同一地点 → 路程相等。\n\n### 2. 例题精讲\n\n**例1**:甲乙两车从相距 420km 的两地同时出发相向而行,甲速 80km/h,乙速 60km/h。几小时后相遇?\n【思路】设相遇时间为 x,等量:甲路程 + 乙路程 = 总距离。\n【解答】设 x 小时后相遇。80x + 60x = 420;140x = 420;x = 3。答:3 小时后相遇。\n【验算】甲走 240km,乙走 180km,240 + 180 = 420 ✓\n\n**例2**:小明以 80米/分 去学校,小红以 60米/分 去同一学校(同路)。小红比小明早出发 12 分钟,小明出发后多少分钟追上小红?\n【思路】追上时两人路程相等;小红早出发,走的时间是 x+12。\n【解答】设小明出发 x 分钟后追上小红。80x = 60(x+12);80x = 60x + 720;20x = 720;x = 36。答:小明出发 36 分钟后追上小红。\n【提醒】小红的时间要加上提前的 12 分钟,这是最容易漏的。\n\n**例3**:甲乙同时从 A 地去 B 地。甲骑车 15km/h,乙步行 5km/h。甲到 B 后立即返回,与乙在距 B 地 10km 处相遇。设 AB 相距 S km,用方程求 S。\n【解答】甲走 S + 10(到 B 再返回 10km),乙走 S - 10(距 B 还有 10km),用时相同:(S+10)/15 = (S-10)/5。交叉相乘:5(S+10) = 15(S-10);5S + 50 = 15S - 150;10S = 200;S = 20。答:AB 相距 20km。\n【验算】甲走 30km 用时 2h,乙走 10km 用时 2h ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 等量关系找错:列方程的关键是找对等量关系,不要把不相等的量设为相等。\n- 忘记检验:解出方程后要代入原题验证,防止计算错误或方程列错。\n- 表示时间时,注意早出发要加时间、晚出发要减时间。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙从相距 540km 的两地同时出发相向而行,甲速 100km/h,乙速 80km/h。几小时后相遇?\",\"answers\":[\"3\"],\"explain\":\"设 x 小时相遇:100x + 80x = 540 → 180x = 540 → x = 3 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲先走 20 分钟(速度 6km/h),乙出发追甲(速度 10km/h)。乙出发后多少分钟追上甲?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"设乙出发 x 小时追上:10x = 6(x + 1/3) → 10x = 6x + 2 → 4x = 2 → x = 0.5 小时 = 30 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某段路去时速度 60km/h,返回速度 40km/h,往返共用 5 小时。单程距离是多少千米?\",\"answers\":[\"120\"],\"explain\":\"设单程 S:S/60 + S/40 = 5,通分 120:2S + 3S = 600 → 5S = 600 → S = 120km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时同地出发去学校,甲骑车 12km/h,乙步行 4km/h。甲到学校后立即返回,在距学校 1km 处遇到乙。家到学校距离是多少千米?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"设距离 S:(S+1)/12 = (S-1)/4 → 4(S+1) = 12(S-1) → 4S + 4 = 12S - 12 → 8S = 16 → S = 2km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙两车从相距 420km 的两地同时相向出发,甲速 80km/h、乙速 60km/h,设 x 小时相遇,正确的方程是?\",\"options\":[\"80x + 60x = 420\",\"80x - 60x = 420\",\"80x = 60x + 420\"],\"answer\":0,\"explain\":\"相遇问题的等量:两人路程之和 = 总距离。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明以 80米/分 去学校,小红以 60米/分 去同一学校,小红早出发 12 分钟。小明出发后多少分钟追上小红?\",\"answers\":[\"36\"],\"explain\":\"80x = 60(x+12) → 20x = 720 → x = 36 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"列方程解行程问题时,通常设时间为 x 比较方便。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。设出时间后,各人路程可直接用「速度 × 时间」表示。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"解出方程后不必代入原题检验。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。必须代入检验,防止计算错误或方程列错。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 去 B,甲速 15km/h、乙速 5km/h,甲到 B 返回后在距 B 10km 处遇乙。AB 相距?\",\"options\":[\"15km\",\"20km\",\"25km\"],\"answer\":1,\"explain\":\"(S+10)/15 = (S-10)/5,解得 S = 20km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"两人同时出发、同时到达同一地点,列方程的依据是?\",\"options\":[\"速度相等\",\"时间相等\",\"路程相等\"],\"answer\":1,\"explain\":\"同时出发同时到达 ⇒ 两人用时相等,据此表示并比较各自路程。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 方程法五步:设、列、找、解、验。\n- 常见等量:路程和 = 总距离(相遇)、路程差 = 初始差距(追及)、时间相等、路程相等。\n- 通常设时间为 x。\n- 解完一定代入原题检验。\n" + }, + { + "id": "travel-15", + "title": "比例法解行程", + "grade": "五~六年级", + "difficulty": 3, + "summary": "同时路程比=速度比,同路时间比=速度反比,用差还原。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n比例法不求具体数值,利用比值关系直接推出答案。本课掌握行程的三大比例关系,并学会用题目里的「差」或「和」还原实际值。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 三大比例关系\n- 同时出发(时间一定):路程比 = 速度比(速度快的走得远)\n- 同一段路(路程一定):时间比 = 速度的反比(速度快的用时少)\n- 同一速度(速度一定):路程比 = 时间比(时间长的走得远)\n\n速记:v 同 → S1/S2 = t1/t2;t 同 → S1/S2 = v1/v2;S 同 → v1/v2 = t2/t1。\n\n**例1**:甲乙两人同时从 A 地出发去 B 地,甲速与乙速之比为 3:2。当甲到达 B 地时,乙距 B 地还有 120km。AB 相距多少千米?\n【思路】同时出发,路程比 = 速度比 = 3:2。甲走完全程时,两人的路程差正好是 120km。\n【解答】甲到 B 时走了全程 S,乙走了 2S/3。乙距 B:S - 2S/3 = S/3 = 120km。S = 360km。答:AB 相距 360km。\n\n**例2**:甲从 A 去 B 用 40 分钟,乙从 A 去 B 用 60 分钟。两人同时出发,甲到 B 时乙还要走多远?(AB 相距 12km)\n【解答】时间比 甲:乙 = 40:60 = 2:3;速度比 甲:乙 = 3:2(时间的反比)。甲到 B 用时 40 分钟,此时乙走的路程 = 12 × 2/3 = 8km;乙还要走:12 - 8 = 4km。答:乙还要走 4km。\n\n**例3**:一段路,如果速度提高 25%,可以比原来少用 10 分钟。原来走这段路需要多少分钟?\n【思路】路程一定,速度比与时间比互为反比。\n【解答】设原速度 v,提高后速度 1.25v。速度比 v : 1.25v = 4:5;时间比(路程一定)= 5:4(速度的反比);时间差 5 - 4 = 1 份 = 10 分钟;原来用时 5 × 10 = 50 分钟。答:原来需要 50 分钟。\n【验算】原来 50 分钟、提速后 40 分钟,正好少用 10 分钟 ✓\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- 正反比混淆:路程一定时,速度比 = 时间的反比(不是正比)。\n- 比值与实际值:比例法得出的是倍数关系,要注意用「差」或「和」还原实际值。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 去 B,甲速:乙速 = 5:3。甲到 B 时乙还差 160km。AB 相距多少千米?\",\"answers\":[\"400\"],\"explain\":\"路程比 = 5:3。甲走 S,乙走 3S/5。S - 3S/5 = 2S/5 = 160 → S = 400km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"走同一段路,甲用 3 小时,乙用 5 小时。甲乙的速度比是多少?\",\"options\":[\"3:5\",\"5:3\",\"15:1\"],\"answer\":1,\"explain\":\"路程一定,速度比 = 时间的反比 = 5:3。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"上一题中,若甲速 30km/h,乙速是多少 km/h?\",\"answers\":[\"18\"],\"explain\":\"乙速 = 30 × 3/5 = 18km/h。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"速度降低为原来的 3/4,走完同一段路多用 15 分钟。原来用多少分钟?\",\"answers\":[\"45\"],\"explain\":\"速度比 4:3 → 时间比 3:4。差 1 份 = 15 分钟,原来 3×15 = 45 分钟。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时出发,甲速是乙速的 2 倍。甲走了 8km 时,乙走了多少千米?\",\"answers\":[\"4\"],\"explain\":\"同时出发 → 路程比 = 速度比 = 2:1。甲走 8km,乙走 4km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"例1 中(速度比 3:2,甲到 B 时乙还差 120km),AB 相距?\",\"options\":[\"240km\",\"360km\",\"480km\"],\"answer\":1,\"explain\":\"S/3 = 120,S = 360km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"速度提高 25%,比原来少用 10 分钟,原来用时多少?\",\"options\":[\"40分钟\",\"50分钟\",\"60分钟\"],\"answer\":1,\"explain\":\"速度比 4:5,时间比 5:4,差 1 份 = 10 分钟,原来 5×10 = 50 分钟。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"路程一定时,速度比 = 时间比。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。路程一定时,速度比 = 时间的反比:快的用时少。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲从 A 去 B 用 40 分钟,乙用 60 分钟,AB 相距 12km。两人同时出发,甲到 B 时乙走了多少千米?\",\"answers\":[\"8\"],\"explain\":\"速度比 3:2,乙走 12 × 2/3 = 8km。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"同时出发时,两人走的路程比等于速度比。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。时间相同,路程与速度成正比。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 时间一定:路程比 = 速度比。\n- 路程一定:时间比 = 速度的反比。\n- 速度一定:路程比 = 时间比。\n- 用题目中的具体「差」(如 120km、10 分钟)去还原每一份代表的实际值。\n" + }, + { + "id": "travel-16", + "title": "图示法解行程", + "grade": "四~六年级", + "difficulty": 2, + "summary": "线段图、S-T图、V-T图,先画图再列式。", + "md": "> ⏱ 本课约 40 分钟:热身 5' → 精讲与例题 20' → 即时练习 15'\n\n## ① 回顾与目标\n画图是解行程问题的第一步!本课认识三种图:线段图、S-T 图(路程-时间图)、V-T 图(速度-时间图),并学会从图中读出信息。\n\n## ② 知识精讲\n\n### 1. 线段图(最常用)\n用线段表示路程,标注起点、终点、速度、时间、相遇/追及点。\n\n**例1**:甲乙从相距 500m 的 A、B 两地同时出发相向而行,甲速 60米/分,乙速 40米/分。用线段图表示第二次相遇的位置。\n【解答】第一次相遇:合走 500m,甲走 300m、乙走 200m,相遇点距 A 300m。第二次相遇:合走 3×500 = 1500m,甲走 900m(A→B 500m + 返回 400m → 距 A 100m),乙走 600m(B→A 500m + 返回 100m → 距 A 100m)。答:第二次相遇在距 A 地 100m 处。\n【提醒】用两个人分别算,必须落在同一点,可以互相验证。\n\n### 2. S-T 图(路程-时间图)\n横轴时间、纵轴路程。读图要点:\n- 直线的斜率 = 速度(斜率越大速度越快)\n- 水平线 = 静止不动\n- 两线交点 = 两人相遇\n\n**例2**:甲从 A 地去 B 地(相距 40km),速度 10km/h。同时乙从 B 地去 A 地,速度 6km/h。画出 S-T 图并求相遇时间。\n【解答】以 A 地为原点,甲的线从 (0,0) 出发、斜率 10;乙从 (0,40) 出发、向 A 走、斜率为负。相遇条件:10t + 6t = 40,t = 40/16 = 2.5 小时。答:2.5 小时后相遇,相遇点距 A 地 25km。\n【提醒】从 A 出发的人线向上,从 B 出发的人线向下,两线相交才是相遇。\n\n### 3. V-T 图(速度-时间图)\n横轴时间、纵轴速度。读图要点:\n- 图线下方的面积 = 路程\n- 水平线 = 匀速运动\n适合变速运动。\n\n**例3**:小明先以 80米/分 走了 4 分钟,再以 40米/分 走了 6 分钟。用 V-T 图求总路程。\n【解答】第一段面积(路程):80 × 4 = 320m;第二段面积:40 × 6 = 240m;总路程:320 + 240 = 560m。答:总路程 560m。\n【提醒】面积单位要与坐标轴单位一致,如 米/分 × 分 = 米。\n\n## ③ 常见错误与提醒\n- S-T 图方向:从 A 出发的人线向上,从 B 出发的人线向下,两线相交才是相遇。\n- 面积 = 路程:V-T 图中面积单位要与坐标轴单位一致(如 km/h × h = km)。\n- 线段图要标清每段距离、方向和相遇点,别只画一条线不标注。\n\n## ④ 即时练习\n```quiz\n{\"questions\":[{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙从相距 600m 的两地相向出发,甲速 5m/s、乙速 3m/s。相遇点距 A 地多少米?\",\"answers\":[\"375\"],\"explain\":\"相遇时间 600 ÷ (5+3) = 75 秒;甲走 5×75 = 375m,相遇点距 A 375m。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲从原点以 4km/h 出发,乙同时从 20km 处以 6km/h 走向甲。两人几小时后相遇?\",\"answers\":[\"2\"],\"explain\":\"甲:S = 4t;乙:S = 20 - 6t。相遇:4t = 20 - 6t → 10t = 20 → t = 2 小时。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"某人先以 6km/h 走了 2 小时,再以 4km/h 走了 3 小时。用 V-T 图(面积法)求总路程是多少千米?\",\"answers\":[\"24\"],\"explain\":\"面积:6×2 + 4×3 = 12 + 12 = 24km。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"甲乙同时从 A 地去 B 地(相距 60km),甲速 20km/h、乙速 10km/h。甲到 B 时,乙距 B 还有多少千米?\",\"answers\":[\"30\"],\"explain\":\"甲到 B 用时 3h,此时乙走了 10×3 = 30km,距 B 还有 30km。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"S-T 图(路程-时间图)中,直线的斜率表示什么?\",\"options\":[\"路程\",\"速度\",\"时间\"],\"answer\":1,\"explain\":\"斜率 = 路程变化 ÷ 时间变化 = 速度。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"V-T 图(速度-时间图)中,图线下方的面积表示什么?\",\"options\":[\"速度\",\"时间\",\"路程\"],\"answer\":2,\"explain\":\"面积 = 速度 × 时间 = 路程。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"S-T 图中,从 A 出发的人线向上,从 B 出发的人线向下,两线交点表示相遇。\",\"answer\":0,\"explain\":\"对。交点处两人同一时刻在同一位置,即相遇。\"},{\"type\":\"judge\",\"stem\":\"S-T 图中的水平线段表示匀速运动。\",\"answer\":1,\"explain\":\"错。水平线表示路程不随时间变化,即静止不动。\"},{\"type\":\"fill\",\"stem\":\"小明先以 80米/分 走 4 分钟,再以 40米/分 走 6 分钟,总路程是多少米?\",\"answers\":[\"560\"],\"explain\":\"80×4 + 40×6 = 320 + 240 = 560m。\"},{\"type\":\"choice\",\"stem\":\"解行程问题最常用的图是?\",\"options\":[\"线段图\",\"V-T图\",\"条形图\"],\"answer\":0,\"explain\":\"线段图最常用,能直观标出路程、速度和相遇点。\"}]}\n```\n\n## ⑤ 本课小结\n- 线段图:最常用,标清路程、速度、相遇点。\n- S-T 图:斜率 = 速度,交点 = 相遇,水平线 = 静止。\n- V-T 图:图线下方面积 = 路程,适合变速运动。\n- 先画图、再列式,用图检验答案是否合理。\n" + } + ] +} diff --git a/src/db/schema.ts b/src/db/schema.ts index e1dfd0c..71ae14a 100644 --- a/src/db/schema.ts +++ b/src/db/schema.ts @@ -248,3 +248,101 @@ export const grammarProgress = mysqlTable( }, (t) => [uniqueIndex("uq_grammar_child_point").on(t.childUserId, t.pointId)], ); + +// ===== 数学思维知识点(内容存库,结构同英语语法)===== +export const mathPoints = mysqlTable( + "math_point", + { + id: bigint("id", { mode: "number" }).primaryKey().autoincrement(), + pointId: varchar("point_id", { length: 191 }).notNull(), // 如 calc-01 + module: varchar("module", { length: 20 }).notNull(), // calc/apply/geo/num/travel/eq/combo + moduleName: varchar("module_name", { length: 50 }).notNull(), // 计算与计数 等 + title: varchar("title", { length: 200 }).notNull(), + grade: varchar("grade", { length: 30 }), // 适用学段,如 三~四年级 + difficulty: int("difficulty").notNull().default(1), + summary: text("summary"), + md: text("md").notNull(), // 课文 markdown(含 quiz 块) + seq: int("seq").notNull(), // 展示顺序 + updatedAt: datetime("updated_at").notNull().default(sql`CURRENT_TIMESTAMP`), + }, + (t) => [uniqueIndex("uq_math_point_id").on(t.pointId)], +); + +// ===== 数学思维学习进度(按知识点记录,达标即点亮)===== +export const mathProgress = mysqlTable( + "math_progress", + { + id: bigint("id", { mode: "number" }).primaryKey().autoincrement(), + childUserId: bigint("child_user_id", { mode: "number" }) + .notNull() + .references(() => users.id, { onDelete: "cascade" }), + pointId: varchar("point_id", { length: 191 }).notNull(), + score: int("score"), // 测验得分 0-100 + passed: boolean("passed").notNull().default(false), + completedAt: datetime("completed_at").notNull().default(sql`CURRENT_TIMESTAMP`), + }, + (t) => [uniqueIndex("uq_math_child_point").on(t.childUserId, t.pointId)], +); + +// ===== 数学每周能力检测记录 ===== +export const mathWeeklyTest = mysqlTable( + "math_weekly_test", + { + id: bigint("id", { mode: "number" }).primaryKey().autoincrement(), + childUserId: bigint("child_user_id", { mode: "number" }) + .notNull() + .references(() => users.id, { onDelete: "cascade" }), + weekKey: varchar("week_key", { length: 12 }).notNull(), // 2026-W32 + score: int("score"), + correct: int("correct"), + total: int("total"), + passed: boolean("passed").notNull().default(false), + questions: text("questions"), // 组卷 JSON,供回看 + takenAt: datetime("taken_at").notNull().default(sql`CURRENT_TIMESTAMP`), + }, + (t) => [uniqueIndex("uq_math_weekly_child_week").on(t.childUserId, t.weekKey)], +); + +// ===== 考试试卷(内容存库,题目为 quiz JSON)===== +export const examPapers = mysqlTable( + "exam_paper", + { + id: bigint("id", { mode: "number" }).primaryKey().autoincrement(), + paperId: varchar("paper_id", { length: 191 }).notNull(), // 如 g7s1-m09-1 + subject: varchar("subject", { length: 20 }).notNull().default("math"), // 预留多学科 + grade: varchar("grade", { length: 20 }).notNull(), // g7 + semester: varchar("semester", { length: 10 }).notNull(), // s1 上 / s2 下 + month: int("month").notNull(), // 1-12,按月度分类 + examType: varchar("exam_type", { length: 20 }).notNull(), // monthly/unit/midterm/final + title: varchar("title", { length: 300 }).notNull(), + region: varchar("region", { length: 60 }), // 地区,如 湖南长沙 + year: int("year"), // 试卷年份 + duration: int("duration"), // 考试时长(分钟) + fullScore: int("full_score"), // 卷面满分 + sourceUrl: varchar("source_url", { length: 500 }), // 参考来源链接 + summary: text("summary"), // 考查范围说明 + questions: text("questions").notNull(), // quiz JSON 数组 + seq: int("seq").notNull(), // 展示顺序 + createdAt: datetime("created_at").notNull().default(sql`CURRENT_TIMESTAMP`), + }, + (t) => [uniqueIndex("uq_exam_paper_id").on(t.paperId), index("idx_exam_paper_scope").on(t.subject, t.grade, t.semester, t.month)], +); + +// ===== 考试作答记录(同一孩子同一卷取最近一次)===== +export const examRecords = mysqlTable( + "exam_record", + { + id: bigint("id", { mode: "number" }).primaryKey().autoincrement(), + childUserId: bigint("child_user_id", { mode: "number" }) + .notNull() + .references(() => users.id, { onDelete: "cascade" }), + paperId: varchar("paper_id", { length: 191 }).notNull(), + score: int("score"), + correct: int("correct"), + total: int("total"), + passed: boolean("passed").notNull().default(false), + answers: text("answers"), // 作答 JSON,供回看 + takenAt: datetime("taken_at").notNull().default(sql`CURRENT_TIMESTAMP`), + }, + (t) => [uniqueIndex("uq_exam_child_paper").on(t.childUserId, t.paperId)], +); diff --git a/src/lib/exam.ts b/src/lib/exam.ts new file mode 100644 index 0000000..8900a67 --- /dev/null +++ b/src/lib/exam.ts @@ -0,0 +1,141 @@ +// xuchao: 考试板块——试卷查询与作答记录 +import { and, eq, sql } from "drizzle-orm"; +import { db } from "@/db"; +import { examPapers, examRecords, taskInstances } from "@/db/schema"; +import { todayStr } from "@/lib/dates"; +import type { QuizQ } from "@/lib/quiz-parse"; + +// xuchao: 试卷题型标签(展示用) +export const EXAM_TYPE_LABEL: Record = { + monthly: "月考", + unit: "单元卷", + midterm: "期中", + final: "期末", +}; + +export type ExamPaperRow = { + paperId: string; + subject: string; + grade: string; + semester: string; + month: number; + examType: string; + title: string; + region: string | null; + year: number | null; + duration: number | null; + fullScore: number | null; + seq: number; +}; + +// xuchao: 某年级某学期的全部试卷(按月份+顺序) +export async function listPapers(grade: string, semester: string, subject = "math"): Promise { + return db + .select({ + paperId: examPapers.paperId, + subject: examPapers.subject, + grade: examPapers.grade, + semester: examPapers.semester, + month: examPapers.month, + examType: examPapers.examType, + title: examPapers.title, + region: examPapers.region, + year: examPapers.year, + duration: examPapers.duration, + fullScore: examPapers.fullScore, + seq: examPapers.seq, + }) + .from(examPapers) + .where(and(eq(examPapers.subject, subject), eq(examPapers.grade, grade), eq(examPapers.semester, semester))) + .orderBy(examPapers.month, examPapers.seq); +} + +// xuchao: 单张试卷全文(含题目 JSON) +export async function getPaper(paperId: string) { + const [row] = await db.select().from(examPapers).where(eq(examPapers.paperId, paperId)).limit(1); + return row ?? null; +} + +// xuchao: 解析试卷题目 JSON +export function paperQuestions(paper: { questions: string }): QuizQ[] { + try { + const arr = JSON.parse(paper.questions); + return Array.isArray(arr) ? arr : []; + } catch { + return []; + } +} + +// xuchao: 某孩子某卷的最近成绩 +export async function getExamRecord(childId: number, paperId: string) { + const [row] = await db + .select() + .from(examRecords) + .where(and(eq(examRecords.childUserId, childId), eq(examRecords.paperId, paperId))) + .limit(1); + return row ?? null; +} + +// xuchao: 某孩子全部考试记录(列表页显示已考分数) +export async function recordsByPaper(childId: number): Promise> { + const rows = await db + .select({ paperId: examRecords.paperId, score: examRecords.score, passed: examRecords.passed }) + .from(examRecords) + .where(eq(examRecords.childUserId, childId)); + return new Map(rows.map((r) => [r.paperId, { score: r.score ?? 0, passed: r.passed }])); +} + +// xuchao: 记录作答;达标联动当天数学打卡(允许重考覆盖成绩) +export async function recordExam( + childId: number, + paperId: string, + paperTitle: string, + score: number, + correct: number, + total: number, + passed: boolean, + answers: unknown[], +) { + await db + .insert(examRecords) + .values({ + childUserId: childId, + paperId, + score, + correct, + total, + passed, + answers: JSON.stringify(answers), + }) + .onDuplicateKeyUpdate({ + set: { score, correct, total, passed, answers: JSON.stringify(answers), takenAt: sql`CURRENT_TIMESTAMP` }, + }); + + if (!passed) return; + const today = todayStr(); + const ckTitle = `考试 · ${paperTitle.length > 24 ? paperTitle.slice(0, 24) + "…" : paperTitle}`; + const [existing] = await db + .select({ id: taskInstances.id, status: taskInstances.status }) + .from(taskInstances) + .where( + and(eq(taskInstances.childUserId, childId), eq(taskInstances.date, today), eq(taskInstances.title, ckTitle)), + ) + .limit(1); + if (existing) { + if (existing.status !== "done") + await db + .update(taskInstances) + .set({ status: "done", doneAt: sql`CURRENT_TIMESTAMP` }) + .where(eq(taskInstances.id, existing.id)); + } else { + await db.insert(taskInstances).values({ + childUserId: childId, + date: today, + title: ckTitle, + subject: "math", + status: "done", + doneAt: new Date(), + sortOrder: 96, + }); + } +} diff --git a/src/lib/math-weekly.ts b/src/lib/math-weekly.ts new file mode 100644 index 0000000..af67ea5 --- /dev/null +++ b/src/lib/math-weekly.ts @@ -0,0 +1,61 @@ +// xuchao: 数学每周检测——从已点亮数学课的题池 seeded 抽 10 题 +import { and, eq } from "drizzle-orm"; +import { db } from "@/db"; +import { mathPoints, mathProgress, mathWeeklyTest } from "@/db/schema"; +import { extractQuiz, type QuizQ } from "@/lib/quiz-parse"; +import { todayStr, weekKey } from "@/lib/dates"; + +export const currentMathWeekKey = () => weekKey(todayStr()); + +// xuchao: 确定性随机(同 seed 每次得到相同组卷,渲染与判分一致) +function hashStr(s: string): number { + let h = 5381; + for (let i = 0; i < s.length; i++) h = ((h << 5) + h + s.charCodeAt(i)) >>> 0; + return h >>> 0; +} +function mulberry32(a: number) { + return () => { + a |= 0; + a = (a + 0x6d2b79f5) | 0; + let t = Math.imul(a ^ (a >>> 15), 1 | a); + t = (t + Math.imul(t ^ (t >>> 7), 61 | t)) ^ t; + return ((t ^ (t >>> 14)) >>> 0) / 4294967296; + }; +} +function seededSample(arr: T[], seed: string, n: number): T[] { + const rnd = mulberry32(hashStr(seed)); + const pool = [...arr]; + for (let i = pool.length - 1; i > 0; i--) { + const j = Math.floor(rnd() * (i + 1)); + [pool[i], pool[j]] = [pool[j], pool[i]]; + } + return pool.slice(0, n); +} + +// xuchao: 从已点亮数学课组卷;题池不足 5 题时用计算模块兜底 +export async function buildMathWeeklyQuestions(childId: number, wk: string): Promise { + const lit = await db + .select({ pointId: mathProgress.pointId }) + .from(mathProgress) + .where(and(eq(mathProgress.childUserId, childId), eq(mathProgress.passed, true))); + const litIds = new Set(lit.map((r) => r.pointId)); + + const all = await db.select().from(mathPoints); + let pool: QuizQ[] = []; + for (const p of all) { + if (litIds.has(p.pointId)) pool.push(...extractQuiz(p.md)); + } + if (pool.length < 5) { + for (const p of all) if (p.module === "calc") pool.push(...extractQuiz(p.md)); + } + return seededSample(pool, `${childId}:math:${wk}`, 10); +} + +export async function getMathWeeklyRecord(childId: number, wk: string) { + const [row] = await db + .select() + .from(mathWeeklyTest) + .where(and(eq(mathWeeklyTest.childUserId, childId), eq(mathWeeklyTest.weekKey, wk))) + .limit(1); + return row ?? null; +} diff --git a/src/lib/math.ts b/src/lib/math.ts new file mode 100644 index 0000000..c85c8bc --- /dev/null +++ b/src/lib/math.ts @@ -0,0 +1,107 @@ +// xuchao: 数学思维自学板块——结构对标英语语法模块(知识点+进度+打卡联动) +import { and, eq, sql } from "drizzle-orm"; +import { db } from "@/db"; +import { mathPoints, mathProgress, taskInstances } from "@/db/schema"; +import { todayStr } from "@/lib/dates"; +import { extractQuiz, type QuizQ } from "@/lib/quiz-parse"; +import { gradeAnswers, type AnswerValue } from "@/lib/grammar"; + +export { extractQuiz, type QuizQ }; +export { gradeAnswers, type AnswerValue }; + +// xuchao: 七大模块元信息(展示用),顺序即学习顺序 +export const MODULES = [ + { id: "calc", name: "计算与计数", stars: 1, desc: "整数/分数/小数运算、运算律、巧算与计数原理,一切数学的地基。" }, + { id: "apply", name: "应用题", stars: 2, desc: "和差倍、鸡兔同笼、植树盈亏、工程比例等经典应用题模型。" }, + { id: "geo", name: "几何", stars: 2, desc: "平面图形周长面积、立体图形表面积体积、割补与等积变换。" }, + { id: "num", name: "数论", stars: 3, desc: "整除特征、质数合数、位值原理、余数与同余。" }, + { id: "travel", name: "行程", stars: 3, desc: "相遇追及、流水行船、火车过桥、环形跑道。" }, + { id: "eq", name: "方程", stars: 3, desc: "用字母表示数、解方程、列方程解应用题。" }, + { id: "combo", name: "组合", stars: 3, desc: "抽屉原理、最值问题、逻辑推理与策略游戏。" }, +] as const; + +export type MathPointRow = { + pointId: string; + module: string; + moduleName: string; + title: string; + difficulty: number; + seq: number; +}; + +// xuchao: 全部数学知识点(按展示顺序) +export async function listMathPoints(): Promise { + return db + .select({ + pointId: mathPoints.pointId, + module: mathPoints.module, + moduleName: mathPoints.moduleName, + title: mathPoints.title, + difficulty: mathPoints.difficulty, + seq: mathPoints.seq, + }) + .from(mathPoints) + .orderBy(mathPoints.seq); +} + +export async function totalMathPoints(): Promise { + const [r] = await db.select({ n: sql`COUNT(*)` }).from(mathPoints); + return r.n; +} + +// xuchao: 单个数学知识点全文 +export async function getMathPoint(pointId: string) { + const [row] = await db.select().from(mathPoints).where(eq(mathPoints.pointId, pointId)).limit(1); + return row ?? null; +} + +// xuchao: 已通过的数学知识点集合 +export async function mathPassedByPoint(childId: number): Promise> { + const rows = await db + .select({ pointId: mathProgress.pointId }) + .from(mathProgress) + .where(and(eq(mathProgress.childUserId, childId), eq(mathProgress.passed, true))); + return new Set(rows.map((r) => r.pointId)); +} + +// xuchao: 记录结果;通过则同步完成当天数学打卡 +export async function completeMathPoint( + childId: number, + pointId: string, + title: string, + score: number, + passed: boolean, +) { + await db + .insert(mathProgress) + .values({ childUserId: childId, pointId, score, passed }) + .onDuplicateKeyUpdate({ set: { score, passed, completedAt: sql`CURRENT_TIMESTAMP` } }); + + if (!passed) return; + const today = todayStr(); + const ckTitle = `数学思维 · ${title}`; + const [existing] = await db + .select({ id: taskInstances.id, status: taskInstances.status }) + .from(taskInstances) + .where( + and(eq(taskInstances.childUserId, childId), eq(taskInstances.date, today), eq(taskInstances.title, ckTitle)), + ) + .limit(1); + if (existing) { + if (existing.status !== "done") + await db + .update(taskInstances) + .set({ status: "done", doneAt: sql`CURRENT_TIMESTAMP` }) + .where(eq(taskInstances.id, existing.id)); + } else { + await db.insert(taskInstances).values({ + childUserId: childId, + date: today, + title: ckTitle, + subject: "math", + status: "done", + doneAt: new Date(), + sortOrder: 97, + }); + } +} diff --git a/src/lib/wrongbook.ts b/src/lib/wrongbook.ts index 6db7014..1d78656 100644 --- a/src/lib/wrongbook.ts +++ b/src/lib/wrongbook.ts @@ -22,9 +22,10 @@ export function correctText(q: QuizQ): string { } // 错题入库(同一孩子同一来源同一题干去重) +// sourceType:lesson/weekly=英语,mlesson/mweekly=数学,exam=考试卷 export async function recordWrong( childId: number, - sourceType: "lesson" | "weekly", + sourceType: "lesson" | "weekly" | "mlesson" | "mweekly" | "exam", sourceId: string, sourceTitle: string, q: QuizQ,